七年级数学下册期末模拟复习重点

七年级数学下册期末模拟复习重点
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A ．236a a a ⋅=
B ．222()ab a b =
C ．()325a a =
D ．623a a a ÷=
2．已知一粒米的质量是0.00021kg ，这个数用科学记数法表示为 （ ）
A ．4 2.110-⨯kg
B ．52.110-⨯kg
C ．42110-⨯kg
D ．62.110-⨯kg 3．下列计算中，正确的是（ ） A ．235235x x x += B ．236236x x x =
C ．322()2x x x ÷-=-
D ．236(2)2x x -=- 4．若(x-2y)2 =(x+2y)2+M,则M= ( )
A ．4xy
B ．- 4xy
C ．8xy
D ．-8xy 5．观察下列等式: 133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=，试利用上述规律判断算式234202033333+++++…结果的末位数字是( ) A ．0
B ．1
C ．3
D ．7 6．下列计算正确的是（ ）
A ．a +a 2＝2a 2
B ．a 5•a 2＝a 10
C ．(﹣2a 4)4＝16a 8
D ．(a ﹣1)2＝a ﹣2 7．一元一次不等式312x -->的解集在数轴上表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．计算28+（-2）8所得的结果是（ ） A ．0
B ．216
C ．48
D ．29 9．如图，将△ABC 纸片沿D
E 折叠，点A 的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2
等于( )
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．140°
10．一天李师傅骑车上班途中因车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，下图描述了他上班途中的情景，下列四种说法：李师傅上班处距他家2000米；李师傅路上耗时20分钟；修车后李师傅的速度是修车前的4倍；李师傅修车用了5分钟，其中错误的是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
11．如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D '、C '的位置，ED '的延长线与BC 相交于点G ，若∠EFG ＝50°，则∠1＝_______．
12．若把代数式245x x --化为()2
x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=______．
13．如图，直线//AB CD ，直线GE 交直线AB 于点E ，EF 平分AEG ∠．若∠1=58°，则AEF ∠的大小为____.
14．若 a m =6 ， a n =2 ，则 a m−n =________
15．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m ，将0.00000004用科学记数法表示为_____．
16．已知23x y +=，用含x 的代数式表示y =________．
17．一个n 边形的内角和是它外角和的6倍，则n ＝_______．
18．如图，若AB ∥CD ，∠C=60°，则∠A+∠E=_____度．
19．如果关于x 的方程4232x m x -=+和23x x =-的解相同，那么m=________．
20．因式分解：=______．
三、解答题
21．（类比学习）
小明同学类比除法240÷16=15的竖式计算，想到对二次三项式x 2+3x +2进行因式分解的方法： 15162401 6 8080 0
2
22132 22
22 0
x x x x x x x x +++++++ 即(x 2+3x +2)÷(x +1)=x +2，所以x 2+3x +2=(x +1)(x +2)．
（初步应用）
小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x 2+□x +6=(x +2)(x +☆)，（其中□、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式：
2226
2 (2)6
2 0
x x x x x x x x +++++-++☆
☆☆ 得出□=___________，☆=_________．
（深入研究）
小明用这种方法对多项式x 2+2x 2-x -2进行因式分解，进行到了：x 3+2x 2-x -2=(x +2)(*)．（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式x 3+2x 2-x -2因式分解．
22．（问题背景）
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B ＝∠C+∠D
（简单应用）
（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，若∠ABC ＝28°，∠ADC ＝20°，求∠P 的度数（可直接使用问题（1）中的结论）
（问题探究）
（3）如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，若∠A＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为
（拓展延伸）
（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝1
4
∠CAB，∠CDP＝
1
4
∠CDB，试问∠P与
∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）
（5）在图5中，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论．
23．如图1是一个长为 4a ，宽为 b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2请你写出 ()2a b +，()2a b -，ab 之间的等量关系是 ； （3）根据（2）中的结论，若 6x y +=，114
x y ⋅=，则 x y -= ； （4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式()()22
22252a b a b a ab b ++=++．在图形上把每一部分的面积标写清楚． 24．杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示(a+b)n (此处n=0，1，2，3，4...)的展开式中的系数．杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两数之和．
…… ……
（1）请直接写出（a +b ）4=__________；
（2）利用上面的规律计算：
①24+4×23+6×22+4×2+1=__________；
②36－6×35+15×34－20×33+15×32－6×3+1=________．
25．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,2n P m +⎛⎫- ⎪⎝
⎭为“爱心点”．
（1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y
的方程组3x y q x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点
(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．
26．因式分解：
（1）12abc ﹣9a 2b ；
（2）a 2﹣25；
（3）x 3﹣2x 2y ＋xy 2；
（4）m 2（x ﹣y ）﹣（x ﹣y ）．
27．计算：
（1）1021(3)(4)5π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭
（2）3()6m m n mn -+
（3）4(2)(2)x x -+-
（4）2(2)(2)a b a a b ---
28．因式分解：
（1）3a x y y x ；
（2）()222416x x +-．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
A.235 a a a ⋅=，故本选项错误；
B. ()222ab a b =，故本选项正确；
C. ()326a a =，故本选项错误；
D. 624a a a ÷=，故本选项错误。

故选B.
