2020年高中物理竞赛—电磁学C-04静态场边值问题的解法：差分方程求解(共14张PPT)

•这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电 位作为下一次迭代时的初值。
如（j，k）点在第n＋1次迭代时按下式计算：
n1 j,k
( ＋ n j 1,k
n j,k 1
n j 1,k
4
n j,k
1
)
超松弛法 •简单迭代法收敛慢。 •超松弛法的改进：
（1）
n1 j,k
(
n j 1,k
n j,k 1
•算法 简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。 （1）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零 值。
（2）按一固定顺序(从左到右，从下到上)依次利 用
1 2＋3 4 4 o＝0
即
＝1
o
2＋ 3
4
4
•计算内点o点的新值。即o点的新值就是围绕该点 的4个点的电位的平均值。
•当所有的内点都计算完后，用他们的新值代替旧 值，完成一次迭代。再进行下一次迭代。直到每一 点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围。
n1 j 1,k
) n1
j,k 1
/
4
即计算（j，k）点时，左边点（j-1,k）和下面点（j， k-1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔 迭代法。
（2）将上式写成增量的形式，
n1 j,k
n j,k
(
n j 1,k
n j,k 1
n1 j 1,k
n1 j,k 1
Hale Waihona Puke 4n j,k)
/
4
的数值解如图。
•若规定各网格内点相邻两次迭代值的绝对误差应 小于10－5，得到各内点的电位数值解如图。此时N ＝13。
•从结果看电位分布关 于y轴有对称性。实 际计算可只一半区域， 而将网格划分得更细。 以得到更理想到数值 解。
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2020高中物理竞赛
电磁学C
•边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值， 可直接把点函数f(s)的值赋予各边界结点。
3．差分方程的解法
•设将场域划分如图. •边 界 上 的 值 分 别 为 f1,………f16。 •在各内点上作出差分 ，泊松方程变成下列 差分方程组
•解出关于1，2….. 9的代数联立方程组，即可求 出各点的函数值。
•采用超松弛迭代方法。迭代公式
n1 j,k
n j,k
4
( n j 1,k
n j,k 1
n1 j 1,k
n1 j,k 1
4
n j,k
)
按
0
1
2
sin(
)
p
•可算得＝1.17, •所有内点从零值初始值 开始迭代求解。
•本题第一类边值，结点 与边界重合，所有网格 点迭代前的初值如图。
•迭代次数N分 别为1，2，3， 4时各网格内点
•引进加速收敛因子，在1－2之间。
n1 j,k
n j,k
4
( n j 1,k
n j,k 1
n1 j 1,k
n1 j,k 1
4
n j,k
)
•加速解的收敛。2时，迭代过程将发散。
•最佳收敛因子0的取值随问题而异。对第一类边 值问题，正方形场域，网格按正方形划分，每边结
点数p＋1，则
0
2
1 sin( )
p
例4.2.3
一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位 均为零，而顶盖电位4＝100。求槽内电位分布。
解： •二 维 场 第 一 类 边 值 问题。 •将 二 维 场 域 划 分 成 正方形网格，步距h ＝a/4。 •场 域 内 任 一 点 电 位 应满足二维拉普拉 斯方程的差分计算 格式。