云南省楚雄州高二数学下学期期末考试试题理

2017年楚雄州普通高中学年末教学质量监测
高二理科数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共
60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
）
（1）已知集合{2,1,0,1}A =--，{}=≤B x x a ，A B ⊂，则a 的取值范围是
（A ）(,1]-∞ （B ） (,2]-∞- （C ） [1,)+∞ （D ）[2,)-+∞ （2）已知复数z 满足(2i)2i z +=-，则z 的虚部是
（A ）i 3
4
-
（B ）3
4-
（C ）i 5
4
-
（D ）54- （3）已知向量a=(1,),=(1,2)x b x -r r
，若a r -b r 与a r 垂直，则|a r |等于
（A ）1
（B
（C
（D ）3
（4）设30log 2.a =，3lg0.10=b ，3010.c =，则
（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）c b a << （5）已知函数2()()a
f x x a x
=+
∈R 在区间[2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是 （A ）(,4)-∞ （B ）(,4]-∞
（C ）(,8)-∞
（D ）(,8]-∞
（6）函数sin()y A x ωϕ=+的图象如右图，则,,A ωϕ的一组可能值为
（A ）6
22π
,,- （B ）12,,
26
π
（C ）2,2,
3
π
（D ）2,2,
3
π
-
（7）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）π320+ （B ）π324+ （C ）π220+ （D ）π224+
俯视图
正视图
1
2
2
（8）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为
（A ）256 （B ）512 （C ）1024 （D ）1048576
（9）在一个样本容量为30的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的
4
1
，则中间这组的频数为 （A ）
15
（B ）
14
（C ）6 （D ）24
（10）祖暅原理是中国古代一个涉及几何体体积的结论：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设,A B 为两个同高的几何体.:,p A B 的体积相等，:,q A B 在等高处的截面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（11）圆2
2
(4)1x y -+=的圆心到双曲线22
221x y a b
-=的渐近线的距离为2，则双曲线的离
心率为
（A ）（B ）（C （D （12）若函数x y 2
sin π
=的图象与x y a log =的图象至少有12个交点，则a 的取值范围
是
（A ）(]141,
（B ）[)∞+，
14 （C ）(]71,
（D ）[)∞+，
7
第Ⅱ卷(非选择题90分)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）
（13）已知3
1
)cos(=π-x ，0tan >x ，则=x sin .
（14）某企业在2017年2月份引入高新技术，预计“用10个月的时间实现产量比2017年1月的产量翻一番”的指标．按照这一目标，甲乙丙三人分别写出在这十个月间平均增长率
x 满足的关系式，依次为甲：1102x +=；乙：1012x +=；丙：10(1)2x +=，其中关系
式正确的是 .
（15）已知点()y ,x 满足()()1312
2
≤-+-y x ，则其落在区域()()041≤-+-y x x 的概率
等于 ．
（16）为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积等于 ．
三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.） （17）（本小题满分10分）
已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈，设()f x m n =⋅． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．
（18）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足：1,7,
1,7
n n n a n n +⎧=⎨
->⎩≤（*n ∈N ），数列{}n b 满足：n a n b )1(-=.
（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并加以说明.
（19）（本小题满分12分）
自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
（Ⅰ）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（Ⅱ）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．
（20）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA
BE ，
4AB PA ==，2BE =．
（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面
PCE ？如果存在，求
AF
AB
的值；如果不存在，说明理由．
（21）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，有两定点(2,0) ,(2,0)A B -和两动点(0,),(0,)M m N n ，且1mn =，直线AM 与直线BN 交点轨迹为曲线W
（Ⅰ）求曲线W 的方程；
（Ⅱ）若直线,AM BN 分别与直线4x =交于,C D ，在曲线W 上是否存在点E ，使得△ECD 的面积是△EAB 面积的4倍，若存在，求出E 点的横坐标，若不存在，说明理由．
(22)（本小题满分12分）
已知函数(1)
()ln ()a x f x x a R x
-=-
∈． （Ⅰ）若1a =,求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）求证：不等式
111ln 12
x x -<-对一切的(1,2)x ∈恒成立．
2017年楚雄州普通高中学年末教学质量监测 高二理科数学试题参考答案与评分标准
17. （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）2
11
()3cos cos 2cos 222
f x m n sinx x x x x =⋅=+=
++ 1
sin(2)62
x π
+
+=(3分)， 由Z k k x k ∈+≤
+
≤+-
,22
6
222
ππ
π
ππ
，可得ππ
ππ
k x k +≤
≤+-
6
3
，Z k ∈.
