工程力学附录II1-讲义

dA d d
zC
Sy A
4R
3
y
5
组合图形的静矩与形心
(1) 当平面图形是由若干个简单图形（如圆形、矩形等）组成 的，由静矩的定义可知，各组合部分对于某一轴的静矩的 代数和，等于该平面图形对于同一轴的静矩。
(2) 由于简单图形的面积和形心位置均为已知，因此可得到方 便地计算由 n 个简单图形组成的组合图形的静矩。
若以 表示 dA 到坐标原点 O 的距离，定义平面图形对坐标
原点的极惯性矩为
Ip
2dA
A
(II.9)
z dA
极惯性矩也称为二次极矩 (second polar moment of an area)。
z
A
惯性矩的单位：m4，mm4
Oy
y
注意：极惯性矩恒为“+”。
Ip I y Iz (II.10)
yC
A
A
(6.30) zdA
zC
A
A
yC
Sz A
zC
Sy A
(II.2)
Sz AyC Sy AzC (II.3)
z zC O
若已知横截面面积 A 和形心坐标 yC ， zC 时，就可按上式方便地求得此截面 对 y 轴和 z 轴的静矩。
dA C A
yC y
y
静矩与形心的关系
(1) 平面图形对某一轴的静矩若为零，该轴通过此图形的形心。
Iy
z2dA
A
2 0
R ( sin )2 dd
0
d
y
R4 D4
4 64
Iz
( II.6 )
Iy
R4
4
D4
64
( II.11)
I yz 0
(2) 求极惯性矩
( II.10)
Ip Iy
Iz
R4
2
D4
32
( II.9 )
Ip
2dA
A
2
R 2dd
00
2 R 3d 0
z cot b
dy
2
2
h
h
2 h
2
z2dz( y
z cot b
)2
z cot b 2
b
h
2 h
2
z2dz
b1 3
z3
2 h
2
bh3 12
O
y
b
z ( y b ) tan 2
13
(II.6)
Iz
y2dA
A
h
2 h
z cot b
dz
2 z cot b
y 2dy
2
2
h
2 h
惯性矩的关系、惯性积的关系，说明惯性矩和惯性积
是一个二阶张量；
(3) 用类比的方法得出主惯性轴、主惯性矩的概念及计算
方法。
2
附录II 平面图形的几何性质
§II.1 静矩 形心
静矩 (static moment)
平面图形对 y 轴的静矩：
z
dA
Sy A zdA (II.1.a)
z
A
平面图形对 z 轴的静矩：
1
1 sin 2
b
z ( y b ) tan 2
1
3b
cot 2
1
z3
h 2
3
3 h 2
b3 4
z
h
2 h
2
bh3 (cot 2 1) bh3
12
12
14
例题II.4 计算半径为 R 的圆形对其形心轴的惯性矩、惯性积和
对圆心的极惯性矩。
z
解
d
(1) 求惯性矩和惯性积
(II.6)
Sz
ydA
A
(II.1.b)
静矩也称为一次轴矩 或面积矩
O
y
y
(first moment of an area)。
静矩单位：m3, mm3
注意：平面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。静矩的数值
“+、-、0”。
3
形心 (centroid of an area)
z
平面图形几何形状的中心称为形心。
(6.30) ydA
(2) 平面图形对于通过其形心的轴的静矩必为零。 例题II4.1
例题II.1
试求图示半圆形的形心坐标，已知 半径为 R 。
解
z 轴是对称轴， 所以 yC = 0 求 zC ：
Sy A z dA
z
C d
zC
d
O
z sin
A ( sin )(d d)
R 2 sin d d
00
2 R3 3
R2
2
0.792 2
m2
0.98m2
z
I
C
zC
II R
O
h
y
4R
zCII 3 0.335m（参见例题II源自1）则 zC 0.734m
由对称性得到
yC 0
7
§II.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积
II.2.1 惯性矩
z
惯性矩 (moment of inertia)
平面图形对 y 轴的惯性矩：
10
II.2.3 惯性积
惯性积 (product of inertia)
任意平面图形，定义平面图形对 y，z 轴的惯性积为
I yz
yzdA
A
(II.11)
惯性积的单位： m4，mm4
z z
dA A
