八年级上学期阳光指标调研数学试卷(含答案)

八年级上学期阳光指标调研数学试卷（含答案）
一、选择题
1．如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图象过点(0,2)，则不等式20kx b +->的解集是（ ）
A ．0x >
B ．0x <
C ．2x <
D ．2x >
2．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点E 是AB 中点，将CAE ∆沿着直线CE 翻折，得到CDE ∆，连接AD ，则线段AD 的长等于（ ）
A ．4
B ．165
C ．245
D ．5
3．如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，点B 恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于( )
A ．25°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
4．已知二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩
，则在同一平面直角坐标系中，两函数y ＝x ＋5与y ＝﹣12
x ﹣1的图像的交点坐标为（ ） A ．（﹣4，1） B ．（1，﹣4） C ．（4，﹣1） D ．（﹣1，4）
5．已知：△ABC ≌△DCB ，若BC=10cm ，AB=6cm ，AC=7cm ，则CD 为（ ）
A ．10cm
B ．7cm
C ．6cm
D ．6cm 或7cm
6．在下列各数中，无理数有（ ）
33224,3,
,8,9,07π A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A ．4,5,6
B ．1.5,2，2.5
C ．2,3,4
D ．1，2， 3 8．已知：如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3cm ，BO ＝4cm ，将△AOB 绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段B 1D 的长度为（ ）
A ．12cm
B ．1cm
C ．2cm
D ．32
cm 9．关于等腰三角形，以下说法正确的是（ ）
A ．有一个角为40°的等腰三角形一定是锐角三角形
B ．等腰三角形两边上的中线一定相等
C ．两个等腰三角形中，若一腰以及该腰上的高对应相等，则这两个等腰三角形全等
D ．等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等
10．如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB ，将右侧部分纸片四边形ABCD 沿线段AB 翻折至四边形ABC 'D '，若∠ABC ＝58°，则∠1＝（ ）
A ．60°
B ．64°
C ．42°
D ．52°
二、填空题
11．若点(1,35)P m m +-在x 轴上，则m 的值为________.
12．若等腰三角形的两边长为10cm ，5cm ，则周长为__________cm ．
13．圆周率π=3.1415926…精确到千分位的近似数是_____．
14．2x -x 可以取的最小整数为______．
15．如图，在△PAB 中，PA=PB ，D 、E 、F 分别是边PA ，PB ，AB 上的点，且AD=BF ，BE=AF ，若∠DFE=40°，则∠P=____°.
16．若点P （2−a ，2a+5）到两坐标轴的距离相等，则a 的值为____．
17．在实数：311-50.2-803.010010001 (72)
π、、、、、、中，无理数有______个. 18．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为_____．
19．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，OA ＝6，OC ＝3．∠DOE ＝45°，OD ，OE 分别交BC ，AB 于点D ，E ，且CD ＝2，则点E 坐标为_____．
20．如图①，四边形ABCD 中，//,90BC AD A ∠=︒，点P 从A 点出发，沿折线AB BC CD →→运动，到点D 时停止，已知PAD △的面积s 与点P 运动的路程x 的函数图象如图②所示，则点P 从开始到停止运动的总路程为________.
三、解答题
21．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =15，AB =25，点D 为斜边AB 上动点．
（1）如图1，当CD ⊥AB 时，求CD 的长度；
（2）如图2，当AD =AC 时，过点D 作DE ⊥AB 交BC 于点E ，求CE 的长度；
（3）如图3，在点D 的运动过程中，连接CD ，当△ACD 为等腰三角形时，直接写出AD 的长度．
22．如图，在边长为12cm 的正方形ABCD 中，M 是AD 边的中点，点P 从点A 出发，在正方形边上沿A B C D →→→的方向以大于1 cm/s 的速度匀速移动，点Q 从点D 出发，在CD 边上沿D C →方向以1 cm/s 的速度匀速移动，P 、Q 两点同时出发，当点P 、Q 相遇时即停止移动.设点P 移动的时间为t(s)，正方形ABCD 与PMQ ∠的内部重叠部分面积为y (cm 2).已知点P 移动到点B 处，y 的值为96(即此时正方形ABCD 与PMQ ∠的内部重叠部分面积为96cm 2).
