四川省棠湖中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2019年春四川省棠湖中学高二第一学月考试
数学（理工）试题
第I卷选择题（60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.抛物线的准线方程是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：因为抛物线方程为，则2p=1,其准线方程为，选B
2.若直线过圆的圆心，则的值为（）
A. -1
B. 1
C. 3
D. -3
【答案】B
【解析】
分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．
解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），
代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，
故选C。

点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围
3.已知直线，，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
若“”，
则m(m+1)+(m+1)(m+4)=0，解得：m=−1，或m=−2
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
4.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．
【详解】由函数，得f′（x）=x2﹣2x，
设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），
则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，
∴tanα≥﹣1，
∴0≤α＜或≤α＜π．
∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．
故答案为：B
【点睛】（1）本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是
5.（5分）（2011•重庆）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）
A. y=3x﹣1
B. y=﹣3x+5
C. y=3x+5
D. y=2x
【答案】A
【解析】
试题分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．
解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，
∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，
∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），
即y=3x﹣1，
故选A．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．
6.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()
A. 4
B. －4
C. －
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的倍列方程，解方程求得的值.
【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，
即，也即.故选C.
【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.
7.若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()
A. 1
B. 2
C. 0
D. －1
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得函数的导数，令求得的值.
【详解】依题意，令得，解得，故选C.
【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查方程的思想，属于基础题.
8.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是（）
A. 53
B. 54
C. 35
D. 45
【答案】B
【解析】
因为曲线在点（3，27）处切线的方程为y=27x-54，
此直线与x轴、y轴交点分别为（2，0）和（0，-54），
∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=×2×54=54．三角形面积是54．
9.若满足且，则方程解的个数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用题目所给不等式求得的取值范围，然后利用导数判断出函数为单调递减函数，根据函数的连续性可得解有个.
【详解】依题意，解得.，故函数在上单调递减，而
且，根据函数的连续性可知有唯一解，故选B.
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，考查利用导数判断函数的单调性，考查方程根的个数判断，属于基础题.
10.已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先根据函数为偶函数得对称轴，再根据函数单调性解不等式.
详解：因为函数为偶函数得，所以关于对称，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
因为，所以，
因此由得或，解得或，
选A.
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉
“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
11.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：通过分离变量，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值，利用数形结合，求得结果.
详解：由得，
令，则，
在上递减，在上递增，所以，
又当时，，
所以实数的取值范围是，故选B.
点睛：该题考查的是有关根据零点个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要将参数分离，应用导数研究函数的单调性，从而得到对应的结果，注意数形结合思想的应用.
12.已知抛物线的焦点为，是准线上的一点，是直线与的一个交点，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设到的距离为，则，因为，所以，所以直线的斜率为，因为，所以直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，所以，故选．
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
第II卷非选择题（90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）
13.已知函数（e为自然对数的底数），那么曲线在点（0，1）处的切线方程为___________。

【答案】
【解析】
【分析】
利用导数求得切线的斜率，再利用点斜式求得切线方程.
【详解】由于，所以，故切线方程为，即.
【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查切线方程的求法，属于基础题.
14.已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦且|BC|＝6，则BC的中点的轨迹方程是________．
【答案】
【解析】
解：设圆心（0，0）到BC的距离为d，则由弦长公式可得d==4，即BC的中点到圆心（0，0）的距离等于4，BC 的中点的轨迹是以原点为圆心，以4为半径的圆，
故BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16，
故答案为x2+y2=16
15.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．
【答案】
【解析】
设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，
由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，
∵，（－3,0），∴直线的方程为，即代
入整理得，
解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，
∴==.
16.已知若有两个零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
分析：先作函数图像，再结合图像平移直线研究有两个交点的条件，解得实数的取值范围.
详解：
因为与相切于（0，1），与相切于（1，0），
所以有两个零点时，须
点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
三、解答题．（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内）
17.已知“直线与圆相交”；“有一正根和一负根”，若为
真，为真，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出命题p，q的等价条件，然后利用若p∨q为真，非p为真，求实数m的取值范围．
【详解】∵直线x+y﹣m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则1，
∴1m＜1，即p：1m＜1．
∵mx2﹣x+m﹣4＝0有一正根和一负根，
∴设f（x）＝mx2﹣x+m﹣4，
若m＞0，则满足f（0）＜0，即，解得0＜m＜4．
若m＜0，则满足f（0）＞0，即，此时无解
综上0＜m＜4．即q：0＜m＜4．
又∵p∨q为真，非p为真，
∴p假，q真，即，即．
∴m∈[1，4）．
【点睛】本题主要考查复合命题的与简单命题的真假应用，将命题进行等价化简是解决此类问题的关键．
18.已知函数，当时，的极大值为；当时，有极小值。

