数学思想方法专题优秀课件(函数与方程的思想方法等5个) 通用4

专题五 转化与归纳的思想方法
考题剖析 （3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一 个三角形P1P2P3，如图（c）所示. 已知P1P3=P2P3， P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此 三棱锥的体积.
专题五 转化与归纳的思想方法
考题剖析
［解析］ （1）在平面图中P1B⊥P1A，P2B⊥P2C. 故三棱锥 中，PB⊥PA，PB⊥PC， ∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC. （2）由（1）在三棱锥中作PD⊥AC于D，连结 BD. 由三垂线定理得BD⊥AC， ∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连结 BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E, 得AE=P1P2=4.
部分
数学思想方法
专题五转化与化归的思想方法
专题五 转化与归纳的思想方法
知识概要
1. 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通 过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的 数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来 说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解 决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化 的思想方法”.
1. C［解析］令f(x)=(2x+ 3 )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0－a1+a2－
a3+a4)=f (1)· f(－1)=(2+ 3 )4(－2+ 3 )4=1, 所以选C.
专题五 转化与归纳的思想方法
.
知识概要 5. 利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：
专题五 转化与归纳的思想方法
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考题剖析
1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则 (a0+a2+a4)2－(a1+a3)2的值为 （ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
④如选择x2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化， (x2+3x+2)5=(1+x)5×(2+x)5展开式中的一次项x只能由(1+x)5中 的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中 的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到，即为 24 · x· 15=160x+80x=240x，故选B. C 50 · C 15 x· C 55 25+ C 15 · ［点评］化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知.
1 2
＜a≤
3 5
［解析］cos2x+4asinx+a－2＝1－2sin2x+4asinx+a－2 =－2sin2x+4asinx+a－1 令t=sinx，t ∈［0,1］， 则原题转化为方程－ 2t2+4at+a－1＝0在［0,1］ 上有两个根. 令f(x)=－2t2+4at+a－1，由二次函数图象可知：
专题五 转化与归纳的思想方法
考题剖析
［点评］把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比 较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个 学生所熟悉的 . 在对问题的化归过程中进一步挖掘 了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使 问题直观、形象，使解答更清新.
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考题剖析
5. 若关于x的方程cos2x+4asinx+a－2=0在区间［0,π］上有 两个不同的解，则实数a的取值范围是________.
）
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考题剖析
4. A［解析］每月的利润组成一个等 差数列{an}，且公差d＞0， 每月的投资额组成一个等比数列{bn}，且公比q＞1.a1=b1，且 a12=b12，比较S12与T12的大小.若直接求和，很难比较出其大小， 但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n－1）d是关于n的一次 函数，其图象是一条直线上的一些点列.等比数列的通项公式 bn=a1qn－1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些 点列. 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai≥bi则S12＞ T12，即m＞N.
2. C［解析］由原式可以变形为
(x 3)2 ( y 1)2 2 | x y 3| 2
，
即可以看作是动点（x, y)到点（－3,1）的距离与到定直 线x－y+3=0的距离之比为 2 ,故点M(x, y)的轨迹是双曲线.
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［点评］本题如果直接对原式进行变形，是有一定的运算量， 效率也不高，但将式子转化为这种公式 之后，它的 几何意义就凸现出来了，解题时要有一定的转化能力 与数形结合的能力.
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题， 以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题,通 过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目 的，或获得某种解题的启示和依据. （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形 式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转 化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方 法符合人们的思维规律. （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直 观的问题来解决. （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可 考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使 问题获解.
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3. 转化有等价转化和非等价转化. 等价转化前后是充要条件， 所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行 不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得 结论进行必要的验证.
