基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)
2023年新高考数学大一轮复习专题04 基本不等式及其应用 (解析版)
专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y Sxy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立； 模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a c x =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）A ．12x x+≥ B ．a b +≥ C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =-≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +-=-≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+> B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy+> 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y =+x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立； 12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a b r OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解. 【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +a b =时取等号． 故选：D.例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确.故选：D.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x =+C ．233xxy -=+D ．2y【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ==，27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ） A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥，22a b a b +≥，所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对. 故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解积的最大值. 【详解】∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，1a b +=，∴212ab ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，∴()max 14ab =． 故选：D ．例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ） A ．18 B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案．由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（ ）A ．4B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xxx +≥=⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4.（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444baa b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 【答案】12##0.5. 【解析】 【分析】利用基本不等式可直接求得结果. 【详解】,R a b +∈，10a ∴>，0b >，11b a ∴+=≥ 即14b a ≤（当且仅当1b a =，即2a =，12b =时取等号）， 212b a ∴≤，即2b a 的最大值为12.故答案为：12.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【答案】14【解析】 【分析】利用基本不等式可求得yx的最小值. 【详解】因为x 、y为正数，由基本不等式可得124x y =+≥14y x ≥，当且仅当41124xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩时，即当41x y ==时，等号成立，故y x 的最小值为14.故答案为：14.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x yx y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥++------当且仅当2111x y =--，即11x y ==“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+故选：D例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．【解析】 【分析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =，y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值； （2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【答案】（1）函数y 的最小值为5，此时3x =；（2）函数y 的最小值为5，此时0x =. 【解析】 （1）整理441111y x x x x =+=-++--，利用基本不等式求解即可；（2）令()20t x t =+>，将2x t =-代入整理得41y t t=++，利用基本不等式求解即可；【详解】 （1）∵1x >，∴4411141511y x x x x =+=-++≥=+=--， 当且仅当411x x -=-即3x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时3x =； （2）令()20t x t =+>， 将2x t =-代入得：()()22521041t t y t t t-+-+==++，∵0t >，∴411415y t t =++≥=+=， 当且仅当4t t=， 即422x x +=+， 即0x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时0x =. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+， 所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -， 则2+a bab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x -=，再通过平方关系将其与11x y+联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==等号成立，所以211x y+≥.故答案为:2例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】232⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>再将条件变形2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a =时取等号，故02a b <+≤2a b +≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t < 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】 【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例27．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c +++变形为421m n+-，结合基本不等式，即可求得答案。
基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
必修5基本不等式(含答案)
基本不等式及其应用[考点梳理]1．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥________ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则________，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有________，即a ＋b ≥________，a 2＋b 2≥________.简记为：积定和最小．6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即________，亦即________；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即_____.简记为：和定积最大．7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b≤________≤a ＋b 2≤________，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠： 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 22[基础自测]设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B.已知向量m ＝(2，1)，n ＝(2－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 解：依题意得2a ＝2－b ，即2a ＋b ＝2(a ＞0，b ＞0)，∴2＝2a ＋b ≥22ab ，∴ab ≤12，当且仅当2a ＝b ＝1时取等号，∴ab 的最大值是12.故选A.设f (x )＝lnx ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 解：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，∵a ＋b 2＞ab ，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )．∴q ＞p ＝r.故选C. 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立．故填22.已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则实数a ＝________. 解：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x ＞0，a ＞0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，∴a2＝3，∴a ＝36.故填36. [典例解析]类型一 利用基本不等式求最值(1)函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ＞－1)的值域为________．解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）m ＝m ＋4m ＋5≥2m ·4m ＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞)．故填[9，＋∞)．(2)若a >b >0，则代数式a 2＋1b （a －b ）的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋（a －b ）22＝a 24，∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋1a 24＝a 2＋4a 2≥4，当且仅当b＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时等号成立．故选C.小结：基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值．(1)已知t ＞0，则函数f (t )＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解：∵t ＞0，∴f (t )＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥－2，当且仅当t ＝1时，f (t )min ＝－2，故填－2.(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (Ⅰ)xy 的最小值； (Ⅱ)x ＋y 的最小值．解：(Ⅰ)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(Ⅱ)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，∵x ＞0，∴y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．类型二 利用基本不等式求参数范围已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b－3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3解：∵a >0，b >0，∴由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．∵3b a ＋3ab ≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，故10＋3b a ＋3a b ≥16，∴m ≤16，即m 的最大值为16.故选B.小结：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式mf (x )≤e－x＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为________．解：由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令t ＝e x (x ＞0)，则t ＞1，且m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t ＞1成立．∵t －1＋1t －1＋1≥2（t －1）·1t －1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立．故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.类型三 利用基本不等式解决实际问题某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．解：(1)作GH ⊥EF ，垂足为H. ∵DN ＝x ，∴NH ＝40－x ，NA ＝60－x ，∵NH HG ＝NAAM ，∴40－x 10＝60－x AM ，∴AM ＝600－10x 40－x.S 五边形MBCDN ＝S 矩形ABCD －S △AMN ＝40×60－12·AM ·AN ＝2 400－5（60－x ）240－x .∵N 与F 重合时，AM ＝AF ＝30适合条件，∴x∈(0，30]．(2)y ＝2 400－5（60－x ）240－x ＝2 400－5[(40－x )＋40040－x ＋40]，当且仅当40－x ＝40040－x ，即x ＝20∈(0，30]时，y 取得最大值2 000, ∴当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 2 000 m 2.小结：建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)．解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝kab ，其中k 是比例系数且k ＞0.依题意要使y 最小，只需ab 最大．由题设得：4b ＋2ab ＋2a ≤60(a ＞0，b ＞0)，即a ＋2b ≤30－ab (a ＞0，b ＞0)．∵a ＋2b ≥22ab ， ∴22·ab ＋ab ≤30，得0＜ab ≤32.当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 最大值为18，此时得a ＝6，b ＝3. 故当a ＝6 m ，b ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少． 解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2，代入y ＝kab 求解．[归纳小结]1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22；③ab ≤ 14(a ＋b )2；④⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b 型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点． [课后作业]1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．aC ．3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．故选C.2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A.14 B ．4 C.12D ．2 解：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，∴1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．故选C.3．函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x·（2－x ）＝2，当且仅当12－x ＝2－x 时上式取等号．而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b＜2ab2ab ＝ab.又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A.5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ]≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.6．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab 时取等号．故选D.7．点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，∴mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2.故填－2.8．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解：易知定点A (0，0)，B (1，3)．且无论m 取何值，两直线垂直．所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立．故填5.9．(1)已知0＜x ＜43，求x (4－3x )的最大值；(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值．解：(1)已知0＜x ＜43，∴0＜3x ＜4.∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时“＝”成立．∴当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为43.(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝223＝42. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时“＝”成立．∴当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y 取最小值为42.10．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b 2的最大值．解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤18，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤2－12.当且仅当a＝14，b＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥22x×3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272.当且仅当2x＝3y时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，2x＋3y＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y＝32(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y）＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，xy＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝6，y＝4.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝6⎝⎛⎭⎪⎫16y＋y≥6×216y×y＝48，当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．解：问题转化为求△ABC中∠BCA的取值范围．过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.设该人距离此树的距离CD＝x米，看A，B的视角最大，即∠BCA最大．不妨设∠BCD＝α，∠ACD＝β，则∠BCA＝β－α，且tanα＝4x ，tanβ＝9x，所以tan(β－α)＝9x－4x1＋9x×4x＝5xx2＋36＝5 x＋36x≤52x×36x＝512，当且仅当x＝36x，即x＝6时取等号，此时∠BCA最大．故填6.不等式检测1．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋2x －2≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1，1]B ．[－1，2)C ．[1，2)D ．[－2，－1]解：依题意，集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |－2≤x <2}，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．故选D.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x 2－1)<0的解集为( ) A ．(－1，0) B ．(－2，0)∪(0，2) C ．(0，2) D ．(1，2)解：∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)＝|x |－1.∴f (x 2－1)＝|x 2－1|－1.解不等式|x 2－1|－1<0，得0<x 2<2，∴x ∈(－2，0)∪(0，2)．故选B.4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2 B.12a 2 C ．a D.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B .223 C.33 D.233解：∵x 2＋3xy －1＝0，∴y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S的最大值为2.故选C.7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 解法一：∵x ∈[1，5]，∴不等式变形为a >－x ＋2x ，∵x ∈[1，5]时，y ＝－x ＋2x 单调递减，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1，∴要使不等式在[1，5]上有解，应有a >－235.解法二：一元二次方程x 2＋ax －2＝0的两根之积为－2，两根一正一负．对于二次函数y ＝f (x )＝x 2＋ax －2，开口向上．与x 轴交点一正一负，y ＞0，在区间[1，5]上有解，只需y ＝f (5)＞0即可.52＋5a －2＞0，∴a ＞－235.故选A.8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5解：显然m ＞2，作出⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m 的可行域，当⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝2m －13 时z ＝x －y 的最小值为－1，解得m ＝5.故选D.9．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10．设函数f (x )＝3sin πx m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解：函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＋3<m 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＜m 2－3m 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122的最小值为14，∴只要m 2－3m 2＞14即可，得m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.11．已知O 是坐标原点，点A (－1，0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA→＋OM →|的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[2，5] C ．[1，2] D ．