考研数学一(线性代数)模拟试卷140(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷140(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A为n阶矩阵，A2=A，则下列结论成立的是( )．
A．A=O
B．A=E
C．若A不可逆，则A=O
D．若A可逆，则A=E
正确答案：D
解析：因为A2=A，所以A(E－A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E－A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E－A)=0，A=E，选
D．知识模块：线性代数
2．设A=(α1，α2，…，αm)，其中αi是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，则( )．A．m＞n
B．m=n
C．存在m阶可逆阵P，使得AP=
D．若AB=O，则B=O
正确答案：D
解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+km αm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX=0只有零解，故若AB=O，则B=O，选
D．知识模块：线性代数
3．设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则( )．
A．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解
B．当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解
C．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解
D．当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解
正确答案：A
解析：AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．知识模块：线性代数
4．设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．
A．若A2=E，则－1一定是矩阵A的特征值
B．若r(E+A)＜n，则－1一定是矩阵A的特征值
C．若矩阵A的各行元素之和为－1，则－1一定是矩阵A的特征值
D．若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则－1一定是A的特征值
正确答案：A
解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是－1为A的特征值；若A的每行元素之和为－1，则，根据特征值特征向量的定义，－1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λX(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2－1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得－1为A的特征值，选A．知识模块：线性代数
填空题
5．设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B－A｜=－4，则｜E－ABT｜=_______。

正确答案：－4
解析：｜A｜＜0｜A｜=－1．｜E－ABT｜=｜AAT－ABT｜=｜A ｜｜(A－B)T｜=－｜A－B｜=｜B－A｜=－4．知识模块：线性代数
6．设A=，B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=O，则t=_______。

正确答案：6
解析：因为r(B*)=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6．知识模块：线性代数
7．若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α3+α1，则｜A｜=_______。

正确答案：2
解析：令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，由AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α2，α3)得P－1AP=，所以｜A｜==2 知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8．计算D2n=
正确答案：D2n=a2D2n－2－b2D2n－2=(a2－b2)D2n－2=…=(a2－b2)n．涉及知识点：线性代数
设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，P=
9．计算PQ．
正确答案：涉及知识点：线性代数
10．证明：PQ可逆的充分必要条件是αTA－1α≠b．
正确答案：｜PQ｜=｜A｜2(b－αTA－1π)，PQ可逆的充分必要条件是｜PQ｜≠0，即αTA－1α≠b．涉及知识点：线性代数
11．设A为n阶矩阵且r(A)=n－1．证明：存在常数k，使得(A*)2=kA*．
正确答案：因为r(A)=n－1，所以r(A*)=1，于是A*=(b1 …bn)，其中α=为非零向量，故(A*)2==kA*，其中k= 涉及知识点：线性代数
12．设向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．
正确答案：因为向量组(Ⅰ)的秩为3，所以α1，α2，α3线性无关，又因为向量组(Ⅱ)的秩也为3，所以向量α4可由向量组α1，α2，α3线性表示．因为向量组(Ⅱ)的秩为4，所以α1，α2，α3，α5线性无关，即向量α5不可由向量组α1，α2，α3线性表示，故向量α5－α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α5－α4线性无关，于是向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．涉及知识点：线性代数
设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．
13．证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；
正确答案：因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=－l1β1－l2β2．令γ=k1α1+k2α2=－l1β1－l2β2，因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k1，k2及l1，l2都不全为零，所以γ≠0．涉及知识点：线性代数
14．设α1=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．
正确答案：令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，A=(α1，α2，β1，β2)=则，所以γ=kα1－3kα2=－kβ1+0β2．涉及知识点：线性代数
15．A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公
共的非零解．
正确答案：方程组=0的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为≤r(A)+r(B)＜n，所以方程组=0有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．涉及知识点：线性代数
16．设A是m×s阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．
正确答案：首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r 且ξ1，ξ2，…，ξn－r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn－r，k0，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r+k0η0=0，若k0=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，所以k1=k2=…=kn－r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn－r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有B η0=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n－r(AB)≥n－r+1，r(AB)≤r－1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．涉及知识点：线性代数
17．讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．
正确答案：D==－(a+1)(b+2)．(1)当a≠－1，b≠－2时，因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=－1，b≠－2时，当b≠－1时，方程组无解当b=－1时，方程组的通解为X=(k为任意常数)．(3)当a≠－1，b=－2时，当a=1时，方程组的通解为X=(k为任意常数)．当a≠1时，显然r(A)=2≠=3，方程组无解．涉及知识点：线性代数
18．设A=有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．
正确答案：因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=2的线性无关的特征向量有两个，故r(2E－A)=1，而2E－A→，所以x=2，y=－2．由｜λE－A｜==(λ－2)2(λ－6)=0得λ1=λ2=2，λ3=6．由(2E－A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为α1=，由(6E－A)X=0得λ=6对应的线性无关的特征向量为α3=，令P=，则有P－1AP= 涉及知识点：线性代数
19．设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2－4E 的特征值为0，5，32．求A－1的特征值并判断A－1是否可对角化．
正确答案：设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2－4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A*｜=36｜A｜3－1，所以｜A｜=6．由=6，得λ1=3，
λ2=2，λ3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A－1的特征值为因为A－1的特征值都是单值，所以A－1可以相似对角化．涉及知识点：线性代数
设方程组+(a+1)x3=a+3，有无穷多个解，a1=，α3=为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=－2，λ3=－1的特征向量．
20．求A．
正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以D==a2－2a+1=0，解得a=1．令P=(α1，α2，α3)=，则P－1AP=，从而A= 涉及知识点：线性代数
21．求｜A*+3E｜．
正确答案：｜A｜=2，A*对应的特征值为，即2，－1，－2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．涉及知识点：线性代数
22．A=，求a，b及可逆矩阵P，使得P－1AP=
B．
正确答案：由｜λE－B｜=0，得λ1=－1，λ2=1，λ3=2，因为A～B，所以A的特征值为λ1=－1，λ2=1，λ3=2．由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由｜A｜=b=λ1λ2λ3=－2，得b=－2，即A=由(－E－A)X=0，得ξ1=(1，1，0)T；由(E－A)X=0，得ξ2=(－2，1，1)T；由(2E－A)X=0，得ξ3=(－2，1，0)T，令P1=，则P1－1AP1=由(－E－B)X=0，得η1=(－1，0，1)T；由(E－B)X=0，得η2=(1，0，0)T；由(2E－B)X=0，得η3=(8，3，4)T，令P2=，则P2－1BP2=由P1－1AP1=P2－1BP2，得(P1P2－1)－1AP1P2－1=B，令P=P1P2－1=，则P －1AP=
B．涉及知识点：线性代数
23．设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．
正确答案：首先ATA为实对称矩阵，r(ATA)=n，对任意的X＞0，XT(ATA)X=(AX)T(AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX)T(AX)=αTα=‖α‖2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA为正定矩阵，所以ATA的特征值全大于零．涉及知识点：线性代数
24．设齐次线性方程组有非零解，且A=为正定矩阵，求a，并求当时XTAX 的最大值．
正确答案：因为方程组有非零解，所以=a(a+1)(a－3)=0，即a=－1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以aij＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由｜λE－A｜==(λ－1)(λ－4)(λ－10)=0得A的特征值为1，4，10．因为A为实
对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得f=XTAXy12+4y22+10y32≤10(y12+y22+y32)而当‖X‖=时，y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=‖X‖2=2，所以当‖X‖=时，XTAX的最大值为20(最大值20可以取到，如y1=y2=0，y3=)．涉及知识点：线性代数。