初中数学精品试题：杭州市拱墅区公益中学2020-2021学年上学期期末考试八年级数学试题

2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区公益中学八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分
1．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（）
A．（5，2）B．（﹣2，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）2．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（）
A．B．
C．D．
3．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．
C．D．
4．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（）A．14B．15C．16D．14或16 5．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）
A．B．0C．﹣1D．﹣2 6．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝7B．AC＝4，BC＝6，∠A＝60°
C．∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°D．AB＝5，BC＝4，∠C＝90°7．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）若直线y＝k1x+2与直线y＝k2x﹣4的交点在x轴上，则的值为（）
A．2B．﹣2C．D．
8．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）14：00时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线OA上），设经过xmin（0≤x≤30），时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°、y2°，则y1、y2与x之间的函数关系图象是（）
A．B．
C．D．
9．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB 边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（）
A．10B．5C．D．10．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线
y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（）
A．﹣4＜x＜﹣2B．x＜﹣2C．x＞4D．2＜x＜4
二、填空题：每题4分，共24分
11．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）函数中，自变量x的取值范围是．12．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）平面直角坐标系中，已知点A（a，3），点B（2，b），若线段AB被y轴垂直平分，则a+b＝．
13．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）已知点A（﹣2，y1）、B（3，y2）都在直线y＝mx+n （m＞0，n＜0），则y1与y2的大小关系是．
14．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为．
15．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）已知关于x的不等式组恰好有2个整数解，则整数a的值是．
16．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，E 是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是．
三、解答题：7小题，共66分
17．（2020·杭州拱墅区期末）解不等式（组）：
（1）2（x+1）﹣1＞x；
（2）．
18．（2020·杭州拱墅区期末）如图，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：AD＝BC．
19．（2020·杭州拱墅区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B （1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△DOB的面积
20．（2020·杭州拱墅区期末）某小区为激励更多居民积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的居民．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元．
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，
所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？21．（2020·杭州拱墅区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．
22．（2020·杭州拱墅区期末）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
23．（2020·杭州拱墅区期末）如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD＝CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H．
（1）求证：△ACE≌△BAD；
（2）若BE＝2EC＝4．
①求△ABC的面积；
②求MH的长．
2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区公益中学八年级（上）期末
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分
1．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（）
A．（5，2）B．（﹣2，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）
【分析】笑脸盖住的点在第二象限内，那么点的横坐标小于0，纵坐标大于0，比较选项即可．
【解答】解：笑脸盖住的点在第二象限内，则其横坐标小于0，纵坐标大于0，那么结合选项笑脸盖住的点的坐标可能为（﹣2，3）．
故选：B．
【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（）
A．B．
C．D．
