2016年江苏高考卷 文科数学 (原题+解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学
本卷满分200分,考试时间150分钟.
参考公式:
样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=(x i-)2,其中=x i.
棱柱的体积V=Sh,其中S是棱柱的底面积,h是高.
棱锥的体积V=Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.
数学Ⅰ(共160分)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.
2.复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.
3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是.
4.已知一组数据4.7,4.8,
5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.
5.函数y=的定义域是.
6.下图是一个算法的流程图,则输出的a的值是.
7.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.
8.已知{a n}是等差数列,S n是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.
9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.
11.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.
若f=f,则f(5a)的值是.
12.已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.
13.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则
·的值是.
14.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.
(1)求AB的长;
(2)求cos的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
17.(本小题满分14分)
现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的
4倍.
(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设a=2,b=.
①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;
(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.
20.(本小题满分16分)
记U={1,2,…,100}.对数列{a n}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义S T=0;若T={t1,t2,…,t k},定义S T=++…+.例如:T={1,3,66}时,S T=a1+a3+a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T=30.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:S T<a k+1;
(3)设C⊆U,D⊆U,S C≥S D,求证:S C+S C∩D≥2S D.
数学Ⅱ(附加题,共40分)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题作答
．．．．．．．．．．.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点.
求证:∠EDC=∠ABD.
B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A=,矩阵B的逆矩阵B-1=,求矩阵AB.
C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)
设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.
【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);
②求p的取值范围.
23.(本小题满分10分)
(1)求7-4的值;
(2)设m,n∈N*,n≥m,求证:
(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1).
2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
一、填空题
1.答案{-1,2}
解析∵A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},
∴A∩B={-1,2}.
2.答案5
解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i 2=5+5i,所以z的实部为5.
3.答案2
解析由-=1,得a 2=7,b2=3,所以c2=10,c=,所以2c=2.
4.答案0.1
解析==5.1,
则该组数据的方差
s2=
=0.1.
5.答案[-3,1]
解析若函数有意义,则3-2x-x 2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.
6.答案9
解析代值计算,第一次运行后,a=5,b=7,第二次运行后,a=9,b=5,a>b,从而输出的a值为9.
7.答案
解析先后抛掷2次骰子,所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
……
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个.
其中点数之和不小于10的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个.从而点数之和小于10的数对共有30个,故所求概率P==.
8.答案20
解析设等差数列{a n}的公差为d,则由题设可得解得
从而a9=a1+8d=20.
解后反思数列的计算求值问题一般应以“基本元素”为主.
9.答案7
解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=cos x在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.
思路分析解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图象
是解题的关键.
10.答案
解析由已知条件易得B,C,
F(c,0),∴=,=,
由∠BFC=90°,可得·=0,
所以+=0,
c2-a2+b2=0,
即4c2-3a2+(a2-c2)=0,
亦即3c2=2a2,
所以=,则e==.
思路分析圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直.利用向量数量积为零转化为数量关系.
11.答案-
解析∵f(x)是周期为2的函数,∴f=f=f,f=f=f,又∵f=f,所以f=f,即-+a=,解得a=,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+=-.
思路分析由f(x)的周期为2联想到周期函数的性质f(x+T)=f(x),把f、f进行转化,进而利用f=f求得a的值,最后求f(5a).
12.答案
解析画出不等式组表示的可行域如图:
由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2==,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为.
解后反思对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的“距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.
13.答案
解析由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=-,
=+=+=-=(-)-(+)=-,
=+=+=(-)-(+)
=-,
=+=+=(-)-(+)=-,
因为·=4,所以·=4,
则·=·
=·--+·
=·-(+)=×4-(+)=-1,
所以+=,
从而·=·
=--+·
=-(+)+·
=-×+×4
==.
思路分析合理选择“基底”,把相关向量用“基底”表示出来,进而求得向量的数量积.
14.答案8
解析∵sin A=2sin Bsin C,
∴sin(B+C)=2sin Bsin C,
即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,
亦即tan B+tan C=2tan Btan C,
∵tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)
=-=,
又△ABC为锐角三角形,
∴tan A=>0,tan B+tan C>0,∴tan Btan C>1,
∴tan Atan Btan C=·tan B·tan C
=,
令tan Btan C-1=t,则t>0,∴tan Atan Btan C==2≥2×(2+2)=8,当且仅当t=,
即tan Btan C=2时,取“=”.
∴tan Atan Btan C的最小值为8.
方法总结三角求值问题中,角的变换是重点,也是探求解题途径的切入点,把已知条件sin A=2sin Bsin C转化为sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C进而得到tan B+tan C=2tan Btan C,再把tan A用tan B、tan C表示出来,从而将tan Atan Btan C用含tan B、tan C的式子表示出来,这是解题的关键.
