桃城区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

桃城区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷
函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x ）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f （x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．A={x|x＜1}，B={x|x＜﹣2或x＞0}，则A∩B=（）
A．（0，1）B．（﹣∞，﹣2）
C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）
3．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．6103515
++B．610+35+14
C．6103515
++D．4103515
++
【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
4．在等差数列{}n a中，11
a=，公差0
d ，
n
S为{}n a的前n项和.若向量13
(,)
m a a
=，
133
(,)
n a a
=-，
且0
m n?，则216
3
n
n
S
a
+
+
的最小值为（）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．
92
【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．
5． 已知f （x ）=
，g （x ）=（k ∈N *
），对任意的c ＞1，存在实数a ，b 满足0＜a ＜b ＜c ，使得f （c ）
=f （a ）=g （b ），则k 的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6． 甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：
乙校：
则x ，y A 、12,7 B 、 10,7 C 、 10，8 D 、 11,9
7． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
2
1
时，则输入的值为（ ）
A．2B．1-C．1-或2D．1
-或10
8．在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），则该数列的前2015项的和是（）A．7049 B．7052 C．14098 D．14101
9．在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且
，
,则等于（）
A ．
B ．
C ．D．2
10．已知偶函数f（x）满足当x＞0时，3f（x）﹣2f
（）
=，则f（﹣2）等于（）
A
．B
．C
．D
．
11．执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知集合A，B，C中，A⊆B，A⊆C，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A的子集最多有（）A．2个B．4个C．6个D．8个
二、填空题
13．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方
法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为
________．
【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．
14．复数
z=（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
15．已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若
1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A
．5- B
C
．6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想． 16．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则
面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .
17．已知,0()1,0
x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2
(2)()f x f x ->的解集为________．
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 18．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ．
三、解答题
19．已知{a n }为等比数列，a 1=1，a 6=243．S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=3，S 5=35． （1）求{a n }和{B n }的通项公式； （2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，求T n ．
20．已知矩阵A＝，向量＝.求向量，使得A2＝.
21．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，请在此正方体中取出四个顶点构成一个三棱锥，满足三棱锥的四个面都是直角三角形，并求此三棱锥的体积．
22．已知集合A={x|＞1，x∈R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．
（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁R B）；
（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．
23．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设,,A B C 三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对,,A B C 三项重点工程竞标成功的概率分别为a ，b ，
14()a b >，已知三项工程都竞标成功的概率为
124，至少有一项工程竞标成功的概率为3
4
． （1）求a 与b 的值；
（2）公司准备对该公司参加,,A B C 三个项目的竞标团队进行奖励，A 项目竞标成功奖励2万元，B 项目竞标成功奖励4万元，C 项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．
【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．
24．（本小题满分12分）已知向量(cos sin ,sin )m x m x x w w w =-a ，(cos sin ,2cos )x x n x w w w =--b ，
设函数()()2n f x x R =??a b
的图象关于点(,1)12
p
对称，且(1,2)w Î． （I ）若1m =，求函数)(x f 的最小值；
（II ）若()()4
f x f p
£对一切实数恒成立，求)(x f y =的单调递增区间．
【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．
桃城区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】 D
【解析】解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0
∴当x 为有理数时，f （f （x ））=f （1）=1； 当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1
即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），故②正确；
③若x 是有理数，则x+T 也是有理数； 若x 是无理数，则x+T 也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x+T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确；
④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=
，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0
∴A （
，0），B （0，1），C （﹣
，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．
故选：D ．
【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．
2． 【答案】D
【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），
∴A ∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1），
故选：D ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3． 【答案】C
【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面
ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S =262创?11
23+2
2622
创创?
15=，故选C ．
46
46
1010
1
1
32
6
E V
D C
B
A
4． 【答案】
A
【
解
析
】
5． 【答案】B
【解析】解：
∵f （x ）=
，g （x ）=（k ∈N *
），
对任意的c ＞1，存在实数a ，b 满足0＜a ＜b ＜c ，使得f （c ）=f （a ）
=g （
b ）， ∴可得：＞，对于x ＞1恒成立．
设
h （x ）=x •
，h ′（x ）=
，且y=x ﹣2
﹣lnx ，y ′=1﹣＞0在x ＞1成立，
∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，
故存在x 0∈（3，4）使得f （x ）≥f （x 0）＞3， ∴k 的最大值为3． 故选：B
【点评】本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．
6． 【答案】B
【解析】 1从甲校抽取110× 1 200
1 200＋1 000
＝60人，
从乙校抽取110× 1 000
1 200＋1 000
＝50人，故x ＝10，y ＝7.
