北京市顺义区2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷含解析

顺义2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷
本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．（答案在最后）一.选择题（本大题共10小题，共40分）
1.设集合{}
10A x x =->，集合
{}
03B x x =<≤，则A B = （）
A.()1,3
B.(]1,3
C.
()
0,∞+ D.()
1,+∞【答案】C 【解析】
【分析】集合的基本运算问题.
【详解】因为{}
10A x x =->，所以{}
1A x x =>，且{}
03B x x =<≤，所以{}
0A B x x ⋃=>=()0,∞+.
故选：C
2.若复数z 满足()
1i 2i z +×
=，则z 的共轭复数=z （）
A.
1i - B.1i + C.i
- D.1i
-+【答案】A 【解析】
【分析】由()
1i 2i z +×
=知2i
1+i
z =，运用复数的除法即可求出z ，根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为()
1i 2i z +×
=，所以()()()2i 1i 2i 2+2i ===1+i 1+i 1+i 1i 2
z --=，所以=1i z -.故选：A
3.如图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则下列结论正确的是（
）
A.123k k k >>
B.312
k k k >>
C.213k k k >>
D.231
k k k <<【答案】C 【解析】
【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断．【详解】由tan k α=，结合tan y x =的函数图象，
直线3l 对应的倾斜角为钝角，则30k <，
直线1l 与2l 都为锐角，且2l 的倾斜角大于1l 的倾斜角，则210k k >>，故213k k k >>．故选：C ．
4.已知角α的终边经过点()3,4-，则()cos πα+=（）
A.45
-
B.35
-
C.
35
D.
45
【答案】C 【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义、结合诱导公式计算即得.
【详解】由角α的终边经过点()3,4-，得该点到原点距离5r ==，33cos 5
r α-=
=-，所以()3cos πcos 5
αα+=-=.故选：C
5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的是（）
A.3y x =
B.cos y x
= C.||
2x y = D.2
1ln
y x =【答案】D 【解析】
【分析】根据幂函数，指数函数，余弦函数，对数函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A ，由幂函数的单调性可知3y x =在(0,)+∞上单调递增，故A 不正确；对于B ，由余弦函数的单调性可知cos y x =在区间(0,)+∞上单调递减不成立，故B 不正确；
对于C ，2,021,02x x
x x y x ⎧≥⎪==⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，由指数函数的单调性可知，当(0,)x ∈+∞时，2x y =单调递增，故C 不
正确；
对于D ，()21
ln
y f x x
==的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，定义域关于原点对称，()()
()2
21
1
ln
ln
f x f x x x -===-，所以2
1ln y x =是偶函数，又因为当(0,)x ∈+∞，21
ln 2ln y x x
==-，由对数函数的单调性可知2ln y x =-在(0,)+∞上单调递减，故D 正确；故选：D.
6.在ABC V 中，若7a =，8b =，1
cos 7
B =，则A ∠的大小为（）
A.
π6
B.
π3
C.
5π6
D.
π3
或
2π3【答案】B 【解析】
【分析】利用正弦定理结合三角形的特点计算即可.【详解】因为在ABC V 中，()0,πA B ∈、
，所以143cos sin 77
B B =
⇒=，由正弦定理可知sin 3πsin 23
a B A A
b =
=⇒=或2π3，又a b A B <⇒<，所以2π
3
A =不成立.故选：B
7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC
的夹角为锐角”是“||||AB AC AB AC +>- ”的（
）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】将向量的模用向量的数量积来表示，化简后结合向量夹角的范围，即可判断.
【详解】||||
AB AC AB AC +>-
22||||AB AC AB AC ⇔+>- ()(
)
2
2
AB AC
AB AC
⇔+>- 0
AB AC >⇔⋅ cos ,0
AB AC ⇔〈〉>
由题意知A ，B ，C 不共线，所以(),0,πAB AC 〈〉∈
，所以cos ,0AB AC 〈〉> ⇔AB 与AC
的夹角为锐角，
故“AB 与AC
的夹角为锐角”是“||||AB AC AB AC +>- ”的充分必要条件；
故选：C.