(1)求点P 的速度:
(2)求y 与t 的函数关系式，并直接写出的取值范围.
23．先化简，再求值：()3212m m m ⎛⎫++
÷+ ⎪-⎝⎭，其中22m -≤≤且m 为整数.请你从中选取一个喜欢的数代入求值.
24．计算： (10156)3
25．2|3|0a b -+-=，
（164a b
+的值； （2）设x b a ，y +b a 11x y
+的值． 四、压轴题
26．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．
（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
27．如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．
28．（1）在等边三角形ABC 中，
①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；
②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度；
（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的
交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．
29．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，
DAE BAC ∠=∠．
（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则
DB __________EC ．（填＞、＜或=）
（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．
（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．
（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．
（拓展提升）（5）如图⑤，ABC和ADE都是等腰直角三角形，
AB=，∠=∠=︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当5 BAC DAE
90
△与ADC的面积和的最大值为__________．2
AD=时，在旋转过程中，ABE
30．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．”
（1）求∠DFC的度数；
（2）在图1中探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由图知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为（0，2），且y随x的增大而增大，由此得出当x＞0时，y＞2，进而可得解．
【详解】
根据图示知：一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为（0，2），且y随x的增大而增大；即当x＞0时函数值y的范围是y＞2；
因而当不等式kx+b-2＞0时，x的取值范围是x＞0．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，在解题时，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
延长CE交AD于F，连接BD，先判定△ABC∽△CAF，即可得到CF=6.4，EF=CF-CE=1.4，再依据EF为△ABD的中位线，即可得出BD=2EF=2.8，最后根据∠ADB=90°，即可运用勾股定理求得AD的长．
【详解】
解：如图，延长CE交AD于F，连接BD，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵∠ACB=90°，CE为中线，
∴CE=AE=BE=1
2.5 2
AB ，
∴∠ACF=∠BAC，
又∵∠AFC=∠BCA=90°，
∴△ABC∽△CAF，
∴CF AC
AC BA
=，即
4
45
CF
=，
∴CF=3.2，
∴EF=CF-CE=0.7，
由折叠可得，AC=DC，AE=DE，
∴CE垂直平分AD，
又∵E为AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴BD=2EF=1.4，
∵AE=BE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，∠BDE=∠DBE，
又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°，
∴Rt△ABD中，
24
5
==，
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识的综合运用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用所学知识解决问题．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵△ABC沿CD折叠B与E重合，
∴BC=CE，
∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∴△BEC是等边三角形．
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
故选B．
【点睛】
本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练
掌握折叠的性质：折叠前后的对应边相等，对应角相等. 4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．【详解】
解：∵二元一次方程组
5
22
x y
x y
-=-
⎧
⎨
+=-
⎩
的解为
4
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x＋5与y＝﹣1
2
x﹣1的图像的交点坐标为：（-
4,1）
故选：A.
【点睛】
本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
全等图形中的对应边相等.
【详解】
根据△ABC≌△DCB，所以AB=CD,所以CD=6，所以答案选择C项.
【点睛】
本题考查了全等，了解全等图形中对应边相等是解决本题的关键.
