第三章回归分析基础
第三章 一元线性回归模型
第三章 一元线性回归模型一、预备知识（一）相关概念对于一个双变量总体,若由基础理论，变量和变量之间存在因果),(i i x y x y 关系，或的变异可用来解释的变异。
为检验两变量间因果关系是否存在、x y 度量自变量对因变量影响的强弱与显著性以及利用解释变量去预测因变量x y x ，引入一元回归分析这一工具。
y 将给定条件下的均值i x i yi i i x x y E 10)|(ββ+=（3.1）定义为总体回归函数（PopulationRegressionFunction,PRF ）。
定义为误差项（errorterm ）,记为，即，这样)|(i i i x y E y -i μ)|(i i i i x y E y -=μ，或i i i i x y E y μ+=)|(i i i x y μββ++=10（3.2）（3.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。
其中，称为解释变量x （explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；称为被解释y 变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项解释μ了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
误差项的构成包括以下四个部分：（1）未纳入模型变量的影响（2）数据的测量误差（3）基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式，比如自变量与因变量之间可能是非线性关系（4）纯随机和不可预料的事件。
在总体回归模型（3.2）中参数是未知的，是不可观察的，统计计10,ββi μ量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。
给定一组随机样本，对（3.1）式进行估计，若的估计量分别记n i y x i i ,,2,1),,( =10,),|(ββi i x y E 为，则定义3.3式为样本回归函数^1^0^,,ββi y （）i i x y ^1^0^ββ+=n i ,,2,1 =（3.3）注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说是随机变量，^1^0,ββ它们的随机性是由于的随机性（同一个可能对应不同的）与的变异共i y i x i y x 同引起的。
选修2-3 第三章 第一节：回归分析的基本思想及其初步应用 (学生版)
教学辅导教案学生姓名年级高二学科数学上课时间教师姓名课题人教版选修2-3 回归分析的基本思想及其初步应用1．设有一个回归方程为$23y x=+，变量x增加一个单位时，则（）A．y平均增加2个单位B．y平均增加3个单位C．y平均减少2个单位D．y平均减少3个单位2．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为$0.70.35y x=+，那么表中t的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.53．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8据上表得回归直线方程$$y bx a=+$，其中0.76b=$，$a y bx=-$，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元4．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x（吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如表所示：x 3 4 5 61y 2.5 3 4 a若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为$0.70.35y x=+，则表中a的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.55．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个） 2 3 4 5加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程$$y bx a=+$，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？（注：1221()ni iiniix y nx ybx n x---∑=-∑$，$a y bx=-$）一、散点图1．散点图的概念在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合的概念从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋【变式5】在回归分析中，下列说法错误的是（ ） A ．用线性回归模型近似真实模型可产生误差 B ．R 2越大，模型的拟合效果越好 C ．残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D ．R 2越大，残差平方和也越大【变式6】给出下列结论，正确的个数是（ ）（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好； （2）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． A ．0B ．1C ．2D ．3【变式7】设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i =1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为$0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ）A ．身高x 为解释变量，体重y 为预报变量B ．y 与x 具有正的线性相关关系C ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）D ．若该大学某女生身高为170cm ，则她的体重必为58.79kg1．给出下列四个命题：①由样本数据得到的回归方程$$y bxa =+$必过样本点的中心（x ，y ）； ②用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好；③若线性回归方程为$3 2.5y x =-，则变量x 每增加1个单位时，y 平均减少2.5个单位； ④在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，残差平方和越小． 上述四个命题中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．身高与体重的关系可以用________来分析（ ）12．在冬季，某地居民对猪肉的需求情况的一组数据为（右图）： 价格x （万元） 12 11 10 9 需求量y （吨）10111213（1）求出y 对x 的回归方程；（2）如果价格升为14万元/吨，请你预测猪肉的需求量是多少．本章重点：回归分析、残差分析、相关指数的意义以及独立性检验中K 2的有关计算． 本章难点：借助于回归分析的思想选择恰当的模型拟合变量间的相关关系(尤其是非线性的)，由于该部分内容的数据相对较复杂，故在高考中出现大题的可能性不是很大，应以选择、填空题为主，旨在考察对回归方程的求解及预测，K 2的计算等．1．对于线性回归方程$$y bx a =+$，下列说法中不正确的是（ ） A ．样本数据中x =0时，一定有$y a= B ．x 增加一个单位时，y 平均增加b$个单位 C ．样本数据中x =0时，可能有$y a= D ．直线必经过点（x ，y ）2．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x （cm ） 160 165 170 175 180 体重y （kg ）6366707274根据上表可得回归直线方程$$0.56y x a=+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为据和散点图：定价x（元/kg）10 20 30 40 50 60年销量y（kg）1150 643 424 262 165 86 z=2⋅ln y14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9（参考数据：61()()34580i iix x y y=-⋅-=-∑，61()()175.5i iix x z z=-⋅-=-∑，621()776840iiy y=-=∑，61()()3465i iiy y z z=-⋅-=∑）（1）根据散点图判断，y与x，z与x哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．（3）定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线$$y bx a=+$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()=()n ni i i ii in ni ii ix y nx y x x y ybx nx x x====--⋅-∑∑=--∑∑$，$a y nbx=-．