8.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若
30m AB =，10m BC AD ==，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的
正切值均为
5
，则该五面体的所有棱长之和为（）
A.100m
B.112m
C.117m
D.132m
【答案】D 【解析】
【分析】先根据面面角的定义求得5
tan tan EMO EGO ∠=∠=，再依次求得EO ，EG ，EB ，EF ，最后把所有棱长相加，即可求解．
【详解】如图，过E 作EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别作EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，
因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，
又EG BC ⊥，且EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E ⋂=，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，
所以等腰三角形所在的平面与平面ABCD 所成角为EGO ∠，同理可得OM BM ⊥，又EM AB ⊥，
所以等腰梯形所在的平面与平面ABCD 所成角为EMO ∠，所以5
tan tan 14EMO EGO ∠=∠=
，又BC OG ⊥，所以四边形OMBG 是矩形，
又10BC =，则5OM =，所以14EO =5OG =，所以在Rt EOG △中，(
)
2
22
214539EG EO OG =
+=
+，
在Rt EBG △中，5BG OM ==，(
)
2
2
2
23958EB EG BG =+=
+，
又因为55305520EF AB =--=--=，
故该五面体的所有棱长之和为2302102048132m ⨯+⨯++⨯=．故选：D ．
9.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，
()(),0Q r t t >满足6
r s π
-=，则下列结论成立的是（）
A.162f s π⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭ B.362f s π⎛
⎫+
= ⎪⎝
⎭C.162
f s π⎛
⎫-
=- ⎪⎝
⎭ D.362
f s π⎛⎫-
=- ⎪⎝
⎭【答案】B 【解析】
【分析】根据(),P s t ,()(),0Q r t t >在()sin2f x x =上,可得出222,r s k k Z ππ+=+∈,再根联立
6r s π
-=
,得到s 的值,根据0t >缩小s 的取值范围,进而代入,66f s f
s ππ⎛
⎫⎛
⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭求值即可.
【详解】解:由题知()sin2f x x =,T π∴=,
()(),,,P s t Q r t 均在()sin2f x x =上,sin 2sin 20s r t ∴==>,
644
T r s ππ-=
<= ,0222
T
r s ∴<-<,
故有:222,Z r s k k ππ+=+∈,
两等式联立有2226r s k r s πππ
+=+⎧⎪
⎨-=⎪⎩
,解得2,Z 3
s k k π
π∴=
+∈,sin 20s t => ,
1122,Z 3
s k k π
π∴=
+∈,3sin 2sin 2sin 2663332f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴+=+=+=++=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,sin 2sin 2sin 206633
3f s s s k ππππ
ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,
综上选项B 正确.故选:B
10.已知函数()2
2,,x ax x a
f x x a x a
⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等
的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.无数
【答案】B 【解析】
【分析】分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值.
【详解】当0a =时，()2
2,0
,0
x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下图所示：
由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意；
当0a >时，()22,,,x ax x a f x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪
=+-<<⎨⎪--≤-⎩
，如下图所示：
函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，
由题意可得22
222a a a a -+==，解得1a =
；
若0a <，则()22,,x ax x a
f x x a x a
⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：
函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,
2a a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，由题意可得222
2280
a a a
a ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解.综上所述，1a =.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二.填空题（本大题共5小题，共25分）
11.函数2
ln(12)y x x
=-+的定义域是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝
⎭
【解析】
【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得120x ->、0x ≠，故1
2
x <且0x ≠，故该函数定义域为()1,00,
2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝
⎭
.故答案为：()1,00,
2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝
⎭
.
