四川省成都市树德中学2019-2020学年高一4月延迟开学考试数学试题 Word版含解析

树德中学高2019级高一下期开学考试数学试卷
考试时间：90分钟 满分130分
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一项是符合题目要求的） 1.角α的始边在x 轴非负半轴，终边在第二象限，与单位圆交点纵坐标为1
3
，将其终边逆时针旋转30度后与单位圆交点的横坐标是（ ） A. 126
6
+-
B. 322
6
+-
C.
261
6
- D. 126-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用任意角的三角函数定义求得sin α和cos α的值，再利用两角和的余弦公式求得与单位圆交点的横坐标cos()6
π
α+
的值.
【详解】由三角函数定义，角α与单位圆交点纵坐标为
13，则13sin α=，22cos 3
α=-
126
cos()cos cos sin sin 666
πππ
ααα+∴+=-=-
. 故选：A.
【点睛】本题主要考查在直角坐标系中，利用单位圆定义求任意角的三角函数. 设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点(),P x y ，那么: (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin =y α； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos =y α； (3)
y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan =0y
x x
α≠. 2.将函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为（ ） A.
B.
38
π C.
4
π
(D)
8
π
【答案】C 【解析】
将函数()sin 2(0)y x ϕϕ=+>的图象沿x 轴向左平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数sin[2()]sin(2)84
y x x ππ
ϕϕ=++=++的图象，
可得
4
2
π
π
ϕ+=
，求得ϕ的最小值为 4
π
，
故选C ．
3.已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A. 22a b < B.
2211
ab a b < C. 22a b ab < D. b a a b
<
【答案】B 【解析】 【
分析】
举出反例,利用特殊值依次排除选项A 、D,由不等式的性质可排除
C 【详解】对于选项A,令1a =-,1b
=时,221a b ==,故A 不正确；
对于选项C ,220a b ab >>,故C 不正确；
对于选项D,令1a =
-,1b =时,1b a
a b =-=,故D 不正确； 对于选项B,220a b ab >>,则2211
0ab a b
<<
故选B 【点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题 4.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为
1
3
，则其外接圆的直径为( )
【答案】B 【解析】
【详解】3= ，夹角的正弦值为,3
再
由正弦定理得外接圆的
43
=
，选B.
5.已知角α为锐角，若1sin()63π
α-
=，则cos()3
π
α-等于（ ）
A.
1
6
B.
38-
C.
38
+
D.
1
6
【答案】A 【解析】 【分析】 由[]663π
ππα-
∈-，
，求出cos()6πα-=cos()=cos[()]663πππαα---，利用两角差的余弦公式求值即可 【详解】因为α为锐角，1sin()63π
α-=，[]663
πππ
α-∈-，，
所以cos()63
π
α-
==
，
1
cos()cos[()]cos()cos sin()sin 3666666
6
πππππππ
αααα-=--=-+-=. 故选：A.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系22sin cos 1αα+=，两角差的余弦公式
()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，将要求的角转化为已知角来计算.
6.已知等差数列{}n a 中，1327a a +=-
，28113
2
a a a ++=-，又2tan a β=，7tan()a βα-=，其中,(0,)αβπ∈，则2αβ-的值为（ ）
A. 34
π-
或4π
-
B.
34
π
C. 4
π-
D. 34
π-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质可以算出2a ，再利用等差数列中的关键量1a 和d 可以求出7a .利用
tan tan[()]ααββ=-+，求出tan α，进而求出tan 2()αβ-，确定20παβ-<-<即可
得出结论. 【详解】
1327a a +=- 132227a a a ∴+==-,21
tan 7a β==-，
281132a a a ++=-,281127127=3=3
2
a a a a a a a ∴++=++-
712a ∴=- , 1
tan()2
αβ-=
tan()tan tan tan[()]1tan()tan αββααββαββ
-+=-+=--11
1270113127
-=
=>+⨯， 02
πα∴<<.又22122tan 33tan 2011tan 41()3
ααα⨯
=
==>--， 022
π
α∴<<，
31tan 2tan 47tan(2)131
1tan 2tan 147
αβ
αβαβ+
-∴-===+-⨯.
