4.9基本不等式的应用(2)
基本不等式的应用(适合高二-必修五)
基本不等式的应用一．基本不等式1。
（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=")2. (1）若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“="）（3）若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”） 3。
若0x >,则12x x +≥ （当且仅当1x =时取“="）；若0x <，则12x x+≤- （当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=”） 5。
若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“="） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正,二定，三取等"(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域(1）y ＝3x 2＋12x2 （2）y ＝x ＋错误!解：（1）y ＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为[错误!，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋错误!≥2错误!＝2;当x ＜0时， y ＝x ＋错误!= －(－ x －错误!）≤－2错误!=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪［2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式及应用
基本不等式及应用的实际应用情况背景介绍基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。
基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。
应用过程下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。
1. 线性不等式线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。
线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：a. 生产问题假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。
如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。
我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。
设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。
b. 资金问题假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。
如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。
我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。
设经过x天后，账户A和B的余额分别为a和b。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：a = 1000 + 10xb = 2000 + 15x a + b ≥ 6000通过求解这个线性不等式组，我们可以得到至少需要存款多少天才能达到目标总余额。
2. 二次函数不等式二次函数不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
基本不等式(二)
基本不等式：ab ≤a ＋b2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一 基本不等式求最值 1．理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二 基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)－2 (2)3 (3)3解析 (1)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(2)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.(3)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋22解析 (1)a 2＋1ab ＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1aa －b＝a (a －b )＋1aa －b＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1，即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy， 即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x 、14、ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e，即xy 有最小值为e.(2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e－xD ．y ＝log 3x ＋log x 812．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．43．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ． m B ． m C ．7 m D ． m 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________．5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．一、选择题1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．102．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在3．下列命题正确的是( ) A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则b a ＋a b≥2C ．函数x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2 D ．函数y ＝2－3x －4x的最小值为2－434．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－22C ．6－4 2D ．6＋426．已知a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) B ．－12C ．1D ．－17．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )C ．2D ．4 二、填空题8．设x >－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．9．设a ＞b ＞c ，则a －c a －b ＋a －cb －c的最小值是________． 10．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．