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
先将能化简的进行化简，再根据无理数的定义进行解答即可．
【详解】
，
∴这一组数中的无理数有：32个．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
7．B
解析：B
【解析】
试题分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可：
A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、
2
22
133
+=≠，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选B．
考点：勾股定理的逆定理．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB＝5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半得出OD＝1
2
AB＝2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1＝OB＝4cm，那么B1D＝OB1
﹣OD＝1.5cm．
【详解】
∵在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，
∴AB＝5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD＝1
2
AB＝2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，
∴OB1＝OB＝4cm，
∴B1D＝OB1﹣OD＝1.5cm．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和判断即可．
【详解】
解：A：如果40︒的角是底角，则顶角等于100︒，故三角形是钝角三角形，此选项错误；
B、当两条中线为两腰上的中线时，可知两条中线相等，
当两条中线一条为腰上的中线，一条为底边上的中线时，则这两条中线不一定相等，
等腰三角形的两条中线不一定相等，此选项错误；
C、如图，△ABC和△ABD中，AB=AC=AD，CD∥AB，DG是△ABD 的AB边高，CH是是△ABC 的AB边高，则DG=CH，但△ABC和△ABD不全等；故此选项错误；
D、三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．内心到三边的距离相等．故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
由平行线的性质可得∠BAD=122°，由折叠的性质可得∠BAD=∠BAD'=122°，即可求解．【详解】
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，且∠ABC=58°，
∴∠BAD=122°，
∵将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，
∴∠BAD=∠BAD'=122°，
∴∠1=122°-58°=64°，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查平行的性质和折叠的性质，解题关键是借助等量关系进行转换.
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．
【详解】
∵点在x轴上，
∴3m−5＝0，
解得m ＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记x 轴上点的纵坐标为0是解题的关 解析：53
【解析】
【分析】
根据x 轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．
【详解】
∵点(1,35)P m m +-在x 轴上，
∴3m−5＝0，
解得m ＝53
． 故答案为：
53
． 【点睛】 本题考查了点的坐标，熟记x 轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
12．【解析】
【分析】
此题有两种可能：10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论，结合三角形三边关系，从而求解．
【详解】
解：①以10cm 为腰时，三角形周长为10+10+5=25cm ；②以5
解析：25cm
【解析】
【分析】
此题有两种可能：10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论，结合三角形三边关系，从而求解．
【详解】
解：①以10cm 为腰时，三角形周长为10+10+5=25cm ；②以5cm 为腰，因为5+5=10，不符合三角形两边之和大于第三边，此情况不成立；
故答案为：25cm ．
【点睛】
此题主要考查三角形三边关系及等腰三角形的性质，注意分类讨论思想的应用是本题的解题关键．
13．142
【分析】
近似数π=3.1415926…精确到千分位，即是保留到千分位，由于千分位1后面的5
大于4，故进1，得3.142．
【详解】
解：圆周率π=3.1415926…精确到千分
解析：142
【解析】
【分析】
近似数π=3.1415926…精确到千分位，即是保留到千分位，由于千分位1后面的5
大于4，故进1，得3.142．
【详解】
解：圆周率π=3.1415926…精确到千分位的近似数是3.142．
故答案为3.142．
【点睛】
本题考查了近似数和精确度，精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．14．2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2，
∴x可以取的最小整数为2．
故填：2.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据
解析：2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2，
∴x可以取的最小整数为2．
故填：2.
本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于列式求解即可，比较简单．15．100
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠DFE=40°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详
解析：100
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△ADF≌△BFE，得到∠ADF=∠BFE，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠DFE=40°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△ADF和△BFE中，
AD BF
A B AF BE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADF≌△BFE（SAS），
∴∠ADF=∠BFE，
∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠A+∠ADF，
∴∠A=∠DFE=40°，
∴∠P=180°-∠A-∠B=100°；
故答案为：100.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．16．a=-1或a=-7．
【解析】
【分析】
由点P到两坐标轴的距离相等可得出|2-a|=|2a+5|，求出a的值即可．
【详解】
解：∵点P到两坐标轴的距离相等，
∴|2-a|=|2a+5|，
∴2-
解析：a=-1或a=-7．
【解析】
【分析】
由点P 到两坐标轴的距离相等可得出|2-a|=|2a+5|，求出a 的值即可．
【详解】
解：∵点P 到两坐标轴的距离相等，
∴|2-a|=|2a+5|，
∴2-a=2a+5，2-a=-（2a+5）
∴a=-1或a=-7.
故答案是：a=-1或a=-7．
【点睛】
本题考查了点到坐标轴的距离与坐标的关系，解答本题的关键在于得出|2-a|=|2a+5|，注意不要漏解．
17．3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】
解：=-2，
无理数有：，共3个.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开
解析：3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】
， 3.010010001 (2)
π
、、，共3个. 故答案为：3.