12.首项为1的等比数列{}n a 中，14a ，22a ，3a 成等差数列，则公比q =______.【答案】2【解析】
【分析】根据等差中项可得21344a a a =+，利用等比数列通项公式代入即可求.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，所以2
11144a q a a q =+，
因为首项为1，所以2440q q -+=，所以()2
20q -=，故2q =.故答案为：2
13.能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+ ，其中Z k ∈”为假命题的一组α，β的值是___．【答案】答案不唯一，如110α= ，20β= 【解析】
【分析】即举满足条件sin cos αβ=但不满足36090k αβ+=⋅+ 的例子.
【详解】110α= ，20 β=时，满足sin cos αβ=，但36090k αβ+=⋅+ 不成立故答案为答案不唯一，如110α= ，20
β=【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD 的边长为4，点P
在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅
的取值范围为______.
【答案】[]8,24-【解析】
【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使AP 在AB
方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得AP AB ⋅
的取值范围.
【详解】
如图，以点A 为原点，分别以,AB AD 所在直线为,x y 轴建立坐标系.
因||||cos ,4||cos ,AP AB AP AB AP AB AP AP AB ⋅=⋅〈〉=⋅〈〉 ，而||cos ,AP AP AB ⋅〈〉 表示AP 在AB
方向上的投影向量的数量，
由图不难发现，设过正方形的中心作与x 轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点12,P P ，则当点P 与点1P 重合时，投影向量的数量最大，当点P 与点2P 重合时，投影向量的数量最小.
易得12
(6,2),(2,2)P P -，则||cos ,AP AP AB ⋅〈〉
的最大值为6，最小值为2-，故824AP AB -≤⋅≤
.故答案为：[]
8,24-.
15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上．
给出下列四个结论：①MN 的最小值为2；②四面体NMBC 的体积为
4
3
；③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直；④存在点M ，N ，使MBN △为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是____．
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以M 为顶点，NBC 为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解.
【详解】对于①，由于M 在1AD 上运动，N 在11B C 上运动，所以MN 的最小值就是两条直线之间距离11D C ，而112D C =，所以MN 的最小值为2；对于②，111233M BNC BNC BNC V S D C S -=⋅⋅=⋅ ，而12222BNC S =⨯⨯= ，所以四面体NMBC 的体积为43
；对于③，由题意可知，当M 与1D 重合，N 与1C 重合时，111D C AD ⊥，又根据正方体性质可知，111AD A B CD ⊥，所以当M 为1AD 中点，N 与1B 重合时，此时1MN AD ⊥，故与1AD 垂直的MN 不唯一，③错误；
对于④，当MBN △为等边三角形时，BM BN =，则此时1AM B N =.所以只需要BM 与BN 的夹角能等于π3
即可.以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z
轴建立空间直角坐标系，如下图，
设1AM B N n ==
，则由题意可得2M ⎛
⎝，()2,2,0B ，()2,2,2N n -
，则可得BM ⎛=- ⎝
，(),0,2BN n =-
，则1cos 2BM BN MBN BM BN ⋅∠===⋅
，整理可得21202n n ⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程看成关于n
的二次函数，441402⎛⎫∆=-⨯-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭
，所以存在n 使得MBN △为等边三角形.
故答案为：①②④
三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.已知函数()1sin cos cos22
f x x x x =+
．（1）若π02α<<，且4sin 5α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间．
【答案】（1）17
50
（2）最小正周期π，π5ππ,π88k k ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z 【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系得到3cos 5α=，由余弦二倍角公式得到7cos 225α=-，从而得到()1750
f α=；（2）利用三角恒等变换得到()2πsin 224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用2πT ω=得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间.