8．如图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2010﹣2016．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2018年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55i i y y =-=∑，7 2.646≈．参考公式：12211()()()()ni i i nn i i i i t t y y r t t y y ===--∑=--∑∑，回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()=()ni i i ni i t t y y b t t ==-⋅-∑-∑$，$a y bt =-$．9．为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5 y7.06.55.53.82.2一、（第1天）1．已知x与y之间的一组数据：x0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于y与x的线性回归方程$ 2.10.85y x=+，则m的值为．2．若样本点为（21，2.1）、（23，2.3）、（25，2.8）、（27，3.2）、（29，4.1），则样本点的中心为．3．一工厂生产某种产品的月产量y（单位：万件）与月份x构成的实数对（x，y）在直线y=x+1附近，则估计3月份生产该产品万件．4．已知x，y的取值如表：x0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7从散点图分析，y与x线性相关，则回归方程为$$y bx a=+$必过点．5．某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y（单位：元）的对应数据如表：x 3 5 2 8 9 12y 4 6 3 9 12 14假设得到的关于x和y之间的回归直线方程是$$y bx a=+$，那么该直线必过的定点是．二、（第2天）1．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于，解释变量和预报变量之间的相关系数等于．2．已知某回归分析中，模型A的残差图的带状区域宽度比模型B的残差图的带状区域宽度窄，则在该回归分析中拟合精度较高的模型是．3．回归分析是处理变量之间关系的一种数量统计方法．4．对于一组数据的两个函数模型，其残差平方和分别为152.6 和169.8，若从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选残差平方和为的那个．。
数学地质第三章 回归分析
yi
n
（3-9）
n 1 1 y yi x xi n i 1 n i 1 则式（3-9）可化为
n
n n 2 na x b xi xi y i i 1 i 1 a bx y
（3-10）
二、参数a,b的最小二乘估计
由式（3-10）中第一个方程得
y x
一、一元线性回归的数学模型
将式（3-2）及式（3-3）两边取对数，则分别为 Lny=lnα+βx （3-4） 及 lny=lnα+βlnx （3-5） 如果在式（3-4）中令Y=lny，则Y与x即成线性 关系；如果在式（3-5）中令Y=lny，X=lnx，则Y与X 就成线性关系。此外，还有一些函数，只要经过简单 变换，也可变为线性关系。这些统称为可化为线性关 系的情况，只要线性情况得到解决，可化为线性的情 况也就不难解决。
一元线性回归分析，主要是处理两个变量
x、y之间的关系。两个变量之间的关系有线性 和非线性两种情况，这里主要讨论线性关系及 可化为线性关系的非线性情况。
一、一元线性回归的数学模型
线性关系数学模型，如 y=a+bx (a,b为常数) （3-1） 非线性的情况，如指数函数 x y e （α，β为常数） （3-2） 幂函数形式 （3-3）
n Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 n Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1
（ 3-8）
二、参数a,b的最小二乘估计
即
令
i 1 i 1 n n n a xi b xi2 xi y i i 1 i 1 i 1 na b xi
二、参数a,b的最小二乘估计
选修2-3第三章：回归分析的基本思想及其初步应用(校级优质课)
为了衡量预报的精度,需要估计 的σ2值?
随机误差ei yi bxi a(i 1, 2,....n) ˆ ˆ ˆ ˆ 其估计值为: e y y y bx a
i i i i i
ˆ ei称为相应点(xi ,yi )的残差
（1）根据散点图来粗略判断它们是否线性相关。
（2）是否可以用线性回归模型来拟合数据
施化肥量
30 40 50
x
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值.
i=1
推导过程见教材80和81页，推导 方法叫最小二乘法
1、所求直线方程 y = bx + a 叫做回归直 ˆ ˆ ˆ ---线方程；其中
回归直线方程：
(x
i=1 n n i
称为样本点的中心。 2.相应的直线叫做回归直线。 3、对两个相关变量进行的线性分析叫做 线性回归分析。
高二数学 选修2-3
3.1回归分析的基本 思想及其初步应用 （两课时）
复习、变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是 确定性关系 y = x2 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -------有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田 上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到 如下所示的一组数据：
如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；
商品的销售额与广告费；
家庭的支出与收入。等等 探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何 规律？
施化肥量x 15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10
人教版高中数学第三章3.1第2课时线性回归分析
＋
8.95
＋
9.90
＋
10.9
＋
11.8)≈9.487，
所以 R2＝1－01.40.16378184≈0.999 1， 所以回归模型的拟合效果较好．
(3)由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超 过 0.15 的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归 模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线 性关系．由残差表中的数值可以看出第 3 个样本点的残差 比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错 误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型．
由公式得：^z ＝0.69x＋1.115，则有^y＝e0.69x＋1.115. (2)由计数器得如下数表：
^y 6.08 12.12 24.17 48.18 96.06 191.52 y 6 12 25 49 95 190
R2＝1－244.8614621.8≈0.999 8， 即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了 99.98%.
x 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
利用公式求得回归直线方程为^z ＝0.272x－3.849， 所以^y ＝e0.272x－3.849
残差：
yi 7
11
21
24
66 115
yi 6.443 11.101
解析：因为^z ＝0.25x－2.58，^z ＝ln y，所以 y＝e0.25x
－2.58.
答案：y＝e0.25x－2.58
类型 1 线性回归分析(自主研析)
[典例 1] 为研究重量 x(单位：克)对弹簧长度 y(单位： 厘米)的影响，对不同重量的 6 个物体进行测量，数据如 下表所示：
3.1_回归分析(三)
xi2 1660, yi2 327, xi yi 620,
i 1 i 1 i 1
ˆ b
x y 5x y
i 1 5
x
i 1
2 i
5x
2
620 5 18 7.4 1.15. 2 1660 5 18
ˆ a 7.4 1.15 18 28.1.
残差图的制作及作用 几点说明： 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 轴为心的带形区域； 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 3、对于远离横轴的点，要特别注意。
x
6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
郑平正 制作
最好的模型是哪个?