[0，5]解：OA →＋OM →＝(－1，0)＋(x ，y )＝(x －1，y )，设z ＝|OA →＋OM →|＝（x －1）2＋y 2，则z 2的几何意义为M 到定点E (1，0)的距离，由约束条件作出平面区域如图，由图象可知当M 位于点D (0，2)时，z 取得最大值z max ＝1＋4＝5，易知最小值z min ＝1，∴1≤z ≤5，即|OA→＋OM →|的取值范围是[1，5]．故选A. 12．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2解：∵AB→·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝32|AB →||AC →|＝23，∴|AB →||AC →|＝4，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×12＝1，∵f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，∴12＋x ＋y ＝1，∴x ＋y ＝12，∵x >0，y >0，∴log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－4.故选B.13．已知集合A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________．解：∵A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}＝{x |－5<x <1}，又∵A ∩B ＝(－1，n )，画数轴可知m ＝－1，n ＝1.故填－1；1.14．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为4，则实数m ＝________.解：画出可行域如图所示，设z ′＝x ＋3y ，当平行直线系z ′＝x ＋3y 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时取最小值，有z ′min ＝12＋3×12＝2，此时，目标函数z ＝x ＋3y ＋m 取最小值，有z min ＝z ′min ＋m ＝2＋m ＝4，m ＝2.故填2.15．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解：设两个正方形边长分别为a ，b (a ≤b )， 则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．故填12. 16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解：(1)F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 00022＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立．(2)F ＝76 000v ＋20×5v ＋18≤76 00020＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.故填(1)1 900；(2)100.17．已知不等式kx 2－x ＋4k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围．解：(1)因为不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，所以－1和－4是方程kx 2－x ＋4k ＝0的两个实根，由韦达定理得x 1＋x 2＝1k ，解得k ＝－15.(2)不等式的解集为∅，则kx 2－x ＋4k ≥0恒成立，所以k ＞0且Δ＝1－16k 2≤0，解得k ≥14.18．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是哪一种？解：设原价为a ，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)a ，方案乙：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∵1＋p %·1＋q %≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%(当且仅当p ＝q 时取等号)，∵p ＞q ＞0，∴1＋p %·1＋q %＜1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∴提价多的方案是方案乙．答：提价多的方案是方案乙．19．(1)解不等式4x －1≤x －1；(2)求函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值． 解：(1)4x －1≤x －1⇔4－（x －1）2x －1≤0⇔（x －3）（x ＋1）x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －1）（x －3）≥0，x ≠1⇔ x ≥3或－1≤x ＜1. ∴此不等式的解集为{x |x ≥3或－1≤x ＜1}．(2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴2x ＞0，1－2x ＞0，∴y ＝42x ＋91－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋91－2x [2x ＋(1－2x )]＝13＋9×2x 1－2x ＋4×（1－2x ）2x ≥25，当且仅当x ＝15时，等号成立，即函数的最小值为25.20．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，求a 2＋b 2的最小值．解法一：不等式组表示的平面区域如图所示，由于－ab ＜0，所以目标函数在点A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝45，b ＝25时等号成立．解法二：同解法一得2a ＋b ＝25.把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4. 21．某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ．甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t )，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ≤300，5x ＋4y ≤200，4x ＋9y ≤360，x ≥0，y ≥0；z ＝600x ＋1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域． 作直线l ：600x ＋1 000y ＝0，即直线l ：3x ＋5y ＝0， 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大．此时z ＝600x ＋1 000y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝200，4x ＋9y ＝360，得M 的坐标为x ＝36029≈12.4，y ＝1 00029≈34.4.故应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大．22．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1的两个极值点为x 1和x 2，x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，求f (－1)的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－2）＝12－8b ＋c ≥0，f ′（－1）＝3－4b ＋c ≤0，f ′（1）＝3＋4b ＋c ≤0，f ′（2）＝12＋8b ＋c ≥0.在平面直角坐标系bOc 中作图，图中阴影部分所示为可行域，易知f (－1)＝2b －c 在点(0，－3)取得最小值3，在点(0，－12)取得最大值12.∴3≤f (－1)≤12.故f (－1)的取值范围为[3，12]．。
(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)
基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。
(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、知识结构二、重点叙述1. 基本不等式模型一般地,如果a>0,b>0,则立。
我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或,当且仅当a=b时等号成即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。
拓展:若a、b∈R,则2. 基本不等式证明方法,当且仅当a=b时等号成立。
3.基本不等式的应用①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。
三、案例分析案例1：(1)（xx天津·理）设的最小值为A 8B 4C 1D (2) （xx海南、宁夏·理7）已知，，成等差数列，若成等比数列，则Ａ．Ｂ．的最小值是（）Ｃ．Ｄ．分析：（1）由是与的等比中项，得。
用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。
根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。
也可以用特殊值法解决。
解：（1）∵是与的等比中项，∴，得。
∴，当且仅当即时，“=”成立。
故选择C。
成等差数列，成等比数列，（2）（直接法）∵∴∴，∵，，∴，∴，当且仅当时，等号成立。
∴。
故选D。
成等差数列，成等比数列分别都为另解：（特殊值法）令，则，故选D。
案例2：(1) （xx重庆·文）已知A．2B．，则C．4的最小值是（） D．5(2)（xx山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则的最小值为________________.分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).【微点提醒】1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为4.( )(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.( )【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )A.9B.18C.36D.813.(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋1x( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f(x)＝x2－2x＋1x，则f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12B.43C.－1D.05.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________.【考点聚焦】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.角度2 利用常数代换法求最值 【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n的最小值为________.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.【迁移探究】 本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( ) A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________.考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元.考点三基本不等式与其他知识的综合应用【例3】(1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n}中，a3＝7，a9＝19，S n为数列{a n}的前n项和，则S n＋10a n＋1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】(1)(2019·厦门模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列结论正确的是( )A.当x>0且x≠1，lg x＋1lg x≥2B.1x2＋1<1(x∈R)C.当x>0时，x＋1x≥2D.当0<x≤2时，x－1x无最大值3.(2019·绵阳诊断)已知x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差数列，则x＋y有( )A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2004.设a>0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )A.16B.9C.4D.25.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A.2B.2 2C.4D.4 26.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件7.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.48.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.11.已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.12.已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝log a x＋1(a>0且a≠1)的定点，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为________.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a>0，b>0，则log13a＋log31b有( )A.最大值log312B.最小值log32C.最大值log1312D.最小值014.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则4a＋b＋a＋bc的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 215.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________.16.已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，1x＋xy的最小值为________.答 案【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值.(4)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分不必要条件. 【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81【答案】 A【解析】 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【答案】 D【解析】 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2. 【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】 D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 【答案】 15152【解析】 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30， 所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________.【答案】 14【解析】 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a＋18b 的最小值为14. 【考点聚焦】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.【答案】 (1)92(2)1【解析】 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.角度2 利用常数代换法求最值 【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】 4【解析】 ∵曲线y ＝a1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 【答案】 [9，＋∞)【解析】 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 【迁移探究】 本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值. 【答案】 见解析【解析】 ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0， 解得a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍).故a ＋b 的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( ) A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a ＋b≥22ab(当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). (2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】 见解析【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ， 即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元. 【答案】37.5【解析】由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3 ＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5， 当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.考点三 基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)3 (2)9【解析】 (1)∵a 3＝7，a 9＝19，∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. (2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【规律方法】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4【解析】 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.(2)∵{a n }为等比数列，∴a 2 017·a 2 019＝a 22 018＝12.∴1a 2 017＋2a 2 019≥22a 2 017·a 2 019＝24＝4.当且仅当1a 2 017＝2a 2 019，即a 2 019＝2a 2 017时，取得等号.∴1a 2 017＋2a 2 019的最小值为4.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x(m >0)的单调性. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立.2.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R) C.当x >0时，x ＋1x ≥2D.当0<x ≤2时，x －1x无最大值 【答案】 C【解析】 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立； 对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立； 对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.3.(2019·绵阳诊断)已知x >1，y >1，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20D.最大值200【答案】 B【解析】 由题意得2×2＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )，所以xy ＝10 000，则x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立，所以x ＋y 有最小值200. 4.设a >0，若关于x 的不等式x ＋a x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )A.16B.9C.4D.2【答案】 C【解析】 在(1，＋∞)上，x ＋ax －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4.5.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2【答案】 B【解析】 由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件【答案】 B【解析】 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ＋x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号. 7.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2C.2 2D.4【答案】 C【解析】 依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为2 2.8.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】 D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.【答案】 23＋2【解析】 y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋2x －2＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】 8【解析】 每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元. 11.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【答案】 6【解析】 因为x >0，y >0，所以9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y＝1时等号成立.设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0，所以(t －6)(t ＋18)≥0，又因为t >0，所以t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.12.已知直线mx ＋ny －2＝0经过函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】 2【解析】 因为函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点(1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1. 所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2＝1＋n 2m ＋m 2n≥1＋2n 2m ·m 2n＝2， 当且仅当n 2m ＝m 2n，即m 2＝n 2时取等号， 所以1m ＋1n的最小值为2. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m ＝(a －1，2)，n ＝(4，b )，且m ⊥n ，a >0，b >0，则log 13a ＋log 3 1b有( )A.最大值log 3 12B.最小值log 32C.最大值log 13 12D.最小值0【答案】 B【解析】 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即4(a －1)＋2b ＝0， ∴2a ＋b ＝2，∴2≥22ab ，∴ab ≤12(当且仅当2a ＝b 时，等号成立). 又log 13 a ＋log 3 1b ＝log 13 a ＋log 13 b ＝log 13 (ab )≥log 1312＝log 3 2， 故log 13a ＋log 3 1b有最小值为log 3 2. 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为( ) A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2 【答案】 D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2， 所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为2＋2 2. 15.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 【答案】 4【解析】 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 【解析】 对任意x ∈N *，f (x )≥3， 即x 2＋ax ＋11x ＋1 ≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42， 当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，1x＋xy的最小值为________.【答案】(－1，1) 3【解析】∵正数x，y满足x＋y＝1，∴y＝1－x，0<x<1，∴－y＝－1＋x，∴x－y＝2x－1，又0<x<1，∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1，即x－y的取值范围为(－1，1).1 x ＋xy＝x＋yx＋xy＝1＋yx＋xy≥1＋2yx·xy＝1＋2＝3，当且仅当x＝y＝12时取“＝”；∴1x＋xy的最小值为3.。
基本不等式及其应用 习题及解析