2．A
解析：A
【分析】
科学记数法的形式是：10n a ⨯ ，其中1a ≤＜10，n 为整数．所以 2.1,a =，n 取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移动，n 为负整数。

本题小数点往右移动到2的后面，所以 4.n =-
【详解】
解：0.0002142.110.-=⨯
故选A ．
【点睛】
本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好,a n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
3．C
解析：C
【解析】
试题解析：A.不是同类项，不能合并，故错误.
B.235236.x x x ⋅= 故错误.
C.()3222.x x x ÷-=- 正确.
D.()326
28.x x -=- 故错误. 故选C.
点睛：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
4．D
解析：D
【分析】
根据完全平方公式的运算法则即可求解.
【详解】
∵(x-2y)2 =(x+2y)2+M
∴M=(x-2y)2 -(x+2y)2=x 2-4xy+4y 2-x 2-4xy-4y 2=-8xy
故选D.
【点睛】
此题主要考查完全平方公式的运算，解题的关键是熟知完全平方公式的运算法则.
5．A
解析：A
【分析】
观察可以发现3n 的末位数字为4个一循环，故相加后末位数字为定值，而2020是4的整数倍，即可求解．
解：通过观察可以发现3n 的末位数字为3、9、7、1……，4个为一循环，
而12343333=392781=120++++++末尾数字为0，
∵20204=505÷，
故234202033333+++++…的末尾数字也为0．
故选A ．
【点睛】
本题属于找规律题型，难度不大，是中考的常考知识点，细心观察，总结规律是顺利解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据负整数指数幂、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法等知识点进行作答．
【详解】
解：A 、a +a 2不是同类项不能合并，故本选项错误；
B 、根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴a 5•a 2＝a 7，故本选项错误；
C 、根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，(﹣2a 4)4＝16a 16，故本选项错误；
D 、(a ﹣1)2＝a ﹣2，根据幂的乘方法则，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数的幂的乘法，负整数指数幂，积的乘方等多个运算性质，需同学们熟练掌握．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】
-3x-1＞2，
-3x ＞2+1，
-3x ＞3，
x ＜-1， 在数轴上表示为：
，
故选B ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此
8．D
解析：D
【分析】
利用同底数幂的乘法与合并同类项的知识求解即可求得答案．
【详解】
解：28+（-2）8
=28+28
=2×28
=29．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了同底数幂的乘法的知识．此题比较简单，注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据平角定义和折叠的性质，得123602(34)∠+∠=︒-∠+∠，再利用三角形的内角和定理进行转换，得34140B C ∠+∠=∠+∠=︒从而解题．
【详解】
解：根据平角的定义和折叠的性质，得
123602(34)∠+∠=︒-∠+∠．
又34180A ∠+∠+∠=︒，180A B C ∠+∠+∠=︒，
346080140B C ∴∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∴123602(34)360214080∠+∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
此题综合运用了平角的定义、折叠的性质和三角形的内角和定理．
10．B
解析：B
【分析】
观察图象，明确每一段行驶的路程、时间，即可做出判断．
【详解】
由图可知，当时间为离家20分钟时，李师傅到达单位，所以说法一和说法二正确；
从出发到10分钟时，李师傅的速度为1000÷10=100（米∕分钟），
在出发后15分钟到20分钟，李师傅的速度为（2000-1000）÷（20-15）=200（米∕秒），修车后李师傅的速度是修车前的2倍，所以说法三错误；
在出发后10分钟到15分钟，李师傅修车用了15-10=5（分钟），所以说法四正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查了函数的图象，会从图象中提取有效信息，理解因变量与自变量的关系是解答的关键．
二、填空题
11．；
【解析】
分析：先根据平行线的性质得∠DEF=∠EFG=50°，∠1=∠GED，再根据折叠的性质得∠DEF=∠GEF=50°，则∠GED=100°，即可得到结论．
详解：∵DE∥GC，∴∠DEF
解析：100 ；
【解析】
分析：先根据平行线的性质得∠DEF=∠EFG=50°，∠1=∠GED，再根据折叠的性质得
∠DEF=∠GEF=50°，则∠GED=100°，即可得到结论．
详解：∵DE∥GC，∴∠DEF=∠EFG=50°，∠1=∠GED．∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C 分别落在点D′、C′的位置，∴∠DEF=∠GEF=50°，即∠GED=100°，∴∠1=∠GED=100°．
故答案为100．
点睛：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．
12．-7
【解析】
【分析】
利用配方法把变形为（x-2）-9，则可得到m和k的值，然后计算m+k的值．【详解】
x−4x−5=x−4x+4−4−5
=(x−2) −9，
所以m=2，k=−9，
所以
解析：-7
【解析】
【分析】
利用配方法把245x x --变形为（x-2）2-9，则可得到m 和k 的值，然后计算m+k 的值．
【详解】
x 2−4x−5=x 2−4x+4−4−5
=(x−2) 2−9，
所以m=2，k=−9，
所以m+k=2−9=−7.