400 300
400 300 200 100 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
产卵数
产卵数
200 100 0 -100
450 400 350 300 250
产卵数
-40
-30
-20
-10 0 -100 -200
2013-6-13
郑平正 制作
复习回顾
1、线性回归模型： y=bx+a+e， (3)
y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)=
第三章 回归分析
第三章 回归分析一)基本概念在客观世界中变量间的关系可分为 =E ε S=S 0 +vtS=S 0 +vt+ε 有统计规律关系CW—R 28 变量间有非确定关系无统计规律关系 ①砼R 28——C W 有统计关系，相同CW测出的R 28 不一定完全相等。
②砼R 28与砼的孔隙率和孔隙分布有一定关系；但相同孔隙率、孔隙分布。
R 28不一定完全相等。
③年龄与血压有一定关系；相同的年龄，血压不一定完全相同。
这种自变量取一定的值时，因变量的值不确定，但有一定关系。
我们称为相关关系。
当自变量可以随意指定时（随意取定值时）这种自变量称为可控变量（CW、年龄） 当自变量不能随意取定值（像孔隙率、孔隙分布）称为不可控自变量。
当自变量为可控变量时，变量间的关系的分析称为回归分析。
自变量为一个时称为一元回归；自变量为两个以上时为多元回归。
σσ二）一元线性回归模型设X 是可控自变量，Y 是依赖于X 的随机变量，它们的关系是Y=α+βX+εε 其中a 、b 是常数；b 称为回归系数。
ε服从正态分布),0(2σN数学期望：EY=E(a+bx+ε)-Y=a+bx 称为Y 对X 的回归直线方程，①通过X i 与Y i 的测定值求出方程 两个问题②已知Y=a+bx ，检验X i 与Y i 是否符合该关系式 1）求一元线型回归方程对自变量X i ，因变量Y i 作n 次试验；其结果如下：X X 1 X 2 ------ X n Y 0 Y 1 Y 2 ------ Y n ① 确定X-Y 的关系类型建立X-Y 作坐标图，将试验结果在坐标中表达出来，对其进行初步判断，确定关系类型。
② 判断为Y=a+bx 时，求a 和b 常数，作离差平方和： Q =2211()()nni i i i i i Y y Y a bx ==-=--∑∑要使试验值与Y=a+bx 相近似,有 ∑--==ni Q i i x b a Y 12min )(L 21()nxx i i x x ==-∑∑==---=∂∂n i i i x Y b a a Q 10)(2 L 21()nyy i i Y Y ==-∑ ∑==---=∂∂n i i i i x Y x b a b Q10)(2 ))((1Y x Y x L i n i i xy --=∑= a=Y bX -210ni iiii x Y a x b x=-∑-∑=∑2()0i i i i xY Y bx x b x ∑--∑-∑= 2()()0i i i i i xY Y x b x x x ∑-∑-∑+∑=b=LL XX X Y X xxxy iiii iX Y =+-∑∑∑∑22)检验一元线型回归模型是否成立要检验一元线型回归模型是否成立,理论需要检验：①x 取各个固定值时,Y 都服从正态分布,而分布还依赖于x,且方差相等。
2021学年高中数学第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用习题新人教A版选修2_3
第三章 3.1 回归分析的根本思想及其初步应用A 级 根底稳固一、选择题1．(2021·深圳一模)其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一局部不同年份的该酒品，并测定了其芳香度(如表).年份x 0 1 4 5 6 8 芳香度y由最小二乘法得到回归方程y ^x ＋1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为( A )[解析] 由表中数据：x ＝16(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，回归方程y ^x ＋1.13，∴y ^＝1.03×4＋1.13＝5.26，∴y ＝16(1.3＋1.8＋5.6＋？＋7.4＋9.3)＝5.26，解得：？＝6.1． 应选A ．2．由变量x 与y 相对应的一组数据(1，y 1)、(5，y 2)、(7，y 3)、(13，y 4)、(19，y 5)得到的线性回归方程为y ^＝2x ＋45，那么y －＝( D )A ．135B ．90C ．67D ．63[解析] ∵x －＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，y －＝2x －＋45，∴y －＝2×9＋45＝63，应选D ． 3．观测两个相关变量，得到如下数据：x －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1 y－25A ．y ^x －1 B ．y ^＝x C ．y ^＝2x ＋0.3 D ．y ^＝x ＋1[解析] 因为x －＝0， y －＝,10)＝0，根据回归直线方程必经过样本中心点(x －，y －)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B ．4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，那么正确的表达是( C )A ．身高一定是B ．身高在以上C ．身高在左右D ．身高在以下[解析] 将x 的值代入回归方程y ^x ＋73.93时，得到的y ^值是年龄为x 时，身高的估计值，应选C ．5．(2021·西宁模拟)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进展了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x ＝20，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^x ＋48，那么5i ＝1y i ＝( D )A ．60B ．120C ．150D ．300[解析] 由题意，x ＝20，回归直线方程为y ^x ＋48，∴y ^＝0.6×20＋48＝60．那么 i ＝15y i ＝60×5＝300．应选D ．6．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^x －85.71，那么以下结论中不正确的选项是．．．．．．．( D ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．假设该大学某女生身高增加1cm ，那么其体重约增加gD ．假设该大学某女生身高为170cm ，那么可断定其体重必为 [解析] 此题考察线性回归方程．D 项中身高为170cm 时，体重“约为〞58.79，而不是“确定〞，回归方程只能作出“估计〞，而非确定“线性〞关系．二、填空题7．以下五个命题，正确命题的序号为__③④⑤__． ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进展研究．[解析] 变量的相关关系是变量之间的一种近似关系，并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系．例如，②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系；另外，线性回归直线是描述这种关系的有效方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的．8．(2021·兰州模拟)变量 x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，假设y 关于 x 的线性回归方程为y ^x －1，那么m ＝____.x 1 2 3 4 ym4[解析] 由题意，x ＝2.5，代入线性回归方程为y ^x －1，可得y ＝2.25， ∴0.1＋1.8＋m ＋4＝4×2.25， ∴m ＝3.1． 故答案为3.1．9．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据： 年平均气温(℃)年降雨量(mm) 542507813574701432464根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温__不具有__相关关系．