三、解答题11．已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的范围．12．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．13．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层每平方米的平均综合费用最小值是多少(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)当堂检测1．答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C. 2．答案 B解析 y ＝x x －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．答案 2解析 ①当x ∈(0,2)时， x,4－2x ＞0，f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋4－2x 22＝2， 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立．②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0， ∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－25－4x ·15－4x ＋3＝1 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．课时精练答案一、选择题1．答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y，即x ＝4y 时，等号成立． 2．答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． 3．答案 B解析 A 错误，当x ＜0时或x ≠1时不成立；B 正确，因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b ＞0，且b a＋a b≥2；C 错误，若运用基本不等式，需()x 2＋22＝1，x 2＝－1无实数解；D 错误，y ＝2－(3x ＋4x )≤2－43，故最大值为2－4 3. 4．答案 C解析 由于x ，y 为正数，故(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9.当且仅当y x ＝4x y，即y ＝2x 时取“＝”．5．答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b c≥4＋2 2b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·2b c＝6＋42， 当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立．6．答案 A解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立．7．答案 D解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时，等号成立． 二、填空题8．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5 ≥2 t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取“＝”，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值9. 9．答案 4解析a －c a －b ＋a －c b －c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝1＋1＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2 b －c a －b ·a －b b －c＝4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c，即|a －b |＝|b －c |， 又a ＞b ＞c ，∴b ＝a ＋c2时，等号成立．10．答案 5解析 二次函数顶点为(6,11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4,7)得a ＝－1， ∴y ＝－x 2＋12x －25， 年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立． 三、解答题11．解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立．所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的范围是(0,18]． 12．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.13．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得，f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N *)， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)． 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时上式取“＝”． 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．。
基本不等式在日常生活中有哪些用途
基本不等式在日常生活中有哪些用途在我们的日常生活中，数学知识看似抽象，但其实无处不在，发挥着重要的作用。
其中，基本不等式就是一个非常实用的工具。
基本不等式，通常表述为对于任意非负实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
接下来，让我们一起探讨一下基本不等式在日常生活中的诸多用途。
先来说说购物省钱方面。
假设我们在超市看到两种促销活动，一种是买一送一，另一种是直接打五折。
在决定选择哪种更划算时，基本不等式就能派上用场。
假设商品原价为 a 元，数量为 b 个。
如果选择买一送一，那么平均每个商品的价格为 a ／ 2 元；如果选择打五折，平均每个商品的价格为 05a 元。
根据基本不等式，（a ＋ 05a) ／ 2 ＝075a ≥ √（05a²) ，当且仅当 a ＝ 0 时取等号。
这意味着在正常购买商品的情况下，打五折会更划算，能让我们在购物时做出更明智的选择，节省开支。
在投资理财中，基本不等式也能帮助我们进行风险评估和收益预测。
比如说，我们有两种投资产品，一种收益较高但风险较大，预期收益率为 a%；另一种收益较低但风险较小，预期收益率为 b%。
为了平衡风险和收益，我们可以利用基本不等式来计算一个相对合理的预期综合收益率。
通过（a% ＋ b%）／2 ≥ √（a% × b%），可以大致估算出在不同投资比例下的综合收益率范围，从而更好地规划我们的投资组合，降低风险并追求合理的回报。
再看旅行规划。
当我们计划一次自驾游时，需要考虑路程、速度和时间的关系。
假设一段路程为固定的 S ，汽车以速度 a 行驶一段时间t1 ，以速度 b 行驶一段时间 t2 。
根据路程等于速度乘以时间，我们有S ＝ a × t1 ＋ b × t2 。
而平均速度等于总路程除以总时间，即 2S ／（t1 ＋ t2) 。