故答案为：-7
【点睛】
此题考查配方法的应用，解题关键在于掌握运算法则.
13．61°
【分析】
根据平行线的性质可得∠GEB 的度数，进而得的度数，再根据角平分线的定义即得答案．
【详解】
解：，
，
．
EF 平分，
．
故答案为：61°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角
解析：61°
【分析】
根据平行线的性质可得∠GEB 的度数，进而得AEG ∠的度数，再根据角平分线的定义即得答案．
【详解】
解：
//AB CD ，
158GEB ∴∠=∠=︒，
18058122AEG ∴∠=︒-︒=︒．
EF 平分AEG ∠，
61AEF ∴∠=︒．
故答案为：61°．
【点睛】 本题考查了平行线的性质、角平分线和平角的定义，属于基础题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
14．3
.
故答案为3.
解析：3
【解析】
623m n m n a a a -=÷=÷=.
故答案为3.
15．4×10﹣8
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解析：4×10﹣8
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10－n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.00000004，4的前面有8个0，所以n ＝8，
所以0.00000004＝4×10－8．
故答案为:4×10－8．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10－n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．y=3-2x
【解析】
移项得：y=3-2x.
故答案是：y=3-2x ．
解析：y=3-2x
【解析】
23x y +=
移项得：y=3-2x.
故答案是：y=3-2x ．
17．14
【分析】
根据多边形的内角和公式及外角和列出等式，解出n 即可.
多边形的外角和为：360°，
多边形的内角和公式为：（n-2）×180°，
根据题意得：（n-2）×180=360×6
解析：14
【分析】
根据多边形的内角和公式及外角和列出等式，解出n即可.
【详解】
多边形的外角和为：360°，
多边形的内角和公式为：（n-2）×180°，
根据题意得：（n-2）×180=360×6，
解得：n=14，
故答案为：14.
【点睛】
本题是对多边形内角和及外角和的考查，熟练掌握多边形的内角和公式及外角和是解决本题的关键.
18．60
【解析】
【分析】
先由AB∥CD，求得∠C的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和可求∠A+∠E的度数．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠C与它的同位角相等，
根据三角形的外角等于
解析：60
【解析】
【分析】
先由AB∥CD，求得∠C的度数，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和可求∠A+∠E的度数．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠C与它的同位角相等，
根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，
所以∠A+∠E=∠C=60度．
故答案为60．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和. ①两直线平行同
位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.
19．【分析】
首先求得方程的解，然后将代入到方程中，即可求得．
【详解】
解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∵两方程同解，那么将代入方程，
得，
移项，得，
系数化为1，得．
故 解析：12
【分析】
首先求得方程23x x =-的解x ，然后将x 代入到方程4232x m x -=+中，即可求得m ．
【详解】
解：23x x =-，
移项，得23x x -=-，
合并同类项，得3x -=-，
系数化为1，得=3x ，
∵两方程同解，那么将=3x 代入方程4232x m x -=+，
得12211m -=，
移项，得21m -=-，
系数化为1，得12
m =． 故12
m =
． 【点睛】 本题考查含有参数的一元一次方程同解问题，难度不大，真正理解方程的解的含义是顺利解题的关键．
20．2（x+3）（x ﹣3）．
【解析】
试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即2x2-18=2（x2-
9）=2（x+3）（x-3）.
