高中数学选修2-1同步练习题库：立体几何中的向量法(选择题：一般)

立体几何中的向量法（选择题：一般）
1、在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高（）
A．1 B．2
C．13 D．26
2、设直线，圆，则下列说法中正确的是（）A．直线与圆有可能无公共点
B．若直线的一个方向向量为，则
C．若直线平分圆的周长，则或
D．若直线与圆有两个不同交点，则线段的长的最小值为
3、二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为()
A． B． C． D．
4、如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，点是上一点，当二面角为时，（）
A． B． C． D．1
5、在平行四边形中，,,若将其沿折成直二面角,则
与所成的角的余弦值为（）
A． B． C． D．
6、已知三点，，则以为方向向量的直线与平面系是（）
A．垂直 B．不垂直 C．平行 D．以上都有可能
7、如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=2,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=,则二面角A-BC-D的大小为( )
A． B．
C． D．
8、如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=2,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=,则二面角A-BC-D的大小为( )
A． B．
C． D．
9、已知直线的方向向量，平面的法向量，若，，则直线与平面的位置关系是（）
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．直线在平面内或直线与平面平行
10、如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，，，若、
分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
11、在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，点
为棱的中点，点为上的点，且满足（），当二面角的余弦值为时，实数的值为（）
A．1 B．2 C． D．3
12、正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，则点到平面的距离
为（）
A． B． C． D．
13、如图，在直三棱柱中，，.若二面角
的大小为，则的长为（）
A． B． C．2 D．
14、如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和
所成的角为（）
A． B． C． D．
15、已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（）条
A．0 B．1 C．2 D．无数个
16、在正三棱柱中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
17、如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
18、已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）
A． B．
C． D．
19、在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为()
A．30° B．45° C．60° D．90°
20、已知，，，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式（）
A．平行 B．垂直
C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角
21、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为()．
A． B． C． D．
22、已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()．
A． B． C． D．
23、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 ()．
A． B． C． D．
24、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是()．
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
25、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是 ()．
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
26、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）．
A． B． C． D．
27、.如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于
A． B．
C． D．
28、已知等差数列的前n项和为，且，则过点和
的直线的一个方向向量的坐标可以是（）
A． B．(2，4) C． D．（-1，-1）
29、已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A． B． C． D．
30、如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，且
，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（）
A． B． C． D．
31、
本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大
小．
32、设分别是轴，轴正方向上的单位向量，，。

若用来表示与的夹角，则等于（）
A． B． C． D．
33、已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于（）
A． B． C． D．
参考答案1、B
2、D
3、C
4、A
5、B
6、A
7、B
8、B
9、D
10、D
11、A
12、A
13、A
14、C
15、B
16、B
17、D
18、A
19、B
20、B
21、B
22、B
23、D
24、D
25、D
26、D
27、D
28、A
29、A
30、C
31、EF∩ＦＧ=F,所以平面EFG∥平面ABCD,又易证∽,
所以,即,即,又M为AD
【方法二】由已知平行四边形ABCD中，∠ ACB=，∴，又ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
（Ⅰ)见【法一】
（Ⅱ）设，由ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ得：，则
所以，，，
平行四边形中，可得：，
由可得：，
32、D
33、A
【解析】
1、设面的法向量为，则令，则
，则,
．故选B．
考点：点到面的距离的向量求法．
2、对于，时，由已知，圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为：
所以直线与圆一定相交； A错；
对于B，直线的一个方向向量为,则直线的斜率为则故B错误；对于C，直线平分圆的周长，则直线过圆心 ,则，C错；
对于D，若直线与圆有两个不同交点，线段的长的最小时圆心到直线的距离最大，即
时的，此时；故D正确．
故选D．
3、由条件知，，.
∴
.
∴，，∴二面角的大小为；
故选C.
4、建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面
的一个法向量为，由于，所以
，即，又平面的一个法向量是且
，解之得，应选答案A。

5、∵，，如图
∴，∴，过点A作，在和，
，则，，在空间四边形中，直二面角，
∵，，∴平面，以点为原点，以为轴，为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，∴，，，
，∴，，∴，
，，设与所成的角为，则，故选B.
点睛：本题考查异面直线夹角求解，利用向量的方法，能降低了思维难度．注意一般地异面直线所成角与两直线方向向量夹角相等或互补，余弦的绝对值相等；由得到，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求出异面直线与所成角的余弦值.
6、由题意，，，所以以为方向向量的直线与平面垂直，故选A.
7、在中，，则；
在中，，，则；
又，在中，，则；
过点作，使，连接，则四边形为矩形，，因为
，则平面，，则平面，则，
，在中，，则，
，由于，，则为二面角的平面角，且 .选B .
8、在中，，则；
在中，，，则；
又，在中，，则；
过点作，使，连接，则四边形为矩形，，因为
，则平面，，则平面，则，
，在中，，则，
，由于，，则为二面角的平面角，且 .选B .
9、因为，即，所以直线在平面内或直线与平面平行，故选D．
10、以的中点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为且，
所以,
所以,
则,
所以异面直线与所成的角的余弦值为，故选D．
点睛：本题考查了异面直线所成的角，训练了利用空间向量求解异面直线所成角的方法，根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量所成角的求解是解答的关键．
11、由题意知，过点在平面内作，则以为原点，分别以为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，
，设平面的法向量为，则，取平面法向量为，由二面角余弦值为，则，所以
，故选A.
点睛：此题主要考查空间几何中二面角的运算及应用，以及坐标法在解决立体几何中关于角的问题等有关方面的知识，属于中高档题型，也是常考题型.坐标法，也称向量法，利用坐标法解决立体几何问题，一般步骤是，建立立体几何向量的联系；进行空间向量的运算；作出结果的几何解释，继而得出几何结论.
12、根据题意，以D为原点，分别为为坐标轴，建立空间直角坐标系，则
,设平面的法向量为，则
，取，则，所以，所以点到平面的
距离为，故选A.
点睛：求点到平面的距离：设是平面外一点，是的一条斜线，交平面于点，而是平面
的法向量，到平面的距离，所以
13、分别以CA、CB、CC1为轴建立空间坐标系，则C（0,0,0），A（1,0,0），B1（0,2,2），C1（0,0,2），设，则点D坐标为，设平面B1CD的一个法向量为，则，得，令z=-1,得，又平面C1DC的一个法向
量为。

