2016届高考数学新课标A版理科一轮复习习题10-9离散型随机变量的均值与方差、正态分布

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1．[2014·陕西]设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a(a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )
A ．1＋a,4
B ．1＋a,4＋a
C ．1,4
D ．1,4＋a
解析：给每个数据都加上常数a 后，均值也增加a ，方差不变，故选A .
答案：A
2．[2014·浙江]已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i(i ＝1,2)个球放入甲盒中．
(a )放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)； (b )放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )
A ．p 1＞p 2，E(ξ1)＜E(ξ2)
B ．p 1＜p 2，E(ξ1)＞E(ξ2)
C ．p 1＞p 2，E(ξ1)＞E(ξ2)
D ．p 1＜p 2，E(ξ1)＜E(ξ2)
解析：方法一(特值法) 取m ＝n ＝3进行计算、比较即可． 方法二(标准解法) 从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P(ξ＝0)＝n m ＋n ＝P(ξ1＝1)，P(ξ＝1)
＝m m ＋n ＝P(ξ1＝2)，所以E(ξ1)＝1·P(ξ1＝1)＋2·P(ξ1＝2)＝m m ＋n ＋1，所以p 1＝E (ξ1)2＝2m ＋n 2(m ＋n )
；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为
η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P(η＝0)＝C 2n
C 2m ＋n ＝P(ξ2＝1)，P(η＝
1)＝C 1n C 1m C 2m ＋n ＝P(ξ2＝2)，P(η＝2)＝C 2m
C 2m ＋n
＝P(ξ2＝3)，所以E(ξ2)＝1·P(ξ2＝
1)＋2P(ξ2＝2)＋3P(ξ2＝3)＝2m m ＋n ＋1，所以p 2＝E (ξ2)3＝3m ＋n 3(m ＋n )，所以
p 1＞p 2，E(ξ1)＜E(ξ2)，故选A .
答案：A
3．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )
A .126125
B .65
C .168125
D .7
5
解析：由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.
由于P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8
125， 故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65. 答案：B
4．[2014·浙江]随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝1
5，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝__________.
解析：由题意设P(ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下：
由E(ξ)＝1，可得p ＝35，所以D(ξ)＝12
×15＋02×35＋12×15＝25. 答案：25
5．[2014·四川]一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1
2，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
解析：(1)X 可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有 P(X ＝10)＝C 1
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，
P(X ＝20)＝C 2
3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫122×⎝
⎛⎭
⎪⎫1－121＝38
， P(X ＝100)＝C 3
3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123×⎝
⎛⎭
⎪⎫1－120＝18
，
P(X ＝－200)＝C 0
3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫120×⎝
⎛⎭
⎪⎫1－123＝18
.
所以X 的分布列为
(2)设“第i i ＝1,2,3)，则
P(A 1)＝P(A 2)＝P(A 3)＝P(X ＝－200)＝1
8.
所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1－P(A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫183＝1－1512＝511
512.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511
512.
(3)X 的数学期望是E(X)＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－5
4. 这表明，获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.。