2024-2025学年安徽省蚌埠市高二上学期第二次联考数学质量检测试卷(含解析)

2024-2025学年安徽省蚌埠市高二上学期第二次联考数学质量
检测试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．在以为原点，以
为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点
O {
},,i j k
，则点的坐标为（ ）
()()3,5,7,6,4,5A AB -=-
B A ．
B ．
C ．
D ．
()
9,9,12-()3,1,2--()
3,1,2-()
3,5,12-2．将直线
绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（
）
1:10l x y -+=()0,12l 2l A ．B ．C ．D ．20x y +-=10
x y +-=220
x y -+=210
x y -+=3．已知点
，则以为直径的圆的方程为（ ）
()()
2,0,6,4M N MN A ．
B ．
()()2
2
4216x y ++-=()()22
428
x y -++=C ．
D ．
()()22
4216
x y -+-=()()2
2
428
x y -+-=4．空间四边形中，，点在上，点为
OABC ,,OA a OB b OC c === M OA 2,
3OM OA =
N 的中点，则（ ）BC MN =
A ．
B ．1212
32a b c -+ 2113
22a b c
-++
C ．
D ．
111222a b c +- 221332a b c +- 5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
l sin 20x y θ-+=l αA ．
B ．
C ．
D ．[]
0,πππ,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦π3π,44⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤
⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
6．在中，点，点，点A 满足面积的最大值ABC V (2,0)B -(2,0)C ||
||AB AC =ABC V 为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．7．点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆
1F 2F C C P 1290F PF ∠=
方程可以是（ ）
C A ．B ．
221259x y +=22
12516x y +=
C ．
D ．
22
169x y +=22
1169x y +=8．已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲
12F F ､()22
2210,0x y a b a b -=>>2F 线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为A B ､12AF F △1I 112,r BF F 2I
，若，则双曲线的离心率为（ ）
2r 212r r a =A ．B ．2
C ．
D ．3
32
52
二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（
）
A ．若直线的方向向量为，直线的方向向量为
，则与l (1,1,2)a =-
m 12,1,2b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ l 垂直
m B ．已知点，，在平面内，向量是平面的法
(1,0,1)A -(0,1,0)B (1,2,0)C -α(1,,)n u t =
α向量，则1
u t +=C ．对空间任意一点和不共线的三点A ，B ，C ，若，则O 22OP OA OB OC =--
P ，A ，B ，C 四点共面
D ．若为空间的一个基底，则
构成空间的另一个基底{},,a b c {,,}a b b c c a +++ 10．在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标满足，其中为参(,)x y 3cos 13sin x y θ
θ=⎧⎨
=+⎩θ数．已知直线
与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线
1:40
l x y +-=与点P 的轨迹交于C ，D 两点，则四边形的面积的值可以
2:22350l mx y m +--=ACBD 是（ ）
A ．
B ．
C ．D
．
1)
+11．1.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其
22
22:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 中．直线与椭圆交于A ，B 两点．则下列说法中正确的有122F F c =()():R l y k x c k =+∈（ ）
A ．
的周长为2ABF △4a
B ．若的中点为M ，则
AB 2
2
OM
b k k a
⋅=
C ．若，则椭圆的离心率的取值范围是22
13AF AF c →
→
⋅=12⎤
⎥⎦D ．若的最小值为，则椭圆的离心率
AB 3c 1
2
e =
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则
.
,,a b c 60o
2a b c +-= 13．如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的:50l x y +-=x y A B ()3,0P 光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路l y y P 程是
.
14．椭圆的离心率e 满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”()222
210+=>>x y a b a b e ．若是“黄金椭圆”，则
；“黄金椭圆”
()22
110010x y m m +=>>m =两个焦点分别为、（），P 为椭圆C 上的
()22
22:10x y C a b a b +=>>()1,0F c -()2,0F c 0c >异于顶点的任意一点，点M 是
的内心，连接PM 并延长交于N ，则
12PF F 12F F PM
MN =．
四、解答题（本大题共5小题）15．已知的三个顶点分别为.
ABC V ()()()
0,01,14,2A B C ，，(1)求边所在直线的方程；
BC (2)若的中点为，求边的垂直平分线的方程；AC D AC l (3)求的外接圆的方程.
ABC V 16．如图，四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是正三P ABCD -角形，侧面面ABCD ，M 是PD 的中点.
