例谈两个绝对值的和的极值问题

例谈两个绝对值的和的极值问题
繁与简对立统一，知繁才能真正理解简.
........题记
例已知实数x、y满足x²+y²≤1，则∣3x-y+4∣+∣x+3y-6∣的最小值为____ .
分析分别画出直线3x-y+4=0，x+3y-6=0与单位圆（如图），易得：其可行域位于两条垂直相交直线所构成的右下方角型区域内，在该区域内3x-y+4>0，x+3y-6<0.
则∣3x-y+4∣+∣x+3y-6∣=∣3x-y+4-(x+3y-6)∣=2∣x-2y+5∣
故∣3x-y+4∣+∣x+3y-6∣的最小值为10-2√5.
下面来求极值点：
设单位圆的切线方程为x-2y+h=0，则∣h∣=√5.
这表明 -√5≤x-2y≤√5，所以当且仅当x-2y=-√5时，原式有最小值10-2√5.
此时直线x-2y+√5=0与单位圆x²+y²=1的切点就是直线y=-2x
与圆x²+y²=1的一个交点
(-1/√5，2/√5).
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2020年高考命题趋势（数学）
考向1 :高考数学的学科素养包括
理性思维、数学应用、数学探索和数学文化。

考向2 :高考数学科提出5项关键能力
逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力。

考向3 :高考数学的必备知识包括
预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动5 个主题。

高考数学将其整合，按逻辑体系将分散在必修课程和选择性必修课程中相互衔接的内容组成有机的结构体系。

考向4:高考数学的命题将突出以下几点:
·注意学科间的渗透和交叉，适当增加具有自然科学和社会人文学科情境的试题,促进学科间的融合以及对核心素养的有效考查;
·关注探究能力、数学学习能力的考查，命制开放性试题、结构不良试题，通过创新题型，对学生的创新能力进行考查;
·通过调整试卷结构，打破固有模式，探索试题排列新方式，努力破除复习备考中题海战术和套路训练的影响。

考向5:高考数学的所有命题都离不开三个情境
·数学课程学习情境包括数学概念建构、数学原理习得、数学运算学习、数学推理学习等问题情境，关注已有知识的基础和准备程度;
·数学探索创新情境包括推演数学命题、数学探究、数据分析、数学实验等问题情境，关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索;
·生活实践情境需要考生将问题情境与学科知识、方法建立联系，应用学科工具解决问题，关注与其他学科和社会实践的关联。

附录
结构不良的问题并不是指问题本身有什么错误或者不恰当，而是
指它没有明确的结构或者解决途径。

近年来，结构不良问题引起了研究者的关注，新建构主义高度重视结构不良问题对于发展学生的思维、创新和迁移能力，他们强调应当变传统知识的接受者为主动的问题解决者。

因为现实生活中充斥着大量结构不良问题需要解决者从诸多现象中自己分析、设计出解决方案。

从知识观来看，结构不良问题的解决有利于高级知识的获得。

学习可以分为初级和高级学习两层次。

传统教学认为，教学目标就是让学生知道重要的概念和事实，学生在作业、考试中遇到问题只需再现其习得的知识。

学生获得了大量的“惰性知识”，因为在教学中教师呈现了大量结构良好的问题，教学设计从低到高、由局部到整体地展开学习，使得教学过于简单化。

这种简单化使得学生理解能力片面，阻碍其在具体情境中有效的迁移。

建构主义认为，结构不良领域的问题能够促进高级知识的获得，为掌握复杂性和迁移做准备。

其源于真实情境中的问题，需要学生对于问题准确表征、建立问题解决空间等等，学生在自主建构中问题解决能力和思维能力得以提升。

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例说数学中的“魔术”
魔术是以不断变化让人捉摸不透并带给观众惊奇体验为核心的一种表演艺术，是制造奇妙的艺术。

更简单的说，他是一种违反客观规律的表演。

魔术是依据科学的原理，运用特制的道具，巧妙综合视觉传达、心理学、化学、数学、物理学、刑侦学、表演学等不同科学领域的高智慧的表演艺术。

抓住人们好奇、求知心理的特点，制造出种种让人不可思议、变幻莫测的现象，从而达到以假乱真的艺术效果。

数学（mathematics或maths，其英文来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

数学运算推理活动也有些类似魔术，比如有些代数运算的形式变换莫测，就像是玩魔术。

而人类避繁就简的心理，往往有意隐藏那些繁复的运算过程。

sinA+sinB=sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
=2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2.
上述三角和差化积公式，在推导过程中一般用代换隐藏中间的所谓“烦难”的形式，而且在现行新课标中，把这和差化积的公式也删去啦。

(a²+b²)(x²+y²)-(ax+by)²=(ay-bx)²，
二元柯西不等式，本质上由上述恒等式引申而来，取等号的条件由此可见。

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)-(ax+by+cz)²=(ay-bx)²+(az-cx)²+(bz-cy)²，
与n元的柯西不等式有关的恒等式，类似地也可以写出来。

根据如下恒等式
可得命题：
这个不等式问题，曾作为IMO试题.
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2008年全国高中数学联赛江西预赛第14题：
涉及如下恒等式
已知非负实数x、y、z满足xy+yz+zx=1，则
蒋明斌一道竞赛题的证法再探《数学教学》2011年第2期
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由于现代信息技术的发展，越来越多的神奇的恒等式不断被发现。

这可谓典型的现代数学“魔术”。

避繁就简，是数学学习与研究的策略，而不是中小学生的一种数学学习、研究的方式。

繁与简对立统一，知繁才能真正理解简.。