求：
（1）的值；
（2）函数的极小值。

【答案】（1）a =-3，b =-9，c=2
（2）-25
【解析】
【分析】
利用函数f（x）在x=x0取得极值的充要条件f′（x0）=0且f′（x）在x=x0的左右附近符号相反即可得出a，b的值，再利用极大值即可得到c，从而得出答案．
【详解】(1)∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b
∵当x =- 1 时函数取得极大值7，当x = 3时取得极小值
∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的两根，有
∴，∴f(x) = x3-3x2-9x+c.
(2)∵当x = -1时，函数取极大值7，∴(-1)3–3(-1)2–9(-1)+c= 7,∴c=2.
此时函数f(x)的极小值为：f（3）= 33-3×32-9×3×2=-25.
【点睛】熟练掌握函数f（x）在x=x0取得极值的充要条件是解题的关键．
19.如图，已知中心在原点O，焦点在x轴的椭圆C的离心率为，点A,B分别是椭圆C的长轴，短轴的端点，点O到直线AB的距离为.
（1）求椭圆C的方程。

（2）已知点,设点P,Q是椭圆C上的两动点，满足EPEQ,求的最小值。

【答案】（1）；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）根据离心率、点到直线的距离以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的方程.（2）利用向量运算，将转化为，设出点的坐标，代入并化简为二次函数的形式，利用配方法求得
的最小值.
【详解】解：（1）设椭圆的方程为，不妨设直线的方程为，即，
点到直线的距离为，故：
解得
椭圆的方程为 .
（2）
设，则
又
当时，的最小值为.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解方法，考查直线方程的形式，考查点到直线的距离公式，考查向量的数量积运算，考查二次函数求最值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20.2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占，而男生有人表示对足球运动没有兴趣. （1）完成列联表,并回答能否有的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？
（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取名学生,抽取次，记被抽取
的名学生中对足球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
附:
【答案】（1）有；（2）.
【解析】
分析：（1）根据已知数据完成2×2列联表，计算，判断有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）先求得从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，再利用二项分布求的分布列和数学期望.
详解：（1）根据已知数据得到如下列联表：
根据列联表中的数据，得到,
所以有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.
（2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，
即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，
有题意知
,
,
,
,
从而的分布列为
.
点睛：(1)本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析
推理计算能力.(2)若～则
21.已知函数
（1）求函数的极大值点和极小值点；
（2）若恰好有三个零点，求实数取值范围.
【答案】（1）极大值点为，极小值点为（2）
【解析】
试题分析：（1）先分析函数的单调性得；然后可得在
和上为增函数；在上为减函数函数的极大值点为，极小值
点为（2）根据函数单调性（画出草图）可知若恰好有三个零点，则
试题解析：
（1）得；
在和上为增函数；在上为减函数
（也可由的图像得单调性）
函数的极大值点为，极小值点为
（2）若恰好有三个零点，则又得
点睛：求函数的极值要先求其单调性，极值点为图形的拐点处，山峰位置为极大值点，山谷位置为极小值点，函数零点问题要借助于函数单调性结合数形结合看如何保证图形有三个交点写出对应不等式求解
即可
22.已知函数，其中为常数.
若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
若对，都有，求的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得a即可．
（2）对a分类讨论，易判断当或当时，在区间内是单调的，根据单调性得出结论，当时，
在区间内单调递增，在区间内单调递减，故，又因为，
成立.而的最大值为，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单调性求解函数的最值，然后求解结果．
【详解】求导得，所以.
又，所以曲线在处的切线方程为.
由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求.
对，，所以在区间内单调递减.
①当时，，所以在区间内单调递减，故，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去.
②当时，，所以在区间内单调递增，故，即，由
恒成立得，结合得.
③当时，因为，，且在区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内单调递增，在区间内单调递减.
故，由恒成立知，，，所以.
又的最大值为，由得，
所以.
设，则，所以在区间内单调递增，于是
，即.所以不等式恒成立.
综上所述，所求的取值范围是.
【点睛】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数
是解决函数恒成立问题常用的方法，考查转化思想以及计算能力．。