人教版数学七年级上册专项训练9课件
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∠AOC．因为∠AOB＝90°，所以∠DOB＝∠AOB－∠AOD＝90°－
(60°－∠AOC)＝30°＋∠AOC，即∠DO利用整体思想代入计算角度 • 3．如图，O为直线AB上一点，OC为射线，OD，OE分别为∠AOC，
∠BOC的平分线． • (1)判断射线OD、OE的位置关系，并说明理由； • (2)若∠AOD＝30°，求证：OC为∠AOE的平分线； • (3)如果∠AOD∶∠AOE＝2∶11，求∠BOE的度数．
下：因为∠MON＝90°，所以∠BOM＋∠AON＝90°，∠MOC＋∠NOC＝90°.又因为 OM 平分∠BOC，所以∠BOM＝∠MOC，所以∠AON＝∠NOC，所以 ON 平分∠
AOC． (3)∠BOM＝∠CON＋30°.理由如下：因为∠CON＋∠NOB＝60°，∠BOM
＋∠NOB＝90°，所以∠BOM＝∠CON＋30°.
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(1)解：OD⊥OE.理由：因为 OD，OE 分别为∠AOC，∠BOC 的平分线，所以∠ COD＝12∠COA，∠COE＝12∠COB，所以∠EOD＝12∠COA＋12∠COB＝12∠AOB＝ 90°，所以 OD⊥OE.
(2)证明：因为∠AOD＝30°，所以∠COD＝30°，所以∠COE＝90°－30°＝60°， ∠COA＝60°，所以∠COE＝∠COA，所以 OC 为∠AOE 的平分线．
这个角的度数为65°.
5 ． 如 图 ， ∠AOB ， ∠COB ， ∠COD 的 度 数 之 比 是 2∶1∶3，且∠AOC＋∠DOB＝140°，求∠AOD的度数．
解：设∠COB＝x，则∠AOB＝2x，∠COD＝3x.根据题意，得2x＋x＋x＋3x＝ 140°，解得x＝20°，则∠AOD＝2x＋x＋3x＝6x＝6×20°＝120°.
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• 类型4 利用分类讨论思想计算角度 • 7．已知∠AOC＝60°，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数是
_1_0_0°__或__2_0_°______ .
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• 8．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角 三角板按如图1摆放(∠MON＝90°)．
图1
图2
图3
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• (1)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转一周．在 旋转的过程中，假如第t秒时，OA，OC，ON构成相等的角，求t的值；
• (2)将图1中的三角板绕点O旋转一定的角度得图2，使边OM恰好平分 ∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；
• (3)将图1中的三角板绕点O旋转一定的角度得图3，使边ON在∠BOC的内 部，则∠BOM与∠CON之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
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• 2．如图，将一副直角三角板的顶点叠合在一起，记为点O(∠C＝30°， ∠A＝45°)．
• (1)当∠AOC＝45°时，求∠DOB的度数； • (2)试探究∠AOC和∠DOB之间满足的数量关系，并说明理由．
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• 解：(1)因为∠COD＝60°，∠AOC＝45°，所以∠AOD＝∠COD－ ∠AOC＝15°.因为∠AOB＝90°，所以∠DOB＝∠AOB－∠AOD＝75°. (2)因为∠COD＝60°，所以∠AOD＝∠COD－∠AOC＝60°－
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解：(1)因为 OE 平分∠AOD，OC 平分∠BOD，所以∠EOD＝12∠AOD，∠DOC ＝12∠DOB，所以∠EOC＝12(∠AOD＋∠DOB)＝45°.
(2)由(1)可知，∠EOC＝12(∠AOD＋∠DOB)＝12α. (3)因为∠DOE ∶∠DOC＝4 ∶3，所以可设∠DOE＝4x，∠DOC＝3x.因为∠ EOA＝15∠AOD，所以∠DOE＝45∠AOD，所以∠AOD＝5x.因为∠DOC＝34∠DOB， 所以∠DOB＝4x.因为∠AOB＝90°，所以 5x＋4x＝90°，所以 x＝10°，所以∠EOC＝ ∠EOD＋∠DOC＝7x＝70°.
