2025届广东省高州四中高三第二次适应性考试数学试题

2025届广东省高州四中高三第二次适应性考试数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
2．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *
()n N ∈中最小的是（ ）
A ．7S 或8S
B ．12S
C ．13S
D ．14S
3．已知集合2
{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<
D ．{|1e}A
B x x =-<<
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M
点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ）
A 1
B
C
D
5．已知函数2
()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）
A ．2
B ．5
C ．1
D ．3
6．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，
()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．1
8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角
形，则该几何体外接球的体积是（ ）
A ．16π
B ．
323π
C ．
6423
π
D ．
2053
π
9．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所
对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积2
2222
1()42a b c S ab ⎡⎤
⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A ．2
B ．22
C ．6
D ．23
10．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A ．2
B ．2
C ．10
D ．10
12．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（） A ．4
B ．6
C ．23
D ．43
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2
x x a x a
f x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩，若函数()f x 在[)
0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________.
14．请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数：___________． 15．在平面直角坐标系
中，已知
，若圆
上有且仅有四个不同的点C ，使得△ABC 的面
积为5，则实数a 的取值范围是____.
16．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
1
2，乙获胜的概率是13
，则乙不输的概率是_____． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .
（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值．
18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()23sin 4sin 2
C
A B +=. （1）求cos C ；
（2）若b ＝7，D 是BC 边上的点，且△ACD 的面积为3sin ∠ADB . 19．（12分）已知点P 是抛物线2
1:34
C y x =
-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-. （1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；
（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值. 20．（12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；
（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 21．（12分）已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；
（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求
13
211
a b +++的最小值. 22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，
2AB =，()0PD t t =>.
（1）若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ； （2）若三棱锥C DBM -的体积为
4
3
，求二面角B DM C --的余弦值. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式． 【题目详解】 由
101x
x
+>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3
y x =是增函数，sin y x =是增函数，12
ln
ln(1)11x y x x
+==-+--是增函数，∴3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得1
12
a <<． 故选：C. 【题目点拨】
本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解． 2、C 【解题分析】
设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a d =-
，可得1(554)51n n a a -=.令 554051
n
-<，可得 当
14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*
n S n N ∈中最小的.
【题目详解】
解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ， 则()()113479a d a d +=+，解得 1
451
a d =-
， 1
1(554)(1)51
n n a a a n d -∴=+-=
.
令
554051n -<，可得5
4
5n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和(
)*
n S n N ∈中最小的是13S
.
故选：C. 【题目点拨】
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 3、D 【解题分析】
因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<， 所以{|01}A B x x =<<，{|1e}A B x x =-<<，故选D ．
4、A 【解题分析】
设(,)M a b ，则MF 的中点坐标为(
,)22
a c b
+，代入双曲线的方程可得,,a b c 的关系，再转化成关于,a c 的齐次方程，求出
c
a
的值，即可得答案. 【题目详解】
双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(c,0)F ，
M 所在直线为x a =，不妨设(,)M a b ，
∴MF 的中点坐标为(,)22
a c
b +.代入方程可得22
22
221a c b a b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴22
()5
44
a c a +=，∴2240e e +-=
，∴1e =-（负值舍去）. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造,a c 的齐次方程. 5、B 【解题分析】
由函数2
()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.
【题目详解】
(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.
故选:B . 【题目点拨】
本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易. 6、D 【解题分析】
a ，
b 可看成是y t =与()23=+x f x x 和()32x g x x =+交点的横坐标，画出图象，数形结合处理. 【题目详解】
令()23=+x
f x x ，()32x
g x x =+， 作出图象如图，
由()23=+x f x x ，()32x
g x x =+的图象可知，
()()001f g ==，()()115f g ==，②正确；
(,0)x ∈-∞，()()f x g x <，有0b a <<，①正确；
(0,1)x ∈，())(f x g x >，有01a b <<<，③正确； (1,)x ∈+∞，()()f x g x <，有1b a <<，④正确.