基本不等式及其应用一．选择题（共15小题）1．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．2102．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．163．已知a＞0，b＞0，则的最小值为（）A．B．1 C．2 D．44．已知x、y都是非负实数，且x+y=2，则的最小值为（）A．B．C．1 D．25．已知x，y，z为正实数，则的最大值为（）A．B．C．D．6．若a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2b2≤ B．a2+b2≥ C．（1+）（1+）≥9 D．+≥47．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b ＞0，若 A，B，C 三点共线，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．98．若x＞0，y＞0，x+y=1，则的最小值为（）A．B．C．D．9．在下列函数中，最小值是2的是（）A．y=+B．y=（x＞0）C．y=sinx+，x∈（0，）D．y=7x+7﹣x10．已知a+2b=2，且a＞1，b＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．811．函数f（x）=3x+（x＞0）取得最小值时x为（）A．8 B．9 C．2 D．612．已知a，b∈R+，且，则a+b的取值范围是（）A．[1，4] B．[2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）13．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D．14．已知正项等比数列{a n}满足a9=a8+2a7，若存在两项a m，a n使得=4a1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在15．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8二．填空题（共10小题）16．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．17．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．18．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是．19．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为．20．若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是．21．已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为．22．已知x，y为正实数，则的最小值为．23．若a，b均为非负实数，且a+b=1，则+的最小值为．24．已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，则2a+b的最小值为．25．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是．三．解答题（共5小题）26．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）（1）若不等式的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k的取值范围．27．图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y（单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．28．已知a＞b＞0，求a2+的最小值．29．已知不等式＞1．（1）若不等式对于任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；（2）若不等式对于任意x∈（0，1]恒成立，求实数k的取值范围．30．解下列不等式．（1）6x2﹣x﹣1≥0；（2）﹣x2+2x﹣＞0；（3）≥3；（4）≥1．基本不等式及其应用0617参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2017•乌鲁木齐模拟）已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．210【分析】x，y∈R，x2+y2+xy=315，可得x2+y2=315﹣xy≥2xy，因此xy≤105．即可得出．【解答】解：∵x，y∈R，x2+y2+xy=315，∴x2+y2=315﹣xy，315﹣xy≥2xy，当且仅当x=y=±时取等号．∴xy≤105．∴x2+y2﹣xy=315﹣2xy≥315﹣210=105．故选：B．【点评】本题考查了重要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2017•和平区校级二模）设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】不等式+≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），a＞0，b＞0．那么：+==（当且仅当a=b=1即x=2，y=1时取等号．∴+的最小值为8，则m的最大值为8．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．3．（2017•全国一模）已知a＞0，b＞0，则的最小值为（）A．B．1 C．2 D．4【分析】构造基本不等式的性质即可求解．【解答】解：由=∵a＞0，b＞0，∴=4，当且仅当a+2b=2时取等号．则的最小值为4．故选D【点评】本题考查了“构造思想”与基本不等式的性质运用，属于基础题．4．（2017•南平一模）已知x、y都是非负实数，且x+y=2，则的最小值为（）A．B．C．1 D．2【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x、y都是非负实数，且x+y=2，∴x+2+y+4=8．∴8≥2，化为：≥，当且仅当x=2，y=0时取等号．则=．其最小值为．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2017•和平区校级二模）已知x，y，z为正实数，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据基本不等式可得x2+y2≥xy，z2+y2≥yz，问题得以解决．【解答】解：x2+y2≥xy，z2+y2≥yz，∴x2+y2+z2≥xy+yz=（xy+yz），∴≤，当且仅当x=z=y时取等号，故的最大值为，故选：B【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题6．（2017•岳麓区校级一模）若a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2b2≤ B．a2+b2≥ C．（1+）（1+）≥9 D．+≥4【分析】由a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，恒大于0，两边平方，根据不等式的性质可得答案．【解答】解：由a+b=1，可得a2+b2+2ab=1，∵2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时取等号．∴2a2+2b2≥1，则a2+b2≥．故选B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．7．（2017•淄博一模）设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．9【分析】利用向量共线定理可得：2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：=（a﹣1，1），=（﹣b﹣1，2），∵A，B，C 三点共线，∴2（a﹣1）﹣（﹣b﹣1）=0，化为：2a+b=1．又a＞0，b＞0，则+=（2a+b）=4++≥4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2017•武汉模拟）若x＞0，y＞0，x+y=1，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】通过换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：x＞0，y＞0，x+y=1，则y=1﹣x．∴=+=x﹣2++=x﹣2++2﹣x﹣2+=﹣2+=f（x），f′（x）=+==，0＜x＜1．可知：当x=，y=时，f（x）取得最小值为：﹣2+=．故选：A．【点评】本题考查了换元方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2017春•西城区校级期中）在下列函数中，最小值是2的是（）A．y=+B．y=（x＞0）C．y=sinx+，x∈（0，）D．y=7x+7﹣x【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，x正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B，y===+≥2，当且仅当=，即x=0时取等号，但x＞0，故错误；选项C，∵x∈（0，），∴sinx∈（0，1），∴y=sinx+≥2，当且仅当sinx=，即sinx=1时取等号，但sinx∈（0，1），取不到1，故错误；选项D，y=7x+7﹣x=7x+≥2，当且仅当7x=即x=0时取等号，故正确．故选：D【点评】本题考查基本不等式，注意等好成立的条件是解决问题的关键，属基础题．10．（2017春•张家口期中）已知a+2b=2，且a＞1，b＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】由题意可得：a﹣1+2b=1、a﹣1＞0，利用“1的代换”化简所求的式子，由基本不等式求出答案．【解答】解：∵a＞1，b＞0，且a+2b=2，∴a﹣1+2b=1，a﹣1＞0，∴=（）（a﹣1+2b）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号，∴的最小值是8，故选D．【点评】本题考查了“1的代换”，以及基本不等式的应用，考查了化简、变形能力，属于基础题．11．（2017春•东湖区校级月考）函数f（x）=3x+（x＞0）取得最小值时x为（）A．8 B．9 C．2 D．6【分析】根据题意，函数f（x）变形可得：f（x）=++，由基本不等式的性质分析可得且仅当==时，f（x）取得最小值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=3x+=++，又由x＞0，f（x）=++≥3=9，当且仅当==时等号成立，即x=2时等号成立，故选：C．【点评】本题考查基本不等式的性质，关键是对f（x）的形式变形，配凑基本不等式的应用条件．12．（2017春•江西月考）已知a，b∈R+，且，则a+b的取值范围是（）A．[1，4] B．[2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）【分析】a，b∈R+，由≥ab，可得≥．又，可得（a+b）=5≥（a+b），化简整理即可得出．【解答】解：∵a，b∈R+，∴≥ab，可得≥．∵，∴（a+b）=5≥（a+b），化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，解得1≤a+b≤4，则a+b的取值范围是[1，4]．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2017春•温江区校级月考）已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D．【分析】展开，并根据x+y=1可以得到，可令t=xy，并求出，而根据的单调性即可求出f（t）的最小值，进而求出z的最小值．【解答】解：z====；令t=xy，则；由在上单调递减，故当t=时有最小值，即：时z有最小值．故选B．【点评】考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，要熟悉函数的单调性．14．（2017春•南康区校级月考）已知正项等比数列{a n}满足a9=a8+2a7，若存在两项a m，a n 使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【分析】由a 9=a8+2a7，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得=4a1，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得的最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），∵a9=a8+2a7，∴a7q2=a7q+2a7，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴a m a n=16a12，∴a1q m+n﹣2=16a1，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=16，∴m+n=6，即+=1，则=（）•（+）=++≥+=上式等号成立时，n2=4m2，即n=2m，而m+n=6，∴m=2，∴最小值为．故选：A．【点评】本题是等差数列和等比数列的综合题，考查等比数列的通项和基本不等式的性质，是中档题．15．（2016•潮南区模拟）已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8【分析】画出函数f（x）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【解答】解：函数f（x），如图所示，[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑，故选：D．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二．填空题（共10小题）16．（2017•天津）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为 4 ．【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．17．（2017•四模拟）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 4 ．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是 4故答案为：4．【点评】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．18．（2017•河西区校级模拟）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是7+4．【分析】log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵log4（3a+4b）=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．19．（2017•道里区校级三模）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为9 ．【分析】由题意可得b﹣1＞0且a+（b﹣1）=1，整体代入可得+=（+）[a+（b ﹣1）]=5++，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞0，b＞1，且a+b=2，∴b﹣1＞0且a+（b﹣1）=1，∴+=（+）[a+（b﹣1）]=5++≥5+2=9，当且仅当=时取等号，结合a+（b﹣1）=1可解得a=且b=，故所求最小值为9故答案为：9【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．20．（2017•淮安四模）若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是8 ．【分析】根据题意，将变形可得则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，x，y满足x+y=1，则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4≥2+4=8，即的最小值是8；故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的应用，关键是将变形为（+）+4．21．（2017•绍兴一模）已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55 ．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．【点评】本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（2017•天津一模）已知x，y为正实数，则的最小值为．【分析】由x，y为正实数，可得=++1，令=t＞0，则f（t）=+t+1=+t++，利用基本不等式求出最小值即可．【解答】解：∵x，y为正实数，∴=++1，令=t＞0，则f（t）=+t+1=+t++≥2+=可知：当=t+即t=时，函数f（t）取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查了换元法和基本不等式求最小值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•盐城三模）若a，b均为非负实数，且a+b=1，则+的最小值为 3 ．【分析】观察所求，利用换元变形为在m+n=3的前提下求的最小值．【解答】解：设a+2b=m，2a+b=n，则m+n=3，原式变形为：=（m+n）（）=[5+]（5+2）=3；当且仅当时等号成立；故答案为：3．【点评】本题考查了利用基本不等式求代数式的最小值；关键是正确变形为能够利用基本不等式的形式．24．（2017•嘉兴一模）已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，则2a+b的最小值为3+2．【分析】由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，可得b=＞0，解得1＜a＜3．则2a+b=2a+=a﹣1++3，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，∴b=＞0，解得1＜a＜3．则2a+b=2a+=a﹣1++3≥2+3=2+3，当且仅当a=1+，b=1时取等号．故答案为：3+2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（2017•河东区一模）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是．【分析】直接利用对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，可得x+3y=1．===≥=．当且仅当x=，x+3y=1，即y==，x==时取等号．的最小值是．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．三．解答题（共5小题）26．（2017春•曹妃甸区校级期中）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）（1）若不等式的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k的取值范围．【分析】（1）根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出k的值；（2）跟你就题意△=4﹣24k2＜0，且k＜0，解得即可，（3）根据题意，得△≤0且k＞0，由此求出k的取值范围【解答】解：（1）∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，∴k＜0，且﹣3和﹣2是方程kx2﹣2x+6k=0的实数根，由根与系数的关系，得（﹣3）+（﹣2）=，∴k=﹣；（2）不等式的解集是R，∴△=4﹣24k2＜0，且k＜0，解得k＜﹣，（3）不等式的解集为∅，得△=4﹣24k2≤0，且k＞0，解得k≥．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的问题，是综合性题目．27．（2016•杨浦区三模）图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y （单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【分析】（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S▱ABCD，即•EB•h=AB•h，从而确定点E的位置；（2）点E在线段AB上，分10≤x≤20与0≤x＜10讨论以确定y关于x的函数关系式，从而利用分段函数解得，当0≤x＜10时，y=2，由二次函数求最小值，当10≤x ≤20时，y=，由基本不等式求最值；从而可得．【解答】解：（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S▱ABCD，即•EB•h=AB•h，其中h为平行四边形AB边上的高，得EB=AB，即点E是AB的中点．（2）∵点E在线段AB上，∴0≤x≤20，当10≤x≤20时，由（1）知，点F在线段BC上，∵AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，∴S▱ABCD=AB•BC•sin∠ABC=20×10×=100．由S△EBF=x•BF•sin120°=25，得BF=，∴由余弦定理得，y=EF==，当0≤x＜10时，点F在线段CD上，由S四边形EBCF=（x+CF）×10×sin60°=25得CF=10﹣x，当BE≥CF时，EF=，当BE＜CF时，EF=，化简均为y=EF=2，综上所述，y=；当0≤x＜10时，y=2，当x=时，y有最小值y min=5，此时CF=；当10≤x≤20时，y=≥10＞5，故当点E距点B2.5m，点F距点C7.5m时，EF最短，其长度为5．【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用及基本不等式与二次函数的性质应用，属于中档题．28．（2016•沈阳模拟）已知a＞b＞0，求a2+的最小值．【分析】两次利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0．∴==4，当且仅当b=a﹣b，a2=2，a＞b＞0，即，b=时取等号．∴a2+的最小值是4．【点评】本题考查基本不等式的性质，利用条件进行构造是解决本题的关键．19．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．29．（2016春•临汾校级期末）已知不等式＞1．（1）若不等式对于任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；（2）若不等式对于任意x∈（0，1]恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）先利用配方法化简不等式分母，再等价转化为对应一元二次不等式，化简后对k分类讨论，由条件和一元二次不等式恒成立问题，列出不等式组求出实数k的取值范围；（2）由（1）化简不等式，由x∈（0，1]得x2+x＞0，分离出k后再化简右边，由x∈（0，1]求出右边的范围，根据恒成立求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵x2+x+1=＞0，∴等价于kx2+kx+4＞x2+x+1，则（k﹣1）x2+（k﹣1）x+3＞0，由题意得，（k﹣1）x2+（k﹣1）x+3＞0对于任意x∈R恒成立，当k﹣1=0即k=1时，不等式为3＞0，成立；当k﹣1≠0即k≠1时，，解得1＜k＜13，综上所述：实数k的取值范围是[1，13）；（2）由（1）可知，k（x2+x）＞x2+x﹣3，由x∈（0，1]得，x2+x＞0，∵不等式对于任意x∈（0，1]恒成立，∴=对于任意x∈（0，1]恒成立，设y=x2+x，由x∈（0，1]得y∈（0，2]，∴，则，则k＞，即实数k的取值范围是（）．【点评】本题考查了分式不等式的转化问题，一元二次不等式解法，以及恒成立的转化问题，考查转化思想，化简、变形能力．30．（2016春•红桥区期末）解下列不等式．（1）6x2﹣x﹣1≥0；（2）﹣x2+2x﹣＞0；（3）≥3；（4）≥1．【分析】（1）由一元二次方程的解法求出对应方程的根，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；（2）先化简不等式，由一元二次方程的解法求出对应方程的根，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；（3）先化简分式不等式，再等价转化为一元二次不等式组，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；（4）先化简分式不等式，再等价转化为对应不等式组，由穿根法求出高次不等式的解集．【解答】解：（1）由6x2﹣x﹣1=0得（3x+1）（2x﹣1）=0，解得x=或x=， (2)所以不等式6x2﹣x﹣1≥0 的解集为{x|x或x} (4)（2）由﹣x2+2x﹣＞0得3x2﹣6x+2＜0，因为3＞0，且方程3x2﹣6x+2=0的解是：x1=，x2=，所以原不等式的解集是 {x|} (8)（3）由得，则，即，所以，解得，则不等式的解集是{x|} (12)（4）原不等式化为：，整理得 0即，如图所以原不等式的解集为{x|x≤1或2＜x≤3或x＞4} (16)【点评】本题考查了分式不等式的化简以及等价转化，一元二次不等式的解法，以及穿根法求高次不等式的解集，考查转化思想，化简、变形能力．。
2.4.3基本不等式及其应用(含答案)
l 米，
求该木质窗框的最大面积 .( 结果用 l 表示，忽略木料本身宽度 ).
第二章 不等式
9. 经过长期观察测得：在交通繁忙时期，某公段汽车的车流量
y (千辆 / 时 )
920v
与汽车的平均速度
v (千米 / 小时 )之间的关系为 y
v2
(v 3v 1600
0)
(1) 在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
(精确到 0.1 千辆 / 时 )
(2) 若要求该时段内车流量超过 10 千辆 / 时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
提示：分子分母同除以 v 后再处理 .
(选做 )10.(1) 用实验的方法比较三个正数
a, b, c 的算术平均数
a
b
c
和
3
它们的几何平均值 3 abc 的大小，并写出这个基本不等式； (也可以证明 )
第二章 不等式
7. 如图，一份印刷品的排版面积 (虚线矩形面积 )为 18 ，
它的两边都留有宽为 1 的空白，顶部和底部都留有宽为 如何选择 纸张的尺寸 注 ，才能使纸的用量最少？
2 的空白 .
2
1
1
2
注：纸张的尺寸一般用 m n 表示 .
【巩固提高】
8. 如图，制作一个木质窗框，如果可供使用的材料是
总利润 y (单位 10 万元 )与营运年
数 x (x N * ) 为二次函数关系如图， 则每辆客车营运 ( )年时，其营运的 年平均利润 最大 .