1
tan 07β=-<，2πβπ<<，20παβ-<-<，
324
π
αβ∴-=-.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列中关键量1a 和d 的运用，以及角的正切公式和角的变换.
{}n a 为等差数列，若++m n p q ＝，则++m n p q a a a a ＝ ()*m n p q N ∈，，，．
给值求角问题的解题策略: (1)讨论所求角的范围．
(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． (3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．
7.若函数()2cos()f x x k ωϕ=++满足对任意t R ∈都有(
)()66
f t f t π
π
+=-成立，且()16
f π
=-，则实数k 的值为（ ）
A. 3-
B. 1
C. 3
D. 3-或1
【答案】D 【解析】 【分析】 通过(
)()66
f t f t π
π+=-判断函数的对称轴，此时函数取得最值，结合()16f π
=-，即可求
出k 的值.
【详解】因为()2cos()f x x k ωϕ=++，对任意t R ∈都有(
)()66
f t f t π
π
+=-成立，
6
x π
∴=
是函数()2cos()f x x k ωϕ=++的一条对称轴
又()16
f π
=-
21k +=-，解得3k =-，或者21k -+=-，解得1k =
故选：D.
【点睛】本题考查了余弦函数的性质
①若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-，则图像关于直线x a =对称 ②若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--，则图像关于点(),0a 对称
8.“珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节储三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（【注】三升九：3.9升，次第盛；盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ） A. 1.9升 B. 2.1升 C. 2.2升 D. 2.3升
【答案】B 【解析】 【分析】
设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，根据题意得出关于1a 、d 的方程组，解出
这两个量的值，即可计算出中间两节盛米的容积45a a +升. 【详解】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米， 设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，
由题意得31951132
3 3.9
2
{9854
(9)(5)3
22
S a d S S a d a d ⨯=+=⨯⨯-=+-+=，解得1 1.4,0.1a d ==-，
所以，中间两节盛米的容积为45111(3)(4)27 2.80.7 2.1a a a d a d a d +=+++=+=-=（升）， 故选：B.
【点睛】本题考查等差数列的应用，解题的关键就是将问题转化为等差数列的问题，并建立首项和公差的方程组求解，考查方程思想的应用，属于中等题.
9.已知三角形ABC 的三边分别为,,a b c ，面积2
2
()S a b c =--，则cos A =（ ）
A.
12
13
B.
825
C.
1517
D. 115
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-化简2
2
()S a b c =--，再利用三角形的面积公式
1
sin 2
S bc A =求出44cos sin A A -=，利用同角三角函数的基本关系即可求出cos A 的值
【详解】2
2
2
2
2
()22cos 2S a b c a b c bc bc A bc =--=--+=-+，
1
sin 2S bc A =，
1
sin 22cos 2
bc A bc bc A ∴=-.即44cos sin A A -=. 平方得217cos 32cos 150A A -+=.即(17cos 15)(cos 1)0A A --=.得cos 1A =（舍）或
15cos 17
A =
. 故选：C.
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式111
sin sin =sin 222
S bc A ac B ab C =
=，余弦定理222222222
cos =,cos =,cos =
222b c a a c b a b c A B C bc ac ab
+-+-+- 10.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，已知1512a =，其前n 项积为n T ，且136T T =，则n T 取得最大值时，n 的值是（ ） A. 9 B. 8或9
C. 10或11
D. 9或10
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求出首项1a 和公比q ，解不等式组11
1
n n a a +≥⎧⎨≤⎩，代入通项公式求解出n 即可
【详解】（法一）∵等比数列1512a =，其前n 项积为n T ，且136T T =.
∴789101112131a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，∴710=1a ，∴9
101=1a a q ⋅=.故1=
2
q . ∵101
=1
2
a q =，，所以前n 项积有910=T T .又因为1(11,12,)n a n =＜ ，所以910,T T 为前n 项积的最大值.
（法二）∵1512a =，1=
2
q .∴111011512()22n n n n a a q ---=⋅=⨯=.