考点：因式分解.
解析：2（x +3）（x ﹣3）．
【解析】
试题分析：先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可，即
=2（x 2-9）=2
（x+3）（x-3）.
考点：因式分解. 三、解答题
21．[初步应用]5，3；[深入研究]x 3+2x 2-x -2=(x +2)(x +1)(x -1)；详见解析；
【分析】
[初步应用]列出竖式结合已知可得：2☆-6=0，2-=☆，求出□与☆即可．
[深入研究]列出竖式可得x 3+2x 2-x -2÷(x +2)，即可将多项式x 3+2x 2-x -2因式分解．
【详解】
[初步应用]∵多项式x 2+□x +6能被x +2整除，
∴2☆-6=0，2-=☆，
∴☆= 3，□=5，
故答案为：5，3；
[深入研究]∵232321
222
2 2
2 0
x x x x x x x x x -++--+----， ∴()()
()()()3222221211x x x x x x x x +--=+-=++-. 【点睛】
本题考查整式的除法；理解题意，仿照整数的除法列出竖式进行运算是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）24°；（3）24°；（4）∠P=34x+14
y ；（5）∠P=
180()2
A C ︒-∠+∠ 【分析】 （1）根据三角形内角和为180°，对顶角相等，即可证得∠A+∠B=∠C+∠D
（2）由（1）的结论得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC ①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC ②，将两个式子相加，已知AP 、CP 分别平分∠BAD 、∠BCD ，可得∠BAP=∠PAD ，∠BCP=∠PCD ，可证得∠P=12
(∠ABC+∠ADC)，即可求出∠P 度数． （3）已知直线BP 平分∠ABC 的外角∠FBC ，DP 平分∠ADC 的外角∠ADE ，可得∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的结论得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1，∠A+∠4=∠P+∠2，两式相加即
可求出∠P的度数．
（4）由（1）的结论得：1
4
∠CAB+∠C=∠P+
1
4
∠CDB，
3
4
∠CAB+∠P=∠B+
3
4
∠CDB，第一
个式子乘以3，得到的式子减去第二个式子即可得出用x、y表示∠P
（5）延长AB交DP于点F，标注出∠1，∠2，∠3，∠4，由（1）的结论得：
∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，其中根据对顶角相等，三角形内角和，以及外角的性质即可得到∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P，代入∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，即可得出∠P与∠A、∠C的关系．
【详解】
（1）如图1，
∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，
由（1）的结论得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②
①+②，得2∠P+∠PAD+∠BCP=∠BAP+∠ABC +∠PCD+∠ADC
∴∠P=1
2
(∠ABC+∠ADC)
∴∠ABC＝28°，∠ADC＝20°
∴∠P=1
2
(28°+20°)
∴∠P=24°
故答案为：24°
（3）∵如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1①，∠A+∠4=∠P+∠2②
①+②，得∠C+180°-∠3+∠A+∠4=∠P+180°-∠1+∠P+∠2
∴30°+18°=2∠P
∴∠P=24°
故答案为：24°
（4）由（1）的结论得：1
4
∠CAB+∠C=∠P+
1
4
∠CDB①，
3
4
∠CAB+∠P=∠B+
3
4
∠CDB②
①×3，得3
4
∠CAB+3∠C=3∠P+
3
4
∠CDB③
②-③，得∠P-3x=y-3∠P
∴∠P=3
4
x+
1
4
y
故答案为：∠P=3
4
x+
1
4
y
（5）如图5所示，延长AB交DP于点F
由（1）的结论得：∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3
∵∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P ∴∠A+360°-2∠A-2∠3-2∠P=∠C+180°-2∠3
解得：∠P=180()
2
A C
︒-∠+∠
故答案为：∠P=
180()2
A C ︒-∠+∠ 【点睛】 本题是考查了角平分线性质及三角形内角和定理，对顶角相等，三角形任一外角等于不相邻的两个内角和等知识点，本题是典型的拓展延伸题，一般第一问得出基本结论，后面的问题将基本结论作为解题基础，进行拓展延伸．
23．（1）2()b a -；（2）22()()4a b a b ab +=-+；（3）±5；（4）详见解析
【分析】
（1）表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；
（2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可； （3）将（x -y ）2变形为（x +y ）2—4xy ，再代入求值即可；
（4）由已知的恒等式，画出相应的图形，如图所示．
【详解】
解：（1）阴影部分为一个正方形，其边长为b -a ，
∴其面积为：2()b a -，
故答案为：2()b a -；
（2）大正方形面积为：()2
a b +
小正方形面积为：2()b a -=2()a b -， 四周四个长方形的面积为：4ab ，
∴22
()()4a b a b ab +=-+，
故答案为：22()()4a b a b ab +=-+；
（3）由（2）知，22()()4x y x y xy +=-+， ∴22()()4x y x y xy -=+-， ∴2()4x y x y xy -=±+-2116454
-⨯
=±， 故答案为：±5；
（4）符合等式()()2222252a b a b a ab b ++=++的图形如图所示，
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，此类题目关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．