(A) 3 ;
(B) 4 ;
(C) 5 ;
(D) 6 .6
x
6. 建造一个容积为 8 立方米、深为 2 米的长方体无盖水池 .如果池底和池壁的 造价每平方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低造价是多少元？
基本不等式及其应用 习题及解析
基本不等式及其应用习题及解析基本不等式及其应用一、选择题（共15小题）1.已知$x,XXX{R}$，$x+y+xy=315$，则$x+y-xy$的最小值是（）A。
35B。
105C。
140D。
2102.设正实数$x,y$满足$x>1,y>1$，不等式$\frac{x}{y-1}+\frac{y}{x-1}\geq 4$的最小值为（）A。
2B。
4C。
8D。
163.已知$a>0,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$，当且仅当（）A。
$a=b$B。
$a=b=1$XXX 1$D。
$a\neq b$4.已知$x,y$都是非负实数，且$x+y=2$，则$xy$的最大值为（）A。
0B。
$\frac{1}{4}$C。
$\frac{1}{2}$D。
15.已知$x,y,z$为正实数，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$的最大值为（）A。
3B。
4C。
5D。
66.若$a,b\in\mathbb{R},ab\neq 0$，且$a+b=1$，则下列不等式中，XXX成立的是（）A。
$ab\leq \frac{1}{4}$XXX{1}{4}$XXX{1}{8}$D。
$ab\geq \frac{1}{8}$7.设向量$\vec{OA}=(1,-2),\vec{OB}=(a,-1),\vec{OC}=(-b,2)$，其中$O$为坐标原点，$a>0,b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$的最小值为（）A。
4B。
6C。
8D。
98.若$x>0,y>0,x+y=1$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$的最小值为（）A。
2B。
3C。
4D。
59.在下列函数中，最小值是2的是（）A。
$y=x^2+1$B。
$y=2-x^2$C。
基本不等式及其应用(解析版)
1基本不等式及其应用【命题方向目录】命题方向一：基本不等式及其应用命题方向二：直接法求最值命题方向三：常规凑配法求最值命题方向四：消参法求最值命题方向五：双换元求最值命题方向六：“1”的代换求最值命题方向七：齐次化求最值命题方向八：利用基本不等式证明不等式命题方向九：利用基本不等式解决实际问题命题方向十：利用权方和不等式求最值命题方向十一：与a +b 、a 2+b 2和ab 有关问题的最值命题方向十二：待定系数法求μ1ab +μ2bc +μ3caλ1a 2+λ2b 2+λ3c 2最值命题方向十三：Δ法求最值【2024年高考预测】基本不等式作为工具，常结合其他知识点进行考察，如解析几何、函数求最值，实际应用等求范围题型，难度为基础题或中档题．【知识点总结】1.基本不等式：ab ≤a +b2(1)基本不等式成立的条件：a >0,b >0(2)等号成立的条件：当且仅当a =b 时，等号成立．(3)其中a +b2叫做正数a ，b 的算术平堭数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2.几个重要的不等式(1)a 2+b 2≥ 2ab (a ,b ∈R )．(2)b a +ab=2(a ,b 同号)．(3)ab ≤a +b 2 2(a ,b ∈R )．(4)a 2+b 22≥a +b 22(a ,b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a =b ．3.利用基本不等式求敢值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x =y 时，和x +y 有最小值2P (2)已知x ，y 都是正数，如果和x +y 等于定值S ，那么当x =y 时，积xy 有最大值14S 2注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．【方法技巧与总结】1.常见求最值模型模型一：mx+nx≥2mn(m>0,n>0)，当且仅当x=n m时等号成立；模型二：mx+nx-a=m(x-a)+nx-a+ma≥2mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x-a=n m时等号成立；模型三：xax2+bx+c =1ax+b+c x≤12ac+b(a>0,c>0)，当且仅当x=c a时等号成立；模型四：x(n-mx)=mx(n-mx)m≤1m⋅mx+n-mx22=n24m m>0,n>0,0<x<n m，当且仅当x=n2m时等号成立．2.权方和不等式若a i>0,b i>0,m>0，则a m+11b m1+a m+12b m2+⋯+a m+1nb m n≥a1+a2+⋯a nm+1b1+b2+⋯b nm成立．当a i=λb i的时，等号成立．【典例例题】命题方向一基本不等式及其应用1【通性通解总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．1(2023·全国·高三专题练习)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为()A.a+b2≥ab(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)C.2aba+b≤ab(a>0,b>0) D.a+b2≤a2+b22(a>0,b>0)【答案】D【解析】设AC=a,BC=b，可得圆O的半径为r=OF=12AB=a+b2，又由OC=OB-BC=a+b2-b=a-b2，在Rt△OCF中，可得FC2=OC2+OF2=a-b22+a+b22=a2+b22，因为FO≤FC，所以a+b2≤a2+b22，当且仅当a=b时取等号．故选：D.2(2023·全国·高三专题练习)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且OF⊥AB，点C在直径AB上运动．作CD⊥AB交半圆O于点D．设AC=a，BC=b，则由FC≥CD可以直接证明的不等式为()23A.a +b2≥ab a>0,b >0 B.a 2+b 2≥2ab a >0,b >0 C.2ab a +b≤a 2+b 22a >0,b >0D.ab ≤a 2+b 22a >0,b >0【答案】D【解析】连接AD ,BD ，由题知CD ⊥AB ，AD ⊥DB ，所以∠ADC +∠CDB =∠CDB +∠CBD ，即∠ADC =∠CBD ，因为∠ACD =∠DCB =90°，所以△ACD ∼△DCB ，所以AC DC =CD BC ，即CD =ab ，因为AC =a ，BC =b ，所以OF =a +b 2，OC =a -a +b 2=a -b2，所以FC =a +b 2 2+a -b 2 2=a 2+b 22所以由FC ≥CD 可以证明ab ≤a 2+b 22a >0,b >0故选：D3(2023·全国·高三专题练习)若非零实数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是()A.1a >1bB.a +b >2abC.lg a 2>lg b 2D.a 3>b 3【答案】D【解析】对于A 中，由1a -1b =b -aab，因为a >b ，可得b -a <0，因为ab 不确定，所以A 错误；对于B 中，只有当a >0,b >0，a ,b 不相等时，才有a +b >2ab 成立，所以B 错误；对于C 中，例如a =1,b =-2，此时满足a >b ，但lg a 2<lg b 2，所以C 错误；对于D 中，由不等式的基本性质，当a >b 时，可得a 3>b 3成立，所以D 正确.故选：D1(2023·全国·高三专题练习)下列不等式的证明过程正确的是()A.若a ,b ∈R ，则b a +ab ≥2b a ⋅a b =2B.若x >0，则cos x +1cos x≥2cos x ⋅1cos x =24C.若x <0则x +4x≤2x ⋅4x =4D.若a ,b ∈R ，且ab <0，则b a +a b =--b a +-ab ≤-2-b a ⋅-ab =-2【答案】D【解析】对于A 选项，当ab <0时，b a +a b <0，所以A 选项错误.对于B 选项，如x =π时，cos x +1cos x=-2<0，所以B 选项错误.对于C 选项，由于x <0，则-x >0，x +4x =--x +4-x ≤-2-x ⋅4-x =-4，所以C 选项错误.对于D 选项，根据基本不等式成立的条件可知D 选项正确.故选：D2(2023·全国·高三对口高考)下列结论正确的是()A.y =x +1x有最小值2 B.y =x 2+2+1x 2+2有最小值2C.ab <0时，y =b a +ab有最大值-2D.x >2时，y =x +1x -2有最小值2【答案】C【解析】对于A ，没有说x 是正数，所以y =x +1x可以取到负值，故A 错误；对于B ，要y =x 2+2+1x 2+2取到最小值2，需满足x 2+2=1x 2+2，此时x 2=-1，不可能成立，故B 错误；对于C ，∵ab <0,∴-b a >0，y =b a +a b=--b a +-a b ≤-2-b a ⋅-a b =-2，当且仅当b a =-1时，等号成立，故C 正确；对于D ，y =x +1x -2=x -2+1x -2+2≥2(x -2)⋅1x -2+2=4，故D 错误．故选;C .命题方向二直接法求最值1【通性通解总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．4(2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测)若a >0，b >0，a +b =2，则a +bab的最小值为()A.22B.2C.1D.2【答案】D【解析】由已知可得a +b ab =2ab.因为a >0，b >0，由基本不等式知ab ≤a +b2=1，当且仅当a =b =1时，等号成立.所以0<ab ≤1，所以1ab≥1，所以a +b ab =2ab ≥2，所以a +b ab 的最小值为2.故选：D .5(2023·全国·高三专题练习)已知x，y∈0,+∞，2x-6=14y，则xy的最大值为()A.92B.98C.32D.94【答案】A【解析】因为2x-6=14y，即2x-6=2-2y，所以x+2y=6，又x，y∈0,+∞，则xy=12x⋅2y≤12x+2y22=92，当且仅当x=3，y=32时，等号成立.故选：A6(2023·云南文山·高三马关县第一中学校校考阶段练习)已知正数a,b满足a2+2b2=1,则ab2的最大值是()A.13B.33C.39D.19【答案】C【解析】解:由题知1=a2+2b2=a2+b2+b2≥33a2b2b2,∴3a2b4≤13,当且仅当a=b=33时取等号,所以ab2≤3 9．故选:C．1(2023·全国·高三专题练习)若实数x，y满足x2+4y2=1，则xy的最大值是( )．A.14 B.12 C.18 D.1【答案】A【解析】因为实数x，y满足x2+4y2=1，所以x2+4y2=x2+2y2≥2x⋅2y=4xy，所以xy≤1 4，当且仅当x=2y，即x=22y=24或x=-22y=-24时取等号，所以xy的最大值是1 4.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)已知a>0，b>0，且a+2b=ab，则ab的最小值是() A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】∵已知a>0，b>0，且a+2b=ab，∴ab≥2a⋅2b，化简可得ab≥22，∴ab≥8，当且仅当a=2b时等号成立，故ab的最小值是8，故选：B．3(2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习)若a>0，b>0，则ba2+4b+a2的最小值为()A.2B.2C.22D.45【答案】C【解析】∵a>0,b>0，∴b a2+4b+a2≥2ba2⋅4b+a2=4a+a2≥22，当且仅当2a=b=42，即a=22,b=42时等号成立，所以ba2+4b+a2的最小值为2 2.故选：C.常规凑配法求最值1【通性通解总结】1.通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2.注意验证取得条件．7(2023·全国·高三专题练习)函数y=3x+1x-1(x>1)的最小值是()A.4B.23-3C.23D.23+3【答案】D【解析】因为x>1，所以y=3x-1+1x-1+3≥23x-1×1x-1+3=23+3，当且仅当3x-1=1x-1，即x=1+33时等号成立.所以函数y=3x+1x-1(x>1)的最小值是23+3.故选：D.8(2023·全国·高三专题练习)若x>0，y>0且x+y=xy，则xx-1+2yy-1的最小值为()A.3B.52+6C.3+6D.3+22【答案】D【解析】因x>0，y>0且x+y=xy，则xy=x+y>y，即有x>1，同理y>1，由x+y=xy得：(x-1)(y-1)=1，于是得xx-1+2yy-1=1+1x-1+2+2y-1=3+1x-1+2y-1≥3+21x-1⋅2y-1=3+22，当且仅当1x-1=2y-1，即x=1+22,y=1+2时取“=”，所以xx-1+2yy-1的最小值为3+22.故选：D9(2023·上海·高三专题练习)若x>1，则函数y=x2-x+1x-1的最小值为.【答案】3【解析】由题意，y=x2-x+1x-1=x2-2x+1+x-1+1x-1=x-12+x-1+1x-1=x-1+1x-1+1，67因为x >1，所以y =x -1+1x -1+1≥2x -1 ⋅1x -1+1=3，当且仅当x -1=1x -1，即x =2时等号成立.所以函数y =x 2-x +1x -1的最小值为3.故答案为：3.命题方向四消参法求最值1【通性通解总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！10(2023·江苏苏州·高二统考期中)已知实数x ，y 满足y >32且6xy -9x +2y -4=0，则3x +y 的最小值是.【答案】22+12【解析】由6xy -9x +2y -4=0，可得y =9x +46x +2，∵y >32，∴9x +46x +2>32，解不等式可得，x >-13，则3x +y =3x +9x +46x +2=3x +3(3x +1)+12(3x +1)=3x +12(3x +1)+32，=3x +1+12(3x +1)+12≥212+12=2+12，当且仅当3x +1=12(3x +1)即x =2-26时上式取等号，∴3x +y 的最小值是2+12，故答案为2+12．11(2023·江苏苏州·高二统考竞赛)已知正实数a ，b ，c 满足2a +b =ab ，且a +b +c =abc ，则c 的最大值为.【答案】815【解析】由a >0,b >0，则2a +b =ab ≥2⋅2ab ，可得ab ≥16，当且仅当a =b =4时取等；又由a +b +c =abc 可得c =a +b ab -1=ab 2ab -2=12+12ab -2，由ab ≥16可得0<12ab -2≤130，则12<c ≤815，则c 的最大值为815.故答案为：815.12(2023·浙江·高三专题练习)若正实数a ，b 满足b +3a =2ab ，则a +bab 2的最大值为．【答案】12【解析】因为正实数a ，b 满足b +3a =2ab ，8所以a =b2b -3，则a +b ab 2=b +b2b -3b 32b -3=-2b2+2b =-21b-122+12，当1b=12，即b =2时取得最大值12．故答案为：12．命题方向五双换元求最值1【通性通解总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1.代换变量，统一变量再处理． 2.注意验证取得条件．13(2023·全国·高三专题练习)已知a >0，b >0，a +2b =1，则13a +4b +1a +3b取到最小值为．【答案】3+225．【解析】令a +2b =λ(3a +4b )+μ(a +3b )=(3λ+μ)a +(4λ+3μ)b ，∴{3λ+μ=14λ+3μ=2⇒λ=15μ=25，∴13a +4b +1a +3b =13a +4b +1a +3b ⋅15(3a +4b )+25(a +3b ) =35+152(a +3b )3a +4b +3a +4b a +3b ≥35+252(a +3b )3a +4b ⋅3a +4b a +3b =3+225，当且仅当{a +2b =12(a +3b )3a +4b ⋅3a +4b a +3b时，等号成立，即13a +4b +1a +3b 的最小值是3+225．14(2023·全国·高三专题练习)设x >-1,y >-2，且x +y =4，则x 2x +1+y 2y +2的最小值是.【答案】167【解析】令x +1=a (a >0)，y +2=b (b >0)，则x =a -1，y =b -2，因为x +y =4，则有a +b =7，所以x 2x +1+y 2y +2=(a -1)2a +(b -2)2b =a +1a -2+b +4b-4=7-2-4+1a +4b=1+17(a +b )1a +4b=1+171+4+b a +4a b ≥1+17×5+2b a ×4a b =1679当且仅当b =2a ，即a =73,b =143时取等号，则x ,y 分别等于43,83时，x 2x +1+y 2y +2的最小值是167.故答案为：167.命题方向六“1”的代换求最值1【通性通解总结】1.的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．2.根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．3.注意验证取得条件．15(2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模)正数a ,b 满足4a +1b=1，若不等式m 2-8m <a +b 恒成立，则实数m 的取值范围.【答案】-1,9【解析】因为不等式m 2-8m <a +b 恒成立，所以m 2-8m <a +b min ，由4a +1b=1，a >0,b >0，可得a +b =a +b ⋅4a +1b =5+4b a +ab≥5+24b a ⋅a b =9，当且仅当a =6,b =3时等号成立，所以m 2-8m <9，解得-1<m <9.所以m 的取值范围为-1,9 .故答案为：-1,9 .16(2023·上海金山·统考二模)已知正实数a ,b 满足1a +2b=1,则2a +b 的最小值为.【答案】8【解析】因为正实数a ,b 满足1a +2b =1,所以2a +b =2a +b ⋅1a +2b =4+4a b+ba ≥4+24a b ⋅b a=8,当且仅当4a b=ba ⇒b =2a 即b =4,a =2时等号成立,所以2a +b 的最小值为8.故答案为:8.17(2023·全国·高三专题练习)已知实数a >1，b >1，且3a +2b =6，则2a a -1+2b -1的最小值是.【答案】12+46【解析】因为实数a >1，b >1，且3a +2b =6，则3a -1 +2b -1 =1，所以，2a a -1+2b -1=2a -1 +2a -1+2b -1=21a -1+1b -1+2=21a -1+1b -1 3a -1 +2b -1 +2=25+3a -1 b -1+2b -1 a -1+210≥25+23a -1 b -1⋅2b -1a -1+2=12+46.当且仅当3a -1 =2b -1 时，等号成立，故2a a -1+2b -1的最小值为12+46.故答案为：12+46.1(2023·全国·高三专题练习)若正实数a ，b 满足a +2b =ab ，则ab +a +b 的最小值为．【答案】7+43【解析】由a +2b =ab ①，由①得，1b+2a =1②，故由①和②，可得ab +a +b =a +2b +a +b =2a +3b 1b +2a =2ab +4+3+6b a ≥7+43，当且仅当2a b =6b a 时，等号成立，即a =2+3,b =23+33时，ab +a +b 的最小值为7+4 3.故答案为：7+432(2023·全国·高三专题练习)已知x ,y 都是正数，且x +y =2，则4x +2+1y +1的最小值为．【答案】95/1.8【解析】因为x ,y 都是正数，且x +y =2，则(x +2)+(y +1)=5,则4x +2+1y +1=15(x +2)+(y +1) 4x +2+1y +1 =155+4(y +1)x +2+x +2y +1 ≥155+24(y +1)x +2⋅x +2y +1=95,当且仅当4(y +1)x +2=x +2y +1，结合x +y =2，即x =23，y =13时取等号，故答案为：953(2023·陕西渭南·统考二模)设a >0,b >0，若a 2+b =1，则2a +1+1b的最小值是.【答案】83/223【解析】∵a >0,b >0，若a 2+b =1，∴a +12+b =32，∴2a +1+1b =232a +1+1b a +12+b =232+2b a +1+a +12b≥232+2a +12b ⋅2b a +1 =83，当且仅当a +12b=2b a +1，又a 2+b =1，即a =12，b =34时等号成立，故答案为：83．