2020 人教版 高三数学理科一轮复习 专题增分加练增分加练7 (2)

增分加练(2) 基本初等函数的应用
一、选择题
1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12
＝( D )
A.13
B.36
C.33
D.24
解析：由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝8，∴x － 12
＝24.
故选D.
2．函数f (x )＝ln(1－5x )的定义域是( A ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C ．(－∞，1)
D ．(0，＋∞)
解析：由题意得1－5x >0，解得x <0，故函数的定义域是(－∞，0)，故选A.
3．(2019·河南新乡一模)若log 2(log 3a )＝log 3(log 4b )＝log 4(log 2c )＝1，则a ，b ，c 的大小关系是( D )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．a >c >b
D ．b >c >a
解析：由log 2(log 3a )＝1，可得log 3a ＝2，lg a ＝2lg3，故a ＝32＝9；由log 3(log 4b )＝1，可得log 4b ＝3，lg b ＝3lg4，故b ＝43＝64；由log 4(log 2c )＝1，可得log 2c ＝4，lg c ＝4lg2，故c ＝24＝16.∴b >c >a .故选D.
4．函数y ＝a －a x
(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 5
6
＋log a 48
5＝( C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：当x ＝1时，y ＝0，则函数为减函数，故a >1，则当x ＝0时，y ＝1，即y ＝
a －1＝1，即a －1＝1，解得a ＝2，则log a 56＋log a 48
5
＝log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
56×485＝log 28＝3，故选C.
5．设a ＝log 21
3，b ＝e －
12
，c ＝lnπ，则( C )
A ．c <a <b
B ．a <c <b
C ．a <b <c
D ．b <a <c
解析：易知a <0,0<b <1，c >1.故a <b <c ，故选C.
6．(2019·广东肇庆二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( D )
A ．f (x )是奇函数，且在(0,10)上是增函数
B ．f (x )是偶函数，且在(0,10)上是增函数
C ．f (x )是奇函数，且在(0,10)上是减函数
D ．f (x )是偶函数，且在(0,10)上是减函数
解析：由⎩⎨
⎧
10＋x >0，10－x >0，
得x ∈(－10,10)，故函数f (x )的定义域为(－
10,10)，关于原点对称．由于f (－x )＝lg(10－x )＋lg(10＋x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．而f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )＝lg(100－x 2)，y ＝100－x 2在(0,10)上递减，y ＝lg x 在(0,10)上递增，故函数f (x )在(0,10)上递减．
7．函数y ＝2|x |sin2x 的图象可能是( D )
解析：设f (x )＝2|x |sin2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，所以sin2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π
2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.
8．(2019·成都诊断性检测)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( B )
A ．(0，＋∞)
B ．[－1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．[0，＋∞)
解析：解法1：当x ＝0时，不等式1≥0恒成立，
当x >0时，x 2
＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2
＋1)⇒2a ≥－(x ＋1
x )，又－
(x ＋1
x )≤－2，当且仅当x ＝1时，取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．
解法2：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a ， 当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1>0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0
恒成立；当－a >0，即a <0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a <0.
综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．
9．已知奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )，若当x ∈(－1,1)时，f (x )＝lg 1＋x 1－x
，且f (2 018－a )＝1，则实数a 的值可以是( A )
A.911
B.119 C ．－911
D ．－119
解析：∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )＝f (2－x )，又函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (－x )＝－f (2－x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )为周期函数，周期为4.当x ∈(－1，1)时，令f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝1，得x ＝911，又f (2 018－a )＝f (2－a )＝f (a )，∴a 可以是911，
故选A.
10．(2019·长沙模拟)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( A )
A ．[1,2)
B ．[1,2]
C ．[1，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，其图象
的对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则⎩⎨
⎧
g (1)>0，a ≥1，即⎩⎨
⎧
2－a >0，a ≥1，
解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.
11．(2019·商丘模拟)已知f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2，则f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，32上的最大值为( B ) A ．4 B ．2 C ．6
D ．8
解析：∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝2.
12．(2019·南宁市摸底联考)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(2
2)x －1，若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是( D )
A ．(1
4，1) B ．(1,4) C ．(1,8)
D ．(8，＋∞)
解析：∵∀x ∈R ，f (x ＋2)＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f (2＋(x ＋2))＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(2
2)x －1＝(2)－x －1，∴当x ∈[0,2]时，f (x )＝f (－x )＝(2)x －1，于是x ∈[－2,2]时，f (x )＝(2)|x |－1，根据f (x )的周期性作出f (x )的图象如图所示．
若在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a >1且y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋2)(a >1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，∵f (－2)＝f (2)＝f (6)＝1，∴对于函数y ＝log a (x ＋2)(a >1)，当x ＝6时，log a 8<1，解得a >8，即实数a 的取值范围是(8，＋∞)，所以选D.
二、填空题
13．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝－2.
解析：由f (a )＝ln(1＋a 2－a )＋1＝4，
得ln(
1＋a 2－a )＝3，
所以f (－a )＝ln(1＋a 2＋a )＋1＝－ln
11＋a 2
＋a
＋1＝
－ln(
1＋a 2－a )＋1＝－3＋1＝－2.
14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋
1
2x ，则此函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥
⎤－14，14.
解析：设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0<t ≤1，g (t )＝－t 2
＋t ＝－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫t －122
＋14.∴0≤g (t )≤1
4，故当x ≥0时，f (x )∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，14.
∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，
∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－14，14.
15．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为6.
解析：作出函数y ＝ln|x －1|的图象，又y ＝－2cosπx 的最小正周期为T ＝2，如图所示，两图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.
16．(2019·湖北黄冈模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集，则实数a 的取值范围是－
解析：由f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x －a )·(x ＋1)<0，当a ＝－1时，f (x )＝(x ＋1)2<0无解，符合题意；当a >－1时，f (x )<0的解为－1<x <a ，此时f (f (x ))<0的解集为空集只需f (x )≥a 恒成立，即x 2＋(1－a )x －2a ≥0恒成立，所以只需Δ＝a 2＋6a ＋1≤0，解得－1<a ≤22－3；当a <－1时，f (x )<0的解为a <x <－1，此时f (f (x ))<0的解集为空集只需f (x )≥－1恒成立，即x 2＋(1－a )x －a ＋1≥0恒成立，所以只需Δ＝a 2＋2a －
3≤0，解得－3≤a<－1，综上知－3≤a≤22－3，故填－3≤a≤22－3.。