江苏奥数夏令营——平面几何(教师版)6月25日精编版

2018年奥数夏令营讲义
——平面几何
目录
一、等差幂线定理 (2)
二、共边比例定理、分角张角 (8)
2.1 共边比例定理 (8)
2.2 分角定理 (11)
2.3 张角定理 (13)
三、Menelaus、Ceva、Pascal定理 (16)
3.1 梅涅劳斯（Menelaus）定理 (16)
3.2 赛瓦（Ceva)定理 (20)
3.3 Pascal定理 (24)
四、三角形五心 (29)
4.1 三角形的内心 (29)
4.2 三角形的外心 (32)
4.3 三角形的重心 (35)
4.4 三角形的垂心 (39)
4.5 三角形的旁心 (43)
五、等角共轭 (50)
5.1 等角共轭 (50)
5.2 等角共轭点 (51)
六、Simson 定理、托勒密、三弦定理 (63)
6.1 Simson 定理 (63)
6.2 Ptolemy 定理 (66)
6.3 三弦定理 (71)
七、Stewart 定理 (74)
八、欧拉定理、欧拉线、欧拉圆 (79)
九、圆幂定理、根轴、根心 (87)
十、内外角平分线定理、线段的“分割比”、阿波罗尼斯圆 (104)
十一、调和点列、线束 (109)
十二、顾冬华20题 (118)
注：第81题、第104题、第124题为同一题，分别由三位老师提供，诠释角度不同，故仍然顺应内容重复编排在内，方便备课.
1
2
一、等差幂线定理
1. 如图，点P 为ABC △内部一点，PL PM PN 、、分别垂直于BC CA AB 、、，且AM AN =，
BN BL =.
求证：CL CM =.
B
【证明】由定差幂线定理 PN AB ⊥⇔2222PA PB NA NB -=-； PL BC ⊥⇔2222PB PC LB LC -=-；
PM CA ⊥2222PC PA MC MA ⇔-=-.
上述三式相加，结合AM AN =及BN
BL =，得CL CM =.
2. 在正方形对角线上一点(不与
重合)，. 求证：
【证明】
则
C
D F
3
4
3. 在
中，. 求证：和边上的中线和互相垂直.
【证明】连接
， 得
4. 如图，在ABC △中，CD AB ⊥，BE AC ⊥，D 、E 是垂足，
CD 与BE 交于点H . 证明：AH BC ⊥. A
B
C D
H E
证明：在凹四边形ACBH 中，由CH AB ⊥得2222AC BH BC AH +=+. 在凹四边形ABCH 中，由BH AC ⊥得2222AB CH BC AH +=+.
于是，在凹四边形ABHC 中，得到2222AB CH AC BH +=+，则AH BC ⊥. 由此题可得ABC △垂线H 的一个性质：222222AB CH BC AH AC BH +=+=+.
A
B
C
D
E
5.在五边
形中
，为五边形内一点，
且
.
求证：.
A
B
C
【证明】连接延长交，
由，得：
两式相减：
即：由凹四边形得：.
6.如图，在四边形ABCD中，E和F是CD 和BC 上的点，AB=AD，DF
求证：
C
D
B
证明：在四边形ADEF中，由DF及定差幂线定理得，又因为AB=AD，B
A
C
D
E
P
Q
5
6
所以
，即，由
定差幂线定理知
7. 若点P 在ABC △三边BC 、CA 、AB 所在直线上的射影分别为X 、Y 、Z . 证明：自YZ 、ZX 、
XY 的中点分别向BC 、CA 、AB 所作的垂线共点.
B
证明：由三角形中线长公式，有2
2221()42
a m
b
c a =+-.
由DX BC '⊥，EY CA '⊥，FZ AB '⊥， 则
2222X B X C BD CD ''-=- 22211()24
BZ BY YZ =+-22211()24CY CZ YZ ⎡⎤
-+-⎢⎥⎣⎦
22221
()2
BY BZ CY CZ =+--. 同理， 2222221
()2Y C Y A CZ CX AZ AX ''-=+--
2222221
()2
Z A Z B AX AY BX BY ''-=+--.
以上三式相加，得
222222X B X C Y C Y A Z A Z B ''''''-+-+- 2222
22
1
(
)2
XC XB
YA YC ZB ZA =-+-+-. 因为
，由定差幂线定理可得：
以上三式相加得
所以222222X B X C Y C Y A Z A Z
B ''
''''-+-+-=0（*） 设
与
交于M 点，则由定差幂线定理可得
代入（*）得
即
所以M 在过引AB 的垂线上，
所以
、
、
三线共点.
8.以锐角△ABC的一边AC为直径作圆，分别与AB、BC交于点K、L，CK、AL分别与△ABC的
外接圆交于点F、D(F≠C，D≠A)，E为劣弧AC上一点，BE与AC交于点N. 若AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF2.
求证：KNB BNL
=
∠∠.
证明如图，由于以AC为直径的圆分别与AB、BC交于点K，L，则CK AB
⊥，AL BC
⊥.
设CK与AL交于点H，则H为ABC
△的垂心，故点H与F关于AB对称，点H与D关于BC对称. 从而，AF AH
==.
=，CD CH
=，BD BH BF
由222222
++=++，有
AF BD CE AE CD BF
2222
AH CE AE CH
+=+.
即2222
-=-. 由定差幂线定理知，HE AC
AH CH AE CE
⊥.
又注意到H为垂心，有BH AC
⊥. 故知B、H、E三点共线.
因为N为边AC与BH的交点，则BN AC
∠∠.
=
⊥. 故KNB BNL
7
8
二、共边比例定理、分角张角
2.1 共边比例定理
9. 如图，ABC △中，DE BC ∥，BE 、CD 交于P . 求证：直线AP 平分BC 和DE .
E
P
D
C B
A
【证明】设直线AP 分别交BC 、DE 于M 、H .
由共边定理，得ACP BCP S AD BD S =△△，ABP
CBP S AE CE S =△△，而DE BC ∥，则AD AE BD CE =
， 所以
ACP ABP
BCP CBP
S S S S =
△△△△，则ACP ABP S S =△△. 又由共边定理，得
BAP
CAP S BM CM S =△△，所以1BM CM
=，即BM CM =，所以M 是BC 的中点.
又易知BPD CPE S S =△△，则DAP EAP S S =△△. 由共边定理，得
1DAP
EAP
S DH HE S ==△△，则DH HE =，所以H 是DE 的中点. 故直线AP 平分BC 和DE .
