高三数学(理)第一轮《基本不等式及其应用》.ppt
《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
6.了解下列柯西不等式的几种不同形式， 了解下列柯西不等式的几种不同形式， 了解下列柯西不等式的几种不同形式 理解它们的几何意义，并会证明. 理解它们的几何意义，并会证明 (1)柯西不等式向量形式 柯西不等式向量形式:|α||β|≥|αβ|. 柯西不等式向量形式 (2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. (3 ( x1 x2 )2 + ( y1 y2 ) 2 + ( x2 x3 ) 2 + ( y2 y3 ) 2 > ( x1 x3 ) 2 + ( y1 y3 ) 2 (通常称作三角不等式 通常称作三角不等式). 通常称作三角不等式 7.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般 会用参数配方法讨论柯西不等式的一般
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
高中数学复习：基本不等式及其应用
3x)≤
1 3
3x
3 2
3x
2
=
3 4
,当且仅当3x=3-3x,即x=
1 2
时,等号成立.故选B.
(2)y= x2 2
x 1
= (x2 2x 1) (2x Baidu Nhomakorabea2) 3
x 1
= (x 1)2 2(x 1) 3 =(x-1)+ 3 +2≥2 3+2.
x 1
当且仅当x-1= 3 (x>1),
x 1
x 1
即x= 3+1时,等号成立.
考点突破 栏目索引
命题方向二 利用常数代换法求最值
典例2
若直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),则m1
2
+n
的最小值为
( D)
A.2 B.6 C.12 D.3+2 2
答案 D
解析 因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),
得t≥6,即x+3y≥6.
解法二:由x+3y+xy=9,得x=9 3y ,
1 y
所以x+3y=9 3y +3y=9 3y 3y(1 y)
1 y
1 y
= 9 3y2 = 3(1 y)2 6(1 y) 12
高三数学一轮复习-基本不等式及其应用 教案设计
基本不等式及其应用
一、教学分析设计
【教材分析】
人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。
基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）。
【学生分析】
从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。
基本不等式及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)解析版
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第04练基本不等式及其应用（精练）
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最值问题．
3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0
b a >>D ．0b a
>>
二、多选题
2．（2022·全国·高考真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）
A ．1x y +≤
B ．2x y +≥-
C ．222x y +≤
D ．221
x y +≥
三、填空题
3．（2023·天津·高考真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22
AD AB CE CD == ，记,AB a AC b ==
，用
,a b
表示AE =
；若1
3
BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．
四、解答题
4．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B
A B
=++．
(1)若23
C π
=
，求B ；(2)求
22
2
a b c +的最小值．
【A 级基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若0x >，则2
2y x x
=+的最小值是（）
A ．
B C ．4D ．2
2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知
04x <<）
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第38讲 │ 能力提升
第38讲 │ 能力提升
第38讲 │ 规律总结 规律总结
第38讲 │ 规律总结
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等 式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用
【考点预测】 1.基本不等式
如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤
，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2
b
a +叫作
b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则
ab b
a ≥+2
（或ab b a 2≥+）
，当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式
（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +
∈，则2
a b
ab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a b
a a a
b a
>+
≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：
①()2
22
2
a b a b ++≥
(沟通两和a b +与两平方和22
a b +的不等关系式)
②222
a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22
a b +的不等关系式)
③2
2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)
④重要不等式串：
)
22
2
,1122a b a b ab a b R a b
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
＝(x＋2y)1x＋2y＝5＋2yx＋2xy≥5＋2 2yx·2xy＝5＋4＝9，当且仅当
x＝y＝3，取得最小值 9.故选 C.
答案：C
3.(考向 3)若正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0，则 x＋2y 的最小 值是( )
A.2 3 2 3
C. 3
B.
2 3
23 D. 3
解析：因为正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0， 所以 y＝1－6xx2.所以 x＋2y＝x＋1－3xx2＝23x＋31x≥2
第五讲 基本不等式及其应用
1.探索并了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
(3)其中a＋2 b称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b
(2)y＝2 3x40＋1138x≥2 2 3x40·1183x＝26 10， 当且仅当2 3x40＝1138x， 即 x＝18 10时等号成立. 故当 x＝18 10时，这次行车的总费用最低，最低费用为 26 10 元.
【题后反思】基本不等式在实际问题中的应用
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题写出函数的解析式后，只需利用基本不等式 求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的 自变量的取值范围)内求解.
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等式及其解法课件 理
C组 教师专用题组
考点一 不等式的概念和性质
1.(2016浙江,8,5分)已知实数a,b,c. ( ) A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100 C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100 答案 D 利用特值法验证.令a=3,b=3,c=-11.5,排除A;令a=4,b=-15.5,c=0,排除B;令a=11,b= -10.5,c=0,排除C,故选D.
当x>0且y>0时,ln x+ln y>0⇔ln xy>0⇔xy>1,
而x>y>0⇒ / xy>1,故D错误.
12/11/2021
考点二 不等式的解法
(2018北京,8,5分)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则 ( ) A.对任意实数a,(2,1)∈A
B.对任意实数a,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a≤ 3 时,(2,1)∉A
2024年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第04讲 基本不等式及其应用(课件)
题型四：消参法求最值
【解题方法总结】
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，
再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三
相等”这三个条件缺一不可！
题型五：双换元求最值
题型五：双换元求最值
【解题方法总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方
法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两
Q
Z
R
N
a＋b
1.基本不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式： ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b
(3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何
平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R).