当1010(1)
1212
1n
n n n a a --++⎧=≤=≥⎪⎨⎪⎩时，n T 有最大值，解得910n ≤≤. ∴910n =或时，n T 有最大值. 故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列前n 项积的最大值.
其实质是求等差数列前n 项和的最值的变型.第一步：求出等比数列首项1a ，公比q .
第二步：解不等式组1
1
1n n a a +≥⎧⎨≤⎩.满足不等式组的n 的值，即为使前n 项积n T 取最大值时的项数.
11.数列{}n c 满足111
2(22)(21)
n n n n c +++=--，其前n 项和为n T ，若999
1000n T <成立，则n 的最大值是（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
【答案】A 【解析】 【分析】
由1
112(22)(21)
n n n n c +++=--可化简得111(21)(21)n n n c +=---，再利用裂项相消可求出n T ，利
用条件999
1000
n T <
即可求解 【详解】111112211
(22)(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n n n n n c +++++===-------
112231111111
(
)()()212121212121
n n n n T c c +∴=+
+=-+-++------- 1111111212121n n ++=-=----.由11111111211000211000
n n ++-<-⇒>--， ()1*211000198n n N n n +-<∈⇒+≤⇒≤.
故选：A.
【点睛】本题考查数列裂项相消. 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常见的裂项相消的公式：
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
()()()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭
1
k
=
12.已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则平面四边形ABCD 面积的最大值为（ ）
A.
23
2
B. C. 11 D.
15
2
【答案】B 【解析】 【分析】
在ABC ∆和ADC ∆中，由余弦定理可得，cos cos B D ，的关系，再由四边形的面积可得S 与
sin sin B D ，的函数表达式，利用余弦函数的性质，即可求得最大值.
【详解】在ABC ∆中，22224224cos 2016cos AC B B =+-⨯⨯⨯=-，
在ADC ∆中，2
2235235cos 3430cos AC D D =+-⨯⨯⨯=-，
由上两式得2016cos 3430cos 15cos 8cos 7B D D B -=-⇒-=.① 又平面四边形ABCD 的面积
11
24sin 35sin 28sin 15sin 22
S B D S B D =
⨯⨯+⨯⨯⇒=+②， ①②平方相加得：2
44964225240(sin sin cos cos )S B D B D +=++-， 化简即2
4240240cos()S B D =-+，当B D π+=时，24S 取得最大值480
，从而
S ≤故选：B.
【点睛】本题考查了解三角形和三角函数的综合应用. 三角形的面积公式111
sin sin =sin 222
S bc A ac B ab C =
=，余弦定理222222222
cos =,cos =,cos =
222b c a a c b a b c A B C bc ac ab
+-+-+- 二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分，把最终的结果填在题中横线上）
13.设变量,x y 满足约束条件20,
5100,80,x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
则目标函数34z x y =-的最大值是______.
【答案】3 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用34z x y =-的几何意义求出最大值. 或联立方程组求得三条直线的交点坐标，带入目标函数即可.
【详解】（法一）：
如图所示，可知当直线34z x y =-平移到点C ()5,3时，取得最大值为3
（法二）：2=0510=0x y x y -+⎧⎨-+⎩
联立解得两直线交点为()0,2B ，
2=0
8=0
x y x y -+⎧⎨
+-⎩联立解得两直线交点为()3,5A ， 8=0
510=0x y x y +-⎧⎨
-+⎩
联立解得两直线交点为()5,3C . 把交点坐标带入目标函数得
30428,B z =⨯-⨯=-334511,A z =⨯-⨯=-3543 3.C z =⨯-⨯=
所以目标函数34z x y =-的最大值是3. 故答案为：3
【点睛】本意考察线性目标函数的
最值问题 解题步骤：
①画：在平面直角坐标系中画出可行域和直线0ax by +=（目标函数为z ax by =+ ②移：平移直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点
③求：求出使z ax by =+取得最大值或最小值点的坐标及z 的最大或最小值
线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得，将目标函数的直线平行移动时，最先通过或最后通过的顶点便是最优解。

14.已知sin cos 2αα+=-1
tan tan αα
+=_____. 【答案】2
【解析】
【分析】 利用同角三角关系式解得1sin cos 2αα=，再由1tan ta n n cos 1si αααα+=即可求解.
