2020-2021学年广东省佛山市南海区八年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年广东省佛山市南海区八年级（下）期末数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
2.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是()
A. (x+1)(x−1)=x2−1
B. x2−2x+1=x(x−2)+1
C. a(x−y)=ax−ay
D. x2+2x+1=(x+1)2
3.若分式5
x−2
有意义，则x的取值范围是()
A. x≠−2
B. x≠2
C. x>2
D. x≠0
4.下列不等式变形正确的是()
A. 由4x−1≥0得4x>1
B. 由5x>3得x>15
C. 由−2x<4得x<−2
D. 由y
2
>0得y>0
5.1
a +1
b
的运算结果正确的是()
A. 1
a+b B. 2
a+b
C. a+b
ab
D. a+b
6.如图，在Rt△ABC中∠C=90°，BD是∠ABC的平分
线，若CD=4，AB=14，则S△ABD=()
A. 56
B. 28
C. 14
D. 12
7.如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，
则∠1为()
A. 32°
B. 36°
C. 40°
D. 42°
8.如图，已知AB=AC，AB=10，BC=6，以A，B两点为
圆心，大于1
2
AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直
线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为()
A. 16
B. 20
C. 22
D. 26
9.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈
现出来的图形是()
A. B. C. D.
10.如图，在▱ABCD中，已知AD=15cm，点P在AD
边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC
边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，
两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时
Q点也停止)，设运动时间为t(s)(t>0)，若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是()
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11.因式分解：x2−4x=______．
12.点M(2,−1)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是
______ ．
13.已知实数x、y满足|x−6|+(y−7)2=0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形
的周长为______ ．
14.分式方程1
x−2=3
x
的解是______．
15.▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠A=______．
16.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于点D，∠A=30°，BD=1.5cm，
则AD=______ cm．
17.如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC，△ABC的
顶点A在△ECD的斜边DE上.下列结论：①连接BD，∠BDC=45°；②∠DAB=∠ACE；③AE+AC=AD；④AE2+AD2=2AC2.请写出所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
18.解不等式组：{5x−1>3(x+1)①
2x−1
3
−5x+1
2
≤1②
，并把解集在数轴上表示出来．
19.先化简，再求值：(1
x+1−1)÷x2−1
x2+2x+1
，其中x=2021．
20.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，
交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．
21.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别
为A(2,−2)，B(0,−5)，C(0,−2)．
(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则A1的坐标为______ ．
(2)平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为(2,3)，画出平移后对应的△A2B2C2，
则A2的坐标为______ ．
(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为______ ．
BC，22.如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=1
2连接CD和EF．
(1)求证：四边形DEFC是平行四边形．
(2)如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．
23.2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，
即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大
产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进
入“提速”模式.某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等．
(1)求A、B两种垃圾桶每组的单价．
(2)该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组.则最多
可以购买B种垃圾桶多少组？
24.在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1=
x交于点B，并且有如下信息：①kx+b(k≠0)与x轴交于点A且与直线l2：y2=3
2
当x>2时，y1<y2；当x<2时，y1>y2.②当y1<0时，x<−4．
根据信息解答下列问题：
(1)求直线l1的表达式．
x−2与直线l2交于点C，求△ABC的面积．
(2)过点A的直线l3：y3=−1
2
(3)若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标.若不存在，请说明理由．
25.如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC=6，
点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE=AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．
(1)求证：△CEF是等边三角形．
(2)△AEF的周长最小值是______ ．
(3)若BE=3，求证：BM=MN=DN．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、(x+1)(x−1)=x2−1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、x2−2x+1=(x−1)2，不合题意；
C、a(x−y)=ax−ay，不合题意；
D、x2+2x+1=(x+1)2，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
直接利用因式分解的意义分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵分式5
有意义，
x−2
∴x−2≠0，
∴x≠2，
故选：B．
分式有意义的条件是分母不等于0．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、由4x−1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由5x>3得x>3
5
，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由−2x<4得x>−2，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由y
2