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 18．8
【分析】
【详解】
解：设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为，乙做40个所用的时间为，列方程为：=，
解得：x=8，
经检验：x=8是原分式方程的解，
解析：8
【解析】
【分析】
【详解】
解：设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，
甲做60个所用的时间为
60
4
x+
，乙做40个所用的时间为
40
x
，
列方程为：
60
4
x+
=
40
x
，
解得：x=8，
经检验：x=8是原分式方程的解，且符合题意，
所以乙每小时做8个，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等建立方程是关键．
19．（，6）
【解析】
【分析】
如图，过点E作EF⊥OE交OD延长线于点F，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，作FH⊥BC于H，由“AAS”可证△AEO≌△GEF，可得AE=GF，EG=AO=6，
解析：（6
5
，6）
【解析】
【分析】
如图，过点E作EF⊥OE交OD延长线于点F，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，作FH⊥BC于H，由“AAS”可证△AEO≌△GEF，可得AE=GF，EG=AO=6，通过证明
△ODC∽△FDH，可得HF HD
OC CD
=，即可求解．
如图，过点E作EF⊥OE交OD延长线于点F，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，作FH⊥BC于H，
∵∠EOF=45°，EF⊥EO，
∴∠EOF=∠EFO=45°，
∴OE=EF，
∵∠AOE+∠AEO=90°，∠AEO+∠GEF=90°，
∴∠GEF=∠AOE，且∠OAE=∠G=90°，OE=EF，
∴△AEO≌△GEF（AAS）
∴AE=GF，EG=AO=6，
∴BG=EG﹣BE=6﹣（3﹣AE）=3+AE，
∵FH⊥BC，∠G=∠CBG=90°，
∴四边形BGFH是矩形，
∴BH=GF=AE，BG=HF=3+AE，HF∥BG∥OC，
∴HD=BD﹣BH=4﹣AE，
∵HF∥OC，
∴△ODC∽△FDH，
∴HF HD OC CD
=，
∴34
32
AE AE +-
=
∴AE=6
5
，
∴点E（6
5
，6）
故答案为：（6
5
，6）
【点睛】
此题主要考查利用全等三角形和相似三角形的判定与性质判定矩形在平面直角坐标系中的坐标，解题关键是利用其性质构建方程.
20．11
【解析】
根据函数图象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD 的长，作辅助线CE⊥AD,从而可得CD的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【
解析：11
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，作辅助线CE⊥AD,从而可得CD的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【详解】
解:作CE⊥AD于点E,如下图所示，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，当点P与点B重合时，△PAD的面积是
21
2
，由B到C运动的路程为3,
∴
321 222 AD AB AD
⨯⨯
==
解得，AD=7,
又∵BC//AD,∠A=90°，CE⊥AD,
∴∠B=90°，∠CEA=90°，
∴四边形ABCE是矩形,
∴AE=BC=3,
∴DE=AD-AE=7-3=4,
∴2222
345,
CD CE DE
=+=+=
∴点P从开始到停止运动的总路程为: AB+BC+CD=3+3+5=11.
故答案为:11
【点睛】
本题考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，能从函数图象中找到准确的信息,利用数形结合的思想解答问题.
三、解答题
21．（1）12CD =；（2）152
CE =；（3）当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长度为：15或18或
252
. 【解析】
【分析】 （1）由勾股定理求出BC 的长度，再由面积法求出CD 的长度即可；
（2）连接AE ，可证明△ACE ≌△ADE ，得到CE=DE ，设CE=DE=x ，则BE=20x -，由BD=10，则利用勾股定理，求出x ，即可得到CE 的长度；
（3）当△ACD 为等腰三角形时，可分为三种情况进行分析：①AD=AC ；②AC=CD ；③AD=CD ；对三种情况进行计算，即可得到AD 的长度.