(填“具有〞或“不具有〞)[解析] 画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．三、解答题10．为了迎接2021年俄罗斯世界杯，某协会组织了一次“迎2021世界杯，手工制作助威旗〞活动，将俄罗斯世界杯的标志以手工刺绣的方式刺绣到红色的三角形的旗子上面，来为世界杯加油．在10次制作中测得的数据如下： 助威旗数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间Y (小时)626875818995102108115122试问：(1)x 与Y 是否具有线性相关关系？(2)如果x 与Y 具有线性相关关系，求出Y 对x 的回归直线方程，并根据回归直线方程，预测加工2021个助威旗需多少天(准确到1)?注：每天工作8小时．(参考数据：x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110x 2i ＝38500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55950,38500－10×552－8250，38500－10×552≈91，错误!≈61)[解析] (1)作散点图如下图从图中可以看出，各点都散布在一条直线附近，即它们线性相关． (2)由所给数据求得b ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －10x 2＝,38500－10×552)∴a ＝y －b x ＝91.7－0.668×55∴Y 对x 的回归直线方程为 y ^x当x ＝2021时，y ^＝54.96＋0.668×2021＝1397.64(小时)又1397.64÷8＝174.705(天)∴加工2021个助威旗所需时间约为175天．B 级 素养提升1．(2021·保定一模)具有线性相关的变量x ，y ，设其样本点为A i (x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，回归直线方程为y ^＝12x ＋a ，假设OA 1→＋OA 2→＋…＋OA 8→＝(6,2)，(O 为原点)，那么a ＝( B )A ．18B ．－18C ．14D ．－14[解析] 计算x ＝18×(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝68＝34，y ＝18×(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝28＝14；回归直线方程为y ^＝12x ＋a ，∴14＝12×34＋a ， 解得a ＝－18．应选B ．2．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，那么( C )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1[解析] ∵变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，∴X ＝10＋11.3＋11.8＋12.5＋135＝11.72，Y ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，i ＝15(x i －x)(y i －y )＝(10－11.72)×(1－3)＋(11.3－11.72)×(2－3)＋(11.8－11.72)×(3－3)＋(12.5－11.72)×(4－3)＋(13－11.72)×(5－3)＝7.2，∑i ＝15 x i －x2∑i ＝15 y i －y2＝19.172，∴这组数据的相关系数是r 1＝,19.172)＝0.3755，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，U ＝15(10＋11.3＋11.8＋12.5＋13)＝11.72， V ＝5＋4＋3＋2＋15＝3，∑i ＝15(U i －U)(V i －V )＝(10－11.72)×(5－3)＋(11.3－11.72)×(4－3)＋(11.8－11.72)×(3－3)＋(12.5－11.72)×(2－3)＋(13－11.72)×(1－3)＝－7.2，∑i ＝15U i －U2·∑i ＝15V i －V2＝19.172．∴这组数据的相关系数是r 2＝－0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，应选C ． 二、填空题3．(2021·张店区校级模拟)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…(x 6，y 6)的散点图中，假设所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－1附近波动．经计算∑i ＝16x i ＝11，∑i ＝16y i ＝13，∑i ＝16x 2i ＝21，那么实数b 的值为__1921__．[解析] 根据题意，把对应点的坐标代入曲线y ＝bx 2－1，y 1＝bx 11－1，y 2＝bx 22－1，…y 6＝bx 26－1，∴y 1＋y 2＋…＋y 6＝b (x 21＋x 22＋…＋x 26)－6， ∴13＝b ×21－6，∴b ＝1921，故答案为1921．4．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y (件)与平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：时间 二月上旬二月中旬二月下旬 三月上旬 旬平均气温x (℃)381217旬销售量y (件) 55 m 33 24由表中数据算出线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的b ＝－2，样本中心点为(10,38)． (1)表中数据m ＝__40__；(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__14件__．[解析] (1)由y ＝38，得m ＝40． (2)由a ＝y －b x 得a ＝58， 故y ^＝－2x ＋58， 当x ＝22时，y ^＝14，故三月中旬的销售量约为14件． 三、解答题5．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积(m 2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元)22(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m 2时的销售价格． [解析] (1)数据对应的散点图如以下图所示：(2)x ＝15∑5 i ＝1x i ＝109，l xx ＝∑5i ＝1 (x i －x )2＝1570， y ＝23.2，l xy ＝∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝308．设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么b ^＝l xy l xx ＝3081570≈0.1962，a ^＝y －b ^x ＝1.8166．故所求回归直线方程为y ^x ＋1.8166．(3)据(2)，当x ＝150m 2时，销售价格的估计值为y ^＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．6．(2021·全国卷Ⅱ理，18)以下图是某地区2000年至2021年环境根底设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2021年的环境根底设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2021年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^t ；根据2021年至2021年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^t ．