【详解】因为sin cos αα+=
所以两边平方得1+2sin cos 2αα=， 所以1sin cos 2
αα=， 221sin cos sin cos 1tan 2.tan cos sin sin cos sin cos αααααααααααα
++=+=== 故答案为：2
【点睛】本题考查同角三角函数关系式以及切化弦的思想
①若题中给出的条件是有关正弦和余弦的，求正切的数值，则可以考虑切化弦，
②“sin cos αα+”、“sin cos αα-”、“sin cos αα”在这三个量中若已知其中一个，结合同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=可求出其他两个量。

15.函数2()2cos 2x
f x π=，数列{}n a 满足()2020
n n a f =，其前n 项和为n S ，则2019S =_____. 【答案】2019
【解析】
【分析】 由二倍角公式可得2()2cos cos 12x
f x x ππ==+，则cos 12020
n n a π=+，再求其前2019项的即可，或根据函数的解析式化简得到()+(1)2f x f x -=求解.
【详解】（法一）：2()2cos cos 12x
f x x ππ==+，()2020
n n a f = cos 12020
n n a π∴=+ ()cos cos 0απα+-=
1201922018cos cos cos cos 02020202020202020
ππππ∴+=+= 201912320191220182019cos 1cos 1cos 1cos 120202020
202020202019
S a a a a ππππ=+++
+=++++++++=
（法二）：2()2cos =cos 12x
f x x ππ=+，
()()(1)cos 11cos 1f x x x πππ-=-+=-+
=cos cos sin sin 1cos 1x x x πππππ++=-+
所以()+(1)2f x f x -=，
20191232019+++
+S a a a a = 所以20191232019()()()()2020202020202020S f f f f =++++， 20192019201820171()()()()2020202020202020
S f f f f =++++， 所以2019222019S =⨯，所以20192019S =.
故答案为：2019
【点睛】本题考查三角函数诱导公式及数列求和
降幂公式：21cos 2cos 2αα+=
，21cos 2sin 2αα-= ，
16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且BC 上的高与BC 边的长相等，则b c c b
+的最大是_____.
【解析】
【分析】
先利用三角形面积公式求得2
sin a A bc =，再用余弦定理求得,b c 和a 的关系式，然后利用三角函数性质求得b c c b
+的最大值. 【详解】由正弦定理211sin sin 22ABC a S bc A a a A bc
==⋅⇒=△， 由余弦定理2222
1cos ()22b c a b c a A bc c b bc
+-==+-，
所以2cos sin )b c A A A a b
ϕ+=+=+≤
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了余弦定理的
应用，三角型面积公式，三角函数恒等变换的应用以及基本不等式的基础知识.
三、解答题（共4个小题，共计50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.为保障公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，如图，检查员抽查某市一考点A ，以考点A 正西3千米的B 处开始为检查起点，沿着一条北偏东60︒方向的公路BD ，以每小时12千米的速度行驶，并用手机接通电话，问从起点开始计时，最长经过多少分钟检查员开始收不到信号（C 点开始），并至少持续多长时间（CD 之间）该考点才算检查合格？
【答案】最长经过5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算检查合格
【解析】
【分析】 根据题意=1AC AD =，30ABC ∠=︒，在ABC ∆中通过正弦定理求得120ACB ∠=︒，进而==30BAC ABC ∠∠︒，得到1BC AC ==.得出ACD ∆为等边三角形=1CD ，
【详解】设检查员行驶到公路上,C D 两点之间时收不到信号，
即公路上,C D 两点到考点的距离为1千米.
在ABC ∆中，3AB =1AC =千米，30ABC ∠=︒
由正弦定理，得sin 303sin ACB AB AC ︒∠=⨯=， 120ACB ∴∠=︒（60ACB ∠=︒不合题意），
30BAC ∴∠=︒，1BC AC ∴==.
在ACD ∆中，1AC AD ==千米，60ACD ∠=︒，
ACD ∴∆为等边三角形，1CD ∴=千米.
