考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)知识考点题型篇：专题8概率与统计第37练

第37练 概率的两类模型
[题型分析·高考展望] 概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，
三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以填空题的形式出现.
常考题型精析
题型一 古典概型问题
例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________.
(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率： ①选取的2位学生都是男生；
②选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.
点评 求解古典概型问题的三个步骤
(1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A .
(2)分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m .
(3)利用古典概型的概率公式P (A )＝m
n 求出事件A 的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如
逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.
变式训练1 (2014·课标全国Ⅰ改编)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________.
题型二 几何概型问题
例2 (1)设不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤2，
0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的
距离大于2的概率是__________.
(2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________.
点评 (1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.
(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A 的概率P (A )只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关. 变式训练2 (1)(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤1
2”的概率，p 2为
事件“xy ≤1
2”的概率，则________.
①p 1<p 2<1
2；
②p 2<1
2<p 1；
③1
2
<p 2<p 1; ④p 1<12
<p 2.
(2)(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.
高考题型精练
1.(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 1
2⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________. 2.(2015·广东改编)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为________.
3.(2015·福建改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取
自阴影部分的概率等于________.
4.(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，
BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________.
5.将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________.
6.已知实数a ，b 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤a ≤4，
0≤b ≤4，x 1，x 2是关于x 的方程x 2－2x ＋b －a ＋3＝0的两个实根，则不等式0<x 1<1<x 2
成立的概率是________.
7.(2014·江西改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于________.
8.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________.
9.(2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.
10.在日前举行的全国大学生智能总决赛中，某高校学生开发的智能机器人在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x 轴正方向移动的概率是2
3，沿y 轴正方向移动的概率
为1
3
，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为________. 11.(2014·四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c . (1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.
12.(2014·山东)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
答案精析
第37练 概率的两类模型 常考题型典例剖析 例1 (1)3
10
解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110
.
(2)解 ①设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 所以选取的2位学生全是男生的概率为P 1＝615＝2
5
.
②从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P 2＝8
15.
变式训练1 7
8
解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝7
8.
例2 (1)1－π4 (2)3
4
解析 (1)如图所示，
正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4＝1－π4.
(2)如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤4，
0≤y ≤4，
|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒
的概率为
P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×1
2
×2×24×4
＝
1216＝34＝1－π
4
. 变式训练2 (1)④
解析 在直角坐标系中，依次作出不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，xy ≤12
的可行域如图
所示：
依题意，p 1＝S △ABO
S 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE ，而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<1
2<p 2.
(2)0.18
解析 由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正
＝
180
1 000
＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 常考题型精练 1.34
解析 由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋1
2≤2， ∴0≤x ≤3
2
.
∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.
2.1021
解析 从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C 110C 1
5＝50种取法，
所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.
3.14
解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝3
2.∴P ＝326＝14.
4.π
4
解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·12
1×2＝π
4.
5.512
解析 圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝
|2a |a 2
＋b
2
，
当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝
|2a |a 2
＋b
2
<2，
得b >a ，满足b >a 的，共有15种情况，
因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝5
12.
6.332
解析 由题意，关于x 的方程x 2－2x ＋b －a ＋3＝0对应的一元二次函数f (x )＝x 2－2x ＋b
－a ＋3满足f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
b －a ＋3>0，
b －a ＋2<0，
建立平面直角坐标系如图．
满足题意的区域为图中阴影部分， 故所求概率P ＝3
216＝3
32.
7.19
解析 掷两颗骰子，点数有以下情况：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，故所求概率为436＝19.
8.23
解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13
π×12
×2＝1
3，故点P 到点O 的距离大于1的概率P 2＝1－13＝2
3.
9.932
解析 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝225
2，
故所求概率P ＝225
2400＝9
32
.
10.160729
解析 若该机器人移动6次恰好到点(3,3)，则机器人在移动过程中沿x 轴正方向移动3次、沿y 轴正方向
移动3次，因此机器人移动6次后恰好位于点(3,3)的概率为P ＝C 36⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫1－233＝20×8729＝160729
. 11．解 (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种． 所以P (A )＝327＝1
9
.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为1
9
.
(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝8
9
.
因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为8
9.
12．解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6
50＋150＋100＝150
，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×1
50＝1,150×1
50＝3,100×1
50＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为
A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝4
15，即这2件商品来自相同地区的概率为4
15.。