(1)分别利用这两个模型，求该地区2021年的环境根底设施投资额的预测值． (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．[解析] (1)利用模型①，可得该地区2021年的环境根底设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，可得该地区2021年的环境根底设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2021年的数据对应的点没有随机散布在直线yt 上下，这说明利用2000年至2021年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境根底设施投资额的变化趋势.2021年相对2021年的环境根底设施投资额有明显增加，2021年至2021年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2021年开场环境根底设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2021年至2021年的数据建立的线性模型y ^t 可以较好地描述2021年以后的环境根底设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ii)从计算结果看，相对于2021年的环境根底设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比拟合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．(以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)C 级 能力拔高炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如下表所示：x /0.01% 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y /min100200210185155135170205235125(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？ (2)求回归直线方程；(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？[解析] (1)x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作散点图如图．从图中可以看出，各点分布在一条直线附近，所以它们线性相关． (2)列出下表，并用科学计算器进展计算：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y i 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 x i y i10 40036 00039 90032 74522 78518 09025 50039 15547 94015 125x ＝159.8，y ＝172，∑i ＝110x 2i＝265 448，∑i ＝110y 2i＝312 350，∑i ＝110x i y i ＝287 640设所求的回归直线方程为＝x ＋，＝∑i ＝110x i y i －10x·y∑i ＝110x 2i －10x 2≈1.267，＝y －x ≈－30.47，即所求的回归直线方程为＝1.267x －30.47．(3)当x ＝160时，＝1.267×160－30.47≈172(min )，即大约冶炼172 min ．。
第三章回归分析预测方法
1984
539
7136
1992
769
8683
1985
577
7658
1993
801
9317
1986
613
7784
1994
855
9675
1987
644
8108
2019
842
8542
1988
670
7583
2019
860
8584
1989
695
8002
2019
890
9612
1990
713
8442
2019
920
x
相关但无
线性关系
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
2、回归分析与相关分析
研究和测度两个或两个以上变量之间关系的方 法有回归分析和相关分析。
相关分析。研究两个或两个以上随机变量之 间线性依存关系的紧密程度。通常用相关系 数表示，多元相关时用复相关系数表示。
回归分析。研究某一随机变量（因变量）与 其他一个或几个普通变量（自变量）之间的 数量变动的关系。
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一、一元线性回归模型
一元线性回归（Linear regression），只研究一个 自变量与一个因变量之间的统计关系。
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表
示为： yb0b1xe
其中，b0和b1称为模型的参数；e是随机误差项，
又称随机干扰项，有 e N0,2
在线性回归模型中加入随机误差项是基于 以下原因：
第一节 引言
本章学习目的与要求：
通过本章的学习，了解回归分析预测法 的概念，掌握回归分析中各系数的计算方法 及回归预测方法，能够运用Excel工具来进行 预测。
第三章 1.3可线性化的回归分析
可线性化的回归分析[学习目标]1．进一步体会回归分析的基本思想．2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．[知识链接]1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．（[预习导引]1．非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．2．非线性回归方程曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数y＝ax b·c＝ln av＝ln xu＝ln yu＝c＋bvy ＝a e bxc ＝ln a u ＝ln yu ＝c ＋bxy ＝a e b x.c ＝ln a v ＝1xu ＝ln yu ＝c ＋bvy ＝a ＋b ln xv ＝ln x u ＝yu ＝a ＋bv#要点一 线性回归分析例1 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 35 销售额y (万元)4926…3954(1)由数据易知y 与x 具有线性相关关系，若b ＝，求线性回归方程y ＝a ＋bx ； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额．解 (1)x －＝4＋2＋3＋54＝，y －＝49＋26＋39＋544＝42，∴a ＝y －－b x －＝42－×＝ ∴回归直线方程为y ＝＋. (2)当x ＝4时，y ＝＋×4＝， 故广告费用为6万元时销售额为万元．跟踪演练1 为了研究3月下旬的平均气温(x )与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：(1)对变量x，y进行相关性检验；(2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．解制表.(1)r＝∑6i＝1xiyi－6x－y－（∑6i＝1x2i－6x－2）（∑6i＝1y2i－6y－2）≈－ 8.由|r|＞，可知变量y和x存在很强的线性相关关系．(2)b＝错误!≈－，a＝错误!－b错误!≈.所以，线性回归方程为y＝－.当x＝27时，y＝－×27＝.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日．"要点二可线性化的回归分析例2 在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中：催化剂的量x/g15182124273033\ 36化学物质的反应速度y(g·min－1)6830277020565350解根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数y＝c1e c2x的周围，其中c1和c2是待定的参数．令z＝ln y，则z＝ln y＝ln c1＋c2x，即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx(a＝ln c1，b＝c2)的周围．