关于回转仪平衡问题的研究
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L
动量L而定.L是沿轴取向,其大小为Iω.I是飞轮绕其转轴的 转动惯量. 当回转仪绕z轴进动时,在z方向有一个很(d小) 的轨 道角动量,可是就均匀进动而言,轨道角动量的大小和方向都 是常量,并不起动力学的作用,因此我们在这里不考虑它.
4
L(t3) L(t2)
L的方向总是沿着转轴,当回转仪进
Ω L(t1)
关于回转仪平衡 问题的研究
03级物理一班 李超 学号:PB03203017
2004.4
1
事 事实上,如果释放回转仪时它的飞轮没有转动,那么它 的行为就严格和摆一样,它竖直地摆动而不是水平地进动,只 有当飞轮高速旋转时才做进动,在这种情况下,飞轮巨大的自 旋角动量支配着系统的动力学. 几 回转仪全部角动量都依自旋角
(e)
动时,L跟着它一起转动,若进动角 速度是Ω,则L的变化率为 d Ls =ΩL
dt
d Ls 的方向和L所掠过的水平圆相切,L变化的原因是由于力矩的作
dt
用,可以从(f)中看出,当把支点选作原点时力矩就是由作用在转
轴端点的飞轮重量引起的,这个力矩的大小就是M=lmg,方向在y方
向上平行于 d Ls ,从关系式 d Ls =M可求进动角速度Ω.d Ls = ΩL及
由刚体的平衡原理知回转仪在进动参考系中处于平衡状态 因此不会像摆一样上下摆动。 参考书目：
《力学》杨维纮编著；中国科学技术大学出版社出版； 《力学》郑永令编著；复旦大学出版社出版；
9
dt
dt
M=lmg,故有Ω= mgl (1).
N
dt
zy
I
该式指出, Ω随飞轮旋转减慢而增大,
l
x
L
用玩具回转仪很容易看到这个效应,显然
(f) mg
Ω不可能无限增大,最后均匀进动将要变成猛烈而不稳定的运动.
5
以上用角动量定理解释了回转仪在重力作用下的进动的
道理，现在我们从另一个更直接的角度来理解这一问题。
对圆盘上所有的质点积分,设ρ为面密度
ΣMfc= （- xlcosθi+ x sinθcosθj)ρxdxdθ
D
=0
7
再研究圆盘上一点dm所受到的科里奥利力为
Fcor=-2Ω×vdm
=(2Ωωxcosθj)dm
dm科里奥利力在支点产生的力矩
Mfcor=r×Fcor
=(2Ωωx cosθi-2Ωω x sinθcosθk)dcor= （2Ωωx cosθi D -2Ωωx sinθcosθk)ρxdxdθ
= 1 ΩωρπRi 4
2
再由（1）式推出Ω= mgl
Iω
=
1
mgl mR
2ω
= 2gl
R 2ω
于是ΣMfcor=mgli
2
代入
Ω
v xθ ω
R4
z
Fcor
r
l
y
x
8
ΣMfc=0 ΣMfcor=mgli ΣMmg=-mgli ΣMfc+ΣMfcor+ΣMmg=0
l
y
x
在进动参考系中写出各物理量的分量式： Ω=Ωk r=xsinθi+lj+xcosθk v=ωxcosθi-ωxsinθk
圆盘上一点dm所受到的惯性离心力为 Fc=-Ω×(Ω×r)dm
=( lxsinθi+ lj)dm
dm惯性离心力在支点产生的力矩
Mfc=r×Fc
=(- xlcosθi+ xs inθcosθj)dm
相对于跟着回转仪一起进动的参考系而言，回转仪的角
动量的大小和方向保持不变。进动参考系是匀速转动的
参考系，是一非惯性系。在这一非惯性系中，回转仪除
受到重力作用以外还受到惯性力的作用。
将回转仪看成匀质圆盘，θ是圆盘上
z
一质量为dm的质点，在圆盘平面极坐
标系中矢径与极轴的夹角，
y
x
6
Ω
v xθ ω
z
Fc r
动量L而定.L是沿轴取向,其大小为Iω.I是飞轮绕其转轴的 转动惯量. 当回转仪绕z轴进动时,在z方向有一个很(d小) 的轨 道角动量,可是就均匀进动而言,轨道角动量的大小和方向都 是常量,并不起动力学的作用,因此我们在这里不考虑它.