PAD ⊥
(1)求证：平面平面PCD AMB ⊥(2)求BM 与平面所成角的正弦值
PAB 17．已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点
C 22y px =0p >A B AB 的纵坐标为 2.
（1）求抛物线的标准方程；
C （2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不(1,2)P P PM PN C M N M N 同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.P MPN ∠y MN 18．如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且
ABCD ED ⊥,ABCD FB ⊥ABCD .
1ED FB ==
(1)求证：平面EC ⊥ADF
(2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，
EC G GBD ADF 45
若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
G 19．已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的
,A B P (0
PA
PB λλ=>1)λ≠P 轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足
，
(),A B λQ ()
0QA QB μμ⋅=>则点的轨迹是以
为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，
Q (),A B μ.
()()()
2,0,,2A B a b a -≠-(1)若以
为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为
，求的值；
(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λ(2)在（1）的条件下，若点在以
为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求
Q (),A B （为原点）的取值范围；
OQ
O
(3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有
1个对称中心，若0,b λ==
存在实数，使得以
为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关
,a μ(),A B μ于同一个点对称.
答案
1．【正确答案】A
【详解】，
3576459912OB OA AB i j k i j k i j k =+=+-++-=+- 所以点的坐标为
．
B ()9,9,12-故选：A.
2．【正确答案】B
【详解】直线的方程为，其斜率为，
1l 1
:10l x y -+=1设直线
的斜率为，，
2l k 12l l ⊥ ．
1k ∴=-由题意可知，，，
1(0,1)l ∈2(0,1)l ∈的方程为：，即．2l ∴1(0)-=--y x 10x y +-=故选：B
3．【正确答案】D 【详解】因为
，
()()
2,0,6,4M N
线段的中点为
，
MN ()4,2MN =
=
所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径MN ()4,2r =所以线段为直径的圆的方程为.
MN ()()
2
2
428
x y -+-=故选：D.
4．【正确答案】B
【详解】点为的中点，则有，
N BC ()
12ON OB OC
=+ 所以
.()
1221123322MN ON OM OB OC OA a b c
=-=+-=-++
故选：B.
5．【正确答案】C
【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为，l sin 20x y θ-+=α当时，
，
sin 0θ=π2α=
②当时，直线的斜率
，
sin 0θ≠1
tan sin k αθ==
由于或，
1sin 0θ-≤<0sin 1θ<≤所以,,，
tan (α∈-∞1][1
- )+∞所以
，
πππ3π
[,)(,
]42
24α∈⋃综上所述：；
π3π
[,
]44α∈故选：C ．
6．【正确答案】B
【详解】设
，则
，
()
,A x y AB =
由得
||
||AB AC ==化简得
，
()2
2632
x y -+=
故点的轨迹为以
为圆心，轴的两个交点），
A ()6,0x
故点到直线的距离最大值为A BC
故面积的最大值为ABC V 11
4422BC ⋅=⨯⨯=故选：B
7．【正确答案】A
【详解】设椭圆方程为，
22
221(0)x y a b a b +=>>
设椭圆上顶点为，椭圆上存在点，使得，
B C P 1290F PF ∠=
则需，由余弦定理可得，
1290F BF ∠≥
222
1212
1212
cos 02BF BF F F F BF BF BF +-∠=
≤⨯，2
2
2
1212
BF BF F F ∴+≤即，，，
2
2
2
4a a c +≤2
22c a b =- 222
424a a b -≤则，
22
2a b ≥同理可得椭圆焦点在轴上时，也应有，
y 22
2a b ≥所以选项A 满足.故选：A.
8．【正确答案】B 【详解
】
过分别作的垂线，垂足分别为，1I 1212AF AF F F ､､D E F ､､则
，
1122,,AD AE F D F F F E F F
===，则
，122AF AF a
-= ()()12122a AD DF AE EF F F F F +--=+=又，则，
12122F F F F F F c =+= 11FF OF OF a c =+=+，即在直线上，
OF a
∴=1I x a =，
1212122221,I F A I F F I F B I F F ∠∠∠∠== 则，1222121221221,
I F A I F B I F F I F F I F I ∠∠∠∠∠+=+=122
π
2I F I ∠∴=又，则
，即，
1222I F F F F F
I F
=
2
122I F I F F F
=22
12()r r c a a =-=
，故离心率为
，
2c a ∴=2c e a =
=故选：B.