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解：(1)当∠AON＝∠AOC＝180°－60°＝120°时，∠BON＝180°－∠AON＝60°， 此时 t＝60÷10＝6；当∠AON＝∠NOC＝12∠AOC＝60°时，ON 旋转的角度为 180°＋
60°＝240°，此时 t＝240÷10＝24，综上，t＝6 或 t＝24. (2)ON 平分∠AOC．理由如
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(3)解：因为∠AOD ∶∠AOE＝2 ∶11，所以∠AOD ∶∠DOE＝ 2∶9.又因为 ∠DOE＝90°，所以∠AOD＝20°.所以∠BOE＝90°－20°＝70°.
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• 类型3 利用方程思想计算角度 • 4．一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数． • 解：设这个角为x，则(180°－x)－4(90°－x)＝15°，解得x＝65°.即
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6．如图，已知∠AOB 内部有三条射线，OE 平分∠AOD，OC 平分∠BOD．
(1)若∠AOB＝90°，求∠EOC 的度数； (2)若∠AOB＝α，求∠EOC 的度数； (3)如果将题中“平分”的条件改为∠EOA＝15∠AOD，∠DOC＝34∠DOB，且∠ DOE∶∠DOC＝4∶3，∠AOB＝90°，求∠EOC 的度数．
第四章 几何图形初步
专项训练九 与角有关计算的常见类型
重难突破
• 类型1 直接计算角度 • 1．如图，点O为直线AB上的一点，∠BOC＝42°，
∠COE＝90°，且OD平分∠AOC，求∠AOE和∠DOE的度 数．
解：因为点 O 为直线 AB 上的一点，∠BOC＝42°，所以∠AOC＝180°－42°＝138°. 因为 OD 平分∠AOC，所以∠COD＝∠AOD＝12∠AOC＝69°.因为∠COE＝90°，所以 ∠DOE＝90°－69°＝21°，所以∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝48°.
(60°－∠AOC)＝30°＋∠AOC，即∠DO利用整体思想代入计算角度 • 3．如图，O为直线AB上一点，OC为射线，OD，OE分别为∠AOC，
∠BOC的平分线． • (1)判断射线OD、OE的位置关系，并说明理由； • (2)若∠AOD＝30°，求证：OC为∠AOE的平分线； • (3)如果∠AOD∶∠AOE＝2∶11，求∠BOE的度数．
下：因为∠MON＝90°，所以∠BOM＋∠AON＝90°，∠MOC＋∠NOC＝90°.又因为 OM 平分∠BOC，所以∠BOM＝∠MOC，所以∠AON＝∠NOC，所以 ON 平分∠
AOC． (3)∠BOM＝∠CON＋30°.理由如下：因为∠CON＋∠NOB＝60°，∠BOM
＋∠NOB＝90°，所以∠BOM＝∠CON＋30°.
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(1)解：OD⊥OE.理由：因为 OD，OE 分别为∠AOC，∠BOC 的平分线，所以∠ COD＝12∠COA，∠COE＝12∠COB，所以∠EOD＝12∠COA＋12∠COB＝12∠AOB＝ 90°，所以 OD⊥OE.
(2)证明：因为∠AOD＝30°，所以∠COD＝30°，所以∠COE＝90°－30°＝60°， ∠COA＝60°，所以∠COE＝∠COA，所以 OC 为∠AOE 的平分线．
这个角的度数为65°.
5 ． 如 图 ， ∠AOB ， ∠COB ， ∠COD 的 度 数 之 比 是 2∶1∶3，且∠AOC＋∠DOB＝140°，求∠AOD的度数．
解：设∠COB＝x，则∠AOB＝2x，∠COD＝3x.根据题意，得2x＋x＋x＋3x＝ 140°，解得x＝20°，则∠AOD＝2x＋x＋3x＝6x＝6×20°＝120°.