二、解答题
15.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.
由正弦定理知=,所以AB===5.
(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),
于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos+sin B·sin,
又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.
因为0<A<π,所以sin A==.
因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.
16.证明(1)在直三棱柱ABC-A 1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
17.解析(1)由PO 1=2知O1O=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6,
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).
(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h.连结O1B1.
因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,
所以+h2=36,
即a2=2(36-h2).
于是仓库的容积
V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,
从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).
令V'=0,得h=2或h=-2(舍).
当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;
当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数.
故h=2时,V取得极大值,也是最大值.
因此,当PO1=2m时,仓库的容积最大.
方法小结(1)注意正四棱锥与正四棱柱底面相同,高的倍数关系.
(2)选择中间关联变量PO1为主变量把相关边长与高用主变量表示出来.再把容积表示成主变量的函数.转化成求函数最值的问题.再考虑用导数求解.
18.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
所以0<y0<7,
于是圆N的半径为y0,
从而7-y0=5+y0,解得y0=1.
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离
d==.
因为BC=OA==2,
而MC2=d2+,
所以25=+5,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).
因为A(2,4),T(t,0),+=,
所以①
因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②
将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.
于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤≤5+5,
解得2-2≤t≤2+2.
因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].
19.解析(1)因为a=2,b=,
所以f(x)=2x+2-x.
①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,
所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.
②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.
因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
所以m≤对于x∈R恒成立.
而=f(x)+≥2=4,且=4,
所以m≤4,故实数m的最大值为4.
(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,
所以0是函数g(x)的唯一零点.
因为g'(x)=a x ln a+b x ln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,
所以g'(x)=0有唯一解x0=lo.
令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,
从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.
于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.
因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.
下证x0=0.
若x0<0,则x0<<0,于是g<g(0)=0.又g(log a2)=+-2>-2=0,且函数g(x)在以和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0.
又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.
若x0>0,同理可得,在和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.
因此,x0=0.
于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.
20.解析(1)由已知得a n=a1·3n-1,n∈N*.
于是当T={2,4}时,S T=a2+a4=3a1+27a1=30a1.
又S T=30,故30a1=30,即a1=1.
所以数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.
(2)因为T⊆{1,2,…,k},a n=3n-1>0,n∈N*,
所以S T≤a1+a2+…+a k=1+3+…+3k-1=(3k-1)<3k.
因此,S T<a k+1.
(3)下面分三种情况证明.
①若D是C的子集,则S C+S C∩D=S C+S D≥S D+S D=2S D.
②若C是D的子集,则S C+S C∩D=S C+S C=2S C≥2S D.
③若D不是C的子集,且C不是D的子集.
令E=C∩∁U D,F=D∩∁U C,则E≠⌀,F≠⌀,E∩F=⌀.
于是S C=S E+S C∩D,S D=S F+S C∩D,进而由S C≥S D得S E≥S F.
设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.
由(2)知,S E<a k+1.于是3l-1=a l≤S F≤S E<a k+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.从而S F≤a1+a2+…+a l=1+3+…+3l-1=≤=≤,
故S E≥2S F+1,所以S C-S C∩D≥2(S D-S C∩D)+1,
即S C+S C∩D≥2S D+1.
综合①②③得,S C+S C∩D≥2S D.
解后反思(1)考查等比数列通项公式及等比数列项的求解与计算,通法“基本元素法”依旧适用,只不过是创新背景,语言理解要准确.(2)数列求和与不等式放缩结合,注意放缩适度.(3)间接证明与数列结合,有一定难度.
21.A.证明在△ADB和△ABC中,
因为∠ABC=90°,BD⊥AC,∠A为公共角,
所以△ADB∽△ABC,于是∠ABD=∠C.
在Rt△BDC中,因为E是BC的中点,
所以ED=EC,从而∠EDC=∠C.
所以∠EDC=∠ABD.
B.解析设B=,
则B-1B==,
即=,
故解得所以B=.
因此,AB==.
C.解析椭圆C的普通方程为x 2+=1.
将直线l的参数方程代入x2+=1,得
+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.
所以AB=|t1-t2|=.
D.证明因为|x-1|<,|y-2|<,
所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×+=a.
22.解析(1)抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为,
由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).
因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.
①由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)
因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,
从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.
方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.
因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.
因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).
②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,
所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.
由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.
因此,p的取值范围是.
23.解析(1)7-4=7×-4×=0.
(2)当n=m时,结论显然成立.当n>m时,
(k+1)=
=(m+1)·
=(m+1),k=m+1,m+2,…,n.
又因为+=,
所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,…,n.
因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)
=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+…+(n+1)]
=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+…+(-)]=(m+1).。