>0得y>0，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案．
本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质是：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】C
【解析】解：1
a +1
b
=b
ab +a
ab
=a+b
ab
故1
a +1
b
的运算结果正确的是a+b
ab
．
故选：C．
首先通分，把1
a 、1
b
都化成以ab为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法则，求出1
a
+1
b
的运算结果正确的是哪个即可．
此题主要考查了分式的加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：(1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．(2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
6.【答案】B
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=4，
∴△ABD的面积=1
2AB⋅DE=1
2
×14×4=28．
故选：B．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，以及与正多边形相关的概念和计算，利用正多边形的内角是解题关键．利用多边形的内角和定理进行求解即可．
【解答】
解：正方形的内角为90°，
正五边形的内角为(5−2)×180°
5
=108°，
正六边形的内角为(6−2)×180°
6
=120°，
∠1=360°−90°−108°−120°=42°，
故选D．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，AB=10，
∴AC=10，
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=10+6=16．
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
本题考查了作图−基本作图，解决问题的解是掌握线段垂直平分线的性质．
9.【答案】A
【解析】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，∵2021÷4=505...1，
即第2021次与第1次的图案相同．
故选：A．
观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项．
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是注意通过特殊例子发现规律，再选择即可．
10.【答案】B
【解析】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t≤15÷1=15，即t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C−B−C，
由题意得：4t−15=15−t，
解得：t=6；
②点Q的运动路线是C−B−C−B，
由题意得：15−(4t−30)=15−t，
解得：t=10；
③点Q的运动路线是C−B−C−B−C，
由题意得：4t−45=15−t，
解得：t=12；
综上所述，t的值为6或10或12，
根据平行四边形的性质得出DP=BQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解此题的关键．
11.【答案】x(x−4)
【解析】解：x2−4x=x(x−4)．
故答案为：x(x−4)．
直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】(−1,1)
【解析】解：点M(2,−1)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是(2−3,−1+2)，即(−1,1)，
故答案为：(−1,1)．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查坐标与图形变化−平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
13.【答案】19或20
【解析】解：根据题意得x−6=0，y−7=0，
解得x=6，y=7，
①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为19．
②6是底边时，三角形的三边分别为6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为20．
故答案为19或20．
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解．本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
【解析】解：去分母得：x=3(x−2)，
去括号得：x=3x−6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15.【答案】100°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
又∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°．
故答案是：100°．
根据平行四边形的对角相等，可得∠A=∠C，又由∠A+∠C=200°，可得∠A的度数．此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心．
16.【答案】4.5
【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵BD=1.5cm，
∴BC=2BD=3cm，AB=2BC=6cm，
∴AD=AB−BD=4.5cm．
故答案是：4.5．
根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一
半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB−BD计算即可得解．
本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
17.【答案】①②④
【解析】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠E=∠CDE=45°，∠CAB=∠CBA=45°，∵∠DAB+∠CAB=∠ACE+∠E，
∴∠DAB=∠ACE，故②正确；
∴∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，
{CA=CB
∠ECA=∠DCB CE=CD
，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠CDB=∠E=45°，故①正确；
∴AE=BD，∠CEA=∠CDB=45°，
∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴AD2+BD2=AB2，
∴AD2+AE2=AB2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=√2AC，
∴AE2+AD2=2AC2，故④正确；
在AD上截取DF=AE，连接CF，如图所示：在△ACE和△FCD中，
{AE=FD
∠E=∠CDF=45°CE=CD
，
∴△ACE≌△FCD(SAS)，
∴AC=FC，
当∠CAF=60°时，△ACF是等边三角形，
则AC=AF，此时AE+AC=DF+AF=AD，故③不正确；
故答案为：①②④．
由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出②正确；由SAS证出△ACE≌△BCD，①正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出③不正确；即可得出答案．
本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
18.【答案】解：解①得：x>2，
解②得：x≥−1，
∴不等式组的解集是x>2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1
x+1−1)÷x2−1
x2+2x+1
=
1−(x+1)
x+1
⋅
(x+1)2
(x+1)(x−1) =
1−x−1
1
⋅
1
x−1
=−x
x−1
，
当x=2021时，原式=−2021
2021−1=−2021
2020
