2019-2020学年高中数学课时分层作业20空间向量与空间角含解析新人教A版选修2

课时分层作业(二十) 空间向量与空间角
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150°
D ．以上均不对
A [l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2.应选A.]
2．已知二面角α­l ­β的两个半平面α与β的法向量分别为a ，b ，若〈a ，b 〉＝π
3，则二面角
α­l ­β的大小为( )
A.π3
B.2π
3 C.π3或2π3
D.π6或π3
C [由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α­l ­β的大小为π3或2π
3
，故选C.]
3.如图，空间正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )
A.π
6 B.π4 C.π3
D.π2
D [以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，A 1(1，0，1)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，0，D (0，0，1)，N ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
0，1，12，则A 1M →
＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1，1
2，－1，DN →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，1，12
，
cos 〈A 1M →
，DN →〉＝A 1M →·DN
→
|A 1M →||DN →|
＝0.
∴〈A 1M →，DN →〉＝π2
.]
4．已知在正四面体A ­BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( ) A.
32 B.23 C.12 D.33
B [
作AO ⊥平面BCD 于点O ，则O 是△BCD 的中心，以O 为坐标原点，直线OD 为y 轴，直线OA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB ＝2，则O (0，0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，
C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，63，∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1，233，63，∴cos 〈OA →，CE →〉＝
OA →·CE →
|OA →||CE →|＝43263×3
＝23.∴CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为
23
.] 5．如图所示，已知四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且PA ⊥平面ABCD ，PA
＝AD ＝AC ，点F 为
PC 的中点，则二面角C ­BF ­D 的正切值为( )
A.36
B.34
C.33
D.
23
3
D [如图所示，设AC 与BD 交于点O ，连接OF .以O 为坐标原
点，OB ，OC ，
OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O ­xyz .
设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，所以O (0，0，0)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，0，0，F ⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，0，12
，
C ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，12
，0，OC →
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，12
，0，易知OC →
为平面BDF 的一个法向量，由BC
→
＝
⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可得平面BCF 的一个法向量为n ＝(1，3，3)．所以cos 〈n ，OC →〉
＝
217，sin 〈n ，OC →〉＝277，所以tan 〈n ，OC →〉＝233.故二面角C ­BF ­D 的正切值为23
3.] 二、填空题
6．若直线l 的方向向量a ＝(－2，3，1)，平面α的一个法向量n ＝(4，0，1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．
23834 [由题意，得直线l 与平面α所成角的正弦值为|a ·n ||a ||n |＝714×17
＝238
34.] 7．已知点E ，F 分别在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．
2
3
[如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0，0，1)，平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 所以A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23， 所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1，0，13，
则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE →＝0，
n 2·EF →＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧y ＋1
3z ＝0，－x ＋13
z ＝0.
取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1，3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1||n 2|＝311
11
.
所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝22
11，所以tan α
＝2
3
.] 8．如图，正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直，则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．
15
5
[取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系
O ­xyz .
设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，0，
32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，12，0，
D ⎝
⎛⎭⎪⎫
32，0，0，所以BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12，0，CD →＝错误!.
设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0
n ·BD →＝0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧12y ＋3
2z ＝032x ＋12
y ＝0
，取x ＝1，则y ＝－3，
z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，CD →
〉＝
155，因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为15
5
.] 三、解答题
9.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边
形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1
2AE ＝2，O ，M 分别为CE ，
AB 的中
点．
(1)求异面直角AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值．
[解] (1)∵DB ⊥BA ，平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，∴DB ⊥平面ABC .
∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC .
如图所示，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，以过点C 且与EA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．
∵AC ＝BC ＝4，∴C (0，0，0)，A (4，0，0)，B (0，4，0)，E (4，0，4)， ∴AB →＝(－4，4，0)，CE →
＝(4，0，4)． ∴cos 〈AB →，CE →〉＝－1642×42＝－1
2，
∴异面直线AB 与CE 所成角的大小为π
3
.
(2)由(1)知O (2，0，2)，D (0，4，2)，M (2，2，0)， ∴CD →＝(0，4，2)，OD →＝(－2，4，0)，MD →
＝(－2，2，2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥OD →n ⊥MD →，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0
－2x ＋2y ＋2z ＝0，
令x ＝2，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(2，1，1)． 设直线CD 与平面ODM 所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，CD →〉|＝⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪n ·CD →|n ||CD →|＝3010，
∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为
3010
. 10．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，
PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4.
(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B ­PD ­A 的大小；
(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． [解] (1)证明：设AC ，BD 交于点E ，连接ME ， 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB ＝ME ， 所以PD ∥ME .
因为四边形ABCD 是正方形， 所以E 为BD 的中点， 所以M 为PB 的中点．
①
(2)如图②，取AD 的中点O ，连接OP ，OE . 因为PA ＝PD ，所以OP ⊥AD .
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ， 所以OP ⊥平面ABCD .
因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE . 因为四边形ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .
如图②，建立空间直角坐标系O ­xyz ，则P (0，0，2)，
D (2，0，0)，B (－2，4，0)，BD →
＝(4，－4，0)，
PD →
＝(2，0，－2)．
②
设平面BDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PD →＝0，
即⎩⎨⎧4x －4y ＝0，
2x －2z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2. 于是n ＝(1，1，2)．
平面PAD 的法向量为p ＝(0，1，0)，
所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝1
2
.
由题意知二面角B ­PD ­A 为锐角，所以它的大小为π
3.
(3)由题意知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2，
22，C (2，4，0)，MC →＝⎝
⎛⎭⎪⎫
3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，MC →〉|＝|n ·MC →
||n ||MC →|
＝26
9，
所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为26
9
.
[能力提升练]
1.如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .则A 1
B 与平面
ABD 所成角的正弦值为( )
A.
23 B.73 C.32 D.37
A [以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，C
B 所在的直线为y 轴，
CC 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设CA ＝CB ＝a ，则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(a ，0，2)，D (0，0，1)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，1，G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 3，a 3，13，
GE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 6，a 6，23，BD →
＝(0，－a ，1)．∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE →⊥平面ABD ，∴
GE →
·BD →＝0，解得a ＝2，∴GE →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫13，13，23
，BA 1→＝(2，－2，2)，∵GE →⊥平面ABD ，∴GE →
为平面ABD 的一个法向量．又cos 〈GE →，BA 1→〉＝GE →
·BA 1→
|GE →||BA 1→|＝4
3
63
×23
＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为2
3.]
2．如图，已知矩形ABCD 与矩形ABEF 全等，二面角D ­AB ­E 为直二面角，M 为AB 的中点，FM 与BD 所成的角为θ，且cos θ
＝
39，则AB
BC
＝( )
A ．1 B. 2 C.
22 D.12
C [不妨设BC ＝1，AB ＝λ，则AB
BC ＝λ.记AF →＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，则FM →＝12b －a ，BD →＝c －b ，根据题
意，|a |＝|c |＝1，|b |＝λ，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴FM →·BD →＝－12b 2＝－12λ2
，而|FM →|＝
14
λ2
＋1，|BD →|＝λ2
＋1，
∴|cos 〈FM →，BD →〉|＝|FM →·BD →
|
|FM →|·|BD →|
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－12λ214
λ2＋1·λ2
＋1＝39，得λ＝2
2.故选C.] 3．在空间中，已知平面α过(3，0，0)和(0，4，0)及z 轴上一点(0，0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________．
12
5 [平面xOy 的法向量为n ＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩
⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0， 即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 3，a
4，1.
而cos 〈n ，u 〉＝
1
a 2
9
＋a 2
16
＋1＝
22
， 又∵a ＞0，∴a ＝12
5
.]
4．如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD 且PD ＝AD ＝1，AB ＝2，点E 是线段
AB 上一点，当二面角P ­EC ­D 为π4
时，AE ＝________．
2－3 [设AE ＝a (0≤a ≤2)，以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DP →
的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D ­xyz (图略)，则D (0，0，0)，E (1，a ，0)，C (0，2，0)，P (0，0，1)，则PE →
＝(1，a ，－1)，PC →＝(0，2，－1)，设平面PEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥PE →m ⊥PC
→，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay －z ＝0
2y －z ＝0，令y
＝1，可得x ＝2－a ，z ＝2，则m ＝(2－a ，1，2)，易知平面DEC 的一个法向量为DP →
＝(0，0，1)，则|cos 〈m ，DP →〉|＝⎪⎪
⎪⎪⎪⎪2
（2－a ）2
＋5＝22
，解得a ＝2－3或2＋3(舍去)，所以AE ＝2－ 3.] 5．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .
(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D ­AE ­C 的余弦值．
[解] (1)证明：由题设可得△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝CD . 又△ACD 是直角三角形， 所以∠ADC ＝90°.
取AC 的中点O ，连接DO ，BO ， 则DO ⊥AC ，DO ＝AO .
又因为△ABC 是正三角形，故BO ⊥AC ， 所以∠DOB 为二面角D ­AC ­B 的平面角． 在Rt △AOB 中，BO 2
＋AO 2
＝AB 2
，
又AB ＝BD ，所以BO 2
＋DO 2
＝BO 2
＋AO 2
＝AB 2
＝BD 2
， 故∠DOB ＝90°. 所以平面ACD ⊥平面ABC .
(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直，
以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴正方向，|OA →
|为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz ，
则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，D (0，0，1)．
由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1
2，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC
的距离的1
2
，
即E 为DB 的中点，得E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，
32，12，
故AD →＝(－1，0，1)，AC →＝(－2，0，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，12.
设n ＝(x ，y ，z )是平面DAE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋z ＝0，－x ＋32y ＋1
2z ＝0， 可取n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，
33，1. 设m 是平面AEC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，
m ·AE →＝0，
同理可取m ＝(0，－1，3)， 则cos 〈n ，m 〉＝
n·m |n||m |＝7
7
.
所以二面角D ­AE ­C 的余弦值为77
.。