4(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知实数a >0>b ，且a -b =5，则1a +1+12-b的最小值为.【答案】12/0.5【解析】∵a >0>b ,∴a +1>0,2-b >0，∵a -b +5,∴a +1+2-b =8，1a +1+12-b =188a +1+82-b =18a +1+2-b a +1+a +1+2-b2-b =18×2+2-b a +1+a +12-b ≥18×2+2 =12，当且仅当a +1=2-b 时，取等号.11故答案为：12.5(2023·全国·高三专题练习)正实数a ,b 满足4a +b =4ab ，则a +4b 的最小值为.【答案】254/6.25【解析】∵a >0，b >0，4a +b =4ab ，∴1b+14a =1，∴a +4b =a +4b 1b +14a =174+a b+b a ≥174+2a b ⋅b a =254(当且仅当a =b =54时取等号)，即a +4b 的最小值为254.故答案为：254.6(2023·天津·高三校联考期末)已知a ,b ∈R +,a +2b =1，则2a +2+1b +1的最小值为.【答案】85/1.6【解析】因为a +2b =1，所以a +2 +2b +2 =5.所以2a +2+1b +1=2a +2+22b +2=2a +2+22b +2a +2 +2b +2 ×15=154+2a +2 2b +2+22b +2 a +2≥154+22a +2 2b +2⋅22b +2 a +2=85,当且仅当a =12,b =14时等号成立.故2a +2+1b +1的最小值为85.故答案为:85.7(2023·全国·高三专题练习)若三个正数x ,y ,z 满足3x +12y +2z =4，则2x +2y +13y +z的最小值为.【答案】2+3/3+2【解析】依题意x ,y ,z 为正数，3x +12y +2z =3x +2y +23y +z =4，所以2x +2y +13y +z =142x +2y +13y +z 3x +2y +23y +z=148+43y +z x +2y +3x +2y 3y +z≥148+243y +z x +2y ⋅3x +2y3y +z=2+3，当且仅当43y +z x +2y =3x +2y3y +z,3x +2y 2=43y +z 2，3x +2y =23y +z ，x +2y =6-2333y +z =3-1时等号成立.故答案为：2+38(2023·重庆·高三统考学业考试)已知x >1,y >0,x +1y =4，则1x -1+y 的最小值为.【答案】43【解析】因为x >1,y >0,x +1y =4，所以x -1>0,y >0,x -1+1y=3，故1x -1+y =13x -1+1y 1x -1+y =132+x -1 y +1x -1 y ≥132+2x -1 y ⋅1x -1 y=43，当且仅当x -1 y =1x -1y 且x +1y =4，即x =52,y =23时，等号成立，12所以1x -1+y ≥43，则1x -1+y 的最小值为43.故答案为：43.9(2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)已知正实数x ，y 满足4x +7y =4，则2x +3y +12x +y的最小值为.【答案】94【解析】因为4x +7y =4，所以2x +3y +12x +y =142x +3y +2x +y 2x +3y +12x +y，所以2x +3y +12x +y =144+2x +3y 2x +y +22x +y x +3y +1，因为x ,y 为正实数，所以2x +3y 2x +y >0,22x +yx +3y>0，所以2x +3y 2x +y +22x +y x +3y≥22x +3y 2x +y ⋅22x +y x +3y =4，当且仅当x +3y =2x +y4x +7y =4 时等号成立，即x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y ≥144+4+1 =94，当且仅当x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y 的最小值为94，故答案为：94.命题方向七齐次化求最值1【通性通解总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．18(2023·江苏·高一专题练习)已知x >0，y >0，则2xy x 2+8y 2+xyx 2+2y 2的最大值是.【答案】23【解析】由题意，2xy x 2+8y 2+xy x 2+2y 2=3x 3y +12xy 3x 4+10x 2y 2+16y 4=3x y +4yx x y 2+16y x2+10=3x y +4y x x y +4y x 2+2=3x y +4y x x y +4y x +2x y +4yx，设t =x y +4y x ，则t =x y +4y x ≥2x y ⋅4y x =4，当且仅当xy =4y x，即x =2y 取等号，又由y =t +2t 在[4,+∞)上单调递增，所以y =t +2t 的最小值为92，即t +2t ≥92，13所以3x y +4yx x y +4y x +2x y +4yx≤3t +2t =23，所以2xy x 2+4y 2+xy x 2+2y2的最大值是23.故答案为：23.19(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知实数a ,b >0，若a +2b =1，则3a b +1ab的最小值为()A.12B.23C.63D.8【答案】A 【解析】由3a b +1ab，a +2b =1，a ,b >0，所以3a b +1ab =3ab +a +2b 2ab=3a b +a 2+4ab +4b 2ab =3a b +a b+4+4b a =4a b+4b a +4≥24a b ⋅4b a +4=8+4=12，当且仅当4a b=4b a ⇒a =b =13时，取等号，所以3a b +1ab 的最小值为：12，故选：A .20(2023·天津南开·高三统考期中)已知正实数a ，b ，c 满足a 2-2ab +9b 2-c =0，则abc的最大值为．【答案】14/0.25【解析】由a 2-2ab +9b 2-c =0，得c =a 2-2ab +9b 2，∵正实数a ，b ，c∴则ab c =ab a 2-2ab +9b 2=1a b+9b a -2则a b+9b a ≥2a b ⋅9b a =6，当且仅当a b=9ba ，且a ，b >0，即a =3b 时，等号成立a b+9b a -2≥4>0则1a b +9b a -2≤14所以，ab c 的最大值为14.故答案为：14.命题方向八利用基本不等式证明不等式141【通性通解总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．21(2023·贵州·高三校联考期中)已知a >0，b >0，且a +b =2．(1)求a 2+b 2的最小值；(2)证明：a +1+b +1≤22．【解析】(1)(2)因为a +b =2，所以a 2+b 2+2ab =4，所以a 2+b 2=4-2ab ．因为a >0，b >0，所以ab ≤a +b 22=1，当且仅当a =b =1时，等号成立，则a 2+b 2≥4-2=2，即a 2+b 2的最小值是2．(2)证明：因为2×a +1≤a +32，当且仅当a =1时，等号成立，2×b +1≤b +32，当且仅当b =1时，等号成立，所以2×a +1+2×b +1≤a +32+b +32=4．当且仅当a =b =1时，等号成立则2a +1+b +1 ≤4，即a +1+b +1≤22，当且仅当a =b =1时，等号成立．22(2023·广西南宁·统考二模)已知a ，b ，c 均为正数，且a 2+2b 2+3c 2=4，证明：(1)若a =c ，则ab ≤22；(2)a +2b +3c ≤26.【解析】(1)∵a 2+2b 2+3c 2=4，a =c ，∴4a 2+2b 2=4，∵4a 2+2b 2≥2⋅2a ⋅2b ，当且仅当a =22，b =1时取等号，∴4≥2⋅2a ⋅2b ，即ab ≤22；(2)∵a ，b ，c 均为正数，且a 2+2b 2+3c 2=4，∴由柯西不等式得，a 2+2b 2+3c 212+2 2+3 2≥a +2b +3c 2，∴a +2b +3c 2≤4×6，∴a +2b +3c ≤26，当且仅当a =b =c =63时取等号．23(2023·贵州黔西·校考一模)设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c =1，证明：(1)a 2+b 2+c 2≥13；(2)a 3c +b 3a +c 3b ≥abc ．【解析】(1)由a +b +c =1，得a +b +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc =1，又由基本不等式可知当a ，b ，c 均为正数时，2ab ≤a 2+b 2，2ac ≤a 2+c 2，2bc ≤b 2+c 2，当且仅当a =b =c =13时，上述不等式等号均成立，所以a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤3a 2+3b 2+3c 2，即3a 2+b 2+c 2 ≥1，所以a 2+b 2+c 2≥13，当且仅当a =b =c =13时等号成立；(2)因为a ，b ，c 均为正数，所以若证a 3c +b 3a +c 3b ≥abc ，15即证a 2b+b 2c +c 2a ≥1，又a 2b+b ≥2a ，b 2c +c ≥2c ，c 2a +a ≥2c ，当且仅当a =b =c =13时，不等式等号均成立，则a 2b +b 2c +c 2a +b +c +a ≥2a +2b +2c ，即a 2b+b 2c +c 2a ≥a +b +c =1，当且仅当a =b =c =13时等号成立.15(2023·全国·高三专题练习)证明：如果a >1、b >1，那么a 2b -1+b 2a -1≥8．【解析】不妨设1<a ≤b ，则0<a -1≤b -1，且1b -1≤1a -1，由切比雪夫不等式的推论1可得a 2b -1+b 2a -1=a ⋅a ⋅1b -1+b ⋅b ⋅1a -1≥122(a +b )(a +b )1b -1+1a -1 ，所以a 2b -1+b 2a -1≥(a +b )24⋅(b -1)+(a -1)a +b -2⋅1b -1+1a -1 ，a 2b -1+b 2a -1≥(a +b )24⋅1a +b -2⋅a -1b -1+b -1a -1+2 ≥(a +b )24⋅4a +b -2=[2+(a +b -2)]2a +b -2≥[22(a +b -2)]2a +b -2=8，当且仅当a =b =2时，等号成立；故原不等式正确．16(2023·江西·高三校联考阶段练习)已知a ,b ,c 都是正数，且abc =1，证明：(1)1a +1b ≥2c ；(2)2a +1b+1c ≥a +2b +2c .【解析】(1)证明：因为a ,b ,c 都是正数，abc =1，所以c =1ab，由基本不等式可得：1a +1b≥21ab =2c ，当且仅当1a =1b ，即a =b =1c时取等，故1a +1b ≥2c 成立；(2)证明：因为abc =1，所以a =1bc ,b =1ac ,c =1ab，由柯西不等式可得：2a 2+1b 2+1c2×1b2+1c2+2a2≥2ab +1bc +2ac2，即2a +1b+1c 2≥2ab +1bc+2ac2当且仅当2a 1b=1b1c =1c2a ，即a =34,b =132,c =132时取等，因为a ,b ,c 都是正数，所以有2a +1b+1c ≥2ab +1bc +2ac ，将a =1bc ,b =1ac ,c =1ab 代入有2a +1b+1c ≥2c +a +2b 得证.命题方向九利用基本不等式解决实际问题1【通性通解总结】161.理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2.注意定义域，验证取得条件．3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．24(2023·全国·高三专题练习)某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P 1，第三年比第二年的增长率是P 2，而这两年的平均增长率为P ，在P 1+P 2为定值的情况下，P 的最大值为(用P 1､P 1表示)【答案】P 1+P22【解析】设第一年的产值为1，则第二年的产值为1+P 1，第三年的产值为(1+P 1)(1+P 2)，又这两年的平均增长率为P ，所以(1+P 1)(1+P 2)=(1+P )2，因为P 1+P 2为定值，所以(1+P )2=(1+P 1)(1+P 2)≤1+P 1+1+P 22 2=1+P 1+P 22 2，当且仅当P 1=P 2时，等号成立，所以1+P ≤1+P 1+P 22，所以P ≤P 1+P22，所以P 的最大值为P 1+P22.故答案为：P 1+P2225(2023·全国·高三专题练习)蕲春县内有一路段A 长325米，在某时间内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为y =246vv 2+2v +1600，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T (秒)=路段长×车流量平均速度(米/秒)，那么在车流量最大时，路段A 的红灯设置时间为秒.【答案】87.75/3514【解析】不妨设v >0，y =246v v 2+2v +1600=246v +1600v +2≤2462v ⋅1600v+2=24682=3，当且仅当v =1600v,v =40时等号成立.40千米/小时=400003600=4009米/秒此时红灯设置时间为T =325×31009=87.75秒.故答案为：87.7526(2023·全国·高三专题练习)某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m 2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区四周各空0.5m ，各试验区之间也空0.5m .则每块试验区的面积的最大值为m 2.【答案】617【解析】设矩形空地的长为xm ，则宽为32xm ，依题意可得，试验区的总面积S =x -0.5×4 32x -0.5×2 =34-x -64x≤34-2x ⋅64x =18，当且仅当x =64x即x =8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183=6m 2.故答案为：617(2023·上海长宁·统考二模)某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要米栅栏．【答案】4【解析】设矩形植物种植园的宽、长为a ,b ，所以S =ab =2，则a +2b ≥22ab =4，当且仅当“a =2b =2”时取等.故至少需要4米栅栏．故答案为：4．18(2023·全国·高三专题练习)党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A 产品，经过市场调研，生产A 产品的固定成本为200万元，每生产x 万件，需可变成本p x 万元，当产量不足50万件时，p x =1120x 3+60x ；当产量不小于50万件时，p x =101x +6400x -1360.每件A 产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A 产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为万元.【答案】1000【解析】由题意得，销售收入为100x 万元，当产量不足50万件时，利润f x =100x -p x -200=-1120x 3+40x -200；当产量不小于50万件时，利润f x =100x -p x -200=1160-x +6400x.所以利润f x =-1120x 3+40x -200,0<x <501160-x +6400x ,x ≥50因为当0<x <50时，f x =-140x +40 x -40 ，当0<x <40时，fx >0,f x 单调递增；当40<x <50时，f x <0,f x 单调递减；所以f x 在0,40 上单调递增，在40,50 上单调递减，则f x max =f 40 =26003；当x ≥50时，1160-x +6400x≤1160-2x ×6400x =1000，当且仅当x =80时取等号.又1000>26003，故当x =80时，所获利润最大，最大值为1000万元.故答案为：100019(2023·全国·高三专题练习)已知一扇形的圆心角为α(α>0)，扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为弧度时，该扇形面积取得最大值.【答案】2【解析】设扇形半径为r，由题有αr+2r=C⇒r=Cα+2，则扇形面积为：S=12αr2=C2α2α+22=C22α+4α+4.则S=C22α+4α+4≤C22⋅12α⋅4α+4=C216，当且仅当α=4α，即α=2时取等号.故答案为：220(2023·全国·高三专题练习)设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是()A.(38-373)m3B.16m3C.42m3D.14m3【答案】B【解析】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则2x+2×2h+2xh=32，即x+2h+xh=16，∴16=x+2h+xh≥22xh+xh，即xh+22xh-16≤0，解得0<xh≤22，∴0<xh≤8．∴车厢的容积为V=2xh≤16(m3)．当且仅当x=2h且x+2h+xh=16，即x=4,h=2时等号成立．∴车厢容积的最大值为16m3．选B．命题方向十利用权方和不等式求最值1【通性通解总结】若a i>0,b i>0,m>0，则a m+11b m1+a m+12b m2+⋯+a m+1nb m n≥a1+a2+⋯a nm+1b1+b2+⋯b nm成立．当a i=λb i的时，等号成立．27已知x,y为正实数，若x+y=1，则1x+2y的最小值为【答案】3+22【解析】1x+2y≥1+22x+y=3+22．当1x=2y时，即x=2-1,y=2-2时有1x+2y的最小值3+22．28设a>1,b>0，若a+b=2，则1a-1+2b的最小值为()A.3+22B.6C.42D.22【答案】A【解析】1a-1+2b≥1+22a+b-1=3+22．当1a-1=2b时，a=2,b=2-2时取等号．29已知实数x,y满足x>y>0且x+y=1，则2x+3y+1x-y的最小值是1819【答案】3+222【解析】2x +3y +1x -y ≥2+1 22x +2y =3+222．当2x +3y =1x -y 时，x =2-12,y =32-2取等号．21已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】a +b -2=t >0，a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥8.当a +b -2=2a b -1=b a -1时，即a =2,b =2，两个等号同时成立．22已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．即当1x 2=2y 21x +22y=1 时，即x =3,y =32，有x 2+y 2的最小值为33．23已知a ,b ,c ∈R +且1a 2+8b 2+1c2=1，则a +b +c 的最小值是．【答案】8【解析】1=1a 2+23b 2+1c 2≥1+2+1 3a +b +c2⇒a +b +c ≥8，当1a =2b =1c 时，即：a =2,b =4,c =2时等号成立．命题方向十一与a +b 、a 2+b 2和ab 有关问题的最值1【通性通解总结】利用基本不等式变形求解30(多选题)(2023·广东惠州·统考一模)若6a =2,6b =3，则()A.ba>1 B.ab <14C.a 2+b 2<12D.b -a >15【答案】ABD【解析】因为6b =3,6a =2，所以b =log 63,a =log 62，则a +b =1，选项A ，ba =log 63log 62=log 23>log 22=1，故A 正确；选项B ，因为a +b =log 63+log 62=log 66=1，且a >0,b >0,a ≠b ，所以ab <a +b 2 2=14，故B 正确；选项C ，因为a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab >1-2×14=12，故C 错误；选项D ，因为5b -a =5log 632=log 624332>log 66=1，故D 正确，故选：ABD ．2031(多选题)(2023·山东聊城·统考一模)设a >0，b >0，且a +2b =2，则()A.ab 的最大值为12B.a +b 的最小值为1C.a 2+b 2的最小值为45D.a -b +2ab的最小值为92【答案】ACD【解析】对于A 选项，由基本不等式可得2=a +2b ≥22ab ，可得ab ≤12，当且仅当a =2b =1时，等号成立，A 对；对于B 选项，由a +2b =2可得0<2b <2，解得0<b <1，所以，a +b =2-b ∈1,2 ，B 错；对于C 选项，由a +2b =2可得a =2-2b ，则a 2+b 2=2-2b 2+b 2=5b 2-8b +4=5b -452+45≥45，当且仅当b =45时，等号成立，故a 2+b 2的最小值为45，C 对；对于D 选项，a -b +2ab =a -b +a +2b ab =2a +b ab =1a +2b，因为1a +2b =12a +2b 1a +2b =52+b a +a b≥52+2b a ⋅a b =92，当且仅当a =b =23时，等号成立，故a -b +2ab的最小值为92，D 对.