根据基本不等式，（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) ，可以得出平均速度存在一个最小值，这有助于我们合理安排行驶速度和时间，以最快的方式到达目的地，同时也能更有效地规划途中的休息和加油等事项。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用基本不等式是数学中的重要概念，它在现实生活中也有着广泛的应用。
基本不等式的形式是：对于任意正实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有以下不等式成立：(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)...(an^2+bn^2)≥(a1a2...an+b1b2...bn)^2这个不等式在实际应用中有很多用途，以下是其中几个：1.统计学中的方差方差是描述数据离散程度的一种指标。
当我们求解方差时，需要使用基本不等式。
具体而言，我们可以将数据样本的平均值表示为a，数据样本的每个值表示为xi，那么方差就可以表示为：Var(X)=1/n[(x1-a)^2+(x2-a)^2+...+(xn-a)^2]将Var(X)拆开后，我们可以得到一个和式，利用基本不等式，就可以得到求解方差的公式。
2.概率论中的协方差协方差是描述两个随机变量关系的指标。
当我们求解协方差时，也需要使用基本不等式。
具体而言，我们可以将两个随机变量表示为X和Y，它们的期望值分别为a和b，那么协方差就可以表示为：Cov(X,Y)=E[(X-a)(Y-b)]将Cov(X,Y)拆开后，我们可以得到一个和式，利用基本不等式，就可以得到求解协方差的公式。
3.物理学中的能量守恒定律能量守恒定律是物理学中的基本定律之一。
利用基本不等式，我们可以证明能量守恒定律的正确性。
具体而言，我们可以将能量表示为E，动能表示为K，势能表示为U，假设在一个系统中，动能的总和为K1，势能的总和为U1，动能的总和为K2，势能的总和为U2，那么根据基本不等式，我们可以得到以下结论：(K1+K2+U1+U2)^2≥(K1+U1)^2+(K2+U2)^2这个结论说明，系统中的能量总和不会增加或减少，总能量守恒。
这就是能量守恒定律的本质。
基本不等式的应用
解：函数 y loga ( x 3) 1(a 0, a 1) 的图象恒过定点 A（-2，-1） ，
)2 ()1 ( 10 m n ， 2m n 1 ， m, n 0 ，
1 2 1 2 n 4m n 4m ( ) (2m n) 4 4 2 8. m n m n m n m n
8.若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3 x 3 y 的最小 值是 18 3
能力提升：若x 2 y 1, 求2 4 的最小值。
x y
解： 2 4 2 2
x y
x 2y
x 2y 2 2 2
2 2 x 2 y 2 2
当且仅当2x 22 y 即x 2 y时取等号 1 1 当x , y 时取到最小值为2 2. 2 4
注意:各项必须为正数
5 2 2 5 正解: 0 x 1 log2 x 0 f (x) 2 log 2 x log 2 x 5 当且仅当log 2 x ,即x 2 5 时, f (x) 2 2 5 max log 2 x
一不正, a 0, b 0时常用a b 2 ab
y 2x 3 3 2 2 x y y 2x 当且仅当 即: y 2 x x y 时取“=”号
1 x y 2x 2 2 而 2 2 x y 1 y 2 2
“1”代换法
即此时
ymin 3 2 2
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时， 要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
解：1 2x y 2 2xy
1 xy 即 2 2 xy 2 2 1
错因：
基本不等式及其应用详细讲解
基本不等式及其应用详细讲解好嘞，今天咱们就来聊聊“基本不等式”这个话题，听上去可能有点儿深奥，其实说白了就是一些很实用的小窍门。
你知道吗，基本不等式就是我们生活中的一些道理，很多时候我们做事情都得考虑到这些。
比如说，咱们买东西的时候，常常会遇到“便宜没好货”这句话，对吧？这就是一个不等式的道理！说到不等式，可能你会想起一些公式，什么“a+b大于等于2根号ab”，听起来像外星语一样，但其实道理很简单。
想象一下，你跟朋友一起去吃饭。
你们点了几个菜，账单一分，结果你朋友说，“哎，要不咱们均摊一下吧！”这时候，你心里可能会想，“这不公平呀！我吃得多，他吃得少。
”这就是不等式的影子。
其实不等式就在我们生活的每一个角落，它能帮助我们更好地理解一些事情。
比如，咱们有时候为了省钱，买一些打折的东西，心里想着，“便宜又好”，可是往往等到货到手，才发现这真是个悲剧，结果只好在心里默默念叨：“真是便宜没好货。
”所以，有时候我们得接受现实，明白一点：一分钱一分货，别想着天上掉馅饼。
说到基本不等式，大家最熟悉的就是“柯西不等式”和“阿美尔不等式”了。
这两个名字听上去像是数学家的名字，其实它们就像是生活中的法则，指引着我们。
咱们先说柯西不等式，简单来说，就是用来描述两个数之间的关系。
比如说，咱们有两个数a和b，如果你把它们的平方和拿来比较，结果永远不会比直接的平方和小。
这就好比你跟朋友一起去健身，最后发现你们的努力加起来，效果总比各自单打独斗要好。
换句话说，团结就是力量，嘿嘿！然后再来聊聊阿美尔不等式，这个名字听着像个外国名媛，其实它的核心是“均值”。
想想，如果你有很多个数，把它们的平均值算出来，往往能给你一个更清晰的视角。
你可能会说：“这跟我有啥关系？”它就像你在做选择的时候，算是个小参考，比如说选个电影，虽然你可能喜欢的类型不同，但最后总能找到一个大家都能接受的中间点。
就像有时候在选择吃的，大家最后总是能找到一个大家都能接受的餐厅。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).【微点提醒】1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.813.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12 B.43C.－1D.05.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.【考点聚焦】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.角度2 利用常数代换法求最值【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.【迁移探究】 本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( ) A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________.考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元.考点三 基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.【规律方法】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列结论正确的是( )A.当x>0且x≠1，lg x＋1lg x≥2B.1x2＋1<1(x∈R)C.当x>0时，x＋1x ≥2D.当0<x≤2时，x－1x无最大值3.(2019·绵阳诊断)已知x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差数列，则x＋y有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2004.设a>0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A.16B.9C.4D.25.