．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20.【答案】证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°−∠A=90°−30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=60°−30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，根据等腰三角形的性质得到
∠ABD=∠A=30°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC，根据角平分线的定义证明结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
21.【答案】(−2,−2)(4,6)(1,2)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，A1的坐标为(−2,−2)．
故答案为：(−2,−2)．
(2)如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为(4,6)．
故答案为：(4,6)．
(3)旋转中心P的坐标为(1,2)，
故答案为：(1,2)．
(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可．
(2)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
(3)对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
22.【答案】(1)证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1
2
BC，DE//BC，
∵CF=1
2
BC，
∴DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
(2)解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点
∴∠B=60°，BD=1
2
AB=4，
∵∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=1
2
DB=2，
∴DH=√BD2−BH2=√42−22=2√3，
∵CF=1
2
CB=4，
∴S
四边形DEFC
=CF⋅DH=4×2√3=8√3．
【解析】(1)由三角形中位线定理得DE=1
2BC，DE//BC，再由CF=1
2
BC，得DE=CF，
即可得出结论；
(2)过点D作DH⊥BC于H，由等边三角形的性质得∠B=60°，BD=1
2
AB=4，则
∠BDH=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BH=1
2
DB=2，由勾股定理得DH=
2√3，然后由CF=1
2
CB=4，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形
DEFC为平行四边形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为(x+150)元，
依题意得：8000
x =11000
x+150
，
解得：x=400，
经检验，x=400是原方程的解，且符合题意，
∴x+150=400+150=550(元)．
答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元．
(2)设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶(40−y)组，
依题意得：400(40−y)+550y≤18000，
解得：y≤40
3
，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为13．
答：最多可以购买B种垃圾桶13组．
【解析】(1)设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为(x+150)元，利用数量=总价÷单价，结合用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶(40−y)组，利用总价=单价×数量，结合总价不超过18000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.【答案】解：(1)∵当x>2时，y1<y2；当x<2时，y1>y2，
∴点B的横坐标为2，
当x=2时，y2=3
2
×2=3，
∴直线l1，l2的交点坐标为B(2,3)，
∵当y1<0时，x<−4，
∴直线l1与x轴的交点坐标为A(−4,0)，
将A(−4,0)，B(2,3)代入y 1=kx +b 中，
∴{2k +b =3−4k +b =0
， 解得：{k =12b =2
， ∴直线l 1的表达式为y 1=12x +2；
(2)联立{y 2=32x y 3=−12x −2， 解得：{x =−1y =−32
，
∴直线l 2，l 3的交点坐标为C(−1,−32)，
∴S △ABC =12×4×(3+32)=9； (3)存在，
∵点E 是直线AB 上的动点，点D 是x 轴上的动点，
∴设E 点坐标为(x,12x +2)，D 点坐标为(m,0)，
又∵A(−4,0)，C(−1,−32)，
在以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形中，
①当AC ，DE 为平行四边形的对角线时，
{x +m =−4−112x +2=−32
，解得{x =−7m =2， ∴此时D 点坐标为(2,0)，
②当AD ，CE 为平行四边形的对角线时，
{−4+m =−1+x 12x +2−32
=0，解得{x =−1m =2， 此时D 点坐标为(2,0)，
③当AE ，CD 为平行四边形的对角线时，
{−4+x =−1+m 12x +2=−32
，解得{x =−7m =−10， 此时D 点坐标为(−10,0)，
综上，满足条件的点D 的坐标为(2,0)或(−10,0)．
【解析】(1)结合题目信息，利用数形结合思想确定A 点和B 点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；
(2)联立方程组，求得C 点坐标，然后利用三角形面积公式计算求解；
(3)设E点坐标为(x,1
2
x+2)，D点坐标为(m,0)，然后分当AC，DE为平行四边形的对角线时，当AD，CE为平行四边形的对角线时，当AE，CD为平行四边形的对角线时三种情况列方程组求解．
本题考查一次函数与几何综合，理解一次函数的性质和平行四边形的性质，利用数形结合思想解题是关键．
25.【答案】6+3√3
【解析】(1)证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，
∴AC=BC，∠ABC=∠DAC=∠BCA=60°，
∵AF=BE，在△CBE和△CAF中，
{CB=CA
∠CBE=∠CAF BE=AF
，
∴△BEC≌△AFC(SAS)，
∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE，
∴∠ECF=∠BCA=60°，
∴△CEF是等边三角形．
(2)解：∵△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+BE+EF=AB+EF=6+EF，∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，
∵△ECF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴当CE⊥AB时，CE的值最小，此时CE=AC⋅sin60°=3√3，
∴△AEF的周长的最小值为6+3√3，
故答案为：6+3√3．
(3)证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，AC⊥BD
∴AO=CO，BO=DO，∠ABO=
1
2
∠ABC=30°
∵BE=3，AB=AC=6，
∴点E为AB中点，点F为AD中点，∴AO=1
2
AB=3，
∴BO=√62−32=3√3，
∴BD=6√3，
∵△ABC是等边三角形，BE=AE=3，∴CE⊥AB，
∴BM=2EM，
∴32+(1
2
BM)2=BM2
∴BM=2√3，
同理可得DN=2√3，
∴MN=BD−BM−DN=2√3
∴BM=MN=DN．
(1)证明△BEC≌△AFC(SAS)，可得结论．
(2)△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+BE+EF=AB+EF=6+EF，推出EF的值最小时，△AEF的周长最小，因为△ECF是等边三角形，推出EF=CE，推出当CE⊥AB 时，CE的值最小．
(3)求出BD=6√3，再求出BM=DN=2√3，可得BM=MN=DN=2√3解决问题．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。