7． 【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数⎩⎨⎧=x y x lg 2 0
0>≤x x ，当0≤x 时，212=x
，解得1-=x ，当0>x 时，21lg =x ，
解得10=x ，所以输入的是1-或10，故选D.
考点：1.分段函数；2.程序框图.11111] 8． 【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +
），∴（a n+1﹣2）（a n ﹣2）=2，当n ≥2时，（a n ﹣2）（a n ﹣1﹣2）=2，
∴
，可得a n+1=a n ﹣1，
因此数列{a n }是周期为2的周期数列． a 1=3，∴3a 2+2=2a 2+2×3，解得a 2=4， ∴S 2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
9． 【答案】C
【解析】 因为角
、
、
依次成等差数列，所以
由余弦定理知，即
，解得
所以， 故选C
答案：C
10．【答案】D
【解析】解：∵当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=
…①，
∴3f（）﹣2f（x）==…②，
①×3+③×2得：
5f（x）=，
故f（x）=，
又∵函数f（x）为偶函数，
故f（﹣2）=f（2）=，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x＞0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键．
11．【答案】B
【解析】解：a=5，进入循环后各参数对应值变化如下表：
p 15 20 结束
q 5 25
n 2 3
∴结束运行的时候n=3．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用，考查了条件结构和循环结构的知识点．解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；
∴A⊆B∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，
故最多有4个子集．
故选：B．
二、填空题
13．【答案】19
【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19．
14．【答案】．
【解析】解：复数z==﹣i （1+i ）=1﹣i ，
复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：
．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
15．【答案】B 【
解
析
】
16．【答案】
因为，所以
为
面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。

【解析】函数()f x 在[0,)+?递增，当0x <时，220x ->，解得0x -<<；当0x ³时，22x x ->，
解得01x ?，综上所述，不等式2
(2)()f x f x ->的解集为(-．
18．【答案】 {1，﹣1} ．
【解析】解：合M={x||x|≤2，x ∈R}={x|﹣2≤x ≤2}， N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}={3，﹣1，1}， 则M ∩N={1，﹣1}， 故答案为：{1，﹣1}，
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵{a n}为等比数列，a1=1，a6=243，
∴1×q5=243，解得q=3，
∴．
∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
∴5×3+d=35，解得d=2，
b n=3+（n﹣1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，
∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
20．【答案】＝
【解析】A2＝.
设＝.由A2＝，得，从而
解得x＝-1，y＝2，所以＝
21．【答案】
【解析】解：连结BD，B1D，B1C，则三棱锥B1﹣BCD即为符合条件的一个三棱锥，
三棱锥的体积
V=
=．
【点评】本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．
22．【答案】
【解析】解：（1）当m=3时，由x 2
﹣2x ﹣3＜0⇒﹣1＜x ＜3，
由
＞1⇒﹣1＜x ＜5，
∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜3}； （2）若A ∩B={x|﹣1＜x ＜4}， ∵A=（﹣1，5），
∴4是方程x 2
﹣2x ﹣m=0的一个根，
∴m=8，
此时B=（﹣2，4），满足A ∩B=（﹣1，4）． ∴m=8．
23．【答案】
【解析】（1）由题意，得1
1424
131(1)(1)(1)44ab a b ⎧=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，因为a b >，解得1213a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
．…………………4分
（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量X ， 则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………5分 而4
1
433221)0(=⨯⨯=
=X P ；1231(2)2344P X ==⨯⨯=；
1131(4)2348P X ==⨯⨯=； 1211135
(6)23423424P X ==⨯⨯+⨯⨯=；
1211(8)23412P X ==⨯⨯=； 1111
(10)23424P X ==⨯⨯=；
1111
(12)23424
P X ==⨯⨯=．…………………9分
所以X 的分布列为：
于是，11()012345644824122424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12
=．……………12分 24．【答案】。