由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：x15182124!27303336z，作出z与x的散点图(如图)．由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合．由z与x的数据表，可得线性回归方程：z＝＋，所以y与x之间的非线性回归方程为y＝e－＋.*规律方法 可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合．跟踪演练2 电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电，由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式U ＝A e bt (b ＜0)表示，现测得时间t (s)时的电压U (V)如下表：t /s 0 1 2 3 4 56(7 8910U /V 100 75 55 40 30$2015101055试求：电压U 对时间t 的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)解 对U ＝A e bt 两边取对数得ln U ＝ln A ＋bt ，令y ＝ln U ，a ＝ln A ，x ＝t ，则y ＝a ＋bx ，得y 与x 的数据如下表：x.1 2345678910{y/根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y 与x 具有较强的线性相关关系，由表中数据求得x －＝5，y －≈，进而可以求得b ≈－，a ＝y －－bx －＝，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝－.由y ＝ln U ，得U ＝e y ，U ＝－＝·e －，因此电压U 对时间t 的回归方程为U ＝·e－.要点三非线性回归模型的综合应用例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60【708090100110体重y/kg-身高x/cm120130140150160170体重y/kg(试建立y与x之间的回归方程．解根据题干表中数据画出散点图如图所示．由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y. *x 60708090100110120130140￥150160170z&画出散点图如图所示．由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：z＝＋，则有y＝＋.规律方法根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y ＝c1e c2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．*跟踪演练3 对两个变量x ，y 取得4组数据(1，1)，(2，，(3，，(4，，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下： 甲 y ＝＋1， 乙 y ＝－＋＋，丙 y ＝－·＋，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际． 解 甲模型，当x ＝1时，y ＝；当x ＝2时，y ＝； 当x ＝3时，y ＝；当x ＝4时，y ＝.乙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝； 当x ＝3时，y ＝；当x ＝4时，y ＝.丙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝； 当x ＝3时，y ＝；当x ＝4时，y ＝.观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.1．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1，12，13，14时，变量y 的值分别为2，3，4，5，则y 与1x的回归方程为( )A ．y ＝1x ＋1B ．y ＝2x＋3C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x －1 答案 A解析 由数据可得，四个点都在曲线y ＝1x＋1上．2．某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：广告费2~5 6 84销售额3040605070@则广告费与销售额间的相关系数为( )A． B．0.919 C． D．答案B3．根据统计资料，我国能源生产发展迅速．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：年份1996200120062011产量·根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种( )A．y＝ax＋b(a≠0) B．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)C．y＝a x(a>0且a≠1) D．y＝log a x(a>0且a≠1)答案A4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是__________.x/万元)24568y/万元3040605070答案(6，50)一、基础达标1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据．根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y＝＋，那么表中t的值是( )x3456，yt4A.4.5 B．4 C．3 D．答案C2．下列数据x，y符合哪一种函数模型( )x1$2345678910y 。
计量经济学-多元线性回归分析
yi ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆk xki ei 其矩阵形式为
i=1,2…n
y xβˆ e
其中 ：
y1
y
y2
yn
x11
x
x12
x 21
x 22
xk1 xk2
x1n x2n xkn
ˆ1
βˆ
ˆ 2
ˆk
在离差形式下，参数旳最小二乘估计成果为
模型中解释变量旳数目为（k）
模型：Yt 1 2t X 2t k X kt ut
也被称为总体回归函数旳随机体现形式。它 旳 非随机体现式为:
E(Yi | X 2i , X 3i , X ki ) 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki
方程表达：各变量X值固定时Y旳平均响应。
0.17033
2.652155 0.0157
R-squared
0.9954 Mean dependent var
928.4909
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟随机误差项旳方差旳无偏估计
能够证明，随机误差项旳方差旳无偏估计量为
ˆ 2 ei2 ee
nk nk
四、参数估计量旳性质
在满足基本假设旳情况下，其构造参数旳一般
最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。
ˆ1
Байду номын сангаас
Q0
ˆ2
Q
计量地理学第三章——2 回归分析
例1
一元线性回归方法的基本公式为：
y a bx
式中：a，b为待定参数，其表达式如下：
b Lxy Lxx
n i 1
xi yi
1 n
n
(
i 1
xi )(
n i 1
n i 1
xi2
1 n
n
(
i 1
xi )2
yi )
a y bx
变差 来源 回归
误差
总和
平方和
自由度
n
SSR (Yˆi Y )2
地区编号 1 2 3 4 5 6 7 8
月平均销售收 入（万元）y
31
40
30
34
25
20
35
40
月平均广告支 出（万元）x
5 10 5
7
4
3
7
9
要求：对于不同的月平均广告支出预测月平均销售收入
解:由计算结果可知，回归方程为
SST=338.875 SSR=314.532 SSE=24.343
Y 14.669 2.753X
