【推荐必做】黑龙江省大庆铁人新高二数学下学期第一次月考试卷

黑龙江省大庆铁人中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题
试题说明：本试题满分150分，答题时间 120 分钟。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.若函数)(x f y =的导函数)(,56)(2x f x x f 则+='可以是 ( ) A ． ()f x =x x 532+ B. ()f x = 6523++x x C. ()f x = 523+x D. ()f x =6562++x x
2．由710＞58，911＞810，1325＞921，…若0a b >>且0m >，则b m a m ++与b a 之间大小关系为 ( )
A ．相等 B.前者大 C ．后者大 D ．不确定
3.
若P
Q 0a >)，则P 与Q 的大小关系是 ( ) A ． P Q > B. P Q < C. =P Q D.由a 的取值确定
4.（理）
2
2
+cos dx π
π
⎰
—
（1x ）等于 (
)
A ．π B.2 C.π－2 D.π＋2
4.（文）函数512322
3
+--=x x x y 在[0，3]上最大，最小值分别为 ( ) A ． 5，-16 B. 5，4 C. -4，-15 D. 5，-15
5.设,,(0,)x y z ∈+∞，111
,,a x b y c z y z x =+=+=+，则,,a b c 三数 ( )
A ．至少有一个不小于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.都大于2 6. （理）设2
2,
[0,1,
()()02,[1,2],x x f x f x dx x x ⎧∈=⎨
-∈⎩⎰）则等于 ( )
A ．34 B.45 C.5
6
D.不存在 6. （文）已知函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则实数a 的值是 ( ) A ．3
B.4
C ．5
D ．6
7．曲线 1(21)y n x =-上的点到直线 230x y -+=的最短距离是 ( ) A
．
．．0
8．已知32()1f x x ax a x =+++（+6）有极大值和极小值，则a 的取值范围是 ( ) A ．12a -<< B.36a -<< C ．3a <-或6a >
D ．1a <-或2a >
9．过曲线3
2y x x =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为 ( )
A ．（0，-1）或（1，0） B.（1，0）或（-1，-4） C ．（-1，-4）或（0，-2） D ．（1，0）或（2，8）
10．设(),(()f x g x 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且满足'()()()'()0,f x g x f x g x ->则当
a x
b <<时有 ( )
A ．()()()()f x g x f b g b > B.()()()()f x g a f a g x > C ．()()()()f x g b f b g x > D. ()()()()f x g x f a g a >
11．设32(),f x x bx cx d =+++又k 是一个常数.已知当0k <或4k >时, ()0f x k -=只有一个实根;
当04k <<时, ()0f x k -=有三个相异实根,现给出下列命题:
(1) ()40f x -=和'()0f x =有一个相同的实根; (2) ()0f x =和'()0f x =有一个相同的实根;
(3) ()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根; (4) ()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根.
其中,错误命题的个数是 ( ) A ．4 B.3 C.2 D.1 12．关于函数2()(2),x f x x x e =-给出下列四个判断： ①()0f x >的解集是}{
02
x x <<
②(f
是极小值，f 是极大值
③()f x 没有最小值，也没有最大值 ④()f x 有最大值，没有最小值
则其中判断正确的是： ( ) A ． ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.奇函数32y ax bx cx =++在1x =处有极值,则3a b c ++的值为 .
14.与直线2610x y -+=垂直，且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程是___________．
15.已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32， sin 25°＋sin 265°＋sin 2
125°＝32.
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的结论 .
16.设函数()3
31()f x kx x x R =-+∈，若对于任意[]1,1x ∈-，都有()0f x ≥恒成立，则k 的值
为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （本小题10分）
已知曲线3
2y x x =-上一点(1,1)M --，求： （1）点M 处的切线方程；
（2）点M 处的切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积. 18．（本小题12分）
已知函数2
()1f x nx x ax =++
（1）当a ＝－3时，求函数()y f x =的极值点；
（2）当a ＝－4时，求方程2
()0f x x +=在(1，＋∞)上的根的个数．
19.（本小题12分）
已知0,0,0a b c ab bc ca abc ++>++>> （1）利用反证法证明：0,0,0a b c >>> （2）证明：()1119a b c a b c ⎛⎫
++++≥
⎪⎝⎭
20．（理）（本小题12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程2
0n x ax a --=有一根为1n S -，n ＝1,2,3，….
（1）求1a ，2a ；
（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并证明． 20．（文）（本小题12分）
设0a ≥，已知函数2
()1121(0)f x x n x a nx x =--+>.
（1）令'(())F x xf x =，讨论()F x 在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（2）求证：当1x >时，恒有2
1211x n x a nx >-+.
21．（本小题12分）
已知函数()=1x
f x e x --，（e 是自然对数的底数）
（1）求证：()0f x ≥
（2）若不等式()1f x ax >-在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求正数a 的取值范围
22. （本小题12分）
已知函数2
()1(21)f x nx ax a x =+++
（1）讨论
()
f x 的单调性
（2）当0a <时，证明
3()24f x a
≤--
参考答案
一、 选择题（本大题共12小题，共60分）
BBBDACACBBDD
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．0 14．3+20x y +=
15.
2223
sin sin (60)sin (120)2ααα︒︒++++=
16.4
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．解：（Ⅰ）'223y x =-
21|23(1)1x K y =-==--=-‘切
11(1)20y x x y ∴+=-+++=切线方程为：即
（Ⅱ）对x+y+2=0;令x=0,y=-2令y=0,x=-2
1
2222
ABC S ∆∴=⨯⨯=
18． (1)f (x )＝ln x ＋x 2
－3x ，f ′(x )＝1x
＋2x －3，
令f ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝1
2，
由f ′(x )>0得0<x <1
2
，或x >1，
∴f (x )在(0，12)和(1，＋∞)上单调递增，在(1
2，1)上单调递减，
∴f (x )的极大值点x ＝1
2
，极小值点x ＝1.
(2)当a ＝－4时，f (x )＋x 2
＝0，即ln x ＋2x 2
－4x ＝0， 设g (x )＝ln x ＋2x 2
－4x ，则
g ′(x )＝1x ＋4x －4＝4x 2
－4x ＋1
x
≥0，
则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，
又g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一实数根．
19.
20．（理）
解：(1)当n ＝1时，x 2
－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1， 于是(a 1－1)2
－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.
当n ＝2时，x 2
－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12
，
于是(a 2－12)2－a 2(a 2－1
2)－a 2＝0，
解得a 2＝1
6
.
(2)由题设(S n －1)2
－a n (S n －1)－a n ＝0，
S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23
.
由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝n
n ＋1，n ＝1,2,3，….
下面用数学归纳法证明这个结论． (i)n ＝1时已知结论成立． (ii)假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝k
k ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1
k ＋2
，故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(i)、(ii)可知S n ＝n
n ＋1
对所有正整数n 都成立．
20．（文）
（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-
+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22
()10x F x x x x
-'=-=>，， 列表如下：
故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值
(2)22ln 22F a =-+．
（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>．
故当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．
21．
22.。