【小问1详解】因为π02α<<，且4sin 5α=，
所以3cos 5α==，227cos 2cos sin 25ααα=-=-，所以()1431717sin cos cos225522550
f αααα⎛⎫=+
=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】()112πsin2cos222224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T =
=．由ππ3π2π22π242
k x k +≤+≤+，k ∈Z ，解得π5πππ88k x k +
≤≤+，k ∈Z ．
所以函数()f x 的单调递减区间π5ππ,π88k k ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，k ∈Z ．17.在ABC V 中，已知33sin 14C =
，请从下列三个条件中选择两个，使得ABC V 存在，并解答下列问题：（1）求A ∠的大小；
（2）求cos B 和a 的值．条件①：73
a c =；条件②：1
b a -=；条件③：5cos 2b A =-．【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）若选择①②：利用正弦定理可得sin 2
A =，结合1b a -=可知a b <，则π02A <∠<，即
可得结果；若选择①③：由正弦定理可得sin 2
A =，由5cos 2b A =-可知ππ2A <∠<，即可得结果；若选②③：根据三角形的性质分析得出矛盾；（2）由（1）可知：不能选②③.只能选择①②或选择①③，利用同角三角关系以及两角和差公式求cos
B ，再利用正弦定理求a 的值.
【小问1详解】若选择①②：73
a c =，1
b a -=，在ABC V 中，由正弦定理
sin sin a c A C =得3sin sin 2a A C c ==．因为1b a -=，即a b <，可知π02A <∠<，所以π3A ∠=；若选择①③：73a c =，5cos 2b A =-，在ABC V 中，因为由正弦定理
sin sin a c A C =得3sin sin 2a A C c ==．在ABC V 中，5cos 02b A =-<，即cos 0A <，可知ππ2
A <∠<，所以2π3A ∠=；
若选②③：1b a -=，5cos 2
b A =-，因为1b a -=，即a b <，可知π02
A <∠<
；又因为5cos 02b A =-<，即cos 0A <，可知ππ2A <∠<；两者相矛盾，故不成立.
【小问2详解】
由（1）可知：不能选②③.
若选择①②：在ABC V 中，73a c =
，即a c >，可知π02C <<，且33sin 14
C =
，可得13cos 14C ==，则3331131cos cos()sin sin cos cos 2142147B A C A C A C =-+=-=
⨯⨯-，可知ππ2B <<
，则43sin 7
B ==，由正弦定理sin sin a b A B =可得43sin 87sin 73
2
a a B
b a A ===，又因为17a b a -=
=，所以7a =；选择①③：在ABC V 中，73a c =，即a c >，可知π02C <<，且33sin 14
C =
，可得13cos 14C ==，
则11311cos cos()sin sin cos cos 21421414B A C A C A C =-+=-=
⨯⨯=，且0πB <<
，可得53sin 14B ==
，又因为1
5cos 22
b A b =-=-，则5b =，由正弦定理sin sin a b A B =
可得5sin 7sin b A a B ⋅===．18.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X 的分布列及数学期望；
（3）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明）
【答案】（1）3 7；
（2）分布列见解析，()8 7
E X=；
（3）3月3日.
【解析】
【分析】（1）根据古典概型求解即可；
（2）X的可能取值为0,1,2，分别求出每种情况的概率，再写出分布列并求期望即可；
（3）根据频率分布直方图算出每个步数区间内的人数，再结合甲乙二人的排名，确定甲乙各自步数的范围，进而确定日期.
【小问1详解】
设“职工甲和职工乙微信计步数都不低于10000”为事件A
从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低
于10000，所以()37
P A =
．【小问2详解】由图可知，7天中乙的步数不低于10000步的天数共4天.
X 的所有可能取值为0,1,2，
()()()21123434222777C C C C 1420,1,2C 7C 7C 7
P X X X =========，X 的分布列为X
012P 1747
2
7()1428012.7777
E X =⨯+⨯+⨯=【小问3详解】
3月3日
由直方图知，微信记步数落在][)[)[)[)20,25,15,20,10,15,5,10,0,5⎡⎣（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530,2000.25502000.360⨯=⨯=⨯=，，2000.240,2000.120⨯=⨯=.
由甲的排名为第68，可知当天甲的微信步数在15000-20000之间，
据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；
而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000-10000之间，
根据折线图知，这只有3月3日和3月6日.
