二重积分的坐标变换

a
arccos r
a
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
D： x
y
1，
x 0和 y 0所围成.
思考题解答
y
令u
v
x
y
y
x
y
u
v
v ,
x y1
D
o
x
雅可比行列式J ( x, y) 1, (u, v )
v
uv
变换后区域为
D
o
u
D：x y 1 u 1
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r 1()
,
D
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
证明见本课件末,不做要求.
y x
例7 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y
解 令 u y x, v y x,
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
直线方程为rf ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
D
sin( x2 y2 ) dxdy x2 y2
4 sin( x2 y2 ) dxdy
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
0 1r
例 6 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
一、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2 (ri
ri
)2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
i i i
ri ri i o(ri i ),
D
d rdrd
o
极坐标下的面积元素
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
换是一对一的．
定理 设 f ( x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u,v), y y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数；
(2) 在 D 上雅可比式 J (u,v) ( x, y) 0; (u, v )
0
a
a2 ( 3 ). 3
二、二重积分的换元法
平面上同一个点，直角坐标与极坐标之
间的关系为
x y
r r
cos , sin .
上式可看成是从直角坐标平面 ro 到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于 ro 平
面上的一点 M (r,)，通过上式变换，变
成 xoy 平面上的一点 M ( x, y)，且这种变
1 ( )
r 2()
A
(2) 区域特征如图
,
r 1( )
D
1( ) r 2( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
r 2( )
A
2. 原点在区域的边界上 区域特征如图
, 0 r ( ).
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
例 5 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
底，而以曲面z x 2 y 2为顶的曲顶柱体的体积.
练习题答案
2 cos
一、1、
2
d
0
f (r cos , r sin )rdr ；
2
(cos sin )1
2、 2 d
0
0
f (r cos , r sin )rdr；
2 sec
3、 3d 0 f (r)rdr ；
4
sec
4、 4 d
D2
S
DSD1 2
S {( x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
{ x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
e x2 y2 0,
e x2 y2 dxdy e x2 y2 dxdy ex2 y2dxdy.
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy R ex2dx R e y2dy ( R e x2 dx)2
f (r cos , r sin )rdr ；
0
0
0
S
由上题结论
I1 e x2 y2 dxdy D1
2 d
R e r2 rdr
0
0
(1 e R2 )
4
I2 ex2 y2dxdy
D2
(1 e 2R2 ); 4
I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
2、将 f ( x, y)dxdy,D 为0 y 1 x ,0 x 1 ,表
D
示为极坐标形式的二次积分为______________.
2
3、将 dx
3x
f(
x 2 y 2 )dy 化为极坐标形式的二
0
x
次积分为______________________.
1
x2
4、将 0 dx0 f ( x, y)dy 化为极坐标形式的二次积分
x0 uv 0
y0 v0
D
x
y
e( x y)2 d
y
D
f
(u,v) |
J
| dudv
1
u
du
v
eu2 dv
0 0u
1 u eu2du
02
1 (e 1). 4
一、填空题:
练习题
1、将 f ( x, y)dxdy,D 为 x 2 y 2 2x ,表示为极坐
D
标形式的二次积分,为_____________________.
(x, y) (u, v)
1 (u, v)
.
(x, y)
思考题
交换积分次序:
a cos
I
2
d
0
f (r, )dr
2
(a 0).
思考题解答
D
:
2
2
,
0 r a cos
y
arccos r
a
r a cos
D
o
ax
a
arccos r
I
dr
0
a arccos r
f (r, )d .
2
2
二重积分化为二次积分的公式: r-型区域
区域特征如图
2(r)
r1 r r2 ,
1(r) 2(r).
r2 D
r1
o r1
1(r)
r2 A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
r2 rdr 2(r) f (r cos , r sin )d .
r1
1 (r )
例 1 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
0
D
sin cos
例 2 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 a的圆周所围成的闭区域.
y
解 在极坐标系下
D：0 r a，0 2
ex2 y2dxdy
2
d
a e r2 rdr
D
0
0
(1 ea2 ).
ax
例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
0
0
r ( ) A
极坐标系下区域的面积
rdrd . D
若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
A
3. 原点在区域的内部
区域特征如图
0 2, 0 r ( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
D
三、试将对极坐标的二次积分
2a cos
I
4
d
0
f (r cos , r sin )rdr 交换积分次序.
4
四、设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线r 2 上一段
弧(0 )与直线 所围成,它的面密度为
2
2
( x, y) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
五、计算以 xoy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, ( e x2 dx)2 即 e x2 dx
0
4
0
2
例 4 计算 ( x2 y2 )dxdy ，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y，x2 y2 4 y 及直线x 3 y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
则 x vu, y vu.
2
2
D D, 即 x 0 u v;
y 0 u v;
x y 2 v 2.
x y2
D
o
x
v
v2
u v D u v
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
D
D
i
A
rd d
d
dr r
极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f ( x2 y2 )
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：
1.
坐 标 变 换 ： xy
r cos r sin
2. 微元变换：d dxdy rdrd
3. 区域变换：Dxy Dr
1 ( )
d
( )
f (r cos ,r sin )rdr.
0
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
2．作什么变换主要取决于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f (x, y) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
3.
J
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.
2、 ( x 2 y 2 )d 其中D 是由直线y x ,
D
y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域.
3、 R 2 x 2 y 2 d ,其中D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域.
4、 x 2 y 2 2 d ,其中D :x 2 y 2 3 .
J ( x, y) abr.
(r, ) J 在 D内仅当 r 0 处为零， 故换元公式仍成立，
D
1
x2 a2
y2 b2 dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
三、小结
1. 二重积分在极坐标下的计算公式
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
为______________________.
5、将
1
dx
x
(x2
y
2
)
1 2
dy
化
为极坐标形式的二
次积
0
x2
分为_______________,其值为_______________.
二、计算下列二重积分:
1、 ln(1 x 2 y 2 )d ,其中D 是由圆周x 2 y 2 1
D
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
例8
计算
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy,
其中
D
为
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 所围成的闭区域．
解
作广义极坐标变换
x y
ar br
cos , sin ,
其中a 0, b 0, r 0, 0 2.
在这变换下 D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2},
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
由r a
2cos 2
,
ra
得交点A (a, ) , 6
所求面积 dxdy 4 dxdy
D
D1
4
6 d
a
2 cos 2
rdr