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A.2B.2 2C.4D.4 26.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件7.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.48.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.11.已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.12.已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝log a x＋1(a>0且a≠1)的定点，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为________.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a>0，b>0，则log13a＋log31b有()A.最大值log312 B.最小值log32C.最大值log1312 D.最小值014.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 215.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋xy 的最小值为________.答 案【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0. (2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件.【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81【答案】 A【解析】 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【答案】 D【解析】 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x ≤－2.【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12B.43C.－1D.0【答案】 D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为0. 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 【答案】 15152【解析】 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.【答案】 14【解析】 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.【考点聚焦】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.【答案】 (1)92(2)1【解析】 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 角度2 利用常数代换法求最值【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________.【答案】 4【解析】 ∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 【答案】 [9，＋∞)【解析】 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 【迁移探究】 本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值. 【答案】 见解析【解析】 ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍).故a ＋b 的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a ＋b≥22ab(当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). (2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】 见解析【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100] (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ， 即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元. 【答案】37.5【解析】由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3 ＝45.5－⎣⎡⎦⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5， 当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.考点三 基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)3 (2)9【解析】 (1)∵a 3＝7，a 9＝19，∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎡⎦⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3.(2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ， 即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥9， 当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝⎛⎭⎫c 2，32c ，C ⎝⎛⎭⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝⎛⎭⎫1－c 2⎝⎛⎭⎫－32a ＋32c ⎝⎛⎭⎫a 2－1＝0， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥9， 当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”.【规律方法】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4【解析】 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.(2)∵{a n }为等比数列，∴a 2 017·a 2 019＝a 22 018＝12.∴1a 2 017＋2a 2 019≥22a 2 017·a 2 019＝24＝4.当且仅当1a 2 017＝2a 2 019，即a 2 019＝2a 2 017时，取得等号.∴1a 2 017＋2a 2 019的最小值为4.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx (m >0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立.2.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R) C.当x >0时，x ＋1x≥2 D.当0<x ≤2时，x －1x无最大值【答案】 C【解析】 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立； 对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.3.