故选：ACD .32(多选题)(2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)设a >0，b >0，满足3a +2b =1，下列说法正确的是()A.ab 的最大值为124B.2a +1b的最小值为83C.a 2+b 2的最小值为113D.9a 2+4b 2的最小值为1【答案】AC【解析】因为a >0，b >0，所以1=3a +2b ≥23a ⋅2b ，所以ab ≤126，所以ab ≤124，当且仅当3a =2b =12即a =16,b =14时取等号，则ab 的最大值为124，故A 正确；因为2a +1b =3a +2b 2a +1b =8+4b a +3a b ≥8+24b a ⋅3a b =8+43，当且仅当4b a =3a b即b =3a2时取等号，所以2a +1b的最小值为8+43，故B 错误；因为3a +2b =1，所以a 2+b 2=a 2+1-3a 2 2=134a -313 2+113，因为a >0b =1-3a 2>0，所以0<a <13，故当a =313,b =213时，a 2+b 2取最小值为113，故C 正确；因为9a 2+4b 2=3a +2b 2-12ab =1-12ab ，且ab ≤124，所以9a 2+4b 2=1-12ab ≥1-12=12，当且仅当a =16,b =14时取等号，即9a 2+4b 2的最小值为12，故D 错误．故选：AC .24(多选题)(2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a >0，b >0，且2a +b =1，则下列不等式一定成立的有()A.ab ≤18 B.a +b >12C.a 2+b 2≥14D.4a +1+1b≥3+423【答案】ABD【解析】对于选项A ，因为a >0，b >0，且2a +b =1，所以由基本不等式可得2a +b 2≥2ab ，则ab ≤122a +b 22=18，当且仅当2a =b =12时，“=”成立，A 正确；对于选项B ，因为b =1-2a ∈0,1 ，所以a ∈0,12 ，则a +b =1-a ∈12,1 ，B 正确；对于选项C ，因为a ∈0,12 ，所以a 2+b 2=a 2+1-2a 2=5a 2-4a +1=5a -25 2+15≥15，当且仅当a =25时，“=”成立，C 错误；对于选项D ，令x =a +1>1，y =b >0，则2x +y =3，则4a +1+1b=4x +1y =134x +1y 2x +y =8+2x y +4y x +13，由基本不等式可得，8+2x y +4yx +13≥9+423=3+423，当且仅当y =22x 时，结合2x+y =3，即x =34-27y =62-37“=”成立，故D 正确，故选：ABD .25(多选题)(2023·辽宁朝阳·校联考一模)设正实数a ,b 满足a +2b =1，则()A.1a +12b有最小值4 B.ab a +2b有最大值14 C.a +b 有最大值2D.a 2+4b 2有最小值12【答案】AD【解析】由a >0,b >0,a +2b =1可得a +2b =1≥22ab ⇒ab ≤18，当且仅当a =2b =12，即a =12,b =14时取等号，对于A ,1a +12b ≥21a ⋅12b =22ab≥4，当且仅当a =2b =12，a =12,b =14时取等号，故A 正确，对于B ,ab a +2b=ab ≤18，当且仅当a =12,b =14时取等号，故B 错误，对于C ，设m =a ,2b ,n =1,22 ,由于m ⋅n ≤m ⋅n ，所以a +2b ×22≤a 2+2b 212+22 2，即a +b ≤a +2b ×62=62，当且仅当a 1=2b 22，即a =23,b =16时，等号成立，故C 错误，对于D ,a +2b 2=a 2+4b 2+4ab ⇒a 2+4b 2=1-4ab ≥12，当且仅当a =2b =12，a =12,b =14时取等号，故D 正确，故选:AD26(多选题)(2023·江苏·统考一模)已知正数a ，b 满足ab =a +b +1，则()A.a +b 的最小值为2+22B.ab 的最小值为1+2C.1a +1b的最小值为22-2D.2a +4b 的最小值为162【答案】AC【解析】对于A ，a +b +1=ab ≤a +b 22⇒a +b 2-4a +b -4≥0⇒a +b ≥2+22，当且仅当a =b 时成立，A 正确；对于B ，ab -1=a +b ≥2ab ，即ab 2-2ab -1≥0，可得ab ≥1+2，所以ab ≥3+22，当且仅当a =b 时成立，B 错误；对于C ，1a +1b =a +b ab =ab -1ab =1-1ab ≥1-13+22=22-2，当且仅当a =b 时成立，C 正确；对于D ，由a +b +1=ab ⇒4=a -1 2b -2 ≤a +2b -322⇒a +2b ≥7，当且仅当a =2b -3，即a =2，2b =5等号成立，所以2a +4b ≥22a +2b ≥227=162，此时a =2b ，不能同时取等号，所以D 错误.故选：AC .27(多选题)(2023·全国·模拟预测)若x 2+2xy +5y 2=4，x ,y ∈R ，则()A.y 2≤1B.x 2>2C.x -y 2≤8D.x 2+3y 2≥2【答案】ACD【解析】对于A ：由题意得x 2+2xy +5y 2=(x +y )2+4y 2=4，所以4y 2≤4，即y 2≤1，故A 正确；对于B ：取x =0，y =25，满足x 2+2xy +5y 2=4，但x 2=0<2，故B 错误；对于C ：易知x -y 2=x +y +-2y 2≤2x +y 2+ -2y 2 =2x 2+2xy +5y 2 =8，当且仅当x +y =-2y ，即x =-3y 时等号成立，故C 正确；对于D ：由x 2+y 2≥2xy ，得-x 2+y 2 ≤-2xy ≤x 2+y 2，因为x 2+2xy +5y 2=4，所以-2xy =x 2+5y 2-4，所以-x 2-y 2≤x 2+5y 2-4≤x 2+y 2，所以2x 2+6y 2-4≥04y 2-4≤0 ，即x 2+3y 2≥2y 2≤1 ，故D 正确.故选：ACD28(多选题)(2023·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习)已知a >0,b >0,a +b =1，则下列结论正确的是()A.a 2b +ab 2的最大值为14B.a +b 的最大值为1C.a +2b +2ab的最小值为7+43D.12a +b +4a +2b的最小值为3【答案】AC【解析】∵a >0,b >0,a +b =1.对于A ,a 2b +ab 2=ab a +b =ab ≤a +b 2 2=14，当且仅当a =b =12时取等号，故A 正确；对于B ，当a =b =12时，a +b =2>1，故B 错误；对于C ,a +2b +2ab =a +2b +2a +b ab =3a +4b ab =3b +4a =3b +4a a +b =7+3a b+4ba ≥7+43，当且仅当3a b=4ba 时取等号，故C 正确；对于D ，12a +b +4a +2b =12a +b +4a +2b ⋅132a +b +a +2b=135+a +2b 2a +b +42a +b a +2b≥3，但是当a +2b2a +b =42a +b a +2b 时，a =0不符合题意，故等号不成立，故D 错误.故选：AC .命题方向十二待定系数法求μ1ab +μ2bc +μ3caλ1a 2+λ2b 2+λ3c 2最值33(2023·全国·高三竞赛)设x ，y ，z ，w 是不全为零的实数，且满足xy +2yz +zw ≤A (x 2+y 2+z 2+w 2).则A 的最小值是.【答案】2+12【解析】引进参数α,β,γ>0，由α2x 2+y 22α≥2⋅α2x ⋅y 2α=xy ， βy 2+z 2β≥2yz ，γ2z 2+w 22γ≥zw三式相加得α2x2+12α+βy2+1β+γ2z2+w22γ≥xy+2yz+zw.令 α2=12α+β=1β+γ2=12γ.由此解得α=2+1.于是， xy+2yz+zw≤2+12x2+y2+z2+w2.又当x=w=1，y=z=2+1时，上式的等号成立，所以，A的最小值为2+1 2.34(2023·全国·高三竞赛)设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数f x,y,z=xy+yzx2+y2+z2的最大值是.【答案】2 2【解析】引入正参数λ、μ.因为λ2x2+y2≥2λxy，μ2y2+z2≥2μyz，所以，xy≤λ2x2+12λy2，yz≤μ2y2+12μz2.两式相加得xy+yz≤λ2x2+12λ+μ2y2+12μz2.令λ2=12λ+μ2=12μ，得λ=2，μ=12故xy+yz≤22x2+y2+z2 .因此，f x,y,z=xy+yzx2+y2+z2的最大值为22.35(2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x,y满足2x2+xy-y2=1，则x-2y5x2-2xy+2y2的最大值为.【答案】2 4【解析】由2x2+xy-y2=1，得(2x-y)(x+y)=1，设2x-y=t,x+y=1t，其中t≠0.则x=13t+13t,y=23t-13t，从而x-2y=t-1t,5x2-2xy+2y2=t2+1t2，记u=t-1t，则x-2y5x2-2xy+2y2=uu2+2，不妨设u>0，则1u+2u≤12u×2u=24,当且仅当u=2u，即u=2时取等号，即最大值为24.故答案为：2 4.29(2023·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则ab+bc2a2+b2+c2的最大值为．【答案】6 4。
高考复习 第7篇 第4讲 基本不等式及其应用知识点+例题+练习 含答案
第4讲 基本不等式及其应用 考点一 利用基本不等式证明简单不等式【例1】 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0， ∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xy z ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立.规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【训练1】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考点二 利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2013·山东卷改编)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为________．(2)(2014·广州一模)已知2x ＋2y ＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为________． 审题路线 条件：x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒变形得：z ＝x 2－3xy ＋4y 2⇒代入z xy ⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把x ＋2y －z 转化关于y 的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．解析 (1)z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4y x ≥2x y ·4y 3－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x＝2y 时等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2. (2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号．答案 (1)2 (2)8规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(2014·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________．解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x 即x＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 (1)5 (2)2考点三 基本不等式的实际应用【例3】 (2014·济宁期末)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x 时，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．【训练3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解 (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx ×x －(6＋12x )－t＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12. 由基本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6， 当且仅当9t ＋12＝t ＋12，即t ＝2.5时等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t＋12＝t＋12时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7——如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】(2013·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取得最小值为________．[审题]一审条件：a＋b＝2，b＞0，转化为条件求最值问题；二审问题：12|a|＋|a|b转化为“1”的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件．解析因为a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b4|a|＝|a|b，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故12|a|＋|a|b的最小值为34.答案3 4[反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值．【自主体验】(2013·福建卷改编)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________． 解析 因为2x ＞0,2y ＞0，所以1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y，故2x ＋y≤12，即2x ＋y≤14＝2－2，所以x ＋y ≤－2.答案 (－∞，－2]基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·泰安一模)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式①a ＋b ≥2ab ；②1a ＋1b ＞2ab ；③b a ＋a b ≥2；④a 2＋b 2＞2ab 中，恒成立的是________． 解析 因为ab ＞0，即b a ＞0，a b ＞0，所以b a ＋a b ≥2b a ×ab ＝2.答案 ③2．(2014·杭州一模)设a ＞0，b ＞0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是______． 解析 由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4. 答案 43．(2013·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ， ∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4. 答案 44．(2012·陕西卷改骗)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则a、v、ab的大小关系为________．解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.答案a<v<ab5．(2014·兰州模拟)已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝________.解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b ＝3.答案 36．(2014·广州模拟)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．答案97．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为______．解析∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案 38．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则1m＋1n的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4 二、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8. 证明 1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·郑州模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为________．解析 因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 1722．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 (－4,2)3．(2014·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案 6 二、解答题4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．方法强化练——不等式 (建议用时：75分钟)一、填空题1．“|x |＜2”是“x 2－x －6＜0”的________条件．解析 不等式|x |＜2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2,3)，反之则不成立． 答案 充分不必要2．(2014·青岛一模)若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式①a 2＞b 2；②ba ＜1；③lg(a －b )＞0；④⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立的是________．解析 ∵0＜13＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是减函数，又a ＞b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b.经验证①②③均错误，∴④对． 答案 ④3．(2013·郑州调研)不等式x －13x ＋1≤0的解集为________． 解析 原不等式等价为(x －1)(3x ＋1)≤0且3x ＋1≠0，解得－13≤x ≤1且x ≠－13，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎦⎥⎤x |－13＜x ≤1，即⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，1. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，14．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是________．解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2≥x 2＋14x 2＋y 2＋14y 2＋2≥2x 2·14x 2＋2y 2·14y 2＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22时取等号． 答案 45．