Oy
y
注意：惯性积的数值可为“+，-，0”。
当 y, z 轴中有一个是图形的对称轴时，图形对这一对轴的惯 性积恒为零。
对正交坐标轴的惯性积等于各部分对该对坐标轴的惯性积的
代数和。
n
I yz I yzi i 1
(II.12)
外径 内径
圆环对形心轴的惯性矩 圆环对圆心的极惯性矩
Iy
Iz
64
(D4
d4)
D4
64
(1 4 )
Ip
D4
32
(1 4 )
d
D
16
将惯性矩写成面积 A 与某一长度平方乘积的形式
I y Aiy2
iy
Iy A
I z A iz2
iz
Iz A
(II.7) (II.8)
iy 称为图形对 y 轴的惯性半径 iz 称为图形对 z 轴的惯性半径
9
II.2.2 极惯性矩
极惯性矩 (second polar moment of an area)
1
附录II 平面图形的几何性质
杆件的横截面是平面图形，而平面图形的几何性质与杆 件的强度、刚度和稳定性密切相关。 平面图形的几何性质，包括面积、静矩、惯性矩、极惯 性矩和惯性积。
本章主要内容：
(1) 介绍静矩、惯性矩、极惯性矩和惯性积等平面图形的
几何性质；
(2) 推导平行移轴公式和转轴公式，得到不同坐标轴之间
附录II 平面图形的几何性质
II.1 静矩和形心 II.2 惯性矩 极惯性矩 惯性积
II.2.1 惯性矩 II.2.2 极惯性矩 II.2.3 惯性积 II.3 平行移轴公式 II.4 转轴公式、主惯性轴与主惯性矩 II.4.1 转轴公式 II.4.2 主惯性轴和主惯性矩
1学时
作业 II.3 II.6 II.8 II.9
z
A
I y A z2dA (II.6.a)
平面图形对 z 轴的惯性矩： Iz A y2dA (II.6.b)
O
y
惯性矩也称为二次轴矩 (second moment of an area)。
dA y
惯性矩的单位：m4，mm4
注意：平面图形对不同的坐标轴惯性矩是不同的，但惯性
矩的数值恒为“+”。
8
惯性半径 (radius of gyration)
n
Sy Ai zCi
n
Sz Ai yCi
(II.4)
i1
i1
(3) 将式 (II.4) 代入式 (II.2) 中，可得到计算组合图形形心坐
标的公式：
n
Ai yCi
yC
i1 n
Ai
i1
n
Ai zCi
zC
i1 n
Ai
i1
(II.5)
例题II.2 6
例题II.2
图示拱形截面，z 为对称轴，b
2
(1 3
y3
z cot b 2
)
z cot b
dz
2
h
h
2 h
2
1 3
(z
cot
b )3 2
1 3
(z
cot
b 2
)3
dz
z ( y b ) tan 2
z
O
y
1
3
h
2 h
2
6(
z
cot
)
2
(
b 2
)
2(
b 2
)3
dz
1
3
h
2 h
2
(3bz 2
cot 2
b3 4
)
dz
cot 2
= 1.15m ， h = 2.14m ，R = 0.79
m ，试确定形心位置。
b
解
拱形截面可看作是矩形 I 内挖去 半圆形 II ，因而采用负面积法， 求 zC 。
zC
AI zCI AIIzCII AI AII
AI bh 1.15m 2.14m 2.46m2
zCI
b 2
0.575m
AII
11
例题II.3
计算如图所示矩形对其对称轴 y 和 z 的惯性 矩和惯性积。
h
解
(II.6)
h
Iy
z2dA
A
2 h
2
b
2 b
z 2dydz
2
bh3 12
(II.6)
h
Iz
y2dA
A
2 h
2
b
2 b
y 2dydz
2
hb3 12
由于 y，z 轴是对称轴，所以 I yz 0
z
dA
O
y
b
12
思考题
z
若图形为平行四边形，如图所示，则
它对 y 轴的惯性矩仍为
Iy
bh3 12
z ( y b ) tan
h
2
请考虑，它对 z 轴的惯性矩是否仍为
Iz
hb3 12
hb3
hb3
Iz 12sin 2 12
解答： (II.6)
Iy
z2dA
A
h
2 h
z 2dz
z cot b 2
2 4 R R4 D4
4 0 2 32 15
组合图形的惯性矩
当一个平面图形是由若干简单图形组成时，组合图形对某一
轴的惯性矩等于各部分对该轴的惯性矩的代数和。
n
I y I yi i 1
n
I z I zi i 1
(II.12)
组合图形的惯性积
当一个平面图形是由若干简单图形组成时，组合图形对某一