(2019·绵阳诊断)已知x >1，y >1，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20D.最大值200【答案】 B【解析】 由题意得2×2＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )，所以xy ＝10 000，则x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立，所以x ＋y 有最小值200. 4.设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A.16 B.9C.4D.2【答案】 C【解析】 在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋ax －1＋1≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4.5.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2【答案】 B【解析】 由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4， ∴⎝⎛⎭⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)，∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件【答案】 B【解析】 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是⎝⎛⎭⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ＋x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号. 7.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4【答案】 C【解析】 依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab， 当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为2 2.8.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】 D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab ≥16， 当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号.依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.【答案】 23＋2【解析】 y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋2x －2＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】 8【解析】 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元. 11.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【答案】 6【解析】 因为x >0，y >0，所以9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时等号成立.设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0，所以(t －6)(t ＋18)≥0，又因为t >0，所以t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.12.已知直线mx ＋ny －2＝0经过函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为________. 【答案】 2【解析】 因为函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点(1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上， 所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n2＝1.所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m 2＋n 2＝1＋n 2m ＋m 2n ≥1＋2n 2m ·m2n＝2， 当且仅当n 2m ＝m2n ，即m 2＝n 2时取等号，所以1m ＋1n的最小值为2.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m ＝(a －1，2)，n ＝(4，b )，且m ⊥n ，a >0，b >0，则log 13a ＋log 3 1b有( )A.最大值log 3 12B.最小值log 32C.最大值log 13 12D.最小值0【答案】 B【解析】 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即4(a －1)＋2b ＝0，∴2a ＋b ＝2，∴2≥22ab ，∴ab ≤12(当且仅当2a ＝b 时，等号成立). 又log 13 a ＋log 3 1b ＝log 13 a ＋log 13 b ＝log 13 (ab )≥log 1312＝log 3 2， 故log 13a ＋log 3 1b有最小值为log 3 2. 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为( ) A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2 【答案】 D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2， 所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b＋a ＋b c ≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为2＋2 2. 15.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 【答案】 4【解析】 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 【答案】 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 【解析】 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42， 当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则x －y 的取值范围为________，1x ＋x y的最小值为________. 【答案】 (－1，1) 3【解析】 ∵正数x ，y 满足x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，0<x <1，∴－y ＝－1＋x ，∴x －y ＝2x －1，又0<x <1，∴0<2x <2，∴－1<2x －1<1，即x －y 的取值范围为(－1，1).1x ＋x y ＝x ＋y x ＋x y ＝1＋y x ＋x y≥1＋2y x ·x y ＝1＋2＝3，当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”；∴1x ＋x y 的最小值为3.。
