八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷易错题(Word版 含答案)(1)

八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷易错题（Word版含答案）
(1)
一、选择题
AB CD的条件有（）个
1．如图，下列能判定//
（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B＝∠5；（4）∠B+∠BCD＝180°；（5）∠5＝∠D
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（）
A．∠EMB=∠END
B．∠BMN=∠MNC
C．∠CNH=∠BPG
D．∠DNG=∠AME
3．下列说法中错误的是（）
A．一个锐角的补角一定是钝角；B．同角或等角的余角相等；
C．两点间的距离是连结这两点的线段的长度；D．过直线l上的一点有且只有一条直线垂直于l
4．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°C．x+y+z＝180°D．y+z﹣x＝90°5．如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（）
A．26°B．36°C．46°D．56°
6．如图所示，下列说法不正确的是（）
A．∠1和∠2是同旁内角B．∠1和∠3是对顶角
C．∠3和∠4是同位角D．∠1和∠4是内错角
7．下列四个说法中，正确的是（）
A．相等的角是对顶角
B．平移不改变图形的形状和大小，但改变直线的方向
C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直
8．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）
A．102°B．108°C．124°D．128°
9．如图，在△ABC中，AB=AC，CD∥AB，点E在BC的延长线上.若∠A=30°，则∠DCE的大小为（）
A．30° B．52.5° C．75° D．85°
10．下列命题：①两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；②两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等；④面积相等的两个三角形肯定全等；⑤有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．下列命题是假命题的是（）
A．等腰三角形底边上的高是它的对称轴
B．有两个角相等的三角形是等腰三角形
C．等腰三角形底边上的中线平分顶角
D．等边三角形的每一个内角都等于60°
12．下列命题中，属于假命题的是（）
A．如果三角形三个内角的度数比是1:2:3，那么这个三角形是直角三角形
B．内错角不一定相等
C．平行于同一直线的两条直线平行
>-，则a一定小于0
D．若数a使得a a
二、填空题
13．已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．
14．如图，△ABC中，∠C=90︒，AC=5cm，CB=12cm，AB=13cm，将△ABC沿直线CB向右平移3cm得到△DEF，DF交AB于点G，则点C到直线DE的距离为______cm．
15．如图，在平面内，两条直线1l，2l相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分
p q为点M的“距离坐标”．根据上述规定，
别是点M到直线1l，2l的距离，则称(,)
“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．
16．已知：如图放置的长方形ABCD和等腰直角三角形EFG中，
∠F=90°，FE=FG=4cm，AB=2cm，AD=4cm，且点F，G，D，C在同一直线上，点G和点D 重合．现将△EFG沿射线FC向右平移，当点F和点C重合时停止移动．若△EFG 与长方形重叠部分的面积是4cm2，则△EFG 向右平移了____cm．
17．已知M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，CM=6 cm，则AB=_________ cm．
18．如图，请你添加一个条
．．．件．使得AD∥BC，所添的条件是__________．
19．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．
20．如图所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC＝30°，则∠ABE的度数为_____．
三、解答题
21．为了探究n条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:
①一条直线把平面分成2部分;
②两条直线可把平面最多分成4部分;
③三条直线可把平面最多分成7部分;
④四条直线可把平面最多分成11部分;
……
把上述探究的结果进行整理,列表分析:
直线条数把平面最多
分成的部分数
写成和的形式
121+1
241+1+2 371+1+2+3 4111+1+2+3+4………
(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;
(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;
(3)当直线条数为n 时,把平面最多分成多少部分?