所以，得，故选A。

14、连接,中,,又,所以直线和所成的角即与所成角，故选C.
15、设正方体的棱长为2，
以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，则，
设，则，∴，
∵直线与平面垂直，
∴，解得，
∵方程组只有唯一的一组解，
∴与平面垂直的直线有1条，故选B.
16、平面DBC1与平面CBC1所成的角为.以A为坐标原点，，的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．设底面边长为2a，侧棱长为2b，则A（0, 0, 0），C（0, 2a, 0），D（0，
a, 0 ），B（a，a, 0），C1（0, 2a, 2b），，则，
，，．由⊥，得·＝0，即2b2
＝a2.设＝（x，y，z）为平面DBC1的法向量，则·＝0，·＝0，即令z＝1，可得＝（0，－，1）．同理可求得平面CBC1的一个法向量为＝（1，，0）．则cos θ＝
＝，得θ＝45°.
考点：面面角的向量求法.
17、在A中，因为与在平面内的射不垂直，所以不成立；
在B中，因为平面平面，所以平面平面也不成立，所以不正确；
在C中，因为平面，平面，所以平面，所以直线平面也不成立，所以B不成立.
在D中，在直角中，，所以,所以是正确的，故选D.
18、AB1与侧面ACC1A1所成角为，建立如图所示的空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则
，，，，则，，为侧面ACC1A1的一个法向量，所以sin θ＝＝.故选A.
考点：线面角的向量求法.
19、以A为坐标原点，，的方向分别为y轴和z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设底面边长为2a，侧棱长为2b，
则A(0,0,0)，C(0,2a,0)，D(0，a,0)，B(a，a,0)，C1(0,2a,2b)，B1(a，a,2b)．
由⊥，得·＝0，即2b2＝a2.
设n1＝(x，y，z)为平面DBC1的一个法向量，
则n1·＝0，n1·＝0.
即又2b2＝a2，令z＝1，
解得n1＝(0，－，1)．
同理可求得平面CBC1的一个法向量为n2＝(1，，0)．
利用公式cos θ＝＝，得θ＝45°.
20、试题分析：由，，可得，所以，而，分别是平面，的法向量，所以，选B.
考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.
21、设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示空间坐标系，
则＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，∴cos〈，〉＝－，
∴sin〈，〉＝.
22、设A1在面ABC内的射影为O，过O作OH∥BC交AB于点H，以O为坐标原点，OA、OH、OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设△ABC边长为1，则A，B1∴
＝.
面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sin α＝|cos〈，n〉|＝＝.
23、建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(0,2,1)，D1(0,0,2)，F(1,0,0)，＝(－1,1,1)，
＝(－1,0,2)，∴·＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
即OE与FD1所成的角的余弦值为.
24、∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D.∴AC⊥BE，故A正确．∵B1D1∥平面ABCD，又E，F在直线D1B1上运动，∴EF∥平面ABCD，故B正确．C中，由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的
面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故V A-BEF为定值．故C正确．
建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，
①当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，E(1,0,1)，F（，，1），
∴＝(0，－1,1)，＝（，－，1），
∴·＝.又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴此时异面直线AE与BF成30°角．
②当点E为D1B1的中点，F在B1处，此时E（，，1），F(0,1,1)，∴＝（－，－，1），
＝(0,0,1)，
∴·＝1，||＝，∴cos〈，〉＝＝
，故选D.
25、∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1，D1D.
∴AC⊥BE，故A正确．
∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，
∴EF∥平面ABCD，故B正确．
C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故V A-
为定值．
BEF
当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，
E(1,0,1)，F，
∴＝(0，－1,1)，＝，
∴·＝.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∴此时异面直线AE与BF成30°角．
②当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，此时E，F(0,1,1)，
∴＝，＝(0,0,1)，
∴·＝1，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝≠，故选D.
26、试题分析：由，知是异面直线与AC所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线与AC所成角的余弦值．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，是异面直线与AC所成角，
，
，
∴异面直线与AC所成角的余弦值是．
考点：异面直线所成角
27、试题分析：由图可知，
=，故D正确.
考点：空间向量的运算.
28、试题分析：直线的斜率.又
，所以它的一个方向向量可以为
，与它共线，故选A.
考点：1、等差数列；2、直线的方向向量.
29、试题分析：以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）
=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以
=，故选A.
考点：空间向量的坐标运算和向量的模.
30、试题分析：由已知可知图中直线两两垂直，因此我们以此为空间的直角坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面所成角的正弦值.
考点：用向量法求直线与平面所成的角.
31、略
32、略
33、试题分析：∵空间四面体D一ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点
考点：平面向量数量积的运算。