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识无处不在，看似抽象的基本不等式其实也有着广泛的应用。
掌握并灵活运用基本不等式，能帮助我们解决许多实际问题，让生活变得更加高效和经济。
基本不等式，对于两个正实数 a 和 b，它们的算术平均数大于等于几何平均数，即：＼（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
先来说说购物方面的例子。
假设我们要购买一定数量的某种商品，比如苹果。
超市 A 售卖的苹果每个价格是 x 元，但是需要支付固定的运费 y 元；超市 B 售卖的苹果每个价格是 z 元，没有运费。
在考虑购买成本时，我们可以运用基本不等式来决定在哪家超市购买更划算。
设我们计划购买 n 个苹果。
在超市 A 购买的总费用为＼（C_{A} ＝ nx ＋ y\），在超市 B 购买的总费用为＼（C_{B} ＝ nz\）。
为了比较在哪家购买更经济，我们可以计算两者的平均值。
对于超市 A，平均每个苹果的费用为＼（＼frac{C_{A}｝｛n} ＝ x ＋＼frac{y}｛n}＼）。
这里，根据基本不等式，如果 x 是固定的，那么当＼（n\）足够大时，＼（＼frac{y}｛n}＼）会趋近于 0，平均费用就趋近于＼（x\）。
对于超市 B，平均每个苹果的费用始终是＼（z\）。
所以，当＼（x ＜ z\）时，在超市 A 购买更划算；当＼（x ＞ z\）时，在超市 B 购买更划算；当＼（x ＝ z\）时，则需要进一步考虑＼（y\）和＼（n\）的关系来决定。
再看一个房屋装修的例子。
假如我们要装修一间房间，需要购买地板材料和墙面涂料。
地板材料每平方米的价格是 a 元，墙面涂料每桶的价格是 b 元，每桶涂料可以涂刷 c 平方米的墙面。
房间的地面面积是 m 平方米，墙面面积是 n 平方米。
在预算有限的情况下，我们希望在满足装修需求的同时，尽可能节省费用。
设购买地板材料 x 平方米，购买涂料 y 桶。
基本不等式及其应用
基本不等式在几何问题中的应用
1
应用一
基本不等式在三角形中的几何推导和实
应用二
2
际问题解决。
基本不等式在多边形的面积和边长关系
中的应用。
3
应用三
基本不等式在圆的内切多边形中的应用 和优化。Leabharlann 基本不等式在优化问题中的应用
最大化问题
如何利用基本不等式找到函数 的最大值和最优解。
基本不等式在函数中的应用
函数类型 线性函数 二次函数 指数函数
基本不等式应用
基本不等式在线性函数图像和方程的解空间中的 应用。
基本不等式在二次函数的极值和图像形状中的应 用。
基本不等式在指数函数的收敛性和增长趋势中的 应用。
基本不等式示例与证明
示例一
通过具体示例演示基本不等式的 应用和证明过程。
证明方法
介绍基本不等式的证明方法和常 用技巧。
示例二
另一个基本不等式的示例及其严 密证明。
基本不等式的常见应用
应用一
基本不等式在金融领域的应用， 如投资和利率计算。
应用二
基本不等式在物理学中的应用， 如力学和电磁学等。
应用三
约束条件问题
基本不等式在满足约束条件的 最优化问题中的应用。
最小化问题
如何利用基本不等式找到函数 的最小值和最优解。
基本不等式在数列中的应用
1 数列的收敛性
基本不等式在数列的收敛性判断中的应用和证明。
2 数列的上下界
通过基本不等式确定数列的上下界。
3 数列递推关系
基于基本不等式推导数列递推关系和极限。
基本不等式及其应用
基本不等式应用
基本不等式应用基本不等式是数学中非常重要的一类等式，其在很多领域都有着广泛的应用。
它的应用范围涉及几何数学、抽象代数、数论、线性代数、计算机科学、优化计算等。
基本不等式可以用来研究几何学中的几何结构和抽象几何学中的形状。
例如，勒贝格不等式（RieszFischer inequality）可以用来表示几何性质，如多边形和三角形的形状。
它也可以用来表示几何形状之间的相似度，从而用于曲线拟合和图像识别等应用领域。
此外，基本不等式也可以用来研究抽象代数学的性质，比如实矩阵的正定性和矩阵的奇异性。
它们也常常被用来判断一组数据是否满足某种要求，有助于推测出数学原理。
例如，基本不等式可以用来判断二元联立方程组是否有解，可以用来判断合成多项式在某个区域是否可以定义，甚至可以帮助判断给定的决定是否可行。
基本不等式也经常用来确定期望值或方差的上下界，从而能够帮助人们建立经济模型或分析金融数据。
如果有大量数据可用，那么基本不等式的有效应用尤为重要，因为它们可以帮助数据分析者确定预期范围，并给出与实际结果有关的统计指标。
另外，基本不等式也可以用来解决求解线性规划问题，这是一个广泛应用的计算机科学领域。
它们可以用来检验一组数据是否满足某些条件，从而帮助计算机程序员可靠地确定算法的性能。
此外，基本不等式还可以用来求解线性可行性问题。
它们可以被用于搜索引擎优化，因为可以帮助程序员找出最佳的结果，从而提高搜索引擎的准确性。
最后，基本不等式也有广泛的应用于优化计算领域。
它们可以用来求解极值问题，从而用于机器学习，数据挖掘以及其他优化计算应用中。
例如，基本不等式可以用来查找某函数的最优解，也可以用来求解约束优化问题，使用它们可以有效地解决机器学习中的许多复杂问题。
总之，基本不等式是数学中一种重要的等式，其应用场景广泛，各个领域的应用都十分重要。
它们的有效应用可以帮助我们更好地理解和应用数学。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。
基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。
对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。
传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。
二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。
例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。
2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。
例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。
3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。
例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。
三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。
利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。
2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。
基本不等式的应用(高中数学)
12
[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立， 故当 x＝1 时，ymax＝1.
13
(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当 2x＝1－2x0<x<21，即 x＝14时，ymax＝116.
基本不等式 基本不等式的应用
一元二次函数、方程和不等式
2
学习目标
核心素养
1.熟练掌握利用基本不等式求函数 1.通过基本不等式求最值，提升数学
的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用 题．(难点)
运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的 应用，培养数学建模素养.