M
H E P
D
C
B
A
9
10. 过圆外一点P 引圆的两条切线和一条割线
，在
上取一点使
. 求证：
.
【证明】设
由共边比例定理，得：
（
的高）
又
得
连接
，
. .
，
. 11. 在
内任取一点P ，连结P A 、PB 、PC 分别交对边于X 、Y 、Z 点. 求证：
A
B
证明：由共边比例定理知：
10
12. 已知O 是ABC △的内切圆，D 、E 、N 分别为AB 、AC 、BC 上的切点，连结NO 并延长
交DE 于点K ，连结AK 并延长交BC 于点M . 求证：M 是BC 的中点.
A
B
C
证明:如图，联结OD ，OE ，由O 、D 、B 、N 及O 、N 、C 、E 分别四点共圆有KOD B ∠∠=，KOE C ∠=∠.
由共边比例定理，有sin sin ODK OKE S DK OD OK DOK KE S OE OK KOE ⋅⋅∠==⋅⋅∠△△sin sin sin sin DOK B AC
KOE C AB ∠===
∠， 及
sin sin ADK AEK S DK DAK
KE S EAK
∠==
∠△△. 于是，
sin sin ABM ACM S BM AB BAM
MC S AC CAM ⋅∠==⋅∠△△sin sin AB DAK AC EAK ⋅∠=⋅∠AB DK AC KE =⋅1AB AC AC AB
=⋅=. 故M 是BC 的中点.
B
C
2.2 分角定理
13. 在等腰△ABC 中，∠A ＜90°，从边AB 上点D 引AB 的垂线，交边AC 于E ，交边BC 的延长线
于F .
求证：AD =CF 当且仅当△ADE 面积是△CEF 面积的两倍.
A
B
C
F
【证明】
连接BE ，则EA 外分BED ∠.
设βα=∠=∠AEB AED ,，作BC EM ⊥. 由分角定理得：
BE DE
AB AD :sin sin =βα
①
在BEF ∆中，EC 内分BEF ∠，由分角定理得：
BE
EF
BC CF :sin sin =βα
②
由①=②且CF AD =，得EF AB
BC
DE ⋅=. 设θ=∠ABC ，在等腰ABC ∆中，有θcos 2=AB
BC
. ∴θcos 2⋅=EF DE ，∴EM DE 2=，∴CEF ADE S S ∆∆=2.
以上过程均可逆.
14. 设△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，4BD DC =，已知圆过点C 与AC 交于F ，与AB
相切于AB 的中点G . 求证：AD BF ⊥.
【证明】设α=∠BAD ，β=∠ABF ，γ=∠DAC . 在ABC ∆中，AD 内分BAC ∠，则：
AB
AC
AC AB DC BD 4:sin sin ==γα. 又ααπ
γcos )2
sin(
sin =-=，∴AB
AC
4tan =
α. 又在ABF Rt ∆中，AB AF
=βtan . ∴2
4tan tan AB AF
AC ⋅⋅=⋅βα，又AG AB 2=，
∴AC AF AG AB ⋅==4422（切割线定理）
∴1tan tan =⋅βα，从而2
π
βα=
+，.BF AD ⊥∴
15. △ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB =AC . 以AB 为一边作△ABD ，且AD =BD .若∠
ADC =15°，求证：△ABD 是等边三角形.
D
B
A
证明：设.
在
中，在AB 边上用分角定理可得：
在
中，在AB 边上用分角定理可得：
所以
解得
，所以ABD 是等边三角形
2.3 张角定理
16. 已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，任作一直线顺次交AM AC AB ,,于N Q P ,,. 求
证：
AQ
AC AN AM AP AB ,,成等差数列.
【证明】令θβα=∠=∠=∠AMB MAC BAM ,,. 以A 为视点，分别对Q N P ,,及C M B ,,应用张角定理，有
AQ
AP AN α
ββαsin sin )sin(+=+，
①
AC AB AM α
ββαsin sin )sin(+=+. ②
又在ABM ∆和AMC ∆中，由正弦定理，有
MC AC MB AB β
θαθsin sin ,sin sin ==.
由已知MC MB =，上述两式相除得AB
AC β
αsin sin =，于是②式可变为：
AC AB AM α
ββαsin 2sin 2)sin(==+，
即
sin()sin 2AB AM αββ+=
，sin()
sin 2AC AM αβα+=
.
代入①得，
).(21AQ AC AP AB AN AM +=
故AQ
AC AN AM AP AB ,,成等差数列.
17. 如图，在线段AB 上取内分点M ，使A M B M ≤，分别以MA ，MB 为边，在AB 的同侧作正方
形AMCD 和MBEF ，P 和Q 分别是这两个正方形的外接圆，两圆交于M ，N . 求证：B ，
C ，N 三点共线.
证明 连MD ，ME ，NE ，ND ，NM ，则90DNM ENM ==︒∠∠，则D ，N ，E 三点共线，注意454590DME =︒+︒=︒∠.
设DMN NEM α==∠∠，
P ，Q 的半径分别为1r ，2r ，
则M C ，2MB =，12cos MN r α=⋅= 22sin r α⋅. 对视点M ，考察点B ，
C ，N 所在的三角形△MBN
. 由
22sin sin sin 902sin CMB CMN MN MB r α︒+==∠∠
()
2111sin cos sin cos sin cos 2cos 2cos r r αααααα
α
α
+⋅-+
⋅=
=⋅
11cos sin 2r αα
+==sin 9045sin NMB
MC
︒+︒-=
=
∠.
由张角定理可知B ，C ，N 三点共线.
三、Menelaus 、Ceva 、Pascal 定理
3.1 梅涅劳斯（Menelaus ）定理
设直线l 与ABC ∆三边所在直线BC ，CA ，AB 分别交于点D ，E ，F ，则1=⋅⋅FB
AF
EA CE DC BD 反之，若三角形三边所在直线上三点使得上述等式成立，则该三点共线. 利用面积转换，可得出如下两个角元形式： 第一角元形式：
1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠FCB
ACF
EBA CBE DAC BAD
第二角元形式：
1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠FOB
AOF
EOA COE DOC BOD
（O 为不再三边所在直线上的任意一点）
18. AD 为锐角三角形ABC 的一条高，K 为AD 上任一点，BK 、CK 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、
F .
求证：∠EDK ＝∠FDK .
证明：过点A 作MN ∥BC ，与DE 、DF 的延长线分别交于点M 、N .