【详解】
解：（1）如图，
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，
∴BC=2222251520AB AC -=-=，
∴1122ABC S AB CD BC AC ∆=
•=•， ∴1125201522
CD ⨯•=⨯⨯， 解得：12CD =；
（2）如图，连接AE ，
∵DE ⊥AB ，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt △ADE 和Rt △ACE 中，
AD AC AE AE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ADE ≌Rt △ACE ，
∴DE=CE
；
设DE=CE=x ，则BE=20x -，又BD=251510-=，
在Rt △BDE 中，由勾股定理，得
22210(20)x x +=-，
解得：152x =
， ∴152
CE =； （3）在Rt △ABC 中，有AB=25，AC=15，BC=20，点C 到AB 的距离为12；
当△ACD 为等腰三角形时，可分为三种情况：
①当AD=AC 时，AD=15；
②当AC=CD 时，如图，作CE ⊥AB 于点E ，则2AD AE =，
∵CE=12，由勾股定理，得
2215129AE =-=，
∴218AD AE ==；
③当AD=CD 时，如图，
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，
当点D 是AB 中点时，有AD=BD=CD ，
∴112525222
AD AB ==⨯=； 综合上述，当△ACD 为等腰三角形时，AD 的长度为：15或18或
252. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学性质进行求解，注意等腰三角形时要进行分类讨论.
22．（1）3 cm/s ；（2）()()()144120418021481081289t t y t t t t ⎧-≤≤⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩
. 【解析】
【分析】
（1）由于P 的速度比Q 的速度大，因此P 到达B 点时，Q 在DC 边上，此时重叠部分面积为正方形的面积减去△DQM 和△ABM 的面积，求解即可；
（2）分三种情况讨论：当点P 在边AB 上时，当点P 在边BC 上时，当点P 在边CD 上时，根据题意列函数关系式即可．
【详解】
解：（1）由已知得，AB=AD=CD=BC=12，
∵M 是AD 边的中点，
∴AM=MD=6，
由题意可知当P 到达B 点时Q 在DC 边上，DQ=t ，
∴ABM DMQ ABCD y S S S =--△△正方形 ， ∴11961212612622
t =⨯-
⨯⨯-⨯⨯， 解得，t=4，
∴ P 点的速度为12÷4=3 cm/s ；
（2）当点P 在边AB 上时，04t ≤≤， APM DMQ ABCD y S S S =--△△正方形，
111212636=144-1222
y t t t =⨯-⨯⨯-⨯⨯ 当点P 在边BC 上时，48t <≤，
DMQ ABCD AMPB y S S S =--△正方形梯形
()1112123126126=180-2122
y t t t =⨯-⨯-+⨯-⨯⨯ 当点P 在边CD 上时，8t <≤9，
MQ y S =△P ，
()112336=108-122
y t t t =⨯⨯--⨯； 综上所述，y 与t 的函数关系式为
()()()144120418021481081289t t y t t t t ⎧-≤≤⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩
． 【点睛】
本题考查了四边形的动点问题，注意分类讨论是解题的关键．
23．
12
m m --；当0m =时，原式12= 【解析】
【分析】 根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从22m -≤≤且m 为整数中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】 解：3212m m m 2231
21m m m m 24321
1m m m 11112m m m m
2
1m m ， ∵22m -≤≤且m 为整数， ∴当m=0时，原式011022 【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
24．
【解析】
【分析】 先计算括号里面的，再计算二次根式的乘法，即可求出答案．
【详解】
解：原式
===． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．
25．（1）
4；（2） 【解析】
【分析】
（1）由算术平方根及绝对值的非负性可得a ，b 的值，将a ，b
+利用二次根式的除法法则计算即可；
（2）将a ，b 的值代入x ，y x ，y 的值，再将x ，y 的值代入11x y
+，利用平方差公式使分母有理化，最后合并即可. 【详解】
解：（1|3|0b -=，
∴a ﹣2＝0，b ﹣3＝0，
∴a ＝2，b ＝3，
===
（2）∵x y ∴
11
x y +
== 【点睛】
本题考查了二次根式的化简，熟练的掌握二次根式分母有理化的方法是化简的关键.