所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
， Z k ∈(5分).
（Ⅱ）2
1
)62sin(,1)(=
+
∴=π
A A f ，130,2666A A ππππ<<∴<+<，
52,6
63
A A π
ππ
∴+
=
∴=(7分). 由,cos 2222A bc c b a -+=得1,343
cos
212
2=∴-=-+=bc bc bc c b π
，
4
3
sin 21=
=∴∆A bc S ABC (10分). 18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由1,7,1,7n n n a n n +⎧=⎨->⎩
≤知当7≤n 时，数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数
列，所以()2
32122n
n n n S n +=
++=(2分). 当7>n 时，数列{}n a 是首项为7，公差为1的等差数列，
()()2
28
2
42352
177227
+-=
--+=-+-+=n n n n n n S S n .
从而⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+-≤+=72287232
2n n n ,n n
n S n ， (6分)
（Ⅱ）当7≤n 时，{}n b 为1，-1，1，-1，1，-1，1，是等比数列（8分）.当7>n 时，
()
1
1--=n n b ，所以()()
1111
1-=--=-+n n
n n b b ，{}n b 是等比数列，其首项为18-=b ，与前7项一致，所以数列{}n b 是等比数列(12分). 19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为141
20050
P ==； 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为2162
20025
P =
= (4分). （Ⅱ）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安
排方案中，随机地抽取2种方案选法共有2
510C =（种）
，其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得63
()105
P A =
=(6分)． ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．
1(29)0.110P ξ==
=，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211
(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，
因而ξ的分布列为：
()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(12分).
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG DG ，，因为PA //BE ，且42PA BE ==，，所以BE //AG 且BE AG =，所以四边形BEGA 为平行四边形，所以EG //AB ，且
EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB CD AB =，，所以EG //CD ，且EG CD =，所以四边形CDGE 为平行四边形，所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE //平面PAD (4分)．
（Ⅱ）如图，建立空间坐标系，则()4,0,0B ，()4,4,0C ，()4,0,2E ，()0,0,4P ，
()0,4,0D ，所以()4,4,4PC =-，()4,0,2PE =-，()0,4,4PD =-．
设平面P C E 的一个法向量为(),,m x y z =，所以
00
200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨
⎨-=⋅=⎩
⎪⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，所以()1,1,2m =．
设PD 与平面PCE 所成角为α，
则sin cos ,6m PD m PD PD m
α⋅=
<>=
=
= 所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值是
6
(8分)． （Ⅲ）假设存在点(),0,0F a 满足题意，则()4,0,2FE a =-，()4,4,2DE =-．
设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则()22004200x y z n DE a x z n FE ⎧-+=⎧⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩
，
令2x =，则2
24
x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以2,,42a n a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭．
因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅=，即22802
a
a ++-=， 所以1245a =
<， 故存在点12,0,05F ⎛⎫
⎪⎝⎭
满足题意，且35AF AB =(12分)． 21. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为1mn =，所以0,0m n ≠≠，设直线AM 的方程为
12x y
m
+=-，直线BN 的方程为12x y
n
+=，所以221(2)4x y x +=≠±（5分）.
（Ⅱ）假设存在则有4ECD
EAB S
S
= ，所以
4EC ED EA EB ⋅=⋅，
所以
4EA ED EC
EB
=
(8分).
设00(,)E x y ，则
00
00
4(2)442x x x x +-=
--,00x =或085x =． 所以存在这样的点，它的横坐标为0或8
5
(12分)
22. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）1a =时，1
()ln 1f x x x
=+-，所以21()x f x x -'=，(1)0f '=，又(1)0f =，
所以切线方程为0y =(4分).
（Ⅱ）()f x 的定义域为(0,)+∞，2
()x a
f x x -'=
， ①若0,()0a f x '≤>则，()f x 在(0,)+∞上单调递增(6分)， ②若0a >，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在(0,)a 单调递减． 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(,)a +∞单调递增(8分)．
（Ⅲ）1111 2 ln 12
x x x <<∴
-<-等价于(1)ln 2(1)0x x x +-->， 令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，则(1)1
()ln 2ln 1x F x x x x x
+'=+-=+-， 由（Ⅱ）知，当1a =时，min ()(1)0f x f ==，()(1)f x f ∴>，即1
ln 10x x
+-≥，
所以()0F x '≥，则()F x 在(1,2)上单调递增，所以()(1)0F x F >=， 即11112ln 12
x x x <<-<-有时，
成立（12分）.。