D
B
C
A
E F
K M
N
由于AF FB ·BD DC ·CE
EA
=1.
而AF FB ＝AN BD ，CE EA ＝DC AM . ⇒AN
AM ＝1⇒AN ＝AM ，即DA 是等腰三角形DMN 的底边上的高， 从而∠EDA ＝∠FDA .
D
B
C A
E
F
K
19. 在△ABC 中，AM 、AT 分别为BC 边上的中线与角平分线. TK ∥AC ，交AM 于K . 证明：AT ⊥CK .
证明：由CD 截△ABM ，有AD DB ·BC CM ·MK KA =1. 故AD DB ＝ 1 2·AK
KM
.
H
B
C
A
M T
K D
设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，则BT CT ＝c b ⇒BT ＝ac b ＋c ，CT ＝ab
b ＋
c .
MT ＝CM －CT ＝a 2－ab b ＋c ＝a (c －b )
2(b ＋c )
.
但TK ∥AC ⇒AK KM ＝CT TM ＝2b c －b ，⇒AD DB ＝b
c －b .
AD AB ＝AD AD ＋DB ＝b c ，即AD c ＝b
c ⇒AD ＝b ＝AC . 故证.
20. 如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 所在直线交于点E ，AD 与BC 所在直线交于点F ，BD 与EF
所在直线交于点H ，AC 与EF 所在直线交于点G . 求证：HE FG HF EG ⋅=⋅.
F
【解析】考虑AEF ∆被直线HBD 截，应用梅涅劳斯定理可知
1=⋅⋅DA
FD HF EH BE AB ① H
B
C A
M T
K
考虑AEG ∆被直线BCF 截，同理可得
1=⋅⋅CA
GC FG EF BE AB ②
考虑AGF ∆被直线ECD 截，同理可得1=⋅⋅DA
FD
EF GE CG AC ③ ②×③÷①可得1=⋅EH
HF
FG GE 所以原命题成立
21. 如图，已知ABC ∆的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，线段BE 、CF 分别与该内切
圆交于点P ，Q . 若直线FE 与BC 交于圆外一点R ，证明：P ，Q ，R 三点共线.
R
C
【析】考虑ABC ∆被直线EFR 截，应用梅涅劳斯定理可知
R
C
1=⋅⋅EA CE RC BR FB AF ，因为AF =AE 所以CE FB
RC BR =
，如图，设BE 与CF 交于点S ，则 EFC ∆~QEC ∆，FEB ∆~PFB ∆，SEQ ∆~SFP ∆
所以，
EQ
FP
SQ SP FB FE PB FP EF CE EQ CQ ===,,
考虑SBC ∆及三个点P ，Q ，R ，
RC BR QE CQ PB FP RC BR PB CQ EQ FP RC BR PB CQ SQ SP QS CQ RC BR PB SP ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅1=⋅⋅=CE
FB EF CE FB FE 由梅涅劳斯定理的逆定理可知，P ，Q ，R 三点共线.
22. 已知ABC △的内心为I ，外接圆圆心为O ，BC 中点为N ，NI 与AC 交于点P ，B 点相对的旁切
圆圆心为M ，MI 与圆O 交于点E ，过M 点的直线l 与AC 平行且与BC 所在直线交于点F . 求证：P ，E ，F 三点共线.
F
【析】如图，连结BI
，设MI 与AC 交于点D ，易知，B ，I ，D ，E ，M 五点共线.
因为MC 平分ACF ∠，所以MF =CF ， 且
DC BC
MF BF FC BF =
= 考虑BCD ∆被NIP 截，应用梅涅劳斯定理知1=⋅⋅IB
DI
PD CP NC BN
又因为BC CD BI DI =，所以1=⋅⋅BC CD PD CP NC BN . 所以CD BC
PD CP =
所以22CD BC PD CP FC BF =⋅. 又因为BCD ∆~AED ∆所以ED
AE
CD BC =，所以22DE AE PD CP FC BF =⋅. 而ABE ∆~DAE ∆，则AE
DE BE AE =
，所以BE DE AE ⋅=2
. 所以DE BE DE BE DE PD CP FC BF =⋅=⋅2，所以1=⋅⋅BE
DE PD CP FC BF .
所以由梅涅劳斯定理逆定理知，P ，E ，F 三点共线.
3.2 赛瓦（Ceva)定理
设点P 不在ABC ∆三边所在直线上，直线AP ，BP ，CP 分别与BC ，CA ，AB 交于点D ，E ，F ，则
1=⋅⋅FB
AF
EA CE DC BD ，反之，若三角形三边所在直线上的点使得上述等式成立，则AD ，BE ，CF 交于一点或互相平行.
Ceva 定理角元形式：为了方便，我们可以从某个角开始，把六个角顺时针（或逆时针）标记为1∠至
6∠，则
16
sin 5
sin 4sin 3sin 2sin 1sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠.
或者改为判断过ABC ∆的顶点的三条直线AX ，BY ，CZ 是否共点， 等价于
1sin sin sin sin sin sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠YBA
CBY
ZCB ACZ XAC BAX
23. 在ABC △中，已知40BAC ∠=，60ABC ∠=，
D ，
E 分别为边AC ，AB 上的点，且使40CBD ∠=，70BCE ∠=，
F 是BD 与CE 的交点，连结AF ，证明：AF BC ⊥.
【析】设,α=∠BAF 则α-=∠ 40CAF ，如图用角元.
Ceva 定理可知：120
sin 40sin 70sin 10sin )40sin(sin =⋅⋅-
αα 110
cos 10sin 220cos 20sin 270sin 10sin )40sin(sin =⋅⋅-⇒
αα 110
cos 20sin )40sin(sin =⋅-⇒ αα 10sin sin 2)40sin(αα=-⇒ )10cos()10cos()40sin( +--=-⇒ααα
)80sin()100sin()40sin(ααα---=-⇒
)40sin()100sin()80sin(ααα---=-⇒
)20sin(30sin )70cos(2αα+=-=
所以 302080=⇒+=-ααα
24. 在锐角ABC △中，AD 是A ∠的内角平分线，D 在边BC 上，过D 作DE AC ⊥，DF AB ⊥，垂
足分别为E ，F ，连结BE ，CF ，它们相交于点H ，求证：AH BC ⊥.