3
自主预习 探新知
4
D.25
当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时取
等号．]
40
4．已知 x>0，求 y＝x22＋x 1的最大值． [解] y＝x22＋x 1＝x＋2 1x. ∵x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， ∴y≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立．
27
[解] 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以 2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 Smax＝227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大．
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用基本不等式是数学中一个经典的定理，它涉及到各种形式的数学问题，如求解优化问题、证明几何问题等。
本文将介绍基本不等式的实际应用。
一、求解优化问题基本不等式可以用来求解一类优化问题。
我们知道，若干个非负实数的和为定值时，它们的积最大的情况是它们的值相等，即当这些数都取到定值的平均值时积最大。
基本不等式提供了一个严格的证明。
设$a_1,a_2,\cdots,a_n$为$n$个非负实数，且$a_1+a_2+\cdots+a_n=S$，则有\begin{align*}(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2&=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)+2(a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)\\&\leq(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})^2+(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})^2\\&=(S-a_n)^2+S-nS+nS\\&=S^2,\end{align*}即$(a_1a_2\cdots a_n)\leq\left(\dfrac{S}{n}\right)^n$，当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时取等。
因此若$n$个非负实数的和为定值$nS$，则它们的积最大为$\left(\dfrac{S}{n}\right)^n$，当且仅当它们都等于定值的平均值时取到最大值。
这个结论对于优化求解问题具有指导意义。
例如，设$a,b$为两个非负实数，且$a+b=2$，则$ab\leq1$，当且仅当$a=b=1$时取到最大值。
这个结论可以用基本不等式轻松证明，进一步应用于某些数学问题的求解中。
二、证明几何问题基本不等式可以用来证明几何问题。
以平面上三角形的内心$I$为例，可以应用基本不等式证明$I$到三角形三顶点的距离之和等于半周长。
假设$I$到三角形三顶点的距离分别为$d_a,d_b,d_c$，半周长为$s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$，其中$a,b,c$为三角形的三边长。
基本不等式及应用
基本不等式的推导和证明过程
Step 1
通过数学推导和运算，将不等式简化，并且保持其等价性。
Step 2
使用数学定律和性质，对不等式进行变形和化简，以达到所需的形式。
Step 3
通过合理的推理和论证，证明不等式的正确性和有效性。
基本不等式的应用举例
数学竞赛
基本不等式是解决数学竞赛问题中常用的工具，它 能够帮助我们证明数学论断，并找到最优解。
基本不等式及应用
在这个演示中，我们将探讨基本不等式的定义、性质、推导和证明过程。还 将展示它在数学竞赛和实际问题中的重要性，以及其发展和拓展。
基本不等式的定义和性质
1 定义
基本不等式是描述两个数或表达式之间相对大小关系的不等式。
2 性质
基本不等式满足数学运算的性质，如传递性、加减法的保持性和乘除法的保持性。
基本不等式在实际问题中的应用
资源分配
通过基本不等式，我们可以合 理分配资源，以满足不同需求。
最优决策
基本不等式可以帮助我们做出 最优决策，以最大化效益。
风险评估
利用基本不等式，我们可以评 估风险和潜在损失，从而做出 明智的决策。
基本不等式的发展和拓展
1
古希腊时期
欧几里得的《几何原本》中首次提出了基本的几何不等式。
实际问题
在实际生活中，我们可以运用基本不等式来解决各 种问题，如优化资源分配、最大化收益等。
基本不等式在数学竞赛中式帮助竞赛选手 在有限时间内快速解决问 题，获得高分。
2 拓展思维能力
通过应用基本不等式，选 手可以培养逻辑思考和问 题解决的能力。
3 提高竞争力
熟练掌握基本不等式的应 用，能够在竞争激烈的数 学竞赛中占据优势。
基本不等式的应用
思维活动： 思维活动：
4 −∞− (x < 0 )的值域 ______ 4 x 的最大值___ （2）已知 x > 0, y > 0,且 x + 5 y = 20, 求 xy的最大值 10 ） 2
