(完整版)复平面上的轨迹问题

复平面上的轨迹问题
教学目标：
了解通过复平面可以把复数与平面解析几何中的某些曲线联 系起来。

巩固复习复数的几何意义和解析几何中的求轨迹的方法。

教学重点与难点
重点：复数的几何意义的应用与复平面上的轨迹的求法 难点：复数的几何意义与复平面上的轨迹的综合应用
教学过程
一）、知识概述：
1、复数与轨迹： 复数 z x yi, x, y R 对应着复平面内的一个点
（x,y ）,若复数的实部与虚部是一对变量，则它对应的点就构成了复平 面上的动点，因此复数若按某种条件变化时，则复平面上的动点自然 就构成了具有某种特征的曲线（或曲面）
2、求复数的轨迹问题的核心问题：理解用复数形式表示复平面 上的两点距离 d | z 1 z 2 | 。

3、熟练掌握以下几种复数形式的基本轨迹： 设 动 点 Z 、 定 点 Z 0 、 Z 1 、 Z 2 分 别 对 应 于 复 数
z,z 0,z 1,z 2,r 1 0,r 2 0,a 0 。

1、 2、
3、
理解并熟记常见曲线的复数方程。

4、 掌握利用复数求轨迹的几种方法。

圆：〔z Z 0 1 r ,其中「为半径，Z o 为圆心；单位圆：〔z 1
「 圆面（不包括圆周）：Iz z 0 I 「。

径，左边等号成立，包括内圆周；右边等号不成立，不包
括外圆周。

段的两个端点。

段乙Z2 ；当2a Iz 1 Z 2I 时，不表示任何图形）。

双曲线：IZ 召I |z Z 2 I 2a 2a I 乙z ? |，其中Z 1、化为对
应双曲线的焦点，2a 为实轴长，（当2a |z 1 z 2l 时，表示两
2a |z i Z 2|时，不表示任何图形）。

（二）、例题分析:
R ,求z 在复平面内所对应的点的轨迹。

-R Z - Z — Z Z
0 z z z zz
(1) 圆环面:
,其中为r i 内半径，「2为外半
线段的垂直平分线：Iz Z 1I Iz
Z 2 I ，其中Z 1、Z 2为对应线
椭圆：IZ Z 1 I IZ Z 2 I 2a ， 2a
IZ 1 Z 2 I ，其中Z 1、Z 2为对 应椭圆的焦点，2a 为其长轴长
（当2a 1 z i z 2 1时，表示线 条射线
线段 乙Z 2的延长线及其反向延长线；当
Z 2 解题提示:
1
Z Z （1 冷）0 Z Z 或|z| 1 Z R或|z| 1。

Z
点评分析：本题利用了整体法求复数的轨迹。

利用整体法求复数
的轨迹的思路是：运用复数的有关性质，通过复数的有关运算、化繁为简，寻找复数形式的基本轨迹。

例2、已知复数Z满足argz 求复数Z -在复平面内对
4 Z
应点的轨迹。

解法提示：要求复数Z -在复平面内对应点的轨迹，可以令
Z
x yi（x, y R），再利用复数相等的充要条件求出的直角坐标方程。

点评分析：本题利用了设点法求复数的轨迹。

利用设点法求复数
的轨迹的思路是：（1）先设点z x yi（x,y R），（2）再找出Z满足的条
件，（3）由复数相等的充要条件写出轨迹的参数方程，（4）消去参数化为普通方程。

例3、若复数Z在以1+i为圆心，1为半径的圆周上运动，问数的图形
是怎样？
1 iz
解题分析：已知圆的方程为|z（1 i）| 1，由”!解出z代
入圆的方程即得关于的方程。

点评分析：本题利用了相关点法求复数的轨迹。

例4、设复数Z 满足|z 1 73i| 1。

（ 1）求argz 的最大值与最
小值。

（2）以|0Z|为一边作正方形OZAB （按逆时针顺序），求点B
的轨迹方程。

点评分析：此题沟通了解析几何与复数之间的内在联系，由正方 形 向量垂直 向量旋转 复数乘除法。

这是复数方法解决几何问题 的常用方法。

（三）课堂总结:
解决复平面上的轨迹问题实质上同平面解析几何中的求轨迹问
题是运用相同的方法。

2、理解用复数形式表示复平面上的两点距离
d |z i Z 2I 是运用复数求
轨迹问题的关键。

四、能级层次训练题
满足条件|z 2i| |z 1| 75的点Z 的轨迹是（）
设|z （1 73i ）| 2，且0 argz —，贝卩复数z 在复平面内对应
3
1、 1、
A 椭圆
B 直线
C 线段
2、
区域的面积是
3、已知复数的模为2,则的最大值为（）
A 1
B 2
C J5
D 3
4、
表示点Z的复数满足不等式z z iz i z 0，求arg z i的最大
值与最小值。

5、正方形ABCD的一边AB在直线y x 4上，C、D在抛物线y2 x上,
求正方形ABCD的面积。