D A
B C 【析】过A 作BC AK ⊥于K 点，只须证：1=⋅
⋅EA CE KC BK FB AF 即可
由题意知K D F A ,,,四点共圆，则BK BD BA BF ⋅=⋅
K D E A ,,,四点共圆，则CA CE CD CK ⋅=⋅
所以
CA CE BA BF CK BK CD BD ⋅⋅=⋅又因为AD 平分BAC ∠ 所以AC AB CD BD =所以CE BF CK BK = 又因为AF =AE ，所以1=⋅⋅EA AF BF CE CK BK .
所以由赛瓦定理逆定理知原命题成立.
25. 四边形BCEF 内接于圆O ，其边CE 与BF 的延长线交于点A ，由点A 作圆O 的两条切线AP 和
AQ ，切点分别为P ，Q ，BE 与CF 的交点为H ，求证：P ，H ，Q 三点共线.
A
【析】考虑连结FQ ，QB ，只须说明H 是FBQ ∆的赛瓦点即可
设M CF BQ L BE FQ K PQ BF === ,,
则BQ PB FQ PF S S KB FK PBQ FPQ ⋅⋅==∆∆；CQ
FQ BC FB S S MQ BM FQC FBC ⋅⋅==∆∆； FB
EF QB EQ S S LF QL EFB EQB ⋅⋅==∆∆ 所以EF
BC CQ EQ PB PF LF QL MQ BM KB FK ⋅⋅=⋅⋅（*） 因为APF ∆~ABP ∆，AQE ∆~ACQ ∆，AFE ∆~ACB ∆
所以AF
AC EF BC AC AQ CQ EQ AB AP PB PF ===,,所以（*）可化为12=⋅AF AB AP （圆幂定理） 所以由赛瓦定理逆定理可知H 在PQ 上，所以P ，H ，Q 三点共线.
26. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，G 为AB 上给定的一点（G 不是线段AB 的中点）. 设D 为直线GC 上与C 、G 都不相同的任意一点，并且直线AD 、BC 交于E ，直线BD 、AC 交于F ，直线EF 、AB 交于H . 试证明交点H 与D 在直线CG 上的位置无关.
证明：设G 分线段AB 为定比λ1，H 分线段AB 为定比λ2. 下面证明λ2由λ1确定，即当A 、B 给定后，点H 的位置由点C 唯一确定.
在△ABC 中，由AE 、BF 、CG 交于一点D ，应用塞瓦定理，有
AG GB ·BE EC ·CF F A ＝1，即λ1·BE EC ·CF F A
＝1. (1) 对△ABC 及截线EFH ，应用梅涅劳斯定理，有
AH HB ·BE EC ·CF F A ＝1，即λ2·BE EC ·CF F A
＝－1， (2) (1)＋(2)，得(λ1＋λ2)BE EC ·CF F A
＝0. 从而λ1＋λ2＝0，即λ2＝－λ1，
故λ2由λ1唯一确定.
因此，点H 与D 在直线CG 上的位置无关.
3.3 Pascal 定理
圆O 上六点654321,,,,,A A A A A A ，则164365325421,,,,,A A A A A A A A A A A A 的交点X ，Y ，Z 共线.
考虑63ZA A ∆三顶点引出的直线5623,,A A ZX A A 与两边所成角的正弦值 4114545612412366536563232sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin XZA XZA A A A Z A A A A A A A A XZA XZA Z A A A A A A A A Z A A ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=∠∠⋅∠∠⋅∠∠（*） 定理（角元形式）
运用中，对点在Ceva X Z A A 41∆
1sin sin sin sin sin sin 14441141=∠⋅∠∠⋅∠∠A XA Z XA XZA XZA Z XA A XA 所以（*）为1，由Ceva 定理（角元形式）逆定理知原命题成立.
【注】结论与六个点在圆上的次序无关. 六个点中相邻两个点若重合，则对应两点连线变为该点的切线，从而六边形可以变为五边形或者四边形甚至三角形.
27. △ABC 内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过K ，P ，C
三点的圆Ω与边AC 交于点D ，连结BD 交圆Ω于点E ，连结PE 并延长与边AB 交于点F ，证明：2ABC FCB ∠=∠.
A
【析】设CF 与圆Ω交于点S
，考虑圆Ω上六点形KPEDCS ，由Pascal 定理可知B ，K ，S 三点共线.
设圆Ω与BC 交于点T ，连结KT ，则KBC ABC APC KPC KTC ∠=∠=∠=∠=∠2.
所以FCB SCB BKT KBC ∠=∠=∠=∠，所以FCB ABC ∠=∠2.
28. 如图，六点A ，B ，D ，E ，F ，C 在圆周上顺次排列，AB =AC ，AD 与BE 交于点P ，CD 与BF
交于点Q ，AF 与CE 交于点R ，AD 与BF 交于点S ，AF 与CD 交于点T ，在线段TS 上取一点K ，使得SKQ ACE ∠=∠. 求证：
SK PQ TK RQ
=.
A
【析】由Pascal 定理可知，P ，Q ，R 三点共线.
因为CFT AFB BDS FCT DBS ∠=∠=∠∠=∠,，所以BDS ∆~CFT ∆
. 所以QC
QB CF BD CT BS ==，所以BC //TS .
2
⋂
⋂+=
∠-∠=∠-∠=∠∴DE AB BCQ ACE STQ SKQ TQK APB ∠=， 同理，ARC SQK ∠=∠，所以APB TQ ARC SQ TQK TQ SQK SQ TK SK ∠∠=∠∠=sin sin sin sin 又因为
APR
ARP AR AP AB AP AR AC APB ABP ACR ARC APB ARC ∠∠==⋅=∠∠⋅∠∠=∠∠sin sin sin sin sin sin sin sin 所以RQ PQ RQ RTQ PSQ PQ TQ ARP APR SQ ST SK =∠⋅∠=∠⋅∠=sin sin sin sin
29. 如图，ABC △的外心为O ，CD 为高线，M 为边AC 的中点，射线DM 与以AD 为直径的圆Γ的
另一个交点为Y ，圆Γ与⊙O 的另一个交点为X ，直线DO 与AC 交于点Z . 证明：X ，Y ，Z 三点共线.
【析】设'Z
是XY ，AC 的交点，下面证明：D O Z ,,'共线即可.
设直线'XYZ 交圆O 于点L ，连结XD 并延长交圆O 于点P ，那么 90=∠=∠AXD AXP ，从而
P O A ,,三点共线，所以连结AOP ，因为'Z 是XY ，AC 的
交点，即XL 与AC 的交点，而延长CD 交圆O 于点G ，则D 点就是XP 和CG 的交点，此时考虑六点形CAPXLG ，只要能证明O 是AP 和LG 的交点即可由Pascal 定理证得. 所以下面证明：L ，O ，G 三点共线.