(1 )函数
y = x+
(
]
5 1 (3) y = x + ( x ≥ 2)的最小值 _____ 2 x 1 ( x > 2 )的最小值 4 的最小值_____ （4）求函数 y = x + ） x−2 x2 − 2 x + 1 ( x < 2 )的最大值 0 的最大值_____ （5）求函数 y = ） x−2
此时t=20（秒）。 此时 （ 20 米时，上式取等号， 米时，上式取等号， 且速度为10米 秒 答：每两辆车均相距 20 米，且速度为 米/秒， 所用时间最少为20秒 所用时间最少为 秒。
情境三： 情境三：销售
学 海 无 涯 苦 作 舟 现已知进货单价第一次为1.8元 千克 千克， 现已知进货单价第一次为 元/千克，第 二次为2.2元 千克 若以2.4元 千克出售 千克。 千克出售， 二次为 元/千克。若以 元/千克出售，则 每天可售出1000千克，而如果每千克提价 千克， 每天可售出 千克 而如果每千克提价0.01 每天将少售出10千克 千克， 元，每天将少售出10千克，如果每千克降价 0.01元，每天将多售出 千克。那么请考虑， 千克。 元 每天将多售出10千克 那么请考虑， 每千克售价应为多少元， 每千克售价应为多少元，才能使每天的利润 最大。 最大。
3
由基本不等式与不等式的性质， 由基本不等式与不等式的性质，可得
z = 240000 + 720( x + y )
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4.9基本不等式的应用（2）
双基演练
1．设,,a b c ∈R ，2ab =，且22c a b ≤+恒成立，则c 的最大值是____．
2．一批货物随17列货车从A 市以v km ／h 匀速到达8市，已知两地铁路线长为400 km ，为了安全，两列货车的间距不得小于220v ⎛⎫ ⎪⎝⎭
km （货车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到B 市，最快需要____．
3．若扇形的面积为S ，则半径是____时，扇形的周长最小．
4．设,0x y >．且4x y +=，若不等式
14m x y +≥恒成立，则实数m 的最大值为_________．
5．设长方体的体积为31000cm ．则它的表面积的最小值为____．
6．若)220,0,1x y y a +=>>>
，则log log a a x y +的最大值是____．
范例解读
例 1 已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列．且22284a b c ++=．求实数b 的取值范围．
例2如图，矩形ABCD 中，3,2AB AD ==，一质点从AB 边上的点0P 出发．
沿与AB 的夹角为θ的方向射到边BC 上的点1P 后．依次反射（入射角与反射角相等）到边CD ，DA 和AB 上的234,,P P P 处．
（1）若4P 与0P 重合．求tan θ的值；
（2）若4P 落在0,A P
两点之间，且02AP =，设tan t θ=，将五边形01234P PP P P 的面积S 表示为t 的函数，并求S 的最大值．
测试反馈
1．已知直线1ax by +=过点(),A b a ，则以原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是____．
2．已知函数()2cos ,,cos 22f ππθθθθ⎛⎫=+
∈- ⎪⎝⎭，则()f θ最小值是____．
31的直角三角形的面积的最大值为____．
4．有一印刷品的排版面积（矩形）为2432cm ．左、右各留4 cm 宽的空白，上、下各留3 cm 宽的空白，则当纸张的长为____cm 、宽为____cm 时．纸的用量最少．
5．已知,,a b c 都是正实数，且满足()93log 9log a b +=则使4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是____．
6．在ABC ∆中，如果三个内角,,A B C 满足222s i n s i n 5s i n A B C +
=，求证：3sin 5
C ≤． 7．设0,0,,,,x y x a b y >>成等差数列，,,,x c d y 成等比数列，求()2a b cd +的最小值．
8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9 000元，这种生产设备的维修费为：第一年2 000元，第二
年4 000元，第三年6 000元，而且以后以每年2 000元的增量逐年递增．问这种生产设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）?
9．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成（不计接头处的损耗）．（1）现有36 m长的钢筋网材料，每问虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每问虎笼的面积最大?
24m，则每间虎笼的长、宽各设（2）若使每间虎笼的面积为2
计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?。