【分析】圆不能表示y是x的函数图象．
【解答】解：函数，就是在一个变化过程中有两个变量x，y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
因而：圆不能表示y是x的函数图象，是因为：对x在某一部分的取值，y的对应值不唯
一，不符合函数的定义．
故选：C．
【点评】正确理解函数的定义是解决本题的关键．
3．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．
C．D．
【分析】在数轴的点所表示的数左边的总比右边的小，所以“＜”取该数左边的数，并用空心的圈圈住该数，“≥”取该数右边的数，包括该数，用实心的点．
【解答】解：因为，不等式组表示要求不等式x＜3与x≥1的公共解集
所以，排除选项A、B、D
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是要理解有理数在数轴上的分布规律及具有数形结合的思想意识．
4．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（）A．14B．15C．16D．14或16
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6时，②当腰长为4时，解答出即可．
【解答】解：根据题意，
①当腰长为6时，符合三角形三边关系，周长＝6+6+4＝16；
②当腰长为4时，符合三角形三边关系，周长＝4+4+6＝14．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答．5．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）
A．B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答．
【解答】解：﹣2＜1，
（﹣2）2﹣2＞0，
∴当n＝﹣2时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，CA＝7B．AC＝4，BC＝6，∠A＝60°
C．∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°D．AB＝5，BC＝4，∠C＝90°
【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可．
【解答】解：A、不满足三边关系，本选项不符合题意．
B、边边角三角形不能唯一确定．本选项不符合题意．
C、没有边的条件，三角形不能唯一确定．本选项不符合题意．
D、斜边直角边三角形唯一确定．本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）若直线y＝k1x+2与直线y＝k2x﹣4的交点在x轴上，则的值为（）
A．2B．﹣2C．D．
【分析】分别求出两直线与x轴的交点的横坐标，然后列出方程整理即可得解．
【解答】解：令y＝0，则k1x+2＝0，
解得x＝﹣，
k2x﹣4＝0，
解得x＝，
∵两直线交点在x轴上，
∴﹣＝，
∴＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线相交的问题，分别表示出两直线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
8．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）14：00时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线OA上），设经过xmin（0≤x≤30），时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°、y2°，则y1、y2与x之间的函数关系图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6度就可以分别表示出y1，y2的解析式，根据解析式就可以求得y1，y2的大致图象而得出结论．
【解答】解：由题意，得
y1＝0.5x+60（0≤x≤30），
y2＝6x（0≤x≤30），
∴得出y1是一次函数，y1随x的增大而僧大，与y轴的交点是（0，60），y2是正比例函数，y2随x的增大而增大，
∴A答案正确，故选：A．
【点评】本题考查了时钟问题的时针和分针的速度的关系，一次函数的解析式和正比例函数的解析式与图象的关系的运用，解答时根据时钟问题的数量关系求出函数的解析式是关键．
9．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB 边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（）
A．10B．5C．D．
【分析】先由CD＝AE得到，AB的长度，继而求得DE＝5，从而证明△CDE为等腰三角形，求得△ABC的面积，根据CE中线的性质，求出△BCE的面积，再用△BCE的面积减去△BDE的面积即可求解．
【解答】解：∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE，
∵CD＝AE＝5，
∴AB＝10，
根据勾股定理得：AD＝＝8，
∴△ABC的面积为，
∵CE是△ABC的中线，
∴S△BCE＝S△ACE＝22，
∵BD＝6，AD＝8，AD⊥BC，
∴，
∵DE是△ABD的中线，
∴S△BDE＝12，
∴S△DCE＝S△BCE﹣S△BDE＝10，
∵DE＝AE＝AB，DC＝AE，
∴DC＝DE，
∵DG⊥CE，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10．（2020·杭州拱墅区期末）（3分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与直线y＝mx交于点B（2，n），则关于x的不等式组0＜ax﹣b＜mx的解集为（）
A．﹣4＜x＜﹣2B．x＜﹣2C．x＞4D．2＜x＜4
【分析】先根据一次函数的性质得到a＞0，再把A（4，0）代入y＝ax+b得b＝﹣4a，把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝﹣2a，把B（2，n）代入y＝mx得m＝﹣a，则不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，然后解不等式组即可．
【解答】解：直线y＝ax+b经过第一、三、四象限，则a＞0，
把A（4，0）代入y＝ax+b得4a+b＝0，则b＝﹣4a，
把B（2，n）代入y＝ax+b得n＝2a+b＝2a﹣4a＝﹣2a，
把B（2，n）代入y＝mx得n＝2m，则m＝﹣a，
不等式组0＜ax﹣b＜mx化为0＜ax+4a＜﹣ax，
解得﹣4＜x＜﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
二、填空题：每题4分，共24分