9．【正确答案】BD
【详解】对于A ，，故A 错误；
1(1,1,2)2,1,21120
2a b ⎛
⎫⋅=-⋅=-+=≠ ⎪⎝⎭ 对于B ，，且向量是平面的法向量，()1,1,1AB =- (1,,)n u t = α所以，即，即，故B 正确；
0AB n ⋅=
10u t -++=1u t +=对于C ，因为，所以则P ，A ，B ，C 四点不共面，故C 错误；
2211--≠对于D ，因为为空间的一个基底，所以不共面，
{},,a b c ,,a b c 假设共面，则存在唯一实数，使
,,a b b c c a +++
,λμ，
()
()()a b b c c a b c a
λμλλμμ+=+++=+++
所以，无解，故不共面，故D 正确；
11
λμλμ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩,,a b b c c a +++ 故选：BD.
10．【正确答案】BC
【详解
】
由题得，平方相加得点P 的轨迹方程为
，cos 31sin 3x
y θθ⎧=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩22+(1)9x y -=点P 的轨迹是以点为圆心半径为3的圆.(0,1),
22350(23)250mx y m m x y +--=∴-+-=，
所以直线过定点
，2l 35(,22M 由于所以定点在直线上，
35
4022+-=，M 1l 由题得四边形的面积为，ACBD 1212111
||||||()
222AB h AB h AB h h ⨯⨯+⨯⨯=+当最大时，面积最大，此时,12h h +AB CD ⊥所以
，所以直线的方程为，经过圆心，
21,12m
m -
=∴=-1l 10x y -+=(0,1)所以此时,
||236CD =⨯=由题得圆心到直线的距离为.
AB |AB =∴=所以面积的最大值为
1
62⨯⨯所以面积的取值范围为
.故选：
BC
11．【正确答案】AC
【详解】对A ，根据椭圆的定义
的周长为，正确；
2ABF △1122|||||||4|AF BF A a F BF +++=对B ，设，则，所以，
，()()1122,,,A x y B x y 1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭1212y y k x x -=-1212OM y y k x x +=+由，即，错误；()()()()22
112222222
1212121222222
12122222101x y y y y y x x y y b a b a b x x x x a x y a b ⎧+=⎪+---⎪⇒+=⇒=-⎨+-⎪+=⎪⎩22OM b k k a ⋅=-对C ，
()()222
11121111,,AF AF x c y x x y y c c →→
⋅=+=-+-
，则，正确；
222222122[2,]x a c a a c a c c +-∈--
=2221232c a c c a c e a ⎤-≤≤-⇒=∈⎥⎦对D ，容易知道，的最小值为通径长度，由于直线斜率存在，所以不能取到最AB 22b
a 小值，不正确.
故选：AC.
12．【正确答案
【详解
】
a b +-=
==
故13．【正确答案
】【详解
】如图，
点关于直线的对称点为，则，即，
P l (),D m n ()35022113m n n m +⎧+-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪-⎩703m n n m +-=⎧⎨=-⎩解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为
52m n =⎧⎨=⎩P l ()5,2D P y ，
()3,0C -则光线所经过的路程为
CD =
故14．【正确答案】
5
【详解】因为是“黄金椭圆”，故
，
()22
110010x y
m m +=>>=5m =
连接，因为为内心，故为角平分线，
21,F M F M M 21,F M F M 由角平分线性质，有，故
，
2
1
21PF PM PF NF NM NF =
=21212
2PF PF PM a a NF NF NM c c +=====+故，5-15．【正确答案】(1)320x y -+=(2)250
x y +-=(3)
22860x y x y +-+=【详解】（1）由，由两点式可得边所在直线的方程为
，(1,1),(4,2)B C BC 112141y x --=--即边所在直线的方程；
BC 320x y -+=（2）由，可得的中点为，
(0,0),(4,2)A C AC (2,1)D 又，所以边的垂直平分线的斜率为，
201402AC k -==-AC l 2-所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即.
AC l 12(2)y x -=--250x y +-=（3）设的外接圆的方程为
，ABC V 220x y Dx Ey F ++++=则，解得，
2222220000011042420F D E F D E F ⎧++++=⎪++++=⎨⎪++++=⎩0
86F D E =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以的外接圆的方程为
.ABC V 22860x y x y +-+=16．【正确答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由平面平面，平面平面，
PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =底面ABCD 是边长为2的正方形，则，平面，
CD AD ⊥CD ⊂ABCD 可知面，平面，，
CD ⊥PAD AM ⊂PAD CD AM ∴⊥为正三角形，为中点，
PAD QV M
可得，平面，平面，
AM PD ⊥,,⋂=⊂PD CD D PD CD PCD AM ∴⊥PCD 平面，平面平面.