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4
化 归 与 转 化 应 遵 循 的 基 本 原 则 ：
②如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x进行转化，则只有 C 15 (x2+2)4· 3x中含 C4 有x一次项，即C 15 · 3x· 24=240x； 4 ·
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③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化
会有x项，即240x；
4 C ,就只有 5 · (x2+3x)· 24中
专题五 转化与归纳的思想方法
考题剖析
思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则 (x2+3x+2)5展开式是一个关于x的10次多项式， (x2+3x+2)5=(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)， 它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取 一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到， 4=5×3×16x=240x，所以应选B. 故为C 15 · (3x) · · 2 C4 4
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2. 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化. 除极简单 的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知 的问题实现的. 从这个意义上讲，解决数学问题就是从未 知向已知转化的过程. 化归与转化的思想是解决数学问题 的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程. 数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向 简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化， 数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多 元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化， 函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.
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考题剖析
Δ＞ 0 f (0 ) 0 f (1 ) 0 0＜ 4 a ＜ 1 4
1 解得： ＜a≤ 2
3 5
［点评］本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名， 三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为 函数的问题.
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考题剖析
即－1≤x≤2 ,问题转化为二次方程根的分布问题，根据 图象得出等价的不等式组. ［解析］由以上分析，问题转化为二次方程ax2+2x－2a －1=0. 在区间［－1,2］上恰有两个不相等的实根，由 y=f（x）的图象（如图所示），得等价不等式组：
Δ 4 4 a ( 2 a 1 )＞ 0 2 ＜2 1＜ 2a af ( 1 ) a ( a 3 ) 0 af ( 2 ) a ( 2 a 3 ) 0
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考题剖析
设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，
考题剖析
6. 若不等式x2+px＞4x+p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实 数x的取值范围. ［解析］ ∵x2+px>4x+p－3 ∴(x－1)p+x2－4x+3>0 令g(p)=(x－1)p+x2－4x+3，则要使它对0≤p≤4均有 g ( 0 )＞ 0 g(p)>0，只要有 g ( 4 )＞ 0 ∴x>3或x<－1.
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4. （2007· 北京宣武区模拟题）某厂2006年生产利润逐月 增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造 建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等， 随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率 相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润 相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（ A. m＞N C. m=N B. m＜N D. 无法确定
3 解得实数a的取值范围为［－3，－ ］. 2
［点评］本题 体现了函数与方 程的转化、数与 形的转化，直观 明了.
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考题剖析
8. 如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥P－ABC. （1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个 直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示. 求证：侧棱PB⊥AC； （2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2， 求侧面PAC与底面ABC所成角；
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考题剖析
3. 在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为（
A. 160 B. 240 C. 360 D. 800
）
3. B［分析］本题要求(x2+3x+2)5展开式中x的系数，而我们只 学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要 把对x系数的计算用下面两种思路进行转化：
考题剖析
［点评］本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题， 关键是要看清(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2的结构特点，可 以分解因式，而分解因式后与前面式子联系起来看， 就不难转化为一个函数问题了.
专题五 转化与归纳的思想方法
2 2
考题剖析
x 3 ) ( y 1 ) |x y 3 | 0 ， 2. （2007· 云南昆明市质检题）若 ( 则点M(x,y)的轨迹是 （ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
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考题剖析
7. （2007· 湘潭市调研题）已知二次函数f（x）=ax2+2x－2a 7 π －1，其中x=2sinθ（0＜θ≤ ）. 若二次方程f(x) = 0
恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围.
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［分析］注意0＜θ≤
7 π ，则－ 1≤2sinθ≤2， 6
考题剖析 思路2：利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进 行计算.
专题五 转化与归纳的思想方法
∵x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，
∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法. ①如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)转化，可以发现只有 C 55 (3x+2)5中 会有x项，即 C 54 (3x)· 24=240x，故选B；
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考题剖析
［点评］在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要 地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在 解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这 在很多情况下是正确的 . 但在某些特定条件下，此 路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题 中的地位，就能使问题迎刃而解 . 本题中，若视 x 为 主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使 问题变成关于 p 的一次不等式，使问题实现了从高 维向低维转化，解题简单易行.