11．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）函数中，自变量x的取值范围是x≥3．【分析】根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）平面直角坐标系中，已知点A（a，3），点B（2，b），若线段AB被y轴垂直平分，则a+b＝1．
【分析】根据线段AB被y轴垂直平分，则可知点A与点B关于y轴对称，根据对称的性质即可解答．
【解答】解：∵线段AB被y轴垂直平分，
∴点A（a，3）与点B（2，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣2，b＝3，
∴a+b＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握对称的性质．13．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）已知点A（﹣2，y1）、B（3，y2）都在直线y＝mx+n （m＞0，n＜0），则y1与y2的大小关系是y1＜y2．
【分析】先根据直线y＝mx+n（m＞0，n＜0），判断出直线所经过的象限，再比较出两点横坐标的大小即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝mx+n中m＞0，n＜0，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，且y随x的增大而增大，
∵﹣2＜3，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及一次函数的性质，即一次函数y ＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大．
14．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，
∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为85°．
【分析】根据角平分线定义求得∠BAD＝∠BAC，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根据三角形的外角的性质即可求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∠ABE＝40°．
∵∠EBC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．
故答案为：85°．
【点评】此题综合运用了角平分线定义、直角三角形两个锐角互余以及三角形的外角的性质．
15．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）已知关于x的不等式组恰好有2个整数解，则整数a的值是﹣4，﹣3．
【分析】表示出不等式组的解集，由解集中恰好有2个整数解，确定出整数a的值即可．【解答】解：不等式组，
由①得：ax＜﹣4，
当a＜0时，x＞﹣，
当a＞0时，x＜﹣，
由②得：x＜4，
又∵关于x的不等式组恰好有2个整数解，
∴不等式组的解集是﹣＜x＜4，即整数解为2，3，
∴1≤﹣＜2（a＜0），
解得：﹣4≤a＜﹣2，
则整数a的值为﹣4，﹣3，
故答案为：﹣4，﹣3．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确表示出不等式组的解集是本题的突破点．
16．（2020·杭州拱墅区期末）（4分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，E 是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是或或．
【分析】由折叠的性质可得BE＝DE，DF＝CF，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，
∴BE＝DE，DF＝CF，
①当DE＝DF时，△DEF是等腰三角形，
如图1，
∴BE＝DE＝CF＝DF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，
∴AD垂直平分EF，
∴EH＝HF，BH＝CH，
∴AH＝＝＝3，
∴DH＝AD﹣AH＝5﹣3＝2，
设BE＝DE＝DF＝CF＝x，
∴EH＝（8﹣2x）＝4﹣x，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝，
∴BE＝；
②当DE＝EF时，如图2，作AH⊥BC，连接BD，延长AE交BD于N，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝4，
∴AH＝＝＝3，
∵将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，∴BE＝DE，DF＝CF，∠BAE＝∠DAE，AB＝AD＝AC，
∴BE＝EF＝DE，BN＝DN，AN⊥BD，
∴DF＝2EN，
设EH＝a，则BE＝EF＝4﹣a，
∴CF＝8﹣（4﹣a+4﹣a）＝2a＝DF，
∴EN＝a＝EH，且∠BEN＝∠AEH，∠AHE＝∠BNE＝90°，
∴△AEH≌△BEN（ASA）
∴BE＝AE，
∵AE2＝EH2+AH2，
∴BE2＝（4﹣BE）2+9，
∴BE＝
若DF＝EF，如图3，作点A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M，
同理可求EF＝CF＝，
∴BE＝8﹣2×＝，
故答案为：或或．
【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
三、解答题：7小题，共66分
17．（2020·杭州拱墅区期末）解不等式（组）：
（1）2（x+1）﹣1＞x；
（2）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集．
【解答】解：（1）2（x+1）﹣1＞x，
2x+2﹣1＞x，
2x﹣x＞﹣2+1，
x＞﹣1；
（2），
解不等式①得：x＜﹣2，
解不等式②得：x≤，
∴不等式组的解集为x＜﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．
18．（2020·杭州拱墅区期末）如图，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：AD＝BC．
【分析】欲证明AD＝BC，只需证得四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：如图，∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
又∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．19．（2020·杭州拱墅区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣2），B （1，4）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△DOB的面积
【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令x＝0，y＝0，代入y＝2x+2即可确定C、D点坐标；