要证L ，O ，G 三点共线，只要证：BG LB ⊥
因为YDA YXA LXA LBA ∠=∠=∠=∠，所以LB //MD ，
所以只要证BG MD ⊥，这由DBG MCD MDC ∠=∠=∠可得. 证毕.
30.如图，过ABC
△的顶点A、B、C各作一直线使之交于一点P，而分别交△ABC的外接圆于点A'、B'、C'. 又在△ABC的外接圆上任取一点Q，证明：QA'、QB'、QC'与BC、CA、AB对应的交点X、Z、Y三点共线.
C'
B'
A'
Q P
Z Y
X C
B
A
证明：在圆内接六边形BCAA'QB'中，其三组对边BC与A'Q、CA与QB'、AA'与B'B的交点分别为X、Z、P.
由帕斯卡定理可知，P、X、Z三点共线.
在圆内接六边形CBAA'QC '中，其三组对边CB与A'Q、BA与QC '、AA'与C 'C的交点分别为X、Y、P.
由帕斯卡定理可知，P、Y、X三点共线. 故X、Z、Y三点共线.
31.如图，点P在△ABC的内部，P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，过点A分别作直
线BP、CP的垂线，垂足分别为M、N.
求证：ME、NF、BC三线共点.
N
M
P
F E
D C
B A
A
B C
D
E
F P
M
N
证明：由题设有∠AEP＝∠AFP＝∠AMP＝∠ANP＝90º.
从而，点A、N、F、P、E、M都在以AP为直径的圆上.
于是，对于圆内接六边形AFNPME，
它的三组对边AF与PM、FN与ME、NP与EA的交点分别为B、Q、C.
由帕斯卡定理可知，B、Q、C三点共线. 则点Q在直线BC上. 故ME、NF、BC三线共点.
四、三角形五心
4.1 三角形的内心
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心.
性质1：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.
性质2：设I 为ABC ∆内一点，AI 所在直线交ABC ∆的外接圆于D ，I 为ABC ∆内心的充要条件是：ID =DB =DC （鸡爪定理）
【证明】如图，必要性：连BI ，由DBI IBC CBD B A DIB ∠=∠+∠=∠+∠=
∠2
121 知ID =BD =DC
充分性：由DB =DC ，即知AD 平分.BAC ∠由DI =DB ，有DBI DIB =∠
即ABI IAB CBI DBC ∠+∠=∠+∠，而DBC IAC IAB ∠=∠=∠
从而IBA CBI ∠=∠，即BI 平分ABC ∠
故I 为ABC ∆的内心.
性质3：设I 为ABC ∆内一点，I ABC ∆的内心的充要条件是：IAB ICA IBC ∆∆∆,,的外心均在ABC ∆的外接圆上.
32. 已知，如图I 为ABC △的内心，过I 的BC 的垂线交ABC △的外接圆于P 、Q ，P A 、QA 交BC
于E 、F ，求证：A ，I ，E ，F 四点共圆.
【析】如图，连结AI 并延长交外接圆于S ，
交BC 边于K ，连结SP 并延长与BC 所在直线交于点J ，连结AJ ，IJ ，IE ，
由性质2可知SC =SI =SB ， 因为CPJ SAC A SCB ∠=∠=∠=∠2
1，所以SPC CPJ SCB SCJ ∠=∠-=∠-=∠ 180180. 那么易知SCP ∆~SJC ∆，所以SAP SCP KJS ∠=∠=∠且SJ SP SC ⋅=2，所以A ，K ，P ，J 四点共圆.
又因为SJ SP SC SI ⋅==22SIP ∆∴~SJI SIP SJI ∠=∠∴∆，
又因为KJP SAP ∠=∠，所以IPE IAP SIP SCP SIP KJS IJS IJB ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠. AP IJ BC IP ⊥∴⊥ ，所以E 为IPJ ∆的垂心，则
IAF QAS QPS IPJ IEB ∠=∠-=∠-=∠=∠ 180180
所以A ，I ，E ，F 四点共圆.
33. 已知：如图，O ，I 分别为ABC △的外心和内心，点B '为点B 关于OI 的对称点. 求证：过点,I B '
作BIB '△外接圆的切线，交点在AC 上.
【析】设'O 为'BIB ∆外接圆圆心，则'
O 在OI 上， 延长BI 交圆O 于M ，设'
MB 交AC 于E ，由例1
知''''2B IO IBB MIB MEI ∠=∠=∠=∠
所以，'
'
,,,B E O I 四点共圆，注意到'BB OI ⊥，MCE ∆~C MB '∆，于是
''''MCB OIB CEM EM O EC O ∠-∠=∠-∠=∠ 90''=∠-∠=B IB OIB
设过点I ，'
B 的圆'O 切线交点为D ，则I D B O ,,,'
'
四点共圆，从而I D B E O ,,,,'
'
五点共圆. 从而EC O D B O ED O ''''90∠==∠=∠
所以，D 在EC 上.
34. 已知圆O '内切圆O 于点D ，A 为大圆O 上任意一点，圆O 的弦AB ，AC 分别切圆O '于点E ，F ，
EF 交AO '于点I ，求证：I 为ABC △的内心.
【析】延长'AO 交圆O 于点M ，设α2=∠BAC ，圆'
,O O 的半径依次为R ，r ，由性质2（鸡爪定理）知，只要证明αsin 2R MB MI ==即可. 由圆幂定理知：2
'2222)(2OO R r R R r Rr -=--=-
)(''''IO IM AO M O AO -⋅=⋅=2'''''E O IM AO IO AO IM AO -⋅=⋅-⋅=2sin r MI r
-⋅=
α
整理得αsin 2R MI =
4.2 三角形的外心
三角形的外接圆的圆心简称为三角形的外心.
性质1：三角形的外心是三角形三条边的中垂线的交点.
性质2：三角形所在平面内的一点是其外心的充要条件是：该点到三顶点的距离相等
性质3：设O 为ABC ∆所在平面内的一点，则O 为ABC ∆的外心的充要条件是下述条件之一成立： （1）C AOB B AOC A BOC ∠=∠∠=∠∠=∠2,2,2 （2）A BOC OC OB ∠=∠=2,且
35. 设O 为ABC △的外心，连结AO 并延长交ABC △的外接圆于D ，BC 的延长线与过D 点的⊙O
的切线l 交于P ，直线PO 交AB 于N ，交AC 于M ，求证：OM =ON .
