2021年高中数学 3-2-2 三角恒等式的应用巩固练习 新人教A版必修4

2021年高中数学 3-2-2 三角恒等式的应用巩固练习 新人教A 版必修4
1．函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋π4是( )
[答案] A
[解析] y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π4
＝cos2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π4＝－sin2x ，周期T ＝2π2＝π.
2．函数f (x )＝sin x ＋cos x 的最大值是( ) A.12 B. 2 C.2
2
D ．2 [答案] B
[解析] ∵f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，
∴当x ＝2k π＋π
4(k ∈Z )时，取得最大值为 2.
3．函数f (x )＝|sin x ＋cos x |的最小正周期是( ) A.π4
B.π2
C ．π
D ．2π
[答案] C
[解析] ∵f (x )＝|sin x ＋cos x |， ∴f (x )＝2|sin(x ＋π
4)|.
∵f (x ＋π)＝2|sin(x ＋π＋
π
4
)|＝f (x )，
∴f (x )的最小正周期为π.
4．化简2sin2α1＋cos2α·cos 2
α
cos2α的结果为( )
A ．tan α
B ．tan2α
C ．1 D.12
[答案] B
[解析] 原式＝2sin2α2cos 2
α·cos 2
α
cos2α
＝tan2α. 5．若sin α2＝3
3
，则cos α＝( )
A ．－2
3
B ．－13
C.13
D.23
[答案] C
[解析] 本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2
＝1－2(
33)2＝1
3
. 6．函数f (x )＝sin x －cos x 的递增区间是________． [答案] [2k π－π4，2k π＋3
4π](k ∈Z )
[解析] ∵f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π
4)，
∴2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π
2，
即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π
4
(k ∈Z )
7．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2
ωx (ω>0)的周期为π2，则ω＝________.
[答案] 2 [解析] f (x )＝32sin2ωx －1＋cos2ωx 2
＝
32sin2ωx －12cos2ωx －1
2
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12，
则有2π2ω＝π
2
，∴ω＝2.
8．已知向量OP →
＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1) OQ →
＝(cos x ，－1)，定义f (x )＝OP →·OQ →
. (1)求f (x )的最小正周期． (2)求f (x )的最大值和最小值． [解析] (1)∵f (x )＝OP →·OQ →
＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)·(cos x ，－1) ＝2cos 2
x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1 ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π
4
)，
∴函数f (x )＝2sin(x ＋π
4)的最小正周期为2π.
(2)当x ＋π4＝2k π＋π
2
，k ∈Z 即
x ＝2k π＋π
4
，k ∈Z 时，f (x )max ＝ 2.
当x ＋π4＝2k π－π2即x ＝2k π－3π
4
，k ∈Z 时，
f (x )min ＝－ 2.
9．函数y ＝12
sin2x ＋sin 2
x 的值域是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－
22－12，22－12 [答案] C
[解析] ∵y ＝12sin2x ＋sin 2
x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12＋22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4，
∴值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
2－22，12＋22.
10．函数y ＝cos 2ωx －sin 2
ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)
的一个单调递增区间是( )
A ．[－π2，π2]
B ．[5π4，9π4]
C ．[－π4，3π4]
D ．[π4，5π4
]
[答案] B
[解析] y ＝cos 2
ωx －sin 2
ωx ＝cos2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故 2π
2ω
＝π，所以ω＝1.则 f (x )＝2sin(ωx ＋π4)＝2sin(x ＋π4
)，
∴2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π
2
即2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个增区间是[5π4，9π
4]．
11．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
[答案] C
[解析] ∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ， ∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )． 又A ＋B ＝π－C ， ∴整理得sin(C ＋π6)＝1
2.
∵0<C <π，∴π6<C ＋π6<7π
6.
∴C ＋π6＝5π6.∴C ＝2π
3
.
12、当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝______________
[答案]
5π6
[解析] 由y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π
3
)
由0≤x <2π⇔－π3≤x －π3<5π3可知－2≤2sin(x －π
3)≤2
当且仅当x －π3＝π2时即x ＝5π
6
取得最大值．
13．设sin2α＝－sin α，α∈(π
2，π)，则tan2α的值是________．
[答案]
3
[解析] 本题考查了倍角公式及诱导公式的使用． sin2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∵α∈(π
2
，π)，
故cos α＝－12，∴α＝2
3π，
tan2α＝tan 43π＝tan π
3
＝ 3.
14．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的周期为π；
②直线x ＝π
4
是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；
③点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； ④将y ＝f (x )的图象向左平移π
4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象．
其中真命题的序号是________． [答案] ①③
[解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 则T ＝2π
2
＝π；
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2×π4－π4＝1，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4
不是函数f (x )的最值，则直线x ＝π4
不是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8－π4＝0，则点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一
个对称中心；
将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，不是y ＝2sin2x 的图象，故①③正确，②④错误．
15．(2011～xx·北京东城高三期末)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2
x －1.
(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值及f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值．
[解析] (1)∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2
x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin(2×π6＋π6)＝2，且函数f (x )的最小正周期为π.
(2)由x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2可知，π6≤2x ＋π6≤7π6， 所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，f (x )有最大值，最大值为2；
当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π
2时，f (x )有最小值，最小值为－1.
16．已知函数f (x )＝(2cos 2
x －1)sin2x ＋12cos 4x .
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期及最大值；
(Ⅱ)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求a 的值．
[解析] (Ⅰ)因为f (x )＝(2cos 2
x －1)sin2x ＋12cos4x
＝cos2x sin2x ＋1
2cos4x
＝1
2(sin4x ＋cos4x ) ＝
22sin(4x ＋π4
) 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.
(Ⅱ)因为f (α)＝
22，所以sin(4α＋π
4
)＝1.
因为a ∈(π
2，π)，
所以4a ＋π4∈(9π4，17π
4)，
所以4a ＋π4＝5π2，故a ＝9π
16
.
17．已知函数f (x )＝2sin 2
ωx ＋23sin ωx sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．
[解析] (1)f (x )＝1－cos2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx
＝3sin2ωx －cos2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋1.
因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 所以2π
2ω
＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. 因为0≤x ≤2π
3，
所以－π6≤2x －π6≤7π6.
所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.
因此0≤2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤3， 即f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域为[0,3]．
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