(2014·长沙诊断)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋2y ≥0，3x ＋y －5≤0，则2x ＋y 的最大值是________．解析 设z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出不等式对应的区域，平移直线y ＝－2x＋z ，由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，由⎩⎨⎧2x －y ＝0，3x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即B (1,2)，代入z ＝2x ＋y ，得z ＝2x ＋y ＝4. 答案 46．(2013·北京海淀一模)设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是________．解析 ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，当x ＝4y ＝20时取等号， ∴xy ≤100，lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 27．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用________年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)．解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元． 答案 108．(2014·天水一模)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤a (a >1)，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为________． 解析作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 29．(2014·湖州模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为________．解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6. 所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥136＋2＝256. 答案 25610．(2014·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析 依题意，得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2)，因此有3x 2＋4xyx 2＋y2≤4，当且仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2，故λ≥4，即λ的最小值是4. 答案 411．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)12．(2014·武汉质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ＜0，则不等式f (x )＜9的解集是________．解析 当x ≥0时，由3x ＜9得0≤x ＜2. 当x ＜0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＜9得－2＜x ＜0.故f (x )＜9的解集为(－2,2)． 答案 (－2,2)13．(2013·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．解析 设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .作出可行域如图．平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧ x ＋2y ＝8，x ＝4，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，即A (4,2)，代入z ＝x ＋y ，得z ＝4＋2＝6. 答案 614．(2013·湘潭诊断)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________．解析 由a ⊥b 得：a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.所以，9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 615．(2013·上海卷)设常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．解析 当x ＞0时，f (x )＝9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a ≥a ＋1，解得a ≥15.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞二、解答题16．(2014·镇江模拟)已知f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 解 (1)f (x )>k ⇔k x 2－2x ＋6k <0， 由已知其解集为{x |x <－3或x >－2}，得x 1＝－3，x 2＝－2是方程k x 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以－2－3＝2k ，即k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66， 由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.17．(2013·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米． 18．(2014·泉州调研)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x ＝2－1或2＋1.当x ∈(－∞，2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)法一 ∵当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0， ∴3ax 2≥－x 3－3x －1，∴a ≥－x 3－1x －13x 2，设g (x )＝－x 3－1x －13x 2，∴求g (x )的最大值即可，则g ′(x )＝－13＋1x 2＋23x 3＝－x 3＋3x ＋23x 3，设h (x )＝－x 3＋3x ＋2，则h ′(x )＝－3x 2＋3，当x ≥2时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在[2，＋∞)上单调递减， ∴g ′(x )在[2，＋∞)上单调递减，∴g ′(x )≤g ′(2)＝0，∴g (x )在(2，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (2)＝－54， ∴a ≥－54.法二 因为x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，所以由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.。
高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案
§7.3 基本不等式及其应用1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( × )(5)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R ).( √ )2.当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A.函数f (x )有最小值2B.函数f (x )有最大值2C.函数f (x )有最小值3D.函数f (x )有最大值3答案 C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2>2ab B.a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误. 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误. 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A.2B.32C.1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 5.(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值. 答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2.题型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________.思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号.(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________.(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________.答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号. 题型二 不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1) C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞).思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3答案 C解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三 基本不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________.答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%，且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q2%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6 (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________.易错分析 (1)对x ＋3y 运用基本不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号.2.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于() A.1＋2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0.∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立.又f (x )在x ＝a 处取最小值.∴a ＝3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋s b， 从而v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 4.若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B.1C.4D.8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”. 5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ， 所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确.二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________. 答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.7.已知函数f (x )＝x ＋p x －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________.答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94. 8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是__________________.答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y的最小值. 解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ). ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y)(x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋2 8y x ·2x y ＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立， ∴8x ＋2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号. ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元). ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A.4B.16C.9 D.3答案 B解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立.因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b ＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 3.定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1].答案 1解析 ∵1]6ab )，∴ab ≤23.当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值.(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值. 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值). 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元.。
(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)
基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2. (3)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )． (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为0)． (5)22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ). （6）ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+()0,>b a (7)abc ≤。
(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14， 当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一 利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。
2.4.1基本不等式及其应用（含答案）
2.4.1基本不等式及其应⽤（含答案）【课堂例题】例1.利⽤基本不等式证明：(1)212x x +≥;(2)若0ab >，则2a b b a+≥.例2.利⽤基本不等式证明：(1)22222a b a b ++≥+；(2)222a b c ab bc ac ++≥++；(3),,,()()()8a b c R a b b c c a abc +∈+++≥.例3.(1),a b R +∈，且1a b +=，求证：14ab ≤. (2)0x <，求证：12x x+≤-.例4.⽤,,,>≥<≤填空:(1)22a b + 2||ab ； (2)0,a b ab b a<+ 2-；.【知识再现】1.基本不等式I ：对于，成⽴222a b ab +≥，当且仅当时，等号成⽴;基本不等式II ：对于，成⽴，当且仅当时，等号成⽴.2.两个正实数,a b 的算术平均数是；⼏何平均数是；基本不等式II ⽤⽂字可以描述为 .【基础训练】1.计算下列两个数的算术平均数A 与⼏何平均数G (0)p >：(1)2,8 ;(2)3,12 ;(3),9p p ;(4)22,2p .2.如果,a b R ∈，且0ab >，那么下列不等式恒成⽴的是( )(A)222a b ab +>； (B)a b +≥ (C)11a b +> (D)2b a a b +≥. 3.已知0,a >利⽤基本不等式证明：322a a a +≥.4.利⽤基本不等式证明：2222()()a b a b +≥+.5.我们知道：当0x >时，12x x +≥=，那么下列命题中正确的命题是 (写出所有正确命题的序号).①若0x >,则212x x+≥；②若0x ≠，则2212x x+≥；③若0x <，则1()2x x-+≥；④若0ab ≠，则||2b a a b+≥；⑤若0ab ≠，则2222b a a b ab a b ab ab++=≥=.6.已知,a b R +∈，利⽤基本不等式，⽐较：(1)2ba +(2)11()()a b a b ++与4的⼤⼩.7.已知,,a b c R +∈，利⽤基本不等式证明：a b c ++≥【巩固提⾼】8.已知0x y >>，试把,,2x y x y +.9.(1)已知,,,a b c d R +∈，利⽤基本不等式证明：44444a b c d abcd +++≥.(2)已知,,a b c R +∈，利⽤基本不等式证明：3333a b c abc ++≥提⽰：(2)左右两边各加上abc 后，左边仿照(1)处理.(选做)10.已知正实数,a b ，作以O 为圆⼼，a b +为直径的圆.,AB a AC b ==，,,OR BC DA BC AE DO ⊥⊥⊥，我们已经知道,2a bOR AD +==,a b 的“算术平均数”和“⼏何平均数”，现在我们把线段DE 的长度称为,a b 的“调和平均数”注，线段AR 的长度称为,a b 的“平⽅平均数”.(1)求,a b 的“调和平均数”和“平⽅平均数”；(2)当D 在圆周上运动时(除去,B C )，根据图像可知这四个平均数的⼤⼩关系是什么？何时它们相等？【温故知新】11.多项式变形：221x x x ++=1x x ++ ； 131x x +=-13(1)1x x -++- ；21x x =- 121x ++-.注：正实数,a b 的“算术平均数”，“⼏何平均数”，“调和平均数”，“平⽅平均数” 就是分别满⾜四个⽅程：2222,,,axa xax a b x x a b x x b x b b --=-==-=--的正数根，从⽅程的结构也可看出这四个平均数的名称由来.B【课堂例题答案】例1.(1)证：根据基本不等式I:2212x x +≥ 证毕. (2)证：0,0a b b a >>，根据基本不等式II: 2a b b a +≥= 证毕. 例2.(1)证：222212,12222a a b b a b a b +≥+≥?++≥+ 证毕. (2)证：222222222222222()2()2a b ab b c bc a b c ab bc ac a b c ab bc ac c a ca ?+≥?+≥?++≥++?++≥++??+≥?证毕.(3)证： ,,a b c R +∈,00()()()80a b b c a b b c c a abc c a ?+≥>??∴+≥?+++>??+≥>??证毕.例3.(1)证：21()24a b ab +≤= 证毕. (2)证：110()()22x x x x x->?-+-≥?+≤- 证毕. 例4.(1)≥；(2)≤；(3)>.【知识再现答案】1.任意实数,a b ；a b =；任意正数,a b ；a b =.2.2a b +两个正数的算术平均数不⼩于⼏何平均数. 【习题答案】1.(1)5,4A G ==;(2)7.5,6A G ==;(3)5,3A p G p ==;(4)21,2A p G p =+=. 2.D3.证：332,0,2a a a a a >∴+≥ 证毕.4.证：22222222222222()()a b ab a b a b ab a b a b a b +≥?+++≥++?+≥+ 证毕.5.①②③④6.(1)当2b a =时，2b a +=2b a ≠时，2b a +>. (2)当1a b ==时，11()()4a b a b ++=；当1a ≠或1b ≠时，11()()4a b a b++>. 7.证：,,a b c R +∈,2()a b b c a b c c a +≥∴+≥?++>?+≥a b c ?++>证毕.8.2x y y x +<<<<. 9.(1)证：,,,a b c d R +∈。
