广东省连州市高三数学 《空间角》课件 新人教A版

2)
=
2.
3
则BD与平面CDE所成角的正弦值为 2 .
3
点评本例的求解策略说明，若方
便获知直线在平面内的射影，则可 用传统的构造法求直线与平面所成 的角；若找直线在平面内的射影较 难，则可用向量法求直线和平面所 成的角.
【12届中山市四校12月联考理】18．如图，四棱 锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,
D A
C BE
2、三垂线法.
若AO⊥平面BCD于O.
则作OM⊥BC
B
于M，连结AM.
M
∠AMO为二面角 A-BC-D的平面角.
A
D O
C
(08’北京,2)如图,在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2， ∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC． (Ⅰ)求证：PC⊥AB；
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小； P
FB, 29
z
F
29
无棱二面角
R
Q A
y
B
C
D
xE
5 a 2
sin RDB 3
5 2 29
29 a
29
3
故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是
2 29
．
29
( 06’重庆)四棱锥P-ABCD中, PA ⊥底面ABCD,
∠DAB为直角, AB∥CD, AD=CD=2AB, E、F分别
已知 AB 3, AD 2, PA 2, PD 2 2,PAB 60 .
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的正切值． 39
P
4
A
O
E
B
D C
（04’广东）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、 B（CⅠ上）的求点二，面且角EBC=-FDBE=-C1.1的正切值；22
3
G
G1
D
B1
E1
E
y
A
C
x
B
2.直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角，叫这条斜线 和这个平面所成的角
(2)若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直 角
若直线l∥平面α，或直线l 平面α，则l
与α所成角为0°
(3)
范
围
：
0，π2
（4）求法:定义法
定义法的具体步骤如下： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的 射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。
为45°.
(2)由(1)可知，DO⊥平面ABCE，BE⊥AE， 过O作OF∥BE，以O为原点，OA、OF、 OD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系,则D(0,0, 2 ),E(- 2 ,0,0),B(-2,2 2 ,0),
C(-2 2 ,2,0).
设平面CDE的法向量n=(x,y,z).
3
z
3
A
A1
x
B1 l y
B
（11’湖南理19）如图，在圆锥PO中，已知 PO= 2 ，⊙O的直径AB=2,C是AB弧的中点， D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD 平面PAC;
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值。
(10’广东,3) AEC 是半径为a的半圆，AC为直径，
E点为 AC 的中点, 点B和点C为线段AD的三等分点,
N
B
M
D
C
解：作BM AC于M，作MN AC交AD于N， 则BMN就是二面角B AC D的平面角
由AB AC BC 2, M是AC的中点，且MN//CD
得BM 6 , MN 1 CD 1 , BN 1 AD 3 .
2
2
2
2
2
由余弦定理得
cos BMN BM 2 MN 2 BN 2 6 ,
平面AEC外一点F 满足FB FD 5a, EF 6a.
((求21))平证 已面明 知BQ：E,RED为B与⊥线平F段面DF;REQ,FDB所上成的二点面，F角Q的 23正F弦E,值FR。223
FB, 29
z
F
29
R
Q A
y
B
C
D
xE
（2011’全国）如图，四棱锥S-ABCD中， AB // CD ，BC CD ，侧面SAB为等边三
P
AD
C
B
图5
求二面角的常用方法(几何法）
1、定义法
M是l上任意一点
A
在内作射线MA⊥l 在内作射线MB⊥l
l
M
B
∠AMB为二面角-l- 的平面角.
3
例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中， 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公 共的斜边，且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个 侧面是正三角形，求二面角B－AC－D的余弦值. A
同理可证 DF∥平面ABC. ∵DE∩DF＝D， DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF， ∴平面DEF∥平面ABC
(2)若PA＝BC＝2，当三棱锥P－ABC的体积 最大时，求二面角A－EF－D的平面角的余弦值．
空间角
1.异面直线所成的角
(1) 定 义 ： 设 a 、 b 是 异 面 直 线 ， 过
空间任一点O引 a//a，b//b ，则
a， b 所成的锐角(或直角)，叫
做异面直线a、b所成的角.
(2)范围：
0，π 2
（3）求法：①平移法; ② 向量法
设直线AB和CD所成的角为 ，则：
cos | cos AB，CD |
AB=2, PAB 120 , PBC 90
(1)求证：平面PAD 平面PAB； 3
(2)求三棱锥D－PAC的体积；
6
(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．
D
C6
8
A
B
P
VDPAC VPDAC VP ABC VCPAB
由（1）知平面 DA 平面 PAB ，且AD//BC
∴ BC 平面PAB
向量法：
设 m 是平面 的一个法向量，直线AB 与平面 所成的角为 ，则：
sin | cos AB，m |
B
A
O
求二面角
PA PB
P
平面PAB∩ l M
A
B M
l
则∠AMB为二面角 l 的平面角.
二面角的两个面的法向量的夹角与二面 角的大小相等或互补 .
