优化概述

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( 0) (1)
( 2) (k ) , X ,... X ,...
(0) s (0)
X ( 0)
X (1)
X ( 2)
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ⅰ）迭代公式:
X ( k 1) X ( k ) ( k ) S ( k )
(k ) 其中, X , k 1,2,... 称为迭代点.
例: 1 2 X ( 0 ) , S ( 0 ) , ( 0 ) 3 1 1 1 2 7 X (1) 3 . 1 1 2
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第一章 最优化设计概论
一.引例
二.设计变量
三.目标函数和等值线
四.约束条件
五.最优化设计的数学模型
六.优化计算的迭代方法
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一. 引例
3 m 1. 要用薄钢板制造一体积为5 的长方形汽车货箱(无上盖),
其长度要求不超过 4m. 问如何设计可使耗用的钢板表面积 最小? 解: 设货箱的长、宽、高分别为 x1, x2 , x3，该问题可表示为： 求 x1, x2 , x3 使 f ( x1, x2 , x3 ) x1x2 2( x2 x3 x1x3 ) 达到最小 满足于 g 4 x 0
x1
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四.约束条件
—对设计变量的取值范围加以限制的条件；
1.分类 (1) 按约束的数学形式分 不等式约束：gu ( X ) 0,u1,2,..., p 等式约束： hv ( X ) 0,v1,2,...,q
为使问题有解，须使
n q.
(2)按约束的作用分 边界约束 ---对某个设计变量直接给出取值范围: x1 4 0 性能约束 ---由需满足的某种性能条件而导出的约束(如

0.4 5

T
f3 1.2669
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六.优化计算的迭代方法
1.求解数学模型的方法 1)解析法---对简单的无约束问题及等式约束问题;
2)图解法 ---对简单的低维问题; 3)数值迭代法 ---利用计算机按某种逻辑方式反复 运算,是最基本的方法. 2.迭代过程 产生点列: X , X (0) (1) ( 2) (k ) f ( X ) f ( X ) f ( X ) ... f ( X ) ... 使得: 当满足终止迭代条件时,便认为达到了最优点.
x2
ⅱ）需解决的问题：
1. 初始点: 2. 搜索方向: 3. 步长:
X ( 0) S (k )
(k )
o
x1
4. 是否终止迭代. --后三个问题是每次迭代都要解决的问题
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3.算法的收敛性和收敛准则
1)算法的收敛性
若由某迭代算法计算得 到的近似解系列 X ( k ) , k 0,1,2,..... 有极限 lim X ( k ) X * , 这里X *为精确解, 则称该迭代算法是
非线性规划的基本定理 , 奠定了非线性规划的理论基础 .
其求解方法在六十年代获得飞速发展;
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3) 二十世纪六十年代 . 美数学家 R.J.Duffin 提出了几 何规划, 可把高度非线性的问题转化为具有线性约束的 问题来求解, 使计算大为简化;
4) 动态规划由 R.Bellman 创立, 可解与时间有关的最优 化问题; 5) 混合离散规划是二十世纪八十年代提出的,目前仍在发
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二.设计变量
1.设计变量 —在设计中需进行优选的独立的待求参数；
*ⅰ)设计常量—预先已给定的参数； ⅱ)设计方案—由设计常量和设计变量组成。 ⅲ)维 数—设计变量的个数n.
通常, n ,设计自由度 , 越能获得理想的结果,但求解难度 .
n 10 小型问题 n 11 50 中型问题 n 50 大型问题
ⅱ）绝对下降量准则
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 3 ( f ( X ( k 1) ) 1 时适用)
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（2）基于极值存在条件的收敛准则
① 梯度准则
ⅰ）梯度
梯度是由函数各个一阶偏导数组成的矢量：
f f ( X ) x1 f x2 f ... xn
强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等）。 *此外，也有将约束分成显约束和隐约束的。
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2.可行域与不可行域 (1)可行域 —满足约束条件的设计点的集合 用D表示: X D Rn x2 D (2)不可行域: D
*ⅰ)可行点与不可行点
O
X

x1
D内的设计点为可行点,否则为不可行点.
2 g3 ( X ) x12 x2 40
1 2
3
h( X ) x2 0.5x1 0
f
X1
1)无约束最优解 X 1 2 2 f1 0
T
2)约束最优解 X
2