4
L(t3) L(t2)
L的方向总是沿着转轴,当回转仪进
Ω L(t1)
关于回转仪平衡 问题的研究
03级物理一班 李超 学号:PB03203017
2004.4
1
事 事实上,如果释放回转仪时它的飞轮没有转动,那么它 的行为就严格和摆一样,它竖直地摆动而不是水平地进动,只 有当飞轮高速旋转时才做进动,在这种情况下,飞轮巨大的自 旋角动量支配着系统的动力学. 几 回转仪全部角动量都依自旋角
(e)
动时,L跟着它一起转动,若进动角 速度是Ω,则L的变化率为 d Ls =ΩL
dt
d Ls 的方向和L所掠过的水平圆相切,L变化的原因是由于力矩的作
dt
用,可以从(f)中看出,当把支点选作原点时力矩就是由作用在转
轴端点的飞轮重量引起的,这个力矩的大小就是M=lmg,方向在y方
向上平行于 d Ls ,从关系式 d Ls =M可求进动角速度Ω.d Ls = ΩL及
由刚体的平衡原理知回转仪在进动参考系中处于平衡状态 因此不会像摆一样上下摆动。 参考书目：
《力学》杨维纮编著；中国科学技术大学出版社出版； 《力学》郑永令编著；复旦大学出版社出版；
9
dt
dt
M=lmg,故有Ω= mgl (1).
N
dt
zy
I
该式指出, Ω随飞轮旋转减慢而增大,
l
x
L
用玩具回转仪很容易看到这个效应,显然
(f) mg
Ω不可能无限增大,最后均匀进动将要变成猛烈而不稳定的运动.
5
以上用角动量定理解释了回转仪在重力作用下的进动的
道理，现在我们从另一个更直接的角度来理解这一问题。
对圆盘上所有的质点积分,设ρ为面密度
ΣMfc= （- xlcosθi+ x sinθcosθj)ρxdxdθ
D
=0
7
再研究圆盘上一点dm所受到的科里奥利力为
Fcor=-2Ω×vdm
=(2Ωωxcosθj)dm
dm科里奥利力在支点产生的力矩
Mfcor=r×Fcor
=(2Ωωx cosθi-2Ωω x sinθcosθk)dcor= （2Ωωx cosθi D -2Ωωx sinθcosθk)ρxdxdθ
= 1 ΩωρπRi 4
2
再由（1）式推出Ω= mgl
Iω
=
1
mgl mR
2ω
= 2gl
R 2ω
于是ΣMfcor=mgli
2
代入
Ω
v xθ ω
R4
z
Fcor
r
l
y
x
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ΣMfc=0 ΣMfcor=mgli ΣMmg=-mgli ΣMfc+ΣMfcor+ΣMmg=0
l
y
x
在进动参考系中写出各物理量的分量式： Ω=Ωk r=xsinθi+lj+xcosθk v=ωxcosθi-ωxsinθk
圆盘上一点dm所受到的惯性离心力为 Fc=-Ω×(Ω×r)dm
=( lxsinθi+ lj)dm
dm惯性离心力在支点产生的力矩
Mfc=r×Fc
=(- xlcosθi+ xs inθcosθj)dm
相对于跟着回转仪一起进动的参考系而言，回转仪的角
动量的大小和方向保持不变。进动参考系是匀速转动的
参考系，是一非惯性系。在这一非惯性系中，回转仪除
受到重力作用以外还受到惯性力的作用。
将回转仪看成匀质圆盘，θ是圆盘上
z
一质量为dm的质点，在圆盘平面极坐
标系中矢径与极轴的夹角，
y
x
6
Ω
v xθ ω
z
Fc r