2021届天津市红桥区高三上学期1月期末考试数学试卷及解析
2021届天津市红桥区高三上学期期末考试数学试卷(解析版)
天津市红桥区2021届高三上学期期末考试数学试卷第I 卷注意事项：1.每小题选出『答案』后，用铅笔将答题卡上对应题目的『答案』标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他『答案』标号.2.本『答案』共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B . 如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()=P P AB P A B 球体表面积公式：24πS R =，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：34π3V R =球，其中R 表示球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}12358U =，，，，，集合{3,}A x x x U =<∈，{}2B =，则()U A B =（ ）A. {}2358，，，B. {}12，C. {}258，， D. {}123，， 『答案』A 『解析』因为{}U3,5,8A =，所以(){}U 2358A B ⋃=，，，.故选：A.2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =（ ） A.59 B.95C.8125D. 1『答案』D『解析』因为{}n a 为等差数列，所以1991559()25()2a a S a a S +=+539951559a a ==⨯=. 故选：D.3. 设0.44a =，0.4log 0.5b =，5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小是（ ） A. a b c >> B. b c a << C. b a c >>D. a b c <<『答案』A『解析』∵根据指数函数的性质可得：0.40441a =>=，由对数函数的性质可得：0.40.40log 0.5log 0.41b <=<=，44log 0.4log 10c =<=， ∴c b a <<. 故选：A.4. 设函数()()2221log (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()()0f f （ ）A. 0B. 3C. 1D.2『答案』C『解析』由题意得2(0)022f =+=，所以2((0))(2)log 21f f f ===，故选：C.5. 设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0x ∈+∞，时，()f x 是增函数，则()1f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A. ()()()13f f f π>->-B. ()()()31f f f π>->-C. ()()()31ff f π<-<-D. ()()()13ff f π<-<-『答案』B 『解析』()f x 是偶函数，()()11f f ∴-=，()()33f f -=，当[)0x ∈+∞，时，()f x 是增函数，且31π>>，()()()31f f f π∴>>， ()()()31f f f π∴>->-.故选：B.6. 设函数()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下列结论中错误的是（ ） A. ()f x 的一个周期为2π B. ()f x 的最大值为2 C. ()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D. 3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=『答案』D 『解析』()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个周期为221T ππ==，故A 正确；()f x 的最大值为2，故B 正确； 令322,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，263ππ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，72,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故C 正确；22sin33f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且252sin 2sin 0636πππ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：D.7. 已知抛物线2C y px =：(p 为常数)过点()13A ，，则抛物线C 的焦点到它的准线的距离是（ ）A.13B.16C. 3D.23『答案』B 『解析』抛物线过点()13A ，，3p ∴=， ∴抛物线的方程为213x y =，则焦点为10,12⎛⎫⎪⎝⎭，准线为112y =-， ∴焦点到它的准线的距离为16.故选：B.8. 双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，且123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 53B. 43C.D.『答案』A『解析』由双曲线定义可知122PF PF a -=，又123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=， 故2222121212()4994PF PF PF PF PF PF b ab a -=+-⋅=-=，整理得43b a =或13ba =-（舍）故离心率53e == 故选：A.9. 已知函数()2114log 11a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩，，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1142⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 『答案』C『解析』当1a >时，21()4f x ax x =--在1(,)2a-∞为减函数，()log 1a f x x =-在(1,)+∞为增函数，不符合题意；当01a <<时，可得()f x 在R 上为单调递减函数，所以011121114a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪--≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，故选：C.第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知a R ∈，且复数21a ii++是纯虚数，则a =________. 『答案』2-『解析』2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-， 又该复数为纯虚数故202a +=，2a =-， 故『答案』为：2-11. 251(2)x x-的展开式中4x 的系数为__________.（用数字作答）『答案』80 『解析』251(2)x x-的展开式的通项公式为510315(1)2r r r r r T C x --+=-，令1034r -=，求得2r，故展开式中4x 的系数为235280C =， 故『答案』为：80．12. 已知4sin 5A =，且322A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.『答案』2450+-『解析』因为4sin 5A =，且322A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos 5A ==-， 则4324sin 22sin cos 25525A A A ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2327cos 212sin 12525A A =-=-=-，因此2417sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225A A A πππ⎛⎫+=+=-⨯-= ⎪⎝⎭.故『答案』为：. 13. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .『答案』24『解析』设正方体的外接球的半径为R ,由：343R π=，解得：R =,设该正方体的边长为a ，根据223412a R ==解得2a =，所以正方体的表面积为：266424a =⨯=，所以『答案』为24.14. 