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• 类型4 利用分类讨论思想计算角度 • 7．已知∠AOC＝60°，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数是
_1_0_0°__或__2_0_°______ .
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• 8．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角 三角板按如图1摆放(∠MON＝90°)．
图1
图2
图3
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• (1)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针方向旋转一周．在 旋转的过程中，假如第t秒时，OA，OC，ON构成相等的角，求t的值；
• (2)将图1中的三角板绕点O旋转一定的角度得图2，使边OM恰好平分 ∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；
• (3)将图1中的三角板绕点O旋转一定的角度得图3，使边ON在∠BOC的内 部，则∠BOM与∠CON之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
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• 2．如图，将一副直角三角板的顶点叠合在一起，记为点O(∠C＝30°， ∠A＝45°)．
• (1)当∠AOC＝45°时，求∠DOB的度数； • (2)试探究∠AOC和∠DOB之间满足的数量关系，并说明理由．
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• 解：(1)因为∠COD＝60°，∠AOC＝45°，所以∠AOD＝∠COD－ ∠AOC＝15°.因为∠AOB＝90°，所以∠DOB＝∠AOB－∠AOD＝75°. (2)因为∠COD＝60°，所以∠AOD＝∠COD－∠AOC＝60°－
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解：(1)因为 OE 平分∠AOD，OC 平分∠BOD，所以∠EOD＝12∠AOD，∠DOC ＝12∠DOB，所以∠EOC＝12(∠AOD＋∠DOB)＝45°.
(2)由(1)可知，∠EOC＝12(∠AOD＋∠DOB)＝12α. (3)因为∠DOE ∶∠DOC＝4 ∶3，所以可设∠DOE＝4x，∠DOC＝3x.因为∠ EOA＝15∠AOD，所以∠DOE＝45∠AOD，所以∠AOD＝5x.因为∠DOC＝34∠DOB， 所以∠DOB＝4x.因为∠AOB＝90°，所以 5x＋4x＝90°，所以 x＝10°，所以∠EOC＝ ∠EOD＋∠DOC＝7x＝70°.
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解：(1)当∠AON＝∠AOC＝180°－60°＝120°时，∠BON＝180°－∠AON＝60°， 此时 t＝60÷10＝6；当∠AON＝∠NOC＝12∠AOC＝60°时，ON 旋转的角度为 180°＋
60°＝240°，此时 t＝240÷10＝24，综上，t＝6 或 t＝24. (2)ON 平分∠AOC．理由如
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(3)解：因为∠AOD ∶∠AOE＝2 ∶11，所以∠AOD ∶∠DOE＝ 2∶9.又因为 ∠DOE＝90°，所以∠AOD＝20°.所以∠BOE＝90°－20°＝70°.
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• 类型3 利用方程思想计算角度 • 4．一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数． • 解：设这个角为x，则(180°－x)－4(90°－x)＝15°，解得x＝65°.即
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6．如图，已知∠AOB 内部有三条射线，OE 平分∠AOD，OC 平分∠BOD．
(1)若∠AOB＝90°，求∠EOC 的度数； (2)若∠AOB＝α，求∠EOC 的度数； (3)如果将题中“平分”的条件改为∠EOA＝15∠AOD，∠DOC＝34∠DOB，且∠ DOE∶∠DOC＝4∶3，∠AOB＝90°，求∠EOC 的度数．
第四章 几何图形初步
专项训练九 与角有关计算的常见类型
重难突破
• 类型1 直接计算角度 • 1．如图，点O为直线AB上的一点，∠BOC＝42°，
∠COE＝90°，且OD平分∠AOC，求∠AOE和∠DOE的度 数．
解：因为点 O 为直线 AB 上的一点，∠BOC＝42°，所以∠AOC＝180°－42°＝138°. 因为 OD 平分∠AOC，所以∠COD＝∠AOD＝12∠AOC＝69°.因为∠COE＝90°，所以 ∠DOE＝90°－69°＝21°，所以∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝48°.