（3）根据三角形面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入y＝kx+b得，
解得．
所以一次函数解析式为y＝2x+2；
（2）令y＝0，则0＝2x+2，解得x＝﹣1，
所以C点的坐标为（﹣1，0），
把x＝0代入y＝2x+2得y＝2，
所以D点坐标为（0，2），
（3）S△BOD＝2×1＝1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
20．（2020·杭州拱墅区期末）某小区为激励更多居民积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的居民．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元．
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？
【分析】（1）设拖把每把x元，扫帚每把y元，根据题意：购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元，列方程组求解；
（2）设购买拖把a把，则扫帚（200﹣a）把，结合（1）中的数据，列不等式组求得a 的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）设拖把每把x元，扫帚每把y元，依题意有
，
解得：．
答：拖把每把20元，扫帚每把10元．
（2）设购买拖把a把，则扫帚（200﹣a）把，依题意有
，
解得≤a≤69，
∵a为整数，
∴a＝67，68，69，
∴有3种购买方案，①买拖把67把，扫帚133把；②买拖把68把，扫帚132把；③买拖把69把，扫帚131把．
当a＝67时，共花费67×20+133×10＝2670元；
当a＝68时，共花费68×20+132×10＝2680元；
当a＝69时，共花费69×20+131×10＝2690元；
∵2670＜2680＜2690，
∴选择方案买拖把67把，扫帚133把最省钱．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
21．（2020·杭州拱墅区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE；（2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答处即可；
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，
又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，
则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，
又∵由（1）得AD＝AB，∠E＝∠C，
∴∠ABD＝4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠E＝∠C＝20°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相
等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．（2020·杭州拱墅区期末）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；
（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；
（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1中可求出a的值即可；
（2）分类讨论：a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝2时，y有最大值5，然后代入函数关系式可计算出对应a的值；a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣1时，y有最大值2，然后代入函数关系式可计算对应a的值；
（3）对任意实数x，y1＞y2都成立，则直线y1与y2平行，且y1在y2的上方，所以a＝k 且kx+2k﹣4＜kx﹣k+1，解得即可．
【解答】解：（1）把（﹣1，3）代入y＝ax﹣a+1得﹣a﹣a+1＝3，解得a＝﹣1；
（2）①a＞0时，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y有最大值5，把x＝2，y＝5代入函数关系式得5＝2a﹣a+1，解得a＝4；
②a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y有最大值5，把x＝﹣1，y＝5代入函数关系式得5＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣2，
所以a＝4或a＝﹣2，
故此时一次函数y1的表达式为y＝4x﹣3或y＝﹣2x+3；
（3）依题意，得k＝a，
∴y1＝kx﹣k+1，
∵对任意实数x，y1＞y2都成立，
∴2k﹣4＜﹣k+1，
解得k＜，
∴k的取值范围是k＜．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确
定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
23．（2020·杭州拱墅区期末）如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD＝CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H．
（1）求证：△ACE≌△BAD；
（2）若BE＝2EC＝4．
①求△ABC的面积；
②求MH的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△BAD；
（2）①由等边三角形的面积公式可求解；
②由全等三角形的性质可得∠CAE＝∠ABD，可证∠BMH＝60°，由直角三角形的性质
可求解．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
在△ACE和△BAD中，
，
∴△ACE≌△BAD（SAS）；
（2）①∵BE＝2EC＝4，
∴EC＝2，
∴BC＝6，
∴△ABC的面积＝×36＝9；
②如图，过点A作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF＝3，
∴EF＝1，AF＝BF＝3，
∴AE＝＝＝2，
∵S△ABE＝×AE×BH＝BE×AF，
∴BH＝＝，
∵△ACE≌△BAD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴∠BMH＝∠BAE+∠ABD＝∠CAE+∠BAE＝60°，
∴∠DBH＝30°，
∴BH＝MH，
∴MH＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．。