所以只有3月3日符合要求．
19.如图，
在多面体ABCDEF 中，四边形
ABCD 是边长为3的正方形，平面CDE ⊥平面ABCD
，//AF DE ，DE CD ⊥，3DE AF ==（1）求证：AC ⊥平面BDE ；
（2）求平面BEF 与平面BDE 夹角的余弦值；
（3）线段CE 上是否存在点P ，使得//AP 平面BEF ？若存在，指出点P 的位置并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）13
13
（3）存在，点P 为CE 中点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先利用面面垂直的性质可得DE ⊥平面ABCD ，再根据线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面BEF 与平面BDE 的法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）设CP CE λ= (01)λ≤≤，由AP AC CP =+ 求出AP ，再利用空间向量法求解即可.
【小问1详解】
因为平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE ⋂平面ABCD CD =，DE
CD ⊥，DE ⊂平面CDE ,
所以DE ⊥平面ABCD ，
因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥，
因为四边形ABCD 是正方形，
所以AC BD ⊥，
因为BD DE D = ，DB ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，
所以AC ⊥平面BDE .
【小问2详解】
由（1）得DE ⊥平面ABCD ，因为,⊂DA DC 平面ABCD ，所以DA ，DC ，DE 两两垂直，以B 为原点，,,DA DC DE 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因
为3DE AF ==3AD =，
所以BD =
AF =
则()3,0,0A
，(F
，(E ,()3,3,0B ，()0,3,0C ，
所以(
0,BF =-
，(3,0,EF =- ，设平面BEF 的一个法向量为(),,n x y z = ，
则3030
n BF y n EF x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，取z =
得(4,n = ，因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，()3,3,0CA =- ，
所以13cos ,13CA n CA n CA n ⋅=== ，设平面BEF 与平面BDE 夹角为θ，所以13cos cos ,13
CA n θ== ，所以平面BEF 与平面BDE 夹角的余弦值
1313
．【小问3详解】
线段CE 上存在点P ，点P 为CE 中点，满足//AP 平面BEF ，证明如下：设CP CE λ= (01)λ≤≤，
因为(0,CE =- ，()3,3,0AC =-
所以()0,3CP λ=-
，
()3,33AP AC CP λ=+=-- 由（2）知平面BEF
的一个法向量为(4,n = ，因为//AP 平面BEF ，所以()(
)343320AP n λ⋅=-⨯+-⨯+⨯ ，解得12
λ=，所以线段CE 上存在点P ，点P 为CE 中点，满足//AP 平面BEF .
20.已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.
（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；
（2）当0a =时，求证：()0f x ≥；
（3）若函数 ㌮㐶㤠在区间()1,+¥上存在极值点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）0a =（2）证明见解析（3）(),0
-¥【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）利用导数得出函数 ㌮㐶㤠的单调性，进而得出其最小值，即可证明()0f x ≥；（3）分类讨论a 的值，利用导数得出 ㌮㐶㤠的单调性，结合题意，即可得出实数a 的取值范围.
【详解】解：（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+，
所以()ln a
f x x x '=+.
由题知()e ln e 1e
a f '=+
=，解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+，
所以()ln f x x '=.
当()0,1∈x 时，()0f x ¢<， ㌮㐶㤠在区间()
0,1上单调递减；当()1,∈+∞x 时，()0f x ¢>， ㌮㐶㤠在区间()1,+¥上单调递增；
所以()10f =是 ㌮㐶㤠在区间()0,+¥上的最小值.
所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a
x x a
f x x x x +'=+=.
若0a ≥，则当()1,∈+∞x 时，()0f x ¢>， ㌮㐶㤠在区间()1,+¥上单调递增，
此时无极值.
若0a <，令()()g x f x '=，
则()21a g x x x
'=-.
因为当()1,∈+∞x 时，()0g x ¢>，所以 ㌮㐶㤠在()1,+¥上单调递增.
因为()10g a =<，
而()()e e e 10a a a g a a a -=-+=->，
所以存在()01,e a x -∈，使得()00g x =.