故选：D. 【题目点拨】
本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 7、C 【解题分析】
根据函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称可得()f x 为奇函数，结合()()2f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，利用()00f =及()14f =可得所求的值. 【题目详解】
因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图象关于原点对称， 所以()f x 为R 上的奇函数.
由()()2f x f x +=-可得()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=， 故()f x 是周期为4的周期函数.
因为20164504,201745041,201845042=⨯=⨯+=⨯+，
所以()()()()()()()20162017201012428f f f f f f f +=+=+++. 因为()()2f x f x +=-，故()()()02000f f f +=-=-=， 所以()()()2016201720148f f f +=+. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R 上的函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，那么()f x 是周期为2a 的周期函数，本题属于中档题. 8、C 【解题分析】
作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【题目详解】
如图为几何体的直观图，2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =所以
体积为(3
4
642
22
3
V π=⨯=
. 故选：C 【题目点拨】
本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 9、A 【解题分析】
根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为
()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1
cos 3
A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式
22222
1()42⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
c b a S bc .
由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3
A =-
， 由余弦定理2
2
2
2
2cos 23
a b c bc A bc --=-=
=，所以3bc =， 由ABC ∆
的面积公式得
S ===故选：A 【题目点拨】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10、A 【解题分析】
根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合n 的正整数性质即可确定解的个数. 【题目详解】
由题意可知首项为2，设第二项为t ，则第三项为2t +，第四项为()2
2t +，第五项为()222t +⋅⋅⋅第n 项为
()322,*,n t n t N -+∈、且3n ≥，
则()3222020n t -+=， 因为2202025101=⨯⨯， 当3n -的值可以为0,1,2； 即有3个这种超级斐波那契数列， 故选：A. 【题目点拨】
本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题. 11、A 【解题分析】
根据复数1z 的几何意义得出复数1z ，进而得出1z ，由122z z ⋅=-得出21
2
z z =-
可计算出2z ，由此可计算出2z .
由于复数1z 对应复平面上的点()1,1--，11z i ∴=--，则11z i =-+，
122z z ⋅=-，()()()
212122
1111i z i i i i z +∴=-
===+--+，因此，222112z =+=. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题. 12、B 【解题分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【题目详解】 如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，
∴|||3
302|3262
BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯=⋅， 故选B ． 【题目点拨】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解题分析】
由已知，()f x 在[2,2)-上有3个根，分21a >≥，01a <<，10a -<≤，21a -<≤-四种情况讨论()f x 的单调性、最值即可得到答案.
【题目详解】
由已知，()f x 的周期为4，且至多在[2,2)-上有4个根，而[)0,2020含505个周期，所以()f x 在[2,2)-上有3个根，设32()23g x x x a =++，'2
()66g x x x =+，易知()g x 在(1,0)-上单调递减，在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，又(2)40g a -=-<，(1)50g a =+>.
若21a >≥时，()f x 在(,2)a 上无根，()f x 在[2,]a -必有3个根， 则(1)0(0)0f f ->⎧⎨<⎩，即100
a a +>⎧⎨<⎩，此时a ∈∅； 若01a <<时，()f x 在(,2)a 上有1个根，注意到(0)0f a =>，此时()f x 在[2,]a -不可能有2个根，故不满足；
若10a -<≤时，要使()f x 在[2,]a -有2个根，只需(1)0()0
f f a ->⎧⎨≤⎩，解得102a -≤≤； 若21a -<≤-时，()f x 在[2,]a -上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；
综上，实数a 的范围为102a -
≤≤. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【题目点拨】
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.