22．（感知）如图①，AB ∥CD ，点E 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、BE ，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC ；
（探究）当点E 在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°； （应用）点E 、F 、G 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、EF 、FG 和CG ，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
23．如图，A 、B 分别是直线a 和b 上的点，∠1＝∠2，C 、D 在两条直线之间，且∠C ＝∠D ．
（1） 证明：a ∥b ；
（2） 如图，∠EFG=60°，EF 交a 于H ，FG 交b 于I ，HK ∥FG ，若∠4＝2∠3，判断∠5、∠6的数量关系，并说明理由；
（3） 如图∠EFG 是平角的n 分之1（n 为大于1的整数），FE 交a 于H ，FG 交b 于I ．点J 在FG 上，连HJ ．若∠8＝n ∠7，则∠9：∠10＝______ ．
24．已知，90AOB ︒∠=，点C 在射线OA 上，//CD OE ．
（1）如图 1，若120OCD ︒∠=，求∠BOE 的度数；
（2）把“90AOB ︒∠=°”改为“120AOB ︒∠=”，射线OE 沿射线OB 平移，得到O E '，其它条件不变（如 图 2 所示），探究,OCD BO E '∠∠ 的数量关系；
（3）在（2）的条件下，作PO OB '⊥，垂足为O ' ，与OCD ∠ 的角平分线CP 交于点
P ，若BO E α'∠= ， 用含 α 的式子表示CPO '∠（直接写出答案）．
25．问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC 中，60,30,90BAC B C ∠=∠=︒∠=︒︒，长方形DEFG 中，DE GF ．
问题初探：
（1）如图（1），若将三角板ABC 的顶点A 放在长方形的边GF 上，BC 与DE 相交于点M ，AB DE ⊥于点N ，求EMC ∠的度数．
分析：过点C 作CH GF ∥，则有CH DE ∥，从而得
,CAF HCA EMC MCH ∠=∠∠=∠，从而可以求得EMC ∠的度数．
由分析得，请你直接写出：CAF ∠的度数为____________，EMC ∠的度数为___________．
类比再探：
（2）若将三角板ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与DE 不垂直），请你猜想写出CAF ∠与EMC ∠的数量关系，并说明理由．
26．[感知发现]：如图，是一个“猪手”图，AB ∥CD ，点E 在两平行线之间，连接BE ，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D
证明如下：过E 点作EF ∥AB ．
∴∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．） 又AB ∥CD(已知）
∴CD ∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） ∴∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）
∴∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1．）
即：∠E=∠B+∠D
[类比探究]：如图是一个“子弹头”图，AB ∥CD ，点E 在两平行线之间，连接BE ，DE ．试探究∠E+∠B+∠D=360°．写出证明过程．
[创新应用]：
(1)．如图一，是两块三角板按如图所示的方式摆放，使直角顶点重合，斜边平行，请直接写出∠1的度数．
(2)．如图二，将一个长方形ABCD 按如图的虚线剪下，使∠1=120o ，∠FEQ=90°． 请直接写出∠2的度数．
27．已知，点、、A B C 不在同一条直线上，//AD BE
（1）如图①，当,58118A B ︒︒∠=∠=时，求C ∠的度数；
（2）如图②，,AQ BQ 分别为,DAC EBC ∠∠的平分线所在直线，试探究C ∠与AQB ∠的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下且//AC QB ，QP PB ⊥，直接写11,,DAC ACB CBE ∠∠∠的值
28．点C ，B 分别在直线MN ，PQ 上，点A 在直线MN ，PQ 之间，//MN PQ ． （1）如图1，求证：A MCA PBA ∠=∠+∠；
（2）如图2，过点C 作//CD AB ，点E 在PQ 上，ECM ACD ∠=∠，求证：
A ECN ∠=∠；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点B 作PQ 的垂线交CE 于点F ，ABF ∠的平分线交
AC 于点G ，若DCE ACE ∠=∠，32
CFB CGB ∠=∠，求A ∠的度数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据平行线的判定定理分别进行判断即可得出结论．
【详解】
解：当12∠=∠时，//AD BC ，不符合题意；
当34∠=∠时，//AB CD ， 符合题意；
当5B ∠=∠时，//AB CD ，符合题意；
当180B BCD ∠+∠=︒时，//AB CD ；符合题意；
当5D ∠=∠时，//AD BC ；不符合题意；
综上所述，能判定//AB CD 的条件有（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；共3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
2．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据平行线的性质可得A 、∵AB ∥CD ，∴∠EMB=∠END （两直线平行，同位角相等）；B 、∵AB ∥CD ，∴∠BMN=∠MNC （两直线平行，内错角相等）；C 、∵AB ∥CD ，∴∠CNH=∠MPN （两直线平行，同位角相等），∵∠MPN=∠BPG （对顶角），∴∠CNH=∠BPG （等量代换）；D 、∠DNG 与∠AME 没有关系，无法判定其相等．故答案
选D.