注意对不等式等号是否成立进行验证．
题型二：直接法求最值
题型二：直接法求最值
【解题方法总结】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
题型三：常规凑配法求最值
题型三：常规凑配法求最值
3
【解题方法总结】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的
形式．
2、注意验证取得条件．
高三数学一轮复习-第七章-不等式、推理与证明第四节-基本不等式及其应用课件
2021/5/4
22
• (3)为了创造条件使用基本不等式,就需要对式 子进行恒等变形,运用基本不等式求最值的焦 点在于凑配“和”与“积”,并且在凑配过程 中就应考虑到等号成立的条件,另外,可利用二 次函数的配方法求最值．
•提醒:利用基本不等式求最值一定不能忽略取 等号的条件．
2021/5/4
23
1．(1)已知x>2，求x＋x－4 2的最小值；
题提供简捷的方法．
2021/5/4
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•提醒:在不等式证明时,列出等号成立的条件不 仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否 有误的一种方法．
2021/5/4
30
2．已知a、b、c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥
1 3
(a＋b＋
c)2≥ab＋bc＋ca.
•证明:以a2＋b2≥2ab(a,b∈R)为根据,利用综合 法证明． •∵a,b∈R,∴a2＋b2≥2ab, •∵b,c∈R,∴b2＋c2≥2bc, •∵c,a∈R,∴c2＋a2≥2ca.
∴1a＋4b＝b＋ab4a＝a1b，
由1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab，得ab≤116，
∴a1b≥16，
•答∴案1a＋:14b6的最小值为16.
2021/5/4
16
(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． (2)求a－4 2＋a 的取值范围． (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．
高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第42讲 基本不等式及其应用课件 理
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 答案(dáàn) 81
2021/12/13
第四页，共四十一页。
3.(教材改编)若 0<x<1，则 x（3－2x）的取值范围是________.
解析 由 0<x<1 知 3－2x>0，
考点一 利用基本不等式求最值(多维探究(tànjiū))
命题角度1 配凑法求最值
【例1－1】 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________.
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5的最大值为________. (3)函数 y＝xx2－＋12(x>1)的最小值为________.
再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然 后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积 为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函 数的不等式求解.
2021/12/13
所以1x＋1y＝1x＋1y(x＋2y)＝1＋2＋2xy＋xy≥3＋2 时取得最小值 3＋2 2.
2xy·xy＝3＋2 2，当且仅当 x2＝2y2
高考数学考点回归总复习《第三十四讲 基本不等式及其应用》课件 新人教
最值问题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决.
错源一 忽视等号成立的条件
【 典 例 1】 已 知 两 正 数 x,y满 足 xy1,则 zx1 xy1 y 的 最 小 值 为 ______.
[错 解 ]错 解 一 :因 为 对 a 0, 恒 有 a 1 ≥ 2, a
从
而
z
x
1 x
y
a b ≥ ab(当且仅当a=b时 2
均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均数大于或等于 它们的几何平均数.
4.变式形式
(1)ab≤a2
b2 2
;(2)ab≤
ab2 2
;(3)
b a
a≥2(ab b
0);
(4)
ab2 2
≤a2
b2;(5)ab≤ 2
2(a2
b2).上述不等式
中等号成立的充要条件均为a b.
[正
解
]z
x
1 x
y
1 y
xy 1 y x xy x y
xy 1 (x y)2 2 xy
xy
xy
2 xy 2, xy
令
t
xy,则 0
t
xy≤
x
2
y
2
1 4
,
由
f
(t)
t
2 t
在
0,
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
目录 CONTENTS
第三章
导数及其应用
3.1 导数、导数的计算 3.2 导数在函数单调性、极值中的应用 3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用 3.4 微积分基本定理
目录 CONTENTS
第四章
三角函数、解三角形
4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式 4.3 三角函数的图象与性质 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 4.5 简单的三角恒等变换 4.6 正、余弦定理及其应用举例
目录 CONTENTS
第十一章
概率与统计
11.1 事件与概率 11.2 古典概型与几何概型 11.3 离散型随机变量及其分布列 11.4 二项分布及其应用 11.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 11.6 随机抽样与用样本估计总体 11.7 变量间的相关关系
目录 CONTENTS
第十二章 算法初步、推理与证明、复数
目录 CONTENTS
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念与运算 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
目录 CONTENTS
第二章
函数
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程 2.10 函数模型及其应用
高三数学一轮复习精品教案4：7.4 基本不等式及其应用教学设计
7.4 基本不等式及其应用
『考纲要求』
1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．
2．考查应用基本不等式解决实际问题．
『复习指导』
1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．
2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．
『基础梳理』
1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2
(1)基本不等式成立的条件： .
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R )；
(2)b a ＋a b
≥ (a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；
(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．
3．算术平均数与几何平均数
设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为 ． 4．利用基本不等式求最值问题
已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 值是2p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最 值是p 24
.(简记：和定积最大) 『助学微博』
一个技巧
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
两个变形
(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b