P
【析】过B 作PO 平行线交AD 于F ，交AC 于G ，作BC OE ⊥ 于E ，则O ，E
，P ，D 四点共圆. OPE FDE ∠=∠∴
FBE FDE FBE OPE PC PM ∠=∠∴∠=∠∴,// B D E F ,,,∴四点共圆，C BDA FEB ∠=∠=∠∴
CG FE //∴
因为E 为BC 中点，所以F 为BG 中点， 所以O 为MN 中点.
36. 设ABC △的外接圆O 上的劣弧BC 的中点为K ，优弧BC 的中点为S ，线段AK 与BC 边交于点
D ，点
E ，
F 分别为ACD △，ABD △的外心. 求证：A ，E ，O ，F ，S 五点共圆.
【析】如图，由题意知
S ，O ，K 三点共线，下面证明S ，E ，C 三点共线.
易知CK SC ⊥，
ECD KAC ECD KSC ECD DCK ∠+∠=∠+∠=∠+∠
90902
2180=∠-+∠=∠-+∠KAC KAC KAC
KAC
所以S ，E ，C 三点共线，同理S ，F ，B 三点共线. 设α=∠ADB ，
那么由F 是ABD ∆的外心可知α2360-=∠ BFA 在AOK ∆中，
αα2360)90(21802180-=--=∠-=∠ OKA AOK
在AEC ∆中，α23602-=∠=∠ ADC AEC 所以AEC AOK AFB ∠=∠=∠ 所以AES AOS AFS ∠=∠=∠ 所以结论得证.
37. 过B ，C 作ABC △的外接圆的切线交于D ，B 、B '关于AC 对称，
C 、C '关于AB 对称，O 是DB C ''△的外心，求证：AO BC ⊥.
D
【析】不妨设C B ∠≥∠，
ABC A ABC DBC DBC ∠-∠-=∠-∠-=∠23602360'
A C ∠+∠=2
同理可得A C DCB ∠+∠=∠2' 所以''DCB DBC ∠=∠
又因为DB =DC 且''BC CB CB == 所以''DCB DBC ∆≅∆，DC B BD C DB DC '
'
'
'
,∠=∠=∴ 所以BDC DB C ∠=∠''所以DBC ∆~''B DC ∆ 取DBC ∆的外心F ，则DFB ∆~'DOB ∆
由于OD C C DB DBC A AC C ''''222∠=∠=∠=∠=∠
所以AC C '∆~OD C '∆D CC O AC D OC C AC '
'
'
'
,∠=∠∴∠=∠∴
且'
'''DC
OC CC AC =所以AO C '∆~CD C '∆，所以FDC FBD D OC CD AO ∠=∠=∠=∠'
),( 所以AO //DF ，而BC DF ⊥，所以BC AO ⊥.
4.3 三角形的重心
三角形三条中线的交点称为三角形的重心.
性质1：设G 是ABC ∆的重心，连AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，AG :GD =2:1且
22224
1
)(21BC AC AB AD -+=
性质2：设G 为ABC ∆的重心，P 为ABC ∆内任一点，则 （1）22222223PG CG BG AG CP BP AP +++=++ （2）)(3
1
222222CA BC AB GC GB GA ++=
++
证明：（1）设D 为BC 边上的中点，则对APG ∆和DPG ∆分别应用余弦定理可得
AGP PG AG PG AG AP ∠⋅-+=cos 2222， DGP PG DG PG DG PD ∠⋅⋅-+=cos 2222
而DGP AGP DG AG ∠-=∠=cos cos ,2，于是，22222322PG DG AG PD AP ++=+ 又因为PD ，DG 分别是BPC ∆的BC 边，BGC ∆的BC 边上的中线，有
2222212BC PC PB PD -
+=，22222
1
2BC CG BG DG -+= 从而22222223PG CG BG AG CP BP AP +++=++ （3）
2222222241
)(2149,41)(2149AC BC AB BG BC AC AB AG -+=-+= 22224
1
)(2149AB AC BC CG -+=，此三式相加整理得 )(3
1
222222CA BC AB GC GB GA ++=++
38. 证明：以锐角三角形各边为直径作圆，从相对的顶点作切线，得到的六个切点共圆.
【析】如图，设ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，圆O 是以BC 为直径的圆，AT 切圆O 于T 点.
（由AO 垂直平分ST 可知目标圆圆心在AO 上，同理其他两组也在对应中线上，所以探究重心是可行的了）
连AO ，在AO 上取点G 使得AG =2GO ，则G 为ABC ∆的重心，连结OT ，GT ，由
,222
1
222a c b AO -+=
TOA OG OT OG OT TG ∠⋅⋅-+=cos 2222
及,31
,21,cos OA OG a OT OA OT TOA ===∠
有)(1812222c b a TG ++=为定值，同理其他五个切点到G 的距离的平方均为)(181
222c b a ++，
证毕.
39. 证明：任意三角形的垂心H 、重心G 和外心O 三点共线，且HG =2GO .
A
B
C
M
H G
O
法1：如图1，设M 为AB 中点，连结CM ，则G 在CM 上，且CG =2GM ，连结OM ，则OM 垂直平分AB ，延长OG 到'
H ，使得GO G H 2'=，连结'CH ，因为MGO CGH ∠=∠'，所以G CH '∆～
MOG ∆，从而OM CH //'，即AB CH ⊥'，同理，BC AH ⊥'，即'H 为垂心，命题得证.
法2：如图2，作出圆O ，连结AO 并延长交圆O 于点N ，连结NB ，NC ，BH ， HG ，GO ，因为AB CH AB NB ⊥⊥,，所以CH NB //，同理，BH NC //
所以四边形HBNC 是平行四边形. 所以CH =NB ，又因为OM 是ABN ∆的中位线，所以
2:1:=NB OM ，所以2:1:=CH OM
CHG GC GM OMG HCG ∆∴=∠=∠2:1:, ～MOG ∆
MGO CGH ∠=∠∴所以O ，G ，H 三点共线且HG =2GO .
40. 已知ABC △的三边BC =a ，CA =b ，AB =c ，DEF △是ABC △的任意内接三角形，试以a ，b ，c
表示DEF
△的三边平方和的最小值.