考点：平行线的性质.
3．D
解析：D
【详解】
解：D选项中缺少先要条件，就是在同一平面内
故选：D
4．B
解析：B
【分析】
过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．
【详解】
解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
5．B
解析：B
【解析】
试题分析：如图，首先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），可求∠4=56°，然后借助平角的定义求得∠3=180°-∠2-∠4=36°.
故选B
考点：平行线的性质
6．A
解析：A
【分析】
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．
【详解】
A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；
B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；
C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；
D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；
故选A.
【点睛】
此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义. 7．D
解析：D
【分析】
根据对顶角的概念、平移的性质、平行线的性质以及垂直的概念进行判断．
【详解】
A.相等的角不一定是对顶角，而对顶角必定相等，故A错误；
B.平移不改变图形的形状和大小，也不改变直线的方向，故B错误；
C.两条直线被第三条直线所截，内错角不一定相等，故C错误；
D.两直线相交形成的四个角相等，则这四个角都是90°，即这两条直线互相垂直，故D正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了平移的性质、对顶角、平行线以及垂直的定义，解题时注意：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，
∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
9．C
解析：C
【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质：等边对等角，可得∠B=∠ACB，然后根据三角形的内角和可求得∠B=75°，然后根据平行线的性质可得∠B=∠DCE=75°.
故选：C.
点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得两底角的值，然后根据平行线的性质可求解问题.
10．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判断定理逐项判断即可．
【详解】
解：①两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故该项错误；
②两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，符合AAS定理，故该项正确；
③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，有可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形，故该项错误；
④面积相等的两个三角形不一定全等，因为形状可能不相同，故该项错误；
⑤有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合ASA定理，故该项正确．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查对全等三角形的判定定理的掌握，正确理解判定定理是解题关键．
11．A
解析：A
【分析】
分别分析各题设是否能推出结论，不能推出结论的既是假命题，从而得出答案．
【详解】
A.等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，故该选项错误，是假命题，
B.有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角，正确，是真命题，
D.等边三角形的每一个内角都等于60°，正确，是真命题，
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理，判断命题的真假，关键是分析各题设是否能推出结论．
12．D
解析：D
【分析】
利用三角形内角和对A进行判断；根据内错角的定义对B进行判断；根据平行线的判定方法对C进行判断；根据绝对值的意义对D进行判断．
【详解】
解：A、如果三角形三个内角的度数比是1：2：3，则三个角的度数分别为30°，60°，90°，所以这个三角形是直角三角形，所以A选项为真命题；
B、内错角不一定相等，所以B选项为真命题；
C、平行于同一直线的两条直线平行，所以C选项为真命题；
D、若数a使得|a|＞-a，则a为不等于0的实数，所以D选项为假命题．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
二、填空题
13．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．
【分析】
（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，
解得，t＝15（s）；
②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，
即4t﹣180＝180﹣（45+t），
解得，t＝63（s）；
③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t﹣360＝t+45，
解得，t＝135（s）；
综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．
故答案为：15秒或63秒或135秒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
14．【分析】
根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．
【详解】
解：如图，连接AD、CD，作CH⊥DE于H，
依题意可得AD=BE=3cm，
∵梯形ACED
解析：75 13
【分析】
根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．
【详解】
解：如图，连接AD、CD，作CH⊥DE于H，
依题意可得AD=BE=3cm，
∵梯形ACED 的面积()()2131235452S cm =
⨯++⨯=， ∴()1153134522
ADC DCE S S CH +=⨯⨯+⨯⋅=， 解得7513CH =
； 故答案为：
7513
． 【点睛】 本题考查的是图形的平移和点到直线的距离，注意图形平移前后的形状和大小不变，以及平移前后对应点的连线相等．
15．4
【分析】
到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；同理，点在与的距离是1的点，在与平行，且到的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：
解析：4
【分析】
到1l 的距离是2的点，在与1l 平行且与1l 的距离是2的两条直线上；同理，点M 在与2l 的距离是1的点，在与2l 平行，且到2l 的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：到1l 的距离是2的点，在与1l 平行且与1l 的距离是2的两条直线上；