AM ⊂ AMB ∴AMB ⊥PCD （2）取AD 的中点为O ，连接，侧面PAD 是正三角形，
PO 则，平面平面，平面平面，
PO AD ⊥PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =平面，可知面，
PO ⊂PAD ⊥PO ABCD 设BC 中点为N ，连接ON ，
以O 为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系：
,,OA ON OP ,,x y
z 则，，，
(1,0,0)
A P (1,2,0)
B 1(2M -，
，(0,2,0)AB = (
AP =- 3(,2BM =-- 设平面的法向量为，则，PAB (,
,)n x y z = 200n AB y n AP x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩
取，则，
1z =n = 设BM 与平面所成角为，则PAB θ.
sin cos ,n BM n BM n BM θ⋅=〈〉=== 17．【正确答案】(1) ;(2)见解析.
2=4y x 【详解】(1)设,则,两式相减,得:
()(),,,A A B B A x y B x y 222,2A A B B y px y px ==由弦中点的纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准
22A B B A p y y p k +==AB 4A B y y +==2p C 方程.
2=4y x (2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,
MPN ∠y PM PN 且不等于零,设直线由得
()()1122,,,M x y N x y :(1)2,0PM y k x k =-+≠2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为
()2222244(2)0k x k k x k --++-=(1,2)P C
.即,同理
22122(2)441,1k k k x k k --+∴⨯==21244k k x k -+= 2212122222+442888,,k k k k x x x x x k k k k ++--=∴+=-==()()12121212y y k x k x ⎡
⎤⎡⎤∴-=-+---+⎣⎦⎣⎦.
()212228822k k x x k k k k k +=+-=⋅-=12MN 128 1.8
y y k k x x k
-∴===---直线的斜率为定值.
∴MN 1-18．【正确答案】
(1)证明见解析
(2)存在，为线段上靠近的三等分点
G EC E 【详解】（1）以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直D ,,DA DC DE x y z 角坐标系，
则，()()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1D A B C E F ，()()()0,1,1,1,0,0,1,1,1EC DA DF ∴=-== ，故EC ⊥DF ，EC ⊥DA ，
0110EC DA EC DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ∵，平面ADF ，
DA DF D = ,DA DF ⊂平面；EC ∴⊥ADF （2）设，则的坐标为，(01)EG EC λλ=<< G ()()0,,1,0,,1DG λλλλ-=- 设平面的法向量为，
GBD (),,n m n t = 则由，令，则，()100n DG n t n DB m n λλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1n λ=-1,m t λλ=-=-则法向量，()1,1,n λλλ=--- 平面与平面的夹角为，且平面的法向量为，
GBD ADF 45 ADF ()0,1,1EC =-
cos45n EC n EC ⋅∴== ，
01λ<<Q ∴解得，
1
3λ=为线段上靠近的三等分点.
G ∴EC E 19．【正确答案】
(1)2,0,a b λ===(2)[]
1,3(3)证明见解析【详解】（1）因为以
为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，(),A B λ221240x y x +-+=设是该圆上任意一点，则，
P (x,y )22124x y x +=-所以，22222222222222||(2)4416||
()()22(122)24PA x y x y x x PB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+因为为常数，
2
2||||PA PB 2λ所以，且，
2240,0a b b -+==2a ≠-所以
2,0,a b λ===
=（2）解：由（1）知
，设，()()2,0,2,0A B -(),Q x y 由，得
，5QA QB
⋅
=5=所以，
()222242516x y x ++
=+，
2240y x =--≥整理得，即，
42890x x --≤()()22190x x +-≤所以，209x ≤≤
OQ ==由，得，
209r ≤≤13OQ ≤≤即的取值范围是.
|OQ |[]1,3（3）证明：若，则以
为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为0b =(),
A B ，整理得，2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=该圆关于点
对称.()22,0a +
由点关于点对称及，()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=可得—卡西尼卵形线关于点对称，μ2,02a -⎛⎫ ⎪⎝
⎭令，解得，与矛盾，
2222a a -+=2a =-2a ≠=-
所以不存在实数，使得以
为稳点的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线,a μ(),A B μ都关于同一个点对称。