24．（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）①81；②64
【分析】
（1）根据杨辉三角的数表规律解答即可；
（2）由杨辉三角的数表规律和（1）题的结果可得所求式子=(2+1)4，据此解答即可； ②由杨辉三角的数表规律可得所求式子=(3－1)6，据此解答即可．
【详解】
解：（1）()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；
故答案为：++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；
（2）①24+4×23+6×22+4×2+1=(2+1)4=34=81；
故答案为：81；
②36－6×35+15×34－20×33+15×32－6×3+1=(3－1)6=26=64；
故答案为：64．
【点睛】
本题考查了多项式的乘法和完全平方公式的拓展以及数的规律探求，正确理解题意、找准规律是解题的关键．
25．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，
22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；
（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22
n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；
（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，即可求出p 、q 的值．
【详解】
解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：
当A（5，3）时，m﹣1＝5，
2
2
n+
＝3，
解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，
2
2
n+
＝8，
解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，
2
2
n+
＝﹣4，
解得：m＝a+1，n＝﹣10．
代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B（4，b）是“爱心点”，
同理可得m＝5，n＝2b﹣2，
代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．
所以点B坐标为（4，2）．
∴A、B两点的中点C坐标为（
2442
,
22
-+-+
），即（1，﹣1），在第四象限．
（3）解关于x，y
的方程组
3
x y q
x y q
⎧+=+
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，
得：
2
x q
y q
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
．
∵点B（x，y）是“爱心点”，
∴m﹣1
﹣q，
2
2
n+
＝2q，
解得：m
﹣q+1，n＝4q﹣2．
代入2m＝8+n，得：
﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得
﹣6q＝4．
∵p，q为有理数，若使
p﹣6q结果为有理数4，
则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣2
3
．
所以P＝0，q＝﹣2
3
．
【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式
等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
26．（1）3ab （4c ﹣3a ）；（2）（a ＋5）（a ﹣5）；（3）x （x ﹣y ）2；（4）（x ﹣y ）（m ＋1）（m ﹣1）
【分析】
（1）由题意原式直接提取公因式即可；
（2）根据题意原式利用平方差公式分解即可；
（3）由题意原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（4）根据题意原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：（1）12abc ﹣9a 2b ＝3ab （4c ﹣3a ）；
（2）a 2﹣25＝（a ＋5）（a ﹣5）；
（3）x 3﹣2x 2y ＋xy 2
＝x （x 2﹣2xy ＋y 2）
＝x （x ﹣y ）2；
（4）m 2（x ﹣y ）﹣（x ﹣y ）
＝（x ﹣y ）（m 2﹣1）
＝（x ﹣y ）（m ＋1）（m ﹣1）．
【点睛】
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
27．（1）12；（2）233m mn +；（3）28x -；（4）224ab b -+．
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）先做单项式乘多项式，再合并同类项即可得出答案；
（3）先利用平方差公式计算，再合并同类项即可得出答案；
（4）先利用完全平方公式以及单项式乘多项式计算，再合并同类项即可得出答案．
【详解】
解：（1）1021(3)(4)5π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭
5116=--
12=-；
（2）3()6m m n mn -+
2336m mn mn =-+
233m mn =+；
（3）4(2)(2)x x -+-
()244x =--
244x ==-+
28x =-；
（4）()()2
22a b a a b --- ()()222442a ab b a ab =-+--
222442a ab b a ab =-+-+
224ab b +=-．
【点睛】
此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式、实数运算，正确应用公式是解题关键． 28．（1）3x
y a ；（2）()()2222x x -+． 【分析】
（1）原式先提取负号，再按提取公因式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解因式，再利用完全平方分解因式即可；
【详解】
（1）3a x
y y x 3a x
y x y 3x y a ；
（2）()222416x x +-
()()224444x x x x =+-++
2222x x ．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．。