到2l 的距离是1的点，在与2l 平行且与2l 的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．
16．3或2+
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG 是等腰直角三角形，重合部分为△HDG ，则重合面积=DG2=4，解得DG=，而DC ＜，故这种情况不成立；
②如图
解析：3或2+22
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角形，重合部
分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得DG=22，而DC＜22，故这种情况不成立；
②如图2，由平移的性质得到△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可；
③如图3，由平移的性质得到△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可．
详解：分三种情况讨论：①如图1．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG是等腰直角三
角形，重合部分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得：DG=22，而DC=2＜22，故
这种情况不成立；
②如图2．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分
为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI =1
2
DG2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
DG2－
1
2
（DG-2）
2=4，解得：DG=3；
③如图3．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形
EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI =1
2
EF2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
×42－
1
2
（DG-2）2=4，解得：
DG=222
+或222
-（舍去）．
故答案为：3或222
+．
点睛：本题主要考查了平移的性质以及等腰三角形的知识，解题的关键是分三种情况作出图形，并表示出重合部分的面积．
17．12
【解析】
如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，
∴AM=MN，CN=CB，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）
解析：12
【解析】
如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，
∴AM=MN，CN=CB，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）=6+6=12（cm）.
18．∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C
【解析】
当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAB+∠B
解析：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C
【解析】
当∠EAD＝∠B时，根据“同位角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAC＝∠C时，根据“内错角相等，两直线平行”可得AD//BC；
当∠DAB+∠B=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得AD//BC，
故答案是：∠EAD＝∠B或∠DAC＝∠C或∠DAB+∠B=180°（答案不唯一）.
19．如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
【分析】
把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．
【详解】
解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是
解析：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
【分析】
把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．
【详解】
解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
20．120°．
【分析】
先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质
进行计算即可．
【详解】
过点E作EG∥AB，则EG∥CD，
由平行线的性质可得∠GEC=90°，
解析：120°．
【分析】
先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．
【详解】
过点E作EG∥AB，则EG∥CD，
由平行线的性质可得∠GEC=90°，
所以∠GEB=90°﹣30°=60°，
因为EG∥AB，
所以∠ABE=180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
三、解答题
21．(1) 16； (2) 56； (3)
(1)
1
2
n n+
⎡⎤
+
⎢⎥
⎣⎦
部分
【分析】
（1）根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时，把平面最多分成16部分；
（2）通过已知探究结果，写出一般规律，当直线为n条时，把平面最多分成
1+1+2+3+…+n，求和即可．
【详解】
（1）16;1+1+2+3+4+5.
（2）56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.
（3）当直线条数为n时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n=
(1)
1
2
n n+
⎡⎤
+
⎢⎥
⎣⎦
部分.
【点睛】
本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，运用了从特殊到一般的数学思想，解决此题关键是写出和的形式．
22．【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.
【分析】
感知：如图①，过点E作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题；
探究：如图2中，作EG∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
应用：作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
【详解】
解：理由如下，
【感知】
过E点作EF//AB
∵AB//CD
∴EF//CD
∵AB//CD
∴∠BAE=∠AEF
∵EF//CD
∴∠CEF=∠DCE
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.
【探究】
过E点作AB//EG.