B
【析】首先，证明一个结论：
若G 为ABC ∆内的任意一点，G 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别为x ，y ，z ，则当c b a z y x ::::=时，
2
22222224)())((ABC S cz by ax c b a z y x ∆=++≥++++
所以2
2
2
z y x
++的最小值为2
222
4c
b a S
ABC ++∆
设G 为DEF ∆的重心，则由中线长公式可知
])(2[9
1
],)(2[9122222222DF EF DE GE EF DF DE GD -+=-+=
])(2[9
1
2222DE DF EF GF -+=
三式相加得)(32
2
2
2
2
2
GF GE GD FD EF DE ++=++
从G 点向ABC ∆的三边BC ，AC ，AB 引垂线，垂足分别为000,,F E D ，则
2
02020202020222(3FF GF EE GE DD GD FD EF DE +++++=++
2
222
2
02
02
012)(3c b a S GF GE GD ABC
++≥++≥∆
4.4 三角形的垂心
三角形三边上的高线的交点称为三角形的垂心. 性质1：设H 为ABC ∆的垂心，则
C AHB B CHA A BHC ∠-=∠∠-=∠∠-=∠ 180,180,180
性质2：设H 为ABC ∆的垂心，则H ，A ，B ，C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（这样的四点组为一垂心组，且一个垂心组的四个外接圆的圆心组成另一垂心组） 性质3：设H 为ABC ∆的垂心，则
①H 关于三边的对称点均在ABC ∆的外接圆上 ②ACH BCH ABH ABC ∆∆∆∆,,,的外接圆是等圆 ③H 关于三边中点的对称点均在ABC ∆的外接圆上
性质4：在ABC ∆中，H 是垂心，L ，M ，N 分别为BC ，CA ，AB 的中点，D ，E ，F 分别为三高之垂足，P ，Q ，R 分别是AH ，BH ，CH 的中点，则L ，M ，N ，D ，E ，F ，P ，Q ，R 九点共圆，称为ABC ∆的九点圆. 41. △ABC 的外心O 与垂心H 的连线段的中点恰是九点圆圆心. 证明：九点圆半径是其外接圆
半径的一半.
A
C
B
【分析】如图，连结NP ，LR ，PR ，NL ，PL 因为NP 是△ABH 的中位线，所以NP //BH ，而NL 是△ABC 的中位线
则NL //AC ，所以NP ⊥NL ;同理，NP ⊥PR ，RL ⊥NL ，RL ⊥PR ，所以四边形PNLR 是矩形，所以P ，N ，L ，R 共圆且以NR 为直径，易知点F 也在这个圆上，又因为PL 也是该圆的直径，所以点D 也在该圆上连结PM ，LM ，由PM //CH ，LM //AB 可知PM ⊥LM ，所以M 也在该圆上，连结PQ ，LQ 可知PQ ⊥LQ ，所以Q 也在该圆上，由
QM 也是圆的直径可知点E 也在该圆上.
如图，由四边形HCXB 是平行四边形可知，A ，O ，X 三点共线
且Y ，H ，L ，X 四点共线，由欧拉线性质可知OL AH PH ==2
1
且因为PH //OL ，则LOT PHT OLT HPT ∠=∠∠=∠,
所以PL 与OH 的交点T 恰好平分OH （LOT PHT ∆≅∆） 所以T 也是PL 中点，恰好也是九点圆圆心，同时由于 PL 是HAX ∆的中位线，可得出OA TP 2
1=
【注】由图中连线及推出的比例关系可知AL 连线与OH 的交点为
ABC ∆的重心G ，且G 就是外接圆和九点圆的内位似中心
而H 是外位似中心.
42. 设ABC △的内切圆与边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F . 求证：ABC △的外心O 、内心I 、
DEF △的垂心H 三点共线.
【析】连结AI 并延长交圆O 于点M ，连结OM ，DH ，ID
OI ，IH ，要证O ，I ，H 三点共线，因为IM //DH ，所以只要IHD OIH ∠=∠即可. 而ID //OM ，所以转化为去证明
OIM ∆~IHD ∆
证：设外接圆半径为R ，内切圆半径为r ， 由题意知IDH OMI ∠=∠
连结BM ，2
sin 22sin 2A R A
R OM BM
OM IM ∠=∠
==
FDE r FED
FDE FED r DH ∠=∠∠⋅∠=cos 2sin cos sin 2
所以2sin 2cos 2cos 2A AFE FDE ID DH ∠=∠=∠=，所以ID
DH OM IM =
，所以OIM ∆~IHD ∆. 所以原命题成立.
43. 如图，设H 为ABC △的垂心，L 为BC 边的中点，P 为AH 的中点，过L 作PL 的垂线交AB 于
G ，交AC 的延长线于S .求证：G ，B ，S ，C 四点共圆.
A
【析】如图，要证G ，B ，S ，C 四点共圆，只要证：BCS BGS ∠=∠，即要证：ACB AGL ∠=∠.
由题意知PL 是ABC ∆的九点圆的直径，考虑作出ABC ∆的外心O ，取AB 的中点M ，连结OM ，OA ，
那么ACB AOM ∠=∠，由九点圆性质知：H ，O ，N 三点共线， 且N 为OH 中点，所以PN //AO ，又因为GL PN ⊥， 所以GL AO ⊥，所以ACB AOM AGL ∠=∠=∠. 证毕.
44. 如图，AD ，BE 分别是锐角ABC △边BC ，AC 上的高，M 是AB 中点，AD ，BE 交于H ，圆ABH
交圆MDE 于P ，Q . 求证：MQ ，ED ，PH 共点，且交点在ABC △外接圆上.
【析】分析：考虑用同一法，结合九点圆性质
延长MQ 分别交圆O 、圆ABH 于点X
，U ;连结MP 并双向延长交圆O 、圆ABH 于点Y ，V .
可以观察出X ，Y 地位等同，故只需证明D ，E ，Y 三点共线便可完成第一步：MQ 和DE 交点在圆O 上.
由垂心的性质知圆O 和圆ABH 是等圆，
所以MX =MU ，MV =MP ，所以2
MD =MA •MB =MV •MY =MP •MY ，所以△MDP ∼△MYD ， 所以∠DPM =∠YDM ，
又因为∠DPM =∠DEM =∠DEH +∠MEH =∠DCH +∠ABH =∠MAH +∠ABH =∠MDH +∠ECH =∠MDH +∠EDH =∠MDE ，所以∠MDY =∠MDE ，所以D ，E ，Y 三点共线；同理，X ，D ，E 三点共线，所以MQ 和DE 交点X 在圆O 上.
