《单位圆与三角函数线》教案1 新人教B版必修4

1.2.2 单位圆与三角函数线
一、学习目标
(一)
知识目标 1.单位圆的概念 2.
有向线段的概念
3.
用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值 (二)
能力目标
1.
理解并掌握单位圆、有向线段的概念
2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来
(三)
德育目标
通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间. 二、教学重点、难点
重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值 三、教学方法
（一）讲授法
讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在
（二）教具准备 幻灯片1张： 多媒体课件：课本P19图1—13，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角α的终边，标出单位圆与角α的终边的交点P (x ，ｙ），过P 向x 轴作垂线，垂足为M ，过点A （1，0）作单位圆的切线与角α的终边或终边的反向延长线交于点T (利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白 四、教学过程 教学环节
教学内容 师生互动 设计意图
课 题 导 入
前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0°到360°角的三角函数的一组公式，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必
可以通过提问与学生自查相结合的形式，对所学知识加以回顾，进而加深对已有知识的巩固和提高，为下一步的学习做好知识储备。

三角函数线的位置与角所在的象限有很大关系，因此在讲解新课之前做好知识的准备是十分必要的。

在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法
新概念教学
我们首先建立下面的坐标
系：在观览车转轮圆面所在的平
面内，以观览车转轮中心为原
点，以水平线为x轴，以转轮半
径为单位长建立直角坐标系。

设P 点为转轮边缘上的一
点，它表示座椅的位置，记
xOPα
∠=，则由正弦函数的定
义可知sin
MPα
=，
为了几何表示的需要，我们
先来看单位圆的概念：以原点为
圆心，单位长为半径的圆称为单
位圆.单位长——如1 cm、1 dm、
1 m、1 km等等，都是1个单位
长，它们的单位虽不同，但长度
都是1个单位长.即单位圆的半
径是1(个单位长
（使用多媒体课件，教师边
叙述边作图
在平面直角坐标系内，作单
位圆，设任意角α的顶点在原
点，始边与x轴的非负半轴重
合，终边与单位圆相交于点P(x，
ｙ），x轴的正半轴与单位圆相
交于A（1，0），过P作x轴的
垂线，垂足为M；过A作单位圆
的切线，这条切线必平行于ｙ轴
(垂直于同一条直线的两直线平
行)，设它与角α的终边或其反
向延长线交于点T
显然，线段OM的长度为｜
x｜，线段MP的长度为｜ｙ｜，
它们都只能取非负值
当角α的终边不在坐标轴
上时，我们可以把OM、MP都看
作带有方向的线段：
如果x＞0，OM与x轴同向
充分发挥多媒体教学的优势，既有
教师的动画演示，又有教师与学生
之间的互动，尽可能多的调动学生
的积极性，多动手，多思考，多探
索，多尝试。

1、用现实中的例
子引入本节内容，
学生不仅可以看
到三角函数还可
以用一条（有向）
线段表示，而且可
以感受到数学知
识在现实生活中
的巨大作用，从而
激发他们学习数
学的浓厚兴趣。

2、单位圆是三角
函数线建立的基
石，离开单位圆就
谈不上三角函数
线，因此单位圆概
念的建立是前提。

单位圆的概念要
着重理解“一个
单位”的含义。

3、单位圆中的三
角函数线是用轴
上的向量表示的，
要明确轴上向量
是既有大小又有
方向的线段，用轴
上向量的数量表
示三角函数值，其
长度表示三角函
数的绝对值，其方
向表示三角函数
的正负号。

4、结合图形，引
导学生弄清以下
几点：
（1）三角函数线
的位置；
(利用多媒体课件的优势，将①图、④图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴同向)，规定此时OM具有正值x；如果x ＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，(将课件上②图、③图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x
如果ｙ＞0，把MP看作与ｙ轴同向，规定此时MP具有正值ｙ；如果ｙ＜0，把MP看作与ｙ轴反向，规定此时MP具有负值ｙ，所以不论哪一种情况，都有MP＝ｙ(与前面所述相同，谈到MP与ｙ轴同向或反向时，仍作从M到P的演示，让学生观察)，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段
于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有
这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线
类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有
这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线
注意：(1)当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在
(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆
(4)线段有两个端点，在用（2）三角函数线的方向；
（3）三角函数线的正负；
字母表示正弦线、余弦线、正切
线时，要先写起点字母，再写终
点字母，不能颠倒；或者说，含
原点的线段，以原点为起点，不
含原点的线段，以此线段与x轴
的公共点为起点.
(5)三种有向线段的正负与
坐标轴正反方向一致，三种有向
线段的数量与三种三角函数值
相同
正弦线、余弦线、正切线统称为
三角函数线
例
题讲解例题：分别作出
2
3
π
和
3
4
π
-的
正弦线、余弦线和正切线。

因此在教学时仍以教师画图演示、
讲解为主，同时更多的请学生参与
作图，加深印象。

此例题主要目的
还是进一步巩固
学生对于三角函
数线的理解，
课堂练习
分别作出下列各角的正弦
线、余弦线和正切线：
（1）
3
π
（2）
5
6
π
（3）
2
3
π
-（4）
13
6
π
-
在前面详细讲解的基础上，此题主
要是学生完成，鼓励学生独立完成，
对于个别有困难的学生，可以小组
为单位共同完成。

加深理解三角函
数线的有关知识。

课时小结
本节课我们学习了单位圆的
概念，有向线段的定义，正弦
线、余弦线、正切线的定义，
这三种三角函数线都是一些特
殊的有向线段，其之所以特殊
，一是其与坐标轴平行(或重合
)，二是其与单位圆有关，这些
线段分别都可以表示相应三角
函数的值，所以说它们是三角
函数的一种几何表示.
以提纲形式对本节重点内容再总
结。

学习单位圆的目
的在于利用它解
决问题，在教学
中，应尽量引导学
生借助单位圆的
直观，探索三角函
数的有关性质，这
样，不仅有助于加
深对于三角函数
线的理解，对后续
内容的学习也有
很大的促进作用。

课
后作业课本第21页A组练习2
本次作业只针对三角函数线知识进
行巩固，因此，要求学生保质保量
认真完成。

落实本课时的重
点，突破难点，抓
落实。