14、231,321,301,1
【解题分析】
分个位数字是1、3两种情况讨论，即得解
【题目详解】
0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有：
（1）当个位数字是1时，数字可以是231,321,301；
（2）当个位数字是3时数字可以是1．
故答案为：231,321,301，1
【题目点拨】
本题考查了分类计数法的应用，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
15、（，） 【解题分析】
求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．
【题目详解】
解：AB的斜率k，|AB|
5，
设△ABC的高为h，
则∵△ABC的面积为5，
∴S|AB|h h＝5，
即h＝2，
直线AB的方程为y﹣a x，即4x﹣3y+3a＝0
若圆x2+y2＝9上有且仅有四个不同的点C，
则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离d，
则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，
即1，
得|3a|＜5
得a，
故答案为：（，）
【题目点拨】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键．
16、56
【解题分析】 乙不输的概率为
115236+=，填56.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2
）sin 35
θ=
【解题分析】
（1）先证明四边形ABCE 是菱形,进而可知AC BE ⊥,然后可得到AC ⊥平面BEFG ,即可证明平面ACF ⊥平面BEFG ; （2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,分别求出平面ABF 和DBF 的法向量,m n ,然后由cos ,||||
m n m n m n ⋅〈〉=
,可求出二面角A BF D --的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.
【题目详解】
（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =,
因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形,
因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,
因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG .
因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .
（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知AC ,BE ,OP 两两垂直,故以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.
因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ==
=,所以四边形ABCE 是菱形，且60
BAD ︒∠=, 所以(0,(1,0,0),(1,0,0),((1,0,2)A B E D F
---,
则(1,3,0),(2,0,2),(3,AB BF BD ==-=-,设平面ABF 的法向量为()
111,,m x y z =, 则11110220
m AB x m BF x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨取
11y =-,则(3,m =-, 设平面DBF 的法向量为()222,,n x y z =,
则2222330220n BD x y n BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
,不妨取21x =,则(1,3,1)n =, 故3105cos ,35||||75
m n m n m n ⋅〈〉===⨯. 记二面角A BF D --的大小为θ,故3470sin 13535θ=-
=.
【题目点拨】 本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题. 18、（1）17；（2239【解题分析】
（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角2
C 关系式，求出tan 2C ，再由二倍角余弦公式，即可求解； （2）在AC
D 中，根据面积公式求出CD 长，根据余弦定理求出AD ，由正弦定理求出
sin ADC ∠，即可求出结论.
【题目详解】
（1()2234sin ,23cos 4sin 2222C C C C A B +==，
30,sin 0,tan 2222C C C π<<∴>∴= 22222222cos sin 1tan 1222cos cos sin 227
cos sin 1tan 222
C C C C C C C C C --=-===++；
（2）在ACD 中，由（1
）得sin C =
17327
ACD S CD CD =⨯⨯⨯==， 由余弦定理得
22212cos 499273527
AD b CD b CD C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，
AD ∴=ACD 中，
7,sin sin sin AD AC ADC C ADC =∴∠==∠，
sin sin ADB ADC ∴∠=∠=
. 【题目点拨】 本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
19、（1）不在，证明见详解；（2
【解题分析】
（1）假设直线方程y kx b =+，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算4PA PB ⋅=-，可得1b =-，然后验证可得结果.
（2）分别计算线段,PA PB 中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点M 的轨迹方程22y x =，然后可得焦点F ，结合抛物线定义可得18MN d NF -≤+
，计算可得结果. 【题目详解】
（1）设直线方程y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y
根据题意可知直线斜率一定存在，()0,3P - 则()224430134y kx b x kx b y x =+⎧⎪⇒--+=⎨=-⎪⎩
()121243,4x x b x x k =-++=
()2
41648k b ∆=-++ ()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+
则()()121233PA PB x x y y ⋅=+++
()12121239PA PB x x y y y y ⋅=++++
()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++
()1212122y y kx b kx b k x x b +=+++=++
()()()2212121369PA PB k x x k kb x x b b ⋅=+++++++
由4PA PB ⋅=-
所以()
()()22121213694k x x k kb x x b b +++++++=- 将()121243,4x x b x x k =-++=代入上式
化简可得2210b b ++=，所以1b =-
则直线方程为1y kx =-，
所以直线过定点()0,1-，()2
416480k b ∆=-++> 所以可知点()0,1D 不在直线上.