基本不等式的应用经典练习及答案详解
[基础巩固]1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝0解析 当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝”成立．答案 B2．已知a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 解析 ∵a ，b ∈(0,1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ，∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )，∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．答案 D3．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析 a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错； a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2，故C 错； 由基本不等式可知D 项正确．答案 D4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________．①a ＋b 2≥ab ；②a －b ≥2ab ； ③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .解析 根据x 2＋y 22≥xy ，a ＋b 2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 答案 ③5．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b 2的大小关系为________．解析 用两种方法求出第三年的产量分别为A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋x ＝ (1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2.当且仅当a ＝b 时等号成立．答案 x ≤a ＋b 26．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b ≥4.证明 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 ba ·ab ＝4.当且仅当a ＝b 时“＝”成立．[能力提升]7．(多选)有下列式子，正确的有( )A ．a 2＋1＞2aB ．⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2 C.a ＋bab ≥2 D ．x 2＋1x 2＋1≥1解析 ∵a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2a ，故A 不正确；对于B ，当x ＞0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取“＝”)；当x ＜0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝－x －1x ≥2(当且仅当x ＝－1时取“＝”)，∴B 正确；对于C ，若a ＝b ＝－1，则a ＋bab ＝－2＜2，故C 不正确；对于D ，x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥1(当且仅当x ＝0时取“＝”)，故D 正确．答案 BD8．(2022·佳木斯模拟)已知a >0，b >0，a 2＋b 2－ab ＝4，下列不等式正确的个数有() ①1a ＋1b ≥1，②ab ≤4，③a ＋b ≤4，④a 2＋b 2≤8.A ．1B ．2C ．3D ．4解析 因为a >0，b >0，a 2＋b 2－ab ＝4，所以a 2＋b 2＝ab ＋4≥2ab ，得ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，②正确；由1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，①正确； 由a 2＋b 2－ab ＝4，得()a ＋b 2＝3ab ＋4≤34()a ＋b 2＋4，所以a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，③正确；a 2＋b 2＝ab ＋4≤4＋4＝8，当且仅当a ＝b 时取等号，④正确．故选D.答案 D9．已知a ＞b ＞c ，则 (a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________． 解析 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c 2. 答案 (a －b )(b －c )≤a －c 210．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b 2≥ab ，b ＋c 2≥bc ，c ＋a 2≥ca ， ∴a ＋b 2＋b ＋c 2＋c ＋a 2≥ab ＋bc ＋ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 不全相等，∴等号不成立，∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .[探索创新]11．已知a ，b 都是正数，求证： 21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22. 证明 ∵1a ＋1b≥21ab ， ∴11a ＋1b ≤121ab ，即21a ＋1b ≤ab . 又∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24≤a 2＋a 2＋b 2＋b 24＝a 2＋b 22， ∴a ＋b 2≤ a 2＋b 22. 又由基本不等式得a ＋b 2≥ab ， 故21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．。
2.4.3 基本不等式及其应用(含答案)
【课堂例题】例1.用长为4a 的篱笆围成一个矩形菜园，怎样才能使所围矩形菜园的面积最大？例2.用篱笆围一个面积为218m 的矩形菜园，如果一边借用已有的一堵墙，则篱笆至少要多少米？例3.某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？(结果精确到0.1米)例4.某工厂建造一个无盖的长方体水池，其容积为34800m ，深度为3m ，如果池底每21m的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？43绿地【基础训练】1.(1)把36写成两个正数的积，要求这两个正数的和最小，那么36= .(2)把18写成两个正数的和，要求这两个正数的积最大，那么18= .2.用一根长为L 的铁丝制成一个矩形框架，框架的面积最大值为 .3.斜边长为10的直角三角形，面积最大值为 .4.某种产品的生产者准备对该产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ；方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q +. 其中0p q >>，则上述总提价从小到大排列正确的是（ ）(A)甲<乙<丙; (B)甲=乙<丙; (C)丙<甲=乙; (D)由,p q 的具体数值确定.5.某汽车公司购买了一批客车投入营运，每辆客车营运的总利润y (单位10万元)与营运年数x *()x N ∈为二次函数关系如图，则每辆客车营运( )年时，其营运的年平均利润最大. (A)3; (B)4; (C)5; (D)6.6.建造一个容积为8造价每平方米分别为7.如图，一份印刷品的排版面积(虚线矩形面积)为18，它的两边都留有宽为1的空白，顶部和底部都留有宽为2的空白.如何选择纸张的尺寸注，才能使纸的用量最少？注：纸张的尺寸一般用m n 表示.【巩固提高】8.如图，制作一个木质窗框，如果可供使用的材料是l 米，求该木质窗框的最大面积.(结果用l 表示，忽略木料本身宽度).12129.经过长期观察测得：在交通繁忙时期，某公段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的关系为2920(0)31600v y v v v =>++ (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (精确到0.1千辆/时)(2)若要求该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？提示：分子分母同除以v 后再处理.(选做)10.(1)用实验的方法比较三个正数,,a b c 的算术平均数3a b c++和(也可以证明)(2)利用(1)，尝试解决《数学》高一年级第一学期46P 课题一所提出的问题.【温故知新】 11.4{|,,0}A y y x x R x x ==+∈≠，则与A 相等的集合是( ).(A) (,4][4,)-∞-+∞; (B) [4,)+∞； (C) (,2][2,)-∞-+∞； (D) [2,)+∞.【课堂例题答案】例1.围成正方形时面积最大.例2.至少需要篱笆12米.例3.绿地长与宽分别为30.6米与22.9米时，人行道所占没面积最小.例4.底面为边长40米的正方形时，总造价最低，总造价为297600元.【习题答案】1.(1)66⨯; (2)99+.2.216L . 3.50.4.B 提示：22(1%)(1%)%%(1%)(1%)(1%)(1%)[](1)22p q p q p q q p ++++++=++<=+ 5.C 提示：2525()1210122(,5)y x x x x x x=-++≤-+=== 6.1760元.7.大小为105⨯规格. 8.248l . 9.(1)当汽车的平均速度v 为40千米/时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时；(2)汽车的平均速度应在(25,64)内.10.(1),,,3a b c a b c R +++∈≥，当且仅当a b c ==时等号成立 (2)227提示：3(4)(12)(12)2(1233x x x x +-+--==322(12)(12))327V x x x ∴=--≤= 11.A。
高考数学专题《基本不等式及其应用》习题含答案解析
专题2.2 基本不等式及其应用1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（ ） AB C D ．最小值是3【答案】B 【解析】 由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=， =≤3a c =. 故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤， 练基础反过来，若16ab ≤，则2ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号， 所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件， 故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+ ，则ABC 的三个内角大小为（ ） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1sin 2S bc A =, 所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ， 因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（ ）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩， 因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤， 因此xy 的最小值是1-， 故选：D5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
专题12 基本不等式及其应用
n
]．
【点评】(1)利用基本不等式证明不等式时， 首先要将条件和结论化简和变形，整理成可以 用基本不等式的形式． (2)用基本不等式证明不等式时，仍然要注意 是否有基本不等式成立的条件，但不一定要得 到定值，也不一定要取到等号，因为证明不等 式只需要利用条件能推出结论，而不一定要等 价变形．
例3：某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材 料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600 元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每 天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天 即开始使用(即有400公斤不需要保管)． (1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的 原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式； (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付 的总费用y最少，并求出这个最少(小)值；
1 1 1 )= +4=4 ， 4 4 4 1 1 1 所以f (t)≥4 ，即ab+ ≥4 ab 4 4
1 1 <0在(0， ]上恒成立， t2 4
4
所以f (t)min=f (
1 1 1 2b2+ 2 2 ≥ 16 ，a3b3+ (2)a ≥ 3 3 a b 16 ab
1 64 . 64
(3)由(1)、(2)可归纳出一般的结论为：
1 n a b + n n ≥4 + a b
n n
1 (n∈N*)． n 4
证明：因为a>0，b>0，所以1=a+b≥2 ab (当且
1 仅当a=b= 时等号成立)， 2
1 n n ，所以0<a b ≤ 4
所以0<ab≤
1 (n∈N*)． 4n
nbn=t，则t∈(0，1 设a
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专题7.3 基本不等式及其应用学习目标1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.考点一 利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。
【举一反三】（广东广州六中2019届模拟）某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？【解析】(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)， 所以2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m ＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．【方法技巧】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【变式2】（广东汕头金山中2019届模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧ 175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80，12－x 60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？ (2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？【解析】(1)当x ∈[50，80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，当x ＝65时，y 有最小值，为175×675＝9，当x ∈[80，120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值，为10，因为9＜10，所以该型号汽车的速度为65 km/h 时，每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l ，由题意可知l ＝y ·120x ，当x ∈[50，80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16.当x ∈[80，120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数，故当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10，因为10＜16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．考点三 基本不等式的综合应用【典例3】(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________.【答案】(1)3 (2)9【解析】(1)∵a 3＝7，a 9＝19，∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)， 因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1 ≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3， 当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. (2)方法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1， ∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9， 当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 方法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－32a . ∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0， ∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1， ∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9， 当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【方法技巧】(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．【变式3】（四川石室中学2019届模拟）(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ＞0，c ＞0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 【答案】(1)A (2)92【解析】(1)把圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1)． 因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.又b ＞0，c ＞0， 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5≥2 4c b ·b c ＋5＝9. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. (2)由题意a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n 1＋n 2， 所以S n ＋8a n ＝n1＋n 2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎫2 n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号．所以S n ＋8a n 的最小值是92.。