2
2

T
3)加入等式约束时的最优 解
f 2 2( 2 2) 2 0.68629 X 3 0.8 5
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2.设计空间
ⅰ)设计点与设计向量—每组设计变量值对应于以n个设计变
量为坐标轴的n维空间上的一个点，该点称设计点. 原点到 该点的向量称设计向量.
*设计点有连续与不连续之分;
T *可用数组表示：X [ x1 x2 ... xn ]
ⅱ)设计空间—设计点的集合（ n 维实欧氏空间 X R n ）。 •当设计点连续时, R1 为直线; R 2 为平面;R 3 为立体空间;
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三.最优化方法的发展概况
---是适于生产建设、计划管理、科学实验和战争的需要发展起来的。
1 ）二十世纪三十年代 . 前苏联 Кант. 在
第二次世界大战期间出于战争运输需要，提出线性规划 问题的解法； 2）二十世纪五十年代末. H.W.Kuhn & A.W.Tucker提出
f ( X * ) min f ( X )
X D Rn
满足于 g u ( X ) 0
u 1,2,..., p
v 1,2,...,q
hv ( X ) 0
• 1)按约束函数和目标函数的次数可分成线性规划、非线性规 划。二次规划是非线性规划的一种特殊情况。 2) 按约束条件的数学形式可分成 IP 型问题 (Problem with inequality constraint) 、 EP 型问题 (Problem with equality constraint) 和 GP 型问题 ( 既含不等式约束也含等式约束的一般 优化问题)。 注意 : 最优解包括两部分
X 2 X 1 (2 3) 2 (1 5) 2 17
X ( k 1) X ( k ) 1 (预先给定的足够小的正 数) 即
( xi(k 1) xi(k ) )2 1.
i 1
② 目标函数下降量准则 ⅰ）相对下降量准则
f ( X ( k 1) ) f ( X ( k ) ) 2 ( f ( X ( k 1) ) 1 时适用 ) ( k 1) f (X )
T
l1 l2 l3 l4 0 l1 l2 l3 l4 0 l1 l10 0
A1
A2
4
min
求解结果:
l1 25.53377 l2 65.01181 l4 95.36969 0 min 44.02305
2 2 2 2 (l2 l1 ) 2 l4 l3 (l2 l1 ) 2 l4 l3 arccos arccos 0 2(l2 l1 )l4 2(l2 l1 )l4 180 2 2 l12 l2 2l3 sin 2 ( / 2) cos 0 2 l2 l12
机械优化设计
黄清世 8601660
长江大学机械工程学院
绪
论
一. 机械的设计方法
二. 优化设计方法简介
三. 最优化方法的发展概况
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绪
一.机械的设计方法
论
一)机械的传统设计方法
---基于手工劳动或简易计算工具 低效,一般只能获得一个可行的设计方案.
二)机械的现代优化设计方法
---基于计算机的应用 设计过程--- ① 从实际问题中抽象出数学模型; ② 选择合适的优化方法求解数学模型. 特
R n (n 4) 为超越空间.
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三.目标函数和等值线
—数学模型中用来评价设计方案优劣的函 1.目标函数 数式 (又称评价函数): f ( X ) f ( x1, x2 ,...xn ) ①常用指标: 最好的性能; 最小的重量; 最紧凑的外形; 最小的生产成本; 最大的经济效益等.
1 1
g 2 x1 0 g 3 x2 0 g 4 x3 0 h1 x1 x2 x3 5
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x3
其解为：
x1 2.154351 , x2 2.154525 , x3 1.077214
x1
x2
f 13.92477
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0 l 100 mm , 32 , k 1.25. 2. 设计一曲柄摇杆机构. 已知: 3
展过程中.
* 最优化方法用于机械设计是从二十世纪六十年代开始的, 较早的成果主要反映在机构的优化设计方面 , 现已广泛用 于机械零部件设计和机械系统的优化设计.
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最优化设计的主要内容
一）最优化设计概论 二）无约束优化方法
三）线性规划方法
四）约束优化方法
五）多目标优化方法
六）混合离散规划 七）机械优化设计实例
k


收敛的.
2)算法的收敛速度
一般根据算法对正定二次函数的求解能力来判 断，能在有限步迭代中得到其极小点，称算法具有 二次收敛性。具有二次收敛性的算法是收敛速度较 高的方法。
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3）收敛准则
(1) 基于迭代信息的收敛准则
① 点距准则
n
3 X 1 , 5
2 X2 1
ⅱ)边界点与内点
约束边界上的可行点为边界点,其余可行点为内点.
ⅲ)起作用的约束与不起作用的约束
满足 gu ( X * ) 0 的约束为起作用约束,否则为不起 作用的约束.(等式约束一定是起作用约束)
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五.最优化设计的数学模型
求
使
* * T X * [ x1* x2 ... xn ]
要求: l1 l10 20mm, 使 min 达到最大. 解：由 k 1.25, 有
k 1 180 200 k 1
0
B1

O1
B2
2

3
O2
1
该问题可表示为 求 l1, l2 , l4 2 2 2 使 min cos l2 l3 (l4 l1 ) m in 2l2l3 满足于 l1 l2 l3 l4 0
最优点 : X
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x1
x2
...
T xn

最优值 : f f ( X )
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例:求解二维问题
min f ( X ) ( x1 2) 2 ( x2 2) 2
X2
s.t. g1 ( X ) x1 0
g 2 ( X ) x2 0
②单目标和多目标；
③常处理为极小化形式; ---对极大化问题可取原函数的负值
2.等值线（面）—能使目标函数取某一定值的所有设计
点的集合;
如: f ( X ) ( x1 2) ( x2 1)
2 2
x2
f 0
f 1
f 4
(2,1)
—在无约束极小点处，等值线一般收缩一个点。
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点--- 以人机配合或自动搜索方式进行,能从 “所有的”可行方案中找出“最优的”设 3 计方案.
二.优化设计方法简介
1)古典方法: 微分法; 变分法. ---仅能解决简单的极值问题 2)现代方法: 数学规划方法 ---可求解包含等式约束和不等式约束
的复杂的优化问题.
有线性规划、非线性规划、几何规划、动态规 划和混合离散规划等。