（2）设(),M M M x y
线段PA 的中点为113,2
2x y E -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 线段PB 的中点为223,22x y G -⎛⎫ ⎪⎝⎭
则直线PA 的斜率为113PA y k x +=
， 直线PB 的斜率为22
3PB y k x += 可知线段PA 的中垂线的方程为11113232y x x y x y -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭
由211134
y x =-，所以上式化简为2121418x y x x =-+-
即线段PA 的中垂线的方程为2121418
x y x x =-+- 同理可得：
线段PB 的中垂线的方程为2222418
x y x x =-+- 则()2212122222211212214183248
1832M M x x x x x y x x x x x x x x y x y x ⎧⎧+=-+-⎪=-⎪⎪⎪⇒⎨⎨++-⎪⎪=-+-=⎪⎪⎩⎩
由（1）可知：()12124,438x x k x x b +==-+=-
所以()12122221212
322832M M M M x x x x x x k y k x x x x y ⎧+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=++-⎩⎪=⎪⎩
即()2,2M k k ，所以点M 轨迹方程为22y x
= 焦点为10,8F ⎛
⎫
⎪⎝
⎭， 所以1188
MN d MN MF MN MF ⎛⎫-=--=-+
⎪⎝⎭ 当,,M N F 三点共线时，MN d -有最大
所以111888
MN d MN MF NF -=-+
≤+= 【题目点拨】 本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处b ，第（2）问中关键在于得到点M 的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.
20、 (1) 3C π=
.(2) . 【解题分析】
（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2
C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得
62A π
π
<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【题目详解】
（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=， 由余弦定理可知，222cos 122
a b c C ab +-==， 又∵(0,)C π∈，∴3
C π
=. （2
）由正弦定理可知，2sin sin sin 3
a b A B π===
，即,a A b B ==
∴sin )a b A B +=
+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦
2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩
，即， 则2363A π
π
π<+<
，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝
⎭， 综上+a b
的取值范围为.
【题目点拨】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
21、（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）
169 【解题分析】
（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得
13211
a b +++的最小值.
【题目详解】
（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35
x ≥
，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤； 当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=，
所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=， 1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119
b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时取等号. 故13211
a b +++的最小值为169. 【题目点拨】
本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
22、（1）见解析（2）
23 【解题分析】
(1)由已知可证得AD ⊥平面PDC ,则有AD PC ⊥,在PDC △中,由已知可得DM PC ⊥,即可证得PC ⊥平面ADM ,进而证得结论.
(2) 过M 作//MN PD 交DC 于N ,由M 为PC 的中点,结合已知有MN ⊥平面ABCD . 则1433
C DBM M DBC DBC V V S MN --==⋅=△,可求得4t =.建立坐标系分别求得面DBM 的法向量()2,2,1n =-,平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =,利用公式即可求得结果.
【题目详解】
（1）证明：PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
AD PD ∴⊥,又四边形ABCD 为正方形，
AD DC ∴⊥.
又PD 、DC ⊂平面PDC ，且PD DC D ⋂=，
AD ∴⊥平面PDC .AD PC ∴⊥.
PDC △中，2t PD DC ===，M 为PC 的中点，
DM PC ∴⊥.
又AD 、DM ⊂平面ADM ，AD DM D =，
PC ∴⊥平面ADM .
PC ⊂平面PBC ，∴平面DMA ⊥平面PBC .
（2）解：过M 作//MN PD 交DC 于N ，如图 M 为PC 的中点，1//2MN PD ∴，12MN t ∴=. 又PD ⊥平面ABCD ，MN ∴⊥平面ABCD .
21114233223
C DBM M DBC DBC t V V S MN --==⋅=⨯⨯⨯=△，4t ∴=. 所以4P
D =,又PD 、DA 、DC 两两互相垂直，以DP 、DA 、DC 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.()0,0,0D ，()2,2,1B ，()0,2,0C ，()0,1,2M
设平面DBM 的法向量(),,n x y z =，则 00
n DB DM DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x y y z +=⎧⎨+=⎩. 令1z =，则2x =，2y =-.()2,2,1n ∴=-.
平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =
22cos ,133
m n
m n m n ⋅∴===⨯⋅. ∴二面角B DM C --的余弦值为
23.
【题目点拨】
本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.。