准确解答函数交汇题的四大策略

准确解答函数交汇题的四大策略
高考对函数的考查每年都有涉及，每年约有18分的题是函数题或与函数交汇的题.题型一般是一大一小，本考点不但对常用函数的相关概念、性质（单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域等）和图像进行考查，而且还常与不等式、方程、数列、程序框图、程序语句、函数的求导等知识交汇进行考查.在进行函数复习时，学生要挖掘交汇点，掌握复习策略.
例1 阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序.若输入x的值为1，则输出y的值为
A.2
B.7
C.8
D.128
难度系数0.90
分析通过对程序框图的观察我们可以得出，本题可等价转化为下列函数y=2x，x≥2，9-x，x<2.
解由于x=1，所以y =9-x=8.选C.
小结本题考查程序框图、条件结构、指数函数和一次函数等知识.顺利解答本题的关键在于，通过观察程序框图，将已知等价转化为分段函数的解析式，从而求得相应的结果.
例2 设函数f（x）=e2x-aln x.
（1）讨论f（x）的导函数f ′（x）零点的个数；
（2）证明：当a>0时，f（x）≥2a+aln .
难度系数0.50
分析要讨论f ′（x）零点的个数，学生首先必须确定f（x）=e2x-aln x的定义域，同时求出f（x）的导数.由于a 可取全体实数，所以要分a≤0和a>0进行讨论，看f ′（x）与0的大小关系.要证明当a>0时，f（x）≥2a+aln ，学生就要确定f（x）=e2x-aln x在其定义域内的最小值是否为
2a+aln .
（1）解：据题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），f ′（x）=2e2x-（x>0）.
当a≤0时，f ′（x）>0，此时f ′（x）没有零点.
当a>0时，由于y =e2x单调递增，y =-单调递增，所以f ′（x）在（0，+∞）上单调递增.
又f ′（a）>0，当b满足00时，f ′（x）存在唯一的零点.
（2）证明：由（1）可设f ′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，当x∈（0，x0）时，f ′（x）0.
所以，函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，则当x=x0时，函数f（x）取得最小值，且最小值为f（x0）.
由于2-=0，所以f（x0）=+2ax0+aln ≥2a+aln .故当a>0时，f（x）≥2a+aln .
小结本题考查函数的求导、解函数方程、函数的单调性、利用函数的最值证明不等式等知识，同时考查学生的运算能力，是一道多知识点进行交汇的综合题.运用分类讨论思想来解答是解题的关键.
例3 若0< x1< x2<1，则
A.->ln x2-ln x1
B.-<ln x2-ln x1
C.x2> x1
D.x2< x1
难度系数0.60
分析题目中只有一个条件00，同样对选项C进行转化可得->0，从而可以联系到f（x2）- f（x1）<0，于是学生可以构造函数f（x）=ex-ln x以及g（x）=来解答问题.由此，我们联系到函数的单调性，只要判断出函数在给定区间上的单调性，就可以对函数式取不同值时的大小进行比较.
解设函数f（x）=ex-ln x且g（x）=.对上述函数分别求导，可得 f ′（x）=ex-，g′（x）=.
当0<x<1时，f ′（x）=ex-的正负性不确定，函数的单调性也不能确定，所以选项A、B错误.
当0g（x2），即->0，整理得x2> x1.选C.
小结本题考查不等式、函数的单调性、导数等知识.顺利解答本题的关键在于观察选项的特点，从而构造出函数，通过求导判断出函数在给定区间（0，1）上的单调性，然后利用函数的单调性来比较函数式的大小，从而使问题得以解
决.
例4 已知函数f（x）=|x-2|+1，g（x）=kx.若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是
A.（0，）
B.（，1）
C.（1，2）
D.（2，+∞）
难度系数0.70
分析由方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，可知函数f（x）=|x-2|+1与g（x）=kx的图像有两个不同的交点，于是可画出这两个函数的图像进行分析，从而得出答案.
解在同一直角坐标系中画出函数f（x）=|x-2|+1和g（x）=kx的图像，如图2所示.方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根等价于这两个函数的图像有两个不同的交点，当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点（2，1）连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意，所以<k<1.选B.
小结本题主要考查方程的根与函数的零点问题，同时考查数形结合思想.涉及方程的根与函数的零点等问题，学生可以先将方程两边的代数式看成两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形，将其转化为两个熟悉的函数），然后在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，根据图像直观分析可获得相应问题的解.（责任编校？筑周峰）。