60512BC ⨯=，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟. ∴最长经过5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算检查合格.
【点睛】本题主要考查学生分析实际问题的能力，利用正弦定理求得边角关系.
18.已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .
【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦
【解析】
【分析】
（1）通过等数列中项的性质求出25a =，等比数列中项性质求出2d =，然后分别求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式
（2）{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则{}n n a b 前n 项和n T 则可以考虑用错位相减的方法求和。

.
【详解】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又(52)(513)100d d -+++=，
解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，
1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，
又1125b a =+=，22510b a =+=，
2q ∴=，152n n b -∴=⋅；
（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，
2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，
两式相减得2153222222(21)25(12)21n n n n T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣
⎦⎣⎦，
则5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦.
【点睛】本题主要考查本题考查等差等比数列的通项公式及错位相减法求和.
错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解; 在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式
19.已知向量(sin ,1)m x =，1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n m =+⋅.
（1）求函数()f x 单调递增区间；
（2）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，a =3c =，且5()2f A =，求角C .
【答案】（1）[,]()63
k k k Z ππππ-
+∈；（2）3C π=或23π 【解析】
【分析】
（1）运用向量坐标运算和数量积公式求出()f x ，并根据三角恒等变换进行化简，进而求出()f x 单调递增区间.（2）先求出角A ，再利用正弦定理求解.
【详解】（1）231cos223()()sin cos 2222x x f x m n m x x x -=+⋅=+⋅+=++
2cos 22sin(2)2226
x x x π=-+=-+ 由222()26263k x k k x k k Z π
π
π
π
π
ππππ-≤-≤+⇒-≤≤+∈，
所以单调递增区间是[,]()63
k k k Z ππππ-+∈ （2）由（1）知，51()sin(2)2sin(2)6262
f A A A ππ=-+=⇒-=， a c <，(0,)2
A π∴∈52(,)666A πππ∴-∈-， 266A π
π
∴-=，6
A π∴=，
于是，由正弦定理，3sin 1sin sin sin 22
a c C A C C =⇒=⇒=，
3sin 2c A a c ⨯=<<∴两个解均成立3
C π∴=或23π 【点睛】本题主要考查了向量的数量积及坐标运算、三角恒等变换、正弦定理等知识.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin ++()y A x t ＝或cos ++()y A x t ＝的形式；(2)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数
sin ++()y A x t ＝或cos ++()y A x t ＝的单调区间
20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224n n n a a S +=.
（1）求n S ；
（2
）设n b =.且数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项为n T ，求证：1034cos50tan 40n T +<-≤-︒︒.
【答案】（1）2n S n n =+；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据n a 与n S 的关系式求出n a 为等差数列，进而求得n S .（2）用裂项相消法求出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，再用三角恒等变换求出4cos50tan 40︒-︒的值比较大小即可. 【详解】（1）由题意得221
112424n n n n n n a a S a a S +++⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()1120n n n n a a a a +++--=， 又数列{}n a 各项均为正数，120n n a a +∴--=，即12n n a a +-=，
当1n =时，有21111244a a S a +==，得()1120a a -=，则12a =，
故数列{}n a 为首项为2公差为2的等差数列，21(1)2
n n n S na d n n -∴=+=+. （2
）1n b ===-，
133n n i T =∴==-∑
13n T +∴=-
，130n T +∴-=>，从而左边不等式得证；
又13n T +-=关于n
递减，13n T +∴-≤=①. 而sin 404cos50tan 404sin 40cos 40︒︒-︒=︒-︒ 4cos 40sin 40sin 402sin80sin 40cos 40cos 40︒︒-︒︒-︒==︒︒
(
)2sin 12040sin 4040sin 40sin 40cos 40cos 40︒-︒-︒︒+︒-︒==︒︒
40cos 40︒=
=︒ 结合①②，134cos50tan 40n T +-≤︒-︒，从而右边不等式得证；综上，不等式得证.
【点睛】本题考查数列与三角恒等变换的综合应用
用裂项法求和的裂项原则及规律:
(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． \。