四、压轴题
26．（1）5y x =+；（2）3）PB 的长为定值
52 【解析】
【分析】
（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；
（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．
【详解】
（1）对于直线:5L y mx m =+．
当0y =时，5x =-．
当0x =时，5y m =．
()5,0A ∴-，()0,5B m ．
OA OB =．
55m ∴=．
解得1m =．
∴直线L 的解析式为5y x =+．
（2）5OA =，AM =
∴由勾股定理，
OM ==．
180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．
90AOB ∠=︒．
90AOM BON ∴∠+∠=︒．
90AOM OAM ∠+∠=︒．
BON OAM ∴∠=∠．
在AMO
∆与OBN
∆中，
90
BON OAM
AMO BNO
OA OB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠=︒
⎨
⎪=
⎩
．
()
AMO OBN AAS
∴∆≅∆．
22
BN OM
∴==．．
（3）如图所示：过点E作EG y
⊥轴于G点．
AEB
∆为等腰直角三角形，
AB EB
∴=
90
ABO EBG
∠+∠=︒．
EG BG
⊥，
90
GEB EBG
∴∠+∠=︒．
ABO GEB
∴∠=∠．
AOB EBG
∴∆≅∆．
5
BG AO
∴==，OB EG
=
OBF
∆为等腰直角三角形，
OB BF
∴=
BF EG
∴=．
BFP GEP
∴∆≅∆．
15
22
BP GP BG
∴===．
【点睛】
本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB，求OM，用勾股定理求AB，再证AMO OBN
∆≅∆，构造AOB EBG
∆≅∆，求BG，再证BFP GEP
∆≅∆．
27．（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，
1
1
t
x
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
3
2
t
x
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP 和△BPQ 全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;
（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.
【详解】
(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,
又∠A=∠B= 90°，
在△ACP 和△BPQ 中，
{AP BQ
A B AC BP
=∠=∠=
∴△ACP ≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.
∴∠CPQ= 90°，
即线段PC 与线段PQ 垂直；
(2)①若△ACP ≌△BPQ ，
则AC= BP ，AP= BQ ，
34t t xt =-⎧⎨=⎩
解得11t x =⎧⎨=⎩
; ②若△ACP ≌△BQP ，
则AC= BQ ，AP= BP ，
34xt t t =⎧⎨=-⎩
解得：232
t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232
t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. 【点睛】
本题主要考查三角形全等与动点问题，熟练掌握三角形全等的性质与判定定理，是解决本题的关键.
28．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．
【解析】
【分析】
（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得
∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；
（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【详解】
（1）如图①中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．
故答案为60．
（2）如图②中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∴∠CAE=∠BCD=′120°
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．
故答案为60．
（3）如图③中，
∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴OC=OA，
∴∠EAC=∠DCB=α，
∵AC=BC，AE=CD，
∴△AEC≌△CDB，
∴∠E=∠D，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【点睛】
本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.
29．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7【解析】
【分析】
（1）由DE∥BC，得到DB EC
AB AC
=，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；
（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．
【详解】
[初步感知]（1）∵DE∥BC，
∴DB EC AB AC
=，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为：=，
（2）成立．
理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中
AD AE
DAB EAC
AB AC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB=CE；
[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
AD AE
DAB EAC
AB AC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BDC=∠BAC=60°；
（4）∵△DAE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∴∠AEC=135°，
在△DAB和△EAC中
AD AE
DAB EAC
AB AC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，
∵∠ADE=45°，
∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，
∵△ADE都是等腰直角三角形，AM为△ADE中DE边上的高，∴AM=EM=MD，
∴AM+BD=CM；
故答案为：90°，AM+BD=CM；
【拓展提升】
（5）如图，
由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，△ADE与△ADC面积的和达到最大，
∴△ADC面积最大，
∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，
∴要△ADC面积最大，
∴点D到AC的距离最大，
∴DA⊥AC，
∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+1
2
×AC×AD=5+2=7，
故答案为7．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．
30．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；
（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；
（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，
又△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，
在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，
∴α＋β＝60°，
∴∠DFC=α＋β＝60°；
（2）EF=AF+FC，证明如下：。