()f x ¢和 ㌮㐶㤠的情况如下：x ()
01,x 0x ()0,e a x -()f x ¢-
0+ ㌮㐶㤠 极小值
因此，当0x x =时， ㌮㐶㤠有极小值()0f x .
综上，a 的取值范围是(,0)-∞.
【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.21.已知数列{}n a ，对于任意的*n ∈N ，都有212n n n a a a +++>，则称数列{}n a 为“凹数列”.
（1）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n A ，n B ，且21n a n =-，12n n b -=-，试判断数列{}n A ，
数列{}n B 是否为“凹数列”，并说明理由；
（2）已知等差数列{}n b ，首项为4，公差为d ，且n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为“凹数列”，求d 的取值范围；（3）证明：数列{}n c 为“凹数列”的充要条件是“对于任意的k ，m ，*n ∈N ，当k m n <<时，有()()()k n m n m c m k c n k c -+->-”.
【答案】（1）数列{}n A 是为“凹数列”，数列{}n B 不是为“凹数列”，理由见解析（2）(,4)
-∞（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据通项公式判断数列 为等差数列， 为等比数列，进而求得前n 项和n A ，n B ，再根
据“凹数列”的定义判断即可；
（2）根据数列 为等差数列可得通项公式n b ，再根据“凹数列”的定义得11211n n n b b b n n n
-++>⨯-+对任意2n ≥，*n ∈N 恒成立，进而解出d 的范围即可；（3）先证明必要性，放缩得到1n m m m c c c c n m +->--，故1m k n m m m c c c c c c m k n m +--<-<--，再证明充分性，取1m k =+，2n k =+，则有12111
k k k k c c c c +++--<，进而得证.【小问1详解】
由于21n a n =-为等差数列，所以2(121)2n n n A n +-==，12n n b -=-为等比数列，121212
n n n B -=-=--，任意的*n ∈N ，都有222212(2)2(1)20n n n A A A n n n +++-=++-+=>，故212n n n A A A +++>，所以数
列{}n A 是为“凹数列”，
任意的*n ∈N ，都有12212222022n n n n n n n B B B ++++=--+⨯=-+-<，
故212n n n B B B +++<，所以数列{}n B 不是为“凹数列”，
【小问2详解】因为等差数列 的公差为d ，14b =，所以1(1)4(1)n b b n d n d =+-=+-，
因为数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是凹数列，所以11211n n n b b b n n n -++>⨯-+对任意2n ≥，*n ∈N 恒成立，即4(2)44(1)211n d nd n d n n n
+-++-+>⨯-+，所以444211d d d d d d n n n ---⎛⎫+
++>+ ⎪-+⎝⎭，即112(4)011d n n n ⎛⎫-+-> ⎪-+⎝⎭，因为()
2211222201111n n n n n n n n +-=-=>-+--，解得4d <.所以d 的取值范围为(,4)-∞.【小问3详解】
先证明必要性：因为{}n c 为“凹数列”所以对任意的*n ∈N ，都有212n n n c c c +++>，即211n n n n c c c c +++->-，所以对任意的k ，m ，*n ∈N ，当k m n <<时，有
()()()()11211()n m n n n n m m m m c c c c c c c c n m c c ---++-=-+-++->-- ，所以1n m m m c c c c n m
+->--，又()()()()()112111()()m k m m m m k k m m m m c c c c c c c c m k c c m k c c ---+-+-=-+-++-<--<-- ，
所以
1m k n m m m c c c c c c m k n m +--<-<--，所以()()()k n m n m c m k c n k c -+->-，必要性成立；再证明充分性：对于任意的k ，m ，*n ∈N ，当k m n <<时，有m k n m c c c c m k n m --<--，取1m k =+，2n k =+，则有12111k k k k c c c c +++--<，即212k k k c c c +++>，所以{}n c 为“凹数列”.
【点睛】方法点睛：本题是数列新定义问题，主要考查了等差数列，等比数列，递推公式和求和公式等的综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。