【创优导学案】2020届高考数学总复习 第二章 函数与导数 2-2课后巩固提升(含解析)新人教A版

【创优导学案】2014届高考数学总复习 第二章 函数与导数
2-2课后巩固提升（含解析）新人教A 版
(对应学生用书P 371 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．下列函数中，在[1，＋∞)上为增函数的是 ( )
A ．y ＝(x －2)2
B ．y ＝|x －1|
C ．y ＝
1
x ＋1
D ．y ＝－(x ＋1)2
解析 B 作出A 、B 、C 、D 中四个函数的图象进行判断．
2．函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则当0＜a ＜1时，函数g (x )＝a f (x )
的单调增区间是
( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12 B ．(－∞，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ C ．[a ，1]
D ．[a ，a ＋1]
解析 B 令u ＝f (x )，则g (u )＝a u
(0＜a ＜1)为减函数，所以u ＝f (x )的单调减区间为
g (x )的单调增区间，由图象可知选B.
3．已知函数f (x )＝kx 2
－4x －8在x ∈[5,20]上是单调函数，则实数k 的取值范围是
A.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫25，＋∞
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，110
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，110∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫25，＋∞
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫45，＋∞ 解析 C 依题意，得k ＝0或⎩⎪⎨⎪
⎧
k ≠0，2k
≤5或2
k ≥20，
解得k ＝0或k ≥25或0＜k ≤1
10或k ＜0.
综上，k ≥25或k ≤1
10
.
4．已知f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f (a 2
－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34的大小关系是
A ．f (a 2
－a ＋1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34
B ．f (a 2
－a ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34
C ．f (a 2
－a ＋1)≥f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34
D ．f (a 2
－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34
解析 D ∵a 2
－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34
，
又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2
－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34.
5．(2013·昆明模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是
( )
A ．f (4)>f (－6)
B ．f (－4)<f (－6)
C ．f (－4)>f (－6)
D ．f (4)<f (－6)
解析 C 显然(4－6)(f (4)－f (6))>0⇒f (4)<f (6)，结合奇函数定义，得－f (4)＝f (－4)，－f (6)＝f (－6)．故f (－4)>f (－6)．
6．如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界．下列函数中，有下确界的函数是
①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ； ③f (x )＝e x
；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1， x >00， x ＝0；
－1； x <0.
A ．①
B ．④
C ．②③④
D ．①③④
解析 D 对于①，显然M ＝－1是函数的下界，并且是下确界，由此排除B 、C ；对于④，容易断定M ＝－1是函数的下确界，故选D.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．(2013·东营模拟)下列函数中，单调增区间为(－∞，0)的是________． ①y ＝－1x
；②y ＝－(x －1)；③y ＝x 2
－2；④y ＝－|x |.
解析 ①的单调递增区间是(－∞，0)，(0，＋∞)；②③在(－∞，0)上为减函数． 【答案】 ④
8．如果函数f (x )＝ax 2
＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．
解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1
a
，因为f (x )在(－∞，4)上单调
递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，－1
4
≤a ≤0.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，0
9．函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．
解析 由图知
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x ， 0≤x ≤1，－x ＋3， 1<x ≤3，
∴g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x x －1， 0≤x ≤1，
3－x x －1， 1<x ≤3.
当x ∈[0,1]时，g (x )∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，0，
当x ∈(1,3]时，g (x )∈[0,1]，∴g (x )max ＝1. 【答案】 1
三、解答题(本大题共3小题，共40分) 10．(12分)求下列函数的值域： (1)y ＝3x ＋1x －2；(2)y ＝|x －1|＋|x ＋4|.
解析 (1)由x ≠2，得x ＝1＋2y
y －3
，
∴y －3≠0，∴y ≠3.故值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
(2)由几何意义，可知y ＝|x －1|＋|x ＋4|表示数轴上的点到表示1的点与表示－4的点的距离之和，由图形知y ≥5.故值域为[5，＋∞)．
11．(12分)求函数y ＝
(x 2
－3x ＋2)的单调区间．
解析 令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．
令u ＝x 2
－3x ＋2>0，则x <1或x >2. ∴函数y ＝l
(x 2－3x ＋2)的定义域为
(－∞，1)∪(2，＋∞)．
又u ＝x 2
－3x ＋2的对称轴为x ＝3
2，且开口向上，
∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝u 在(0，＋∞)上是单调减函数，
∴y ＝
(x 2－3x ＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．
12．(16分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.
(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；
(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)＜－2. 解析 (1)令x 1＝x 2，得f (1)＝0. (2)设任意的x 1，x 2＞0，且x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x 1. 又x ＞1时，f (x )＜0，
∴由x 2x 1
＞1，得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x 1＝f (x 2)－f (x 1)＜0， 即f (x 2)＜f (x 1)，
∴函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．
(3)由f (3)＝－1，f (1)＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (1)－f (3)＝1， ∴f (9)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
3 13＝f (3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－2.
∴f (|x |)＜－2＝f (9)可化为⎩⎪⎨
⎪⎧
|x |＞9，
|x |＞0，
解得x ＞9或x <－9.。