因此，对于不同的月平均广告支出，其月平均销售收入的预测 结果如下：单位：万元
月平均广告支出 平均收入的点预测 平均收入的区间预测
6
31.187
（25.956，36.418）
8
36.693
（31.296，42.090）
12
47.705
（40.872，54.538）
直线回归、相关分析的注意事 项：
1）相关分析只是以相关系数来描述两个变量间线性相关 的程度和方向，并不阐明事物间存在联系的本质，也不是两事 物间存在联系的证据。要阐明两事物间的本质联系，必须凭专 业知识从理论上加以论证。因此，把两个毫无关系的事物放在 一起作相关分析是毫无意义的。同样，回归分析也要有实际意 义。
第3章 多元回归分析：假设检验
7
The t Test (cont)
To perform our test we first need to form " the" t statistic for β : t ≡ β se β
j
βjBiblioteka j( )j
We will then use our t statistic along with a rejection rule to determine whether to accept the null hypothesis, H 0
fail to reject
(
( ) )
(
( ) )
reject
α/2 -c
(1 α)
0 c
reject α/2
15
Summary for H0: βj = 0
Unless otherwise stated, the alternative is assumed to be two-sided If we reject the null, we typically say “xj is statistically significant at the α % level” If we fail to reject the null, we typically say “xj is statistically insignificant at the α % level”
j j
) ( )
j
n k 1
Note this is a t distribution (vs normal) 2 because we have to estimate σ by σ
2
Note the degrees of freedom : n k 1 se β j =
第三章回归分析基本方法最小二乘法
第三章回归分析基本方法最小二乘法回归分析是统计学中一种常用的方法，主要用于研究一个或多个自变量与因变量之间关系的强度和方向。
在回归分析中，最常用的方法是最小二乘法。
最小二乘法是一种通过最小化观测值与拟合值之间的平方误差来估计参数的方法。
其基本思想是通过找到使得平方误差最小的参数值来拟合数据。
最小二乘法可以应用于各种类型的回归模型，包括简单线性回归和多元线性回归。
在简单线性回归中，我们研究一个自变量与一个因变量之间的关系。
假设我们有一组观测数据(x_i,y_i)，其中x_i为自变量的取值，y_i为相应的因变量的取值。
我们想要找到一条直线来拟合这些数据点，使得误差最小化。
最小二乘法的目标是找到最合适的斜率和截距来拟合数据，最小化残差平方和。
具体而言，假设我们的模型为y=β_0+β_1*x，其中β_0为截距，β_1为斜率。
我们的目标是找到最合适的β_0和β_1来最小化残差平方和，即最小化∑(y_i-(β_0+β_1*x_i))^2最小二乘法的求解过程是通过对残差平方和关于β_0和β_1求偏导数，令偏导数为0，得到关于β_0和β_1的方程组。
通过求解这个方程组，我们可以得到最佳的β_0和β_1的估计值。
在多元线性回归中，我们考虑多个自变量与一个因变量之间的关系。
假设我们有p个自变量，我们的模型可以表示为y=β_0+β_1*x_1+β_2*x_2+...+β_p*x_p。
最小二乘法的求解过程与简单线性回归类似，只是需要求解一个更复杂的方程组。
最小二乘法在回归分析中的应用非常广泛。
它可以用于预测和建模，也可以用于建立因果关系的推断。
此外，最小二乘法还可以用于进行参数估计和统计检验。
总结起来，最小二乘法是一种基本的回归分析方法，通过最小化观测值与拟合值之间的平方误差来估计参数。
它在简单线性回归和多元线性回归中都有广泛应用，是统计学中重要的工具之一。
第三章 回归分析预测法 《统计预测与决策》PPT课件
残差分析; 异方差及自相关检验(DW)
24
拟合优度
• 拟合优度是指样本回归直线对观测数据 拟合的优劣程度。
• 如果全部观测值都在回归直线上，我们 就获得“完全的”拟合，但这是罕见的 情况，通常都存在一些正ei或负ei。我们 所希望的就是围绕回归直线的剩余尽可 能的小。
(基本假定)
1) 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即 E(ε)=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值
为E ( y ) =b 0+ b 1 x
2) 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同
3) 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且 相互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
a. 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应 的ε与其他 x 值所对应的ε不相关
y
(xn ,yn)
yˆ bˆ0 + bˆ1x
(x2 ,y2)
｝
ei = yi＾-yi
(x1 ,y1) (xi , yi)
17
x
最小二乘估计式
• 根据最小二乘准则建立样本回归函数的 过程为最小二乘估计，简记OLS估计。
• 由此得到的估计值得计算式称为最小二 乘估计式。
18
双变量线性回归模型的最小二乘估计
36
▪ 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系
所解释的变异性
多元回归模型
(基本假定)
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即
E()=0 2. 对于自变量x1，x2，…，xp的所有值，的
方差2都相同 3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，
即ε~N(0,2)，且相互独立
37
多元回归方程
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第三章 回归分析基础3.1 回归模型简介一、数据、变量与模型数据是进行模型分析的基础。
一般地，数据可分为三类：一类为截面数据（Cross-Section Data ），一类为时间序列数据(Time-Series Data), 另一类为平行数据（Panel Data ）或混合数据(Mixed Data)。
截面数据研究个体在某个时点上的变化情况。
例如，2001年1月末，全国各省、自治区、直辖市的国内生产总值（GDP ）、财政收入、财政支出、货币发行量、固定资产投资额、进出口总额等，均为截面数据。
再如，在某一时点上，某地区家庭费用开支数据，也是典型的截面数据。
时间序列数据是研究个体在一定时期内的变化情况。
时间序列数据在日常生活中随处可见。
例如，建国以来我国历年的国内生产总值（GDP ）数据、居民消费额数据、零售物价指数数据等，均为时间序列数据。
平行数据是截面数据与时间序列数据的复合体，它既研究某段时间内个体的变化情况，又研究个体在每个时点上的变化情况。
变量是构成模型的框架，是对个体不确定性的一种因素度量。
一般可将它分为两类：内生变量（Endogenous Variable ）和外生变量（Exogenous Variable ）。
内生变量是指由经济系统本身决定的变量。
外生变量则指经济系统本身无法决定、并由外部因素决定的变量。
内生产变量也称联合决定变量(Jointly-Determined Variables)。
外生变量也称前定变量(Predetermined Variables)。
例如，在简单的原油供求模型：1111q a b p c y ε=+++（需求方程） 2222q a b p c R ε=+++（供给方程） 中，原油总量q 和原油价格p 均为内生变量，而国民收入y 和降雨量R 均为外生变量。
值得注意的是，内生变量与外生变量的认定并不是一成不变的，在一定条件下二者可以相互转换，应视研究对象和研究目的的不同而不同。