∵AB//CD
∴EG//CD
∵AB//CD
∴∠BAE+∠AEG=180°
∵EG//CD
∴∠CEG+∠DCE=180°
∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°
【应用】
过点F作FH∥AB.
∵AB ∥CD ，
∴FH ∥CD ，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°
故答案为396°.
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
23．（1）见解析；（2）
526∠=∠，见解析；（3）n-1 【分析】
（1）延长AD 交直线b 于点E ，根据平行线的性质与判定即可得证；
（2）由//HK FG 得到3EFG α∠+∠=∠，4FJH ∠=∠，再根据三角形的内角和与对顶角的性质即可求解；
（3）延长EF 交直线b 于点P ，过点J 作//JQ a ，根据平行线的性质及三角形外角的性质等，得到180107n ︒∠=
-∠，()1918017n n n
-∠=⋅︒--∠，即可得到9:10∠∠的值． 【详解】
（1）如图，延长AD 交直线b 于点E ，
ADC C ∠=∠，
//AD BC ∴，
2AEB ∴∠=∠，
12∠=∠，
1AEB ∴∠=∠，
//a b ∴．
（2）∵//HK FG ，60EFG ∠=︒，
∴360α∠+∠=︒，4FJH ∠=∠，5120FJH ∠+∠=︒，
∵423∠=∠，
∴523120∠+∠=︒，即()5260120α∠+-∠=︒，
∴52α∠=∠，
∵6α∠=∠，
∴526∠=∠．
（3）如图，延长EF 交直线b 于点P ，过点J 作//JQ a ，
则10FPI ∠=∠，8180HJQ ∠+∠=︒，7QJI FIP ∠=∠=∠，
∵EFG FPI FIP ∠=∠+∠，9HJI EFG ∠=∠+∠， ∴1801077EFG n
︒∠=∠-∠=-∠， ()1918017n HJI EFG n n -∠=∠-∠=
⋅︒--∠， ∴9:101n ∠∠=-，
故答案为：1n -．
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等内容，解题的关键是根据题意作出辅助线．
24．(1) 150°；(2) ∠OCD+∠BO'E=240°；(3) 30°+12
α．
【分析】
（1）先求出到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求解；
（2）过O点作OF//CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO'E的数量关系；（3）根据四边形内角和为360°，再结合（2）的结论以及角平分线的定义即可解答．【详解】
解：（1）∵CD//OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-90°-120°=150°；
（2）如图2，过O点作OF//CD，
∴CD//OE，
∴OF∥OE，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-（∠OCD+∠BO'E）=120°，∴∠OCD+∠BO'E=240°；
（3）∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCP=1
2
∠OCD，
∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP
=150°-1
2
∠OCD
=150°-1
2
（240°-∠BO'E）
=30°+1 2
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质、周角的定义、角平分线的定义，确定∠OCD、∠B0'E的数量关系是解答本题的关键．
25．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析
【分析】
（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度数，求∠EMC度数转化到∠MCH度数；（2）过点C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF与∠EMC转化到∠ACH和∠MCH中，从而发现∠CAF、∠EMC与∠ACB的数量关系．
【详解】
（1）过点C 作CH ∥GF ，则有CH ∥DE ，
所以∠CAF=∠HCA ，∠EMC=∠MCH ，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案为30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
过点C 作CH ∥GF ，则∠CAF=∠ACH ．
∵DE ∥GF ，CH ∥GF ，
∴CH ∥DE ．
∴∠EMC=∠HCM ．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．
【点睛】
考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．
26．类比探究：见解析；
创新应用：(1)：1105.∠=︒
创新应用：(2)：2150.∠=︒
【分析】
[类比探究]：如图，过E 作//,EF AB 结合已知条件得//,FE CD 利用平行线的性质可得答案，
[创新应用]：
(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB 得到//,CD EF 利用平行线的性质可得答案，
(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB 得到 //,EG CD 利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：类比探究：如图，过E 作//,EF AB
//,AB CD
//,FE CD ∴
//,EF AB
180,B BEF ∴∠+∠=︒
//,FE CD
180,D DEF ∴∠+∠=︒
360,B BEF DEF D ∴∠+∠+∠+∠=︒
360.B BED D ∴∠+∠+∠=︒
[创新应用]：(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB
//,CD EF ∴
//,EF AB
,B BEF ∴∠=∠
//,CD EF
,D DEF ∴∠=∠
,B D BEF DEF BED ∴∠+∠=∠+∠=∠
30,45,B D ∠=︒∠=︒
75,BED ∴∠=︒
90,AEB DEC ∠=∠=︒
1360909075105.∴∠=︒-︒-︒-︒=︒
(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB
//,EG CD ∴
2180,GEQ ∴∠+∠=︒
//,EG AB
1180,GEF ∴∠+∠=︒
1212360GEF GEQ FEQ ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ ，
∠1=120o ，∠FEQ=90°，
2150.