(06’广东,3)如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC
为PC、CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD⊥平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于
30°,求k的取值范围.
z
k 2 15 15
y
x
（11湖北18）如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧 棱CC1上，且不与点C重合．
（Ⅰ）当CF＝1时，求证：EF⊥ A1C
（Ⅱ）设二面角 C AF E 的大小为
，求 tan 的最小值．
(05’广东16)在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6,
PC=AB=10，AC=8，PB 2 34, F是线段PB上一 点，CF 15 34. 点E在线段AB上，且EF⊥PB． （Ⅰ）证1明7 ：PB⊥平面CEF；
（Ⅱ）求二面角B-CE-F的正切值．5
VC PAB
1 3
SPAB
BC
1 3
1 2
PA
AB sin PAB
BC
1 1 2 3 1 3
6
2
6
作业
【2012广州一模理】18.如图5所示，在三棱锥
P-ABC中， AB BC 6 ，平面 PAC 平面ABC，
PD AC 于点D，AD=1,CD=3，PD 3
（1）证明△PBC为直角三角形； （2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
E
证明BC 平面PAC
6
作BCEE AP A
B
2
C
∵EC是BE在平面PAC内的射影，BCEE AP
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
三垂线法作二面角的步骤：
1.过点A作面BCD的垂线段AO； A
2.过垂足O作交线BC的垂线OM；
3.连接AM。
B
D
O M
C
(08’天津,3)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.
(09’广东,3)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱
C1D1，AA1的中点．设点E1，G1分别是点E，G在
平面DCC1D1内的正投影．
z
(2)证明:直线FG1⊥平面FEE1； D1
F
C1
(角3)的求正异弦面值直.线E3 1G1与EA所成A1
(1)求证：BE⊥平面ADE，并求AB与平面ADE 所成的角的大小；
(2)求BD与平面CDE所成角的正弦值.
(1)在矩形ABCD中，连接BE，
因为AB=2AD，E为CD的中点， 所以AD=DE，∠EAB=45°， 从而∠EBA=45°，故AE⊥EB. 过D作DO⊥AE于O. 因为平面ADE⊥平面 ABCE， 所以DO⊥平面ABCE，所以DO⊥BE. 又AE∩DO=O，所以BE⊥平面ADE. 可知AE为AB在平面ADE上的射影， 从而∠BAE为AB与平面ADE所成的角,大小
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角M-AC-B的余弦值； 21 （Ⅲ）求三棱锥P-MAC的体积； 7
VPMAC
VAPCM
VAMNC
VM ACN
1 1 AC CN sin1200 MN 32
3 12
例：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2， E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面 ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE。
(0, 0 3 ) P z 2
(0,
1 2
,
0)
A
( 3 , 0, 0) B
2
x
F O
E
y
(0D, 3 , 0)
C
2
(06’陕西)如图， , l, A , B ,
点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.
已知 AB 2, AA1 1, BB1 2. 求：
((II)I直)二线面A角B分A1别-A与B-平B1面的45余°,弦 值所.成3角0°的大小；
是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
①求二面角B—AD—F的大小；45°
②求直线BD与EF所成的角的余弦值. 82
z
10
(0, 0, 8)D o1 E (3, 3,8)
Cy
(0, 0, 0) A
o
(6,0,0)B x
F
(6, 6, 0)
（06’安徽）P是边长为1的正六边形ABCDEF所在 平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF 的中点O. (Ⅰ)证明PA⊥BF； (Ⅱ)求面APB与面DPB所成二面角的大小.P Nhomakorabea3
用向量法但不用建系!
A
F E
B C
【12辽宁理18】 如图，直三棱柱 ABC A/B/C/ ，
BAC 90 ，AB AC AA/ , 点M，N分别为 A/ B 和 B/C/ 的中点。
(Ⅰ)证明：MN∥平面 A/ ACC/
(Ⅱ)若二面角 A/ MN C
为直二面角，求 的值。
= 2
(2009·广州一模理)如下图，在三棱锥P－ ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，D，E， F分别是棱PA，PB，PC的中点，连接DE， DF，EF.
(1)求证：平面DEF∥平面ABC；
(2)若PA＝BC＝2，当三棱锥P－ABC的体积 最大时，求二面角A－EF－D
的平面角的余弦值。
(1)求证：平面DEF∥平面ABC； (1)[证明] ∵D，E分别是棱PA，PB的中点， ∴DE是△PAB的中位线． ∴DE∥AB. ∵DE ⊄ 平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴DE∥平面ABC.
2BM MN
3
则BMN arccos 6 . 3
（11广东理18）如图5．在椎体P-ABCD中，
ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=600.
PA PD 2 ,PB=2,E,F分别是BC,PC
的中点．
（1） 证， 明：AD 平面DEF;
（2） 求二面角 P
P-AD-B的余弦值．
F
21 7
又 CD =(2 2 ,- 2 ,2)，CE =( 2 ,- 2 ,0)，
则
n·CD
=2 2 x-
2
y+
2
z=0 ，得
z=-x
n·CE = 2 x- 2 y=0
y=x.
取x=1，得n=(1,1,-1).
又DB =(- 2 ,2 2 ,- 2 )，
cos〈n,
DB 〉= 1(
2) 1 2 2 (1) ( 32 3
角形，AB=BC=2,CD=SD=1.
,（Ⅰ）证明： SD 平面SAB （Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的正弦值．
S
D
C
A
B
（09四川•理•19题）如图，四边形PCBM是直 角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1， BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC， 直线AM与直线PC所成的角为60°.
D1 A1
C1 B1
D A
M
E
C F B
(10’广东,3) AEC 是半径为a的半圆，AC为直径，
E点为 AC 的中点, 点B和点C为线段AD的三等分点,
平面AEC外一点F 满足FB FD 5a, EF 6a.
((求21))平证 已面明 知BQ：E,RED为B与⊥线平F段面DF;REQ,FDB所上成的二点面，F角Q的 23正F弦E,值FR。223