此外，内生变量与外生变量的划分直接关系到模型参数的估计与推断，这是后话。
模型是数据与变量的有机合成，它以一定的经济理论为指导，并与变量的结构形式有关，是对经济关系最直观的表述。
按照不同的标准，可将模型分为不同的类型。
从方程个数角度划分，可将模型分为三类：第一类为单方程模型。
例如，研究货币投放量x 与国内收入y 之间的关系，可建立方程：,1,2,,t t t y x t N αβε=++=这是一个时间序列的单方程经济计量模型，其中，t ε为随机误差项。
第二类模型为多方程模型。
例如，在研究教育消费支出()t y 与收入()t x 的关系，以及住房消费支出()t z 与收入()t x 的关系时，有如下方程组： 11t t t y a b x u =++ 22t t t z a b x ν=++其中，t u 和t ν均为随机误差项。
在此二方程间没有必然联系，可以放在一起研究，也可以拆开单独研究。
放在一起研究的好处是可同时分析教育与住房消费支出的结构行为，便于更深入地发掘二者之间内在的关联性。
第三类模型为联立方程组。
联立方程组模型的显著特点是：方程之间存在高度的结构依存关系。
例如，下面是一个三方程的供给—需求模型：1231St t t t Q P P αααε-=+++ （供给方程） 123D t t t t Q P Y u βββ=+++ （需求方程）D S t t Q Q = （平衡方程）在此方程组中，由于供给方程、需求方程和平衡条件共同决定了市场处于均衡时的价格和供给量（也即需求量），故变量Dt Q 、St Q 和t P 为内生变量，它们的值由模型内的方程确定。
同时，1t P -和t Y （收入）并不由模型直接决定，是外生变量。
这里，价格滞后变量1t P -虽本质上仍由模型内部来决定——由价格变量t P 的前期值确定，但通常的做法是，只要包含滞后内生变量的方程的误差项不存在序列相关，则认定该滞后内生变量为先决变量，即外生变量。
显然，此供给—需求模型的三个方程间存在结构依存关系，它不同于多方程模型。
二、模型的拟合建立模型的目的是通过探讨变量间的依存关系，定量、科学地反映经济问题的本质，发现规律，预测未来，把握事物的发展动向。
由于变量间结构依存关系通常都很复杂，因此，我们采取循序渐近的方法进行研究。
也即先简单后复杂、先特殊后一般的方法。
假定我们对变量X 和Y 之间的关系感兴趣，并由散点图可以看出：X 与Y 之间存在近似的线性关系。
我们的任务是如何具体求出X 与Y 之间这种近似的拟合直线，并且，在某种意义下这条拟合直线为“最佳拟合直线”。
“最佳”的标准有很多，但最常用的和最基本的即为“最小二乘准则”，或称“最小二乘原理”。
我们先介绍它的基本思想和基本公式。
最小二乘原理是求最佳拟合直线，使各个样本点到该直线的离差平方和达到最小。
最小二乘原理的研究始于十九世纪初，1806年和1809年先后由著名数学家A. M. Legendre 和 C. F. Gauss 独立地提出，并将它应用于观测数据的误差分析。
1900年，A. A. Markov 证明了线性单方程模型下回归系数的最小二乘估计在线性无偏差估计类中具有最小的方差。
即证明了著名的Gauss-Markov 定理，从而确立了最小二乘法（或原理）在模型参数估计理论中的地位。
印度统计学家C. R. Rao 在二十世纪中叶系统地发展了最小二乘理论，形成所谓“最小二乘统一理论”，极大地推动了最小二乘理论的研究，为模型的广泛应用奠定了坚实基础。
设有n 个观测点(),,i i X Y 1,2,,i n = ，并且，X 和Y 之间存在理论方程：Y a bX =+由于有观测误差等因素存在，我们可写出X 和Y 之间如下的回归模型：,Y a bX e =++ 2~(0,)n e I σ最小二乘原理是求参数a 和b 的估计 a和b ，使拟合直线 Y a bX =+ 与各个样本点(),i i X Y 之间的整体误差达到极小。
亦即，有公式：2211()nni i i i i Minimize Y Y Minimize e ==-=∑∑以后，称 a为拟合直线的截距估计值，称b 为拟合直线斜率的估计值，而称 i Y 为第i 个观测iY 的预测值。
利用求导理论，不难推导出 a和b 的计算公式。
事实上，为使21()n i i i y y =-∑达到最小，可对21()ni i i y a bx =--∑求关于a 和b 的偏导数，并令其为0，得到：()()21120n ni i i i i i y a bx y a bx a ==∂--=---=∂∑∑ ()()21120n ni i i i i i y a bx y a bx b ==∂--=---=∂∑∑ 化简方程得到如下正规方程组：11nnii i i yan b X ===+∑∑ （3.1.1）2111nn ni ii i i i i x ya Xb X ====+∑∑∑ （3.1.2）用1nii X=∑和n 分别乘以（3.1.1）和（3.1.2）两端后，再将二方程相减，得到：2211111n n nnn i i ii i i i i i i i b n x y X y n x X =====⎡⎤⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑11nniii i YXabY bXnn===-=-∑∑亦即：22x y n x y b x n x ∑-=∑- ay b x =-现举例说明最小二乘原理的应用。
例2.1.1某省1978~1986年居民消费品购买力y 与居入货币收入x 的统计数据如下表所示（单位：10亿元）：表2.1.1购买力与货币收入数据年份 x y xy 2x 2y1978 8.5 11.6 98.6134.56 72.25 1979 11.1 14.1 156.51 198.81 123.21 80 13.6 17.1 232.56 292.41 184.96 81 15.8 19.6 309.68 384.16 249.64 82 17.6 22.1 388.96 488.41 309.76 83 20.5 25.6 524.80 655.36 420.25 84 27.8 33.6 934.08 1128.96 772.84 85 33.5 40.5 1356.75 1640.25 1122.25 86 39.2 47.8 1873.762284.84 1536.64 ∑187.6 232.0 5875.70 7207.764791.80平均20.84 25.78（1）试建立y 对x 的一元线性回归模型；（2）对回归方程进行显著性检验；（3）设居民货币收入下年将增长19%，试预测居民消费品购买力； （4）在置信度95%下求1987年居民消费品购买力的区间估计、斜率估计分别为：22295875.70187.62320.8472()97207.76(232)n xy x y bn x x ∑-∑∑⨯-⨯===∑-∑⨯- (187.60.8472232)/90.9945y x a b n n∑∑=-=-⨯=-故拟合直线为：0.99450.8472y x =-+ 回归方程的显著性检验采用相关系数r 检验。
由()()(),nniii ixxy y x ynxyr x y ---=∑∑L计算得：(,)0.9997r x y 。
查水平0.01α=，自由度为2927n -=-=的相关系数临界值表，得临界值(2)0.798r n α-=。
可见，(,)(2)r x y r n α>-，故回归方程高度显著，初步可应用于预测。
（3）若居民货币收入下年增长19%，则有：1047.8(119%)56.882x =+代入拟合直线方程，得到：1010ˆˆ0.99450.847256.882y a bx =+=-+⨯ 47.20 （10亿元）472=（亿元）（4）先求剩余平方和：22(1)(10.9997)(4791.8187.620.84)0.5293yy Q r L =-=-⨯-⨯于是，剩余标准差为0.2750s == 。
故置信区间的宽度为：()()02222222d t n s t n s αα=⋅-⋅⋅-()2220.27505.78t n α=⋅- ()2220.3790t n α⋅-⨯取显著水平0.05α=，则有：()00.0592 2.360.37900.892d t S =-⋅=⨯从而10y 的置信度为0.95的置信区间为：()()()1010,47.200.89,47.200.8946.31,48.09y d y d -+=-+=即该省1987年的居民消费品购买力将有95%的把握程度落入463.1亿元与480.9亿元之间。