∴∠=︒
【点睛】
本题考查平行公理及平行线的性质，掌握平行公理及平行线的性质是解题关键．27．（1）120°；（2）2∠AQB+∠C=180°；（3）∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.【分析】
（1）过点C作CF∥AD，则CF∥BE，根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B，将其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数；
（2）过点Q作QM∥AD，则QM∥BE，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出
∠AQB=1
2
(∠CBE-∠CAD)，结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C=180°；
（3）由（2）的结论可得出∠CAD=1
2
∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，
联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数.【详解】
解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°-∠B，
∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-（∠B-∠A）=180°-(118°-58°)=120°．
（2）在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD=1
2
∠CAD，∠EBQ=
1
2
∠CBE，
∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=1
2
(∠CBE-∠CAD)．
∵∠C=180°-(∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB，∴2∠AQB+∠C=180°．
（3）∵AC∥QB，
∴∠AQB=∠CAP=1
2
∠CAD，∠ACP=∠PBQ=
1
2
∠CBE，
∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-1
2
∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB=180°，
∴∠CAD=1
2
∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，
∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，
∴∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD）=120°，
故∠DAC=60°，∠ACB=120°，∠CBE=120°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线以及垂线，解题的关键是：（1）根据平行线的性质结合角的计算找出∠ACB=180°-(∠B-∠A)；（2）根据平行线的性质、角平分线的定
义找出∠AQB=1
2
(∠CBE-∠CAD)；（3）由AC∥QB、QP⊥PB结合（1）（2）的结论分别求
出∠DAC、∠ACB、∠CBE的度数．
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠A=72°．
【分析】
（1）根据题意过点A作平行线AD//MN，证出三条直线互相平行并由平行得出与ACM
∠
和ABP
∠相等的角即可得出结论；
（2）由题意利用垂直线定义以及三角形内角和为180°进行分析即可证得A ECN
∠=∠；（3）根据题意设MCA ACE ECD x
∠=∠=∠=，由（1）列出关系式
2702 CFB x ∠=︒-和
1
135
2
CGB x
∠=︒-，解出方程进而得出结论．
【详解】
证明：（1）过点A作平行线AD//MN，
∵AD//MN，//
MN PQ,
∴AD//MN//PQ,
∴,MCA DAC PBA DAB ∠=∠∠=∠,
∴A DAC DAB MCA PBA ∠=∠+∠=∠+∠.
（2）∵//CD AB
∴180A ACD ∠+∠=︒
∵180ECM ECN ∠+∠=︒
又ECM ACD ∠=∠
∴A ECN ∠=∠
（3）证得MCA ACE ECD ∠=∠=∠ ABP NCD ∠=∠
设MCA ACE ECD x ∠=∠=∠=
由（1）可知CFB FCN FBQ ∠=∠+∠
列出关系式2702CFB x ∠=︒-
由（1）可知CGB MCG GBP ∠=∠+∠ 列出关系式11352CGB x ∠=︒- 312702(135)22
x x -=︒- 解得：54x =︒
结论：72A ∠=︒
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，结合平行线的性质与判定运用数形结合思维分析是解题的关键.。