设XH 交圆MDE 于点T ，P '，由九点圆的性质知XT =TH ，而由圆幂定理知
XT •XP '=XQ •XM ，则2XT •XP '=XQ •2XM ，即XH •XP '=XQ •XU ，所以点P '也在圆ABH 上 所以P ，P '重合，证毕.
4.5 三角形的旁心
与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为三角形的旁心. 性质1：A C BI C BI A C BI c B A ∠=∠=∠∠-=∠2
1
,2190 （对于顶角B ，C 也有类似的式子） 性质2：：A
C C B B A C
B A
C B A A B C r r r r r r r r r r c p r b p r a p S ++=
-=-=-=∆)()()( （其中，)(2
1
c b a p ++=
） 性质3：2
cot 2cot ,2cot 2cot ,2cot 2cot B
A r r A C r r C
B r r
C B A ===（其中，A r 表示BC 外侧相切的
旁切圆的半径，C B r r ,类推，r 表示ABC ∆的内切圆半径）
【
析
】
性
质
:2
：
易
知
p AE AD ==，
A
E ADI r p S A ⋅=，而
A ABC F CEI F BDI ABC E ADI ar S S S S S A A A +=++=∆∆，
所以A ABC r a p S )(-=∆.
性质4：1()2B A C I I I B C ∠=∠+∠，1()2A B C I I I A C ∠=∠+∠，1
()2
A C
B I I I A B ∠=∠+∠.
45. 如图，⊙1O 与⊙2O 和ABC △的三边所在的直线都相切，E 、F 、G 、H 为切点，直线EG 与FH
交于点P ，求证：PA BC ⊥.
F
C
【析】易知21,,O A O 三点共线，设21O O 交EF 于点D
，连F O H O DH BD B O E O 2211,,,,,，
由题意知CE =CG ，C CEG ∠-=∠2190 ，BH =BF ，B BHF ∠-=∠2
1
90 又因为
)
360(1801801BED ABE DAB ADE
DE O ∠-∠-∠--=∠-=∠
)2
1
90()180()2190(180C B A ∠-+∠-+∠-+-=
BE O B 12
1
90∠=∠-=
所以D B E O ,,,1四点共圆，
901=∠∴DB O 又因为BHF B DE O PDA ∠=∠-
=∠=∠2
1
901 所以A ，H ，P ，D 四点共圆. 所以ADH APH ∠=∠又因为
90222=∠=∠=∠DB O FB O HB O 所以F O H D B ,,,,2五点共圆，即有FH O ADH 2∠=∠，所以F O PA 2//所以BC PA ⊥
46. 如图，O ，I 分别为ABC △的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上. 求证：△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径.
【析】连AO ，作BC IE ⊥于E ，作BC OF ⊥于F ，设c AB b CA a BC ===,,，外接圆、旁切圆半径分别为R ，A
r ，再作AB ON ⊥于N ，
由三角形外心性质OAN BAD ABD AON ∠=∠∠=∠, 所以AI 平分DAO ∠，那么
BD
BE BE
BF DE EF ID OI AD R --=
== a
c b a b c ab ac a c b ac
b c a c b c a b c a a -+=+---=-+⋅--+-+-
=2
2222)(2222 所以A r a
c b S
a c
b aAD R =-+=-+=2
证毕
47. 已知ABC △的内心为I ，内切圆与BC 边的切点为D ，A ∠所对的旁心为A I ，A I D 所在直线与圆
I 交于另一点K ，H 是线段A I D 的中点，求证：K ，B ，C ，H 四点共圆.
A
C
【析】过A I 作BC 边的垂线，垂足为'
D ，连结IK ，ID ，A
A r c b K I D
IDK |
|tan tan '
-=
∠=∠
所以22
2
2)()(2cos cos A
A
r c b r c b IDK KID +---=∠-=∠ 所以DH
rr DI rr KID r r KD A
A A ==
∠-=
2cos 2222，即A rr DH KD =⋅. 又因为'''cot D
I CD D I BD BD I BD r A A A ==∠=，所以DH KD rr CD BD A ⋅==⋅所以K ，B ，C ，H 四点共圆. 证毕.
48. 如图，已知∠ACE ＝∠CDE ＝90︒，点B 在CE 上，且CA ＝CB ＝CD ，过A 、C 、D 三点的圆交
AB 于点F . 求证：F 为△CDE 的内心.
证明：连CF 、DF 、BD . ∵AC ＝CB ，∠ACB ＝90︒，
C
B
A
D F
E
∴ ∠BAC ＝∠CAB ＝45︒，∴ ∠CDF ＝∠CAF ＝45︒，但∠CDE ＝90︒，∴ DF 是∠CDE 的角平分线. ∵ CB ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ，但∠CBF ＝∠CDF ＝45︒，∴ ∠FBD ＝∠FDB ，∴ BF ＝DF ， 又∵CB ＝CD ，CF ＝CF ，BF ＝DF ，∴ △CBF ≌△CDF ，∴∠BCF ＝∠DCF ，即CF 是∠ECD 的平分线.
∴ F 是△CDE 的内心.
49. △ABC 的外心为O ，AB ＝AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心. 证明：OE 丄CD .
O
D
E C
B
A A
B
C
D E F
O
K
G
证明：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE ：EF ＝2：1. 设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K . 易证：DG ：GK ＝
31DC ：(3
1
21-)DC ＝2：1. ∴DG ：GK ＝DE ：EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE . 但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .
C B
A
D
F
E
50. △ABC 是一个锐角三角形，过顶点B 与外心O 的一个圆分别与BC ，BA 交于点P ，Q (P ≠B ，Q ≠B ).
求证：∆OPQ 的垂心在直线AC 上.
证明：作OD ⊥PQ ，交PQ 于点D ，交直线AC 于点H . 连PH ，延长QO 交PH 于点E ，连OA ，OB ，OC . B ，P ，O ，Q 共圆⇒∠POE ＝∠QBP (＝∠ABC ).
∠OQP ＝∠OBP ＝90︒－∠BAC ；
∠OPQ ＝∠OBQ ＝90︒－1
2∠AOB ＝90︒－∠ACB ⇒∠POD ＝∠ACB ；
∴ P ，O ，H ，C 共圆.
∴ ∠OPH ＝∠OCH (＝∠OCA )＝90︒－∠ABC .
∴ ∠OPE ＋∠POE ＝90︒⇒PH ⊥QE . 即PH 是OQ 边上的高. 从而H 为∆OPQ 的垂心.。