高中数学课件

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变式 训练
9 4． 函数 f(x)＝ lg x－ x的零点所在的大致区间是 ( D ) A．(6,7) B．(7,8)
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C．(8,9)
D．(9,10)
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(－2,1) 零点 ． “＜”或“＞”)．在区间______ 上有________
5．零点是“数”，而不是“点”，如函数 f(x)＝3x－2 的零点是
2 2 ，而不是3，0. 3
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一、二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
函数零点存在性的判断
例4 为什么？
函数 f(x)＝3x－x2 在区间[－1,0]内有没有零点？
分析：给定区间端点的函数值异号，且函数在该区间内是连续的，则一 定存在零点． 2 解析：因为 f(－1)＝－ <0，f(0)＝1>0，函数 f(x)＝3x－x2 的图象是连续 3 的，所以 f(x)在区间[－1,0]内有零点． 点评 ：连续函数在区间端点函数值异号，则函数在该区间内一定有零 点．若在区间端点处函数值同号，则函数在该区间内也可能有零点．
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1．函数零点的概念．
f(x)＝0 成立的实数 x 叫做 对于函数 y＝f(x)(x∈D)， 把使____________ 零点 函数 y＝f(x)(x∈D)的____________ ．
1 － ，0 例如：y＝2x＋1 的函数图象与 x 轴的交点为____________ ，栏 2
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1 － 有一个零点是____________ ． 2
二次函数 y＝x2－x－2 函数图象与 x 轴的交点为
(－1,0)，(2,0) －1与2 ． _________________ ，有两个零点是__________
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实数根 ，亦即 2． 函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的____________ 横坐标 ． 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的____________
数的零点个数是(
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D．无法确定
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解析：由已知 a· c<0，故判别式 Δ＝b2－4ac>0， ∴函数必有 2 个零点． 答案：B 点评：判断二次函数 f(x)的零点个数，就是判断一元 二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 的实根个数，一般通过判别式 Δ>0，Δ＝0，Δ<0 完成．
例如：已知函数 f(x)的零点为 x＝3，则方程 f(x)＝0 的实数根
x＝3 ， 亦即 函数 y ＝ f(x) 的 图象与 x 轴交 点的横 坐标 为 栏 为 ________
3 ． ______
实数根 ⇔函数 y＝ f(x)的图象与 x 轴有 3．方程 f(x)＝ 0 有 ________
________ 交点 ⇔函数 y＝f(x)有________ 零点 ．
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例 2 函数 y＝－x2＋2x＋8， 使 y<0 的 x 的取值范围 是__________．
解析：由－x2＋2x＋8＝0 可得：x1＝4，x2＝－2， ∴y<0 的 x 的取值范围为 x>4 或 x<－2. 答案：{x|x＞4 或 x＜－2} 点评：函数的零点即为相应方程的根，也是相应 不等式解集的端点．
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变式 训练
1． 观察下图的四个函数图象，指出在区间 (－ ∞，0)内，方程 fi(x)＝0(i＝1,2,3,4)哪个有解，请说 明理由．
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变式 训练
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变式 训练
解析： f1(x)＝0 和 f2(x)＝0 在区间(－∞， 0)内有解． 因 为 y＝f1(x)与 y＝f2(x)的图象与 x 轴的负半轴有交点．
题型一
求函数的零点
例1
求下列函数的零点．
(1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1.
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分析：根据函数零点与相应方程的根之间的关系，就是求该 函数相对应的方程的根． 解析：(1)由于 f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，所以方 程－x2－2x＋3＝0 的两根是－3,1，故函数的零点是－3，1； (2)由于 f(x)＝x4－ 1＝(x2＋1)(x＋ 1)(x－ 1)，所以方程 x4－1 ＝0 的实数根是－1,1，故函数的零点是－1，1. 点评：函数零点的求法：解方程 f(x)＝0，所得实数解就是 f(x)的零点．
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4．函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
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(a，b) 内有零点． 并且有 f(a)· f(b)＜0，那么函数 y＝f(x)在________ ＜ 例如： 二次函数 f(x)＝x2－2x－3 的图象： f(－2) · f(1)________0( 填
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变式 训练
2 ． 不 等 式 x2 ＋ 5x ＋ 4<0 的 解 集 是
{x|－4<x<－1} ． __________
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题型三
例3
幂函数的单调区间的求解
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a· c<0，则函 )
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第 2章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
2．5 函数与方程 2．5.1 函数的零点
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1. 能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二
次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的 联系.
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2.掌握零点存在的判定定理，会求简单函数的零点.
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.
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变式 训练
3．函数f(x)＝ ( ) A． 0 B． 1
x
1 2
－ 1
x
的零点个数为
2
C．2
解析：画出y＝ 点． 答案：B
x
1 2
1 和 y＝ 2
D． 3 x
的图象，它们只有一个交
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题型三
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3．零点存在定理的逆定理不成立，即若 f(x)在(a，b)上 有零点，不一定有 f(a)f(b)<0.如 f(x)＝x2－1 在(－2,2)上有零 点，1 和－1，但 f(－2)f(2)＝9>0.
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结合二次函数的图象及零点的定义可知，二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的零点就是相应方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，也是相应 不等式 ax2＋bx＋c≥0(a≠0)或 ax2＋bx＋c≤0(a≠0)的解集的端点．
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二、零点的存在性的判断
1．判断方程在某区间内是否有解，主要依据有两点，一是该方 程相应的函数在区间内是否连续；二是在区间端点处函数值是否异 号．即连续函数在区间端点处函数值异号，则相应方程在区间内一 定有解，如若同号，则无法确定是否有解． 2．若 f(x)满足零点存在定理， 只能说明 f(x)在(a，b)上至少有 一个零点，不能具体判断零点的个数．