若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且被直线3y x 截得的弦长为2，则该圆的标准方程是________________.『答案』22(1)3x y +-=『解析』因为24x y =的焦点为（0,1）， 所以所求圆的圆心为（0,1），设该圆半径为r ，则圆心（0,1）到直线30x y -+=的距离d =所以弦长=，解得23r =，故该圆的标准方程为：22(1)3x y +-=， 故『答案』为：22(1)3x y +-= 15. 下列四种说法：①命题“x ∃∈R ，使得213x x +>”的否定是“x ∀∈R ，都有213x x +≤”；②“2m =-”是“直线()210m x my +++＝与直线()()2230m x m y ++﹣﹣＝相互垂直”的必要不充分条件； ③过点（12，1）且与函数1y x =图象相切的直线方程是430x y +-=．④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出的两个球恰好是同色的概率是12. 其中正确说法的序号是_________．『答案』①④『解析』①中命题“∃x ∈R ，使得x 2+1＞3x ”为特称命题，其否定为全称命题，是“x R ∀∈，都有213x x +≤”，故①正确；②中2m =-时，两直线为：﹣2y +1＝0和﹣4x ﹣3＝0，两直线垂直， 而两直线垂直时，有()()()22+20m m m m +-+=，解得m ＝1或2m =-所以“2m =-”是“直线()210m x my +++＝与直线()()2230m x m y ++﹣﹣＝相互垂直”的充分不必要条件，故②错误； ③若过点（12，1）且与函数1y x =图象相切的直线方程是430x y +-=正确，设切点为P （x 0，y 0），则函数1y x=在P 点处的切线的斜率为 0201|4x x y x '==-=-， 解得012x =，所以切点为P 1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 但切点P 1,22⎛⎫⎪⎝⎭不在切线430x y +-=上，故③错误；④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出的两个球恰好是同色的概率2222144442P =⨯+⨯=，故④正确． 故『答案』为：①④．三、解答题：本大题共5个题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且=2a b tanA sinB． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若6a =,2b c =，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）由=tan 2sin a b A B 得cos sin 2sin a A bA B=sin sin a b A B =1cos 2A ∴= ()0,A π∈ 3A π∴=（Ⅱ）6a =，2b c = 2222cos a b c bc A ∴=+-整理可得2223642c c c =+-，解得c =11sin 22ABC S bc A ∆∴==⨯=17. 已知函数()321f x x ax bx +++＝，记f （x ）的导数为f ′（x ）．若曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为﹣3，且x ＝2时y ＝f （x ）有极值， （Ⅰ）求函数f （x ）的『解析』式；（Ⅱ）求函数f （x ）在[﹣1，1]上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）由题意得：f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，所以k =f ′（1）＝3+2a +b ＝﹣3，f ′（2）＝12+4a +b ＝0， 解得a ＝﹣3，b ＝0，所以f （x ）＝x 3﹣3x 2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f ′（x ）＝3x 2﹣6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2， 当﹣1＜x ＜0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（﹣1，0）是增函数，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，1）是减函数，所以f （x ）的极大值为f （0）＝1，又f （1）＝﹣1，f （﹣1）＝﹣3， 所以f （x ）在[﹣1，1]上的最大值为1，最小值为﹣3．18. 已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项的和为n S ，420k S =． （Ⅰ）求a 及k值；（Ⅱ）求12111...nS S S +++． 解：（Ⅰ）设该等差数列{}n a ，则1a a =，24a =，33a a =，由已知有324a a +=⨯，解得12a a ==，公差212d a a =-=， 将420k S =代入公式()112k k k S ka d -=+⋅，得()21420k k k +-=，即24200k k +-=，解得20k =（负值舍去） ∴2a =，20k =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到()()()112112n n n S na d n n n n n -=+⋅=+-=+ ，∴()111111n S n n n n ==-++， ∴则12111111111...1 (122311)n S S S n n n +++=-+-++-=-++． 19. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >且1336a a =，()34129a a a a +=+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若13n bn S +=，求数列{}n b 及数列{}n n a b 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由()34129a a a a +=+，可得()()212129a a q a a +=+，2q ＝9，由0n a >，可得q ＝3，由1336a a =，可得21136a a q =，可得12a =，可得()1*23n n a n N -=⨯∈；的（Ⅱ）由123n n a -=⨯，可得()()1121331113n n n n a q S q--===---，由13n bn S +=，可得3113n b n -+=，可得b n ＝n ， 可得{}n n a b 的通项公式：123n n n a b n -=⨯，可得：()011213233n n T n -=⨯+⨯++⨯①()123213233n n T n =⨯+⨯++⨯②①﹣②得：()10111332233332313n n nn n T n n --⎛⎫-⨯-=+++-⨯=⨯-⨯ ⎪-⎝⎭，可得()21312n nn T -+=. 20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过定点()02T ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得 2b ＝2，所以1b =，又因为c a =所以有：2223c a =，而222c a b =-， 解得23a =，即椭圆C 的方程为23x +y 2＝1．（Ⅱ）直线l 方程为y ＝kx +2，将其代入23x +y 2＝1，得（3k 2+1）x 2+12kx +9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴△＝（12k ）2﹣36（1+3k 2）＞0，解得k 2＞1， 由根与系数的关系，得x 1+x 2＝21213kk -+，x 1x 2＝2913k+ ∵∠AOB 为锐角， ∴OA ⋅OB ＞0， ∴x 1x 2+y 1y 2＞0，期末考试数学试题 11 ∴x 1x 2+（kx 1+2）（kx 2+2）＞0， ∴（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4＞0， 化简得2213313k k -+＞0，解得2133k <， 由21k >且2133k <，解得1133k ⎛⎫⎛∈--⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，．。
天津市红桥区2021届高三一模数学试题(含答案解析)
天津市红桥区2021届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．集合{}0A x x =>，{}2,1,0,2B =--，则()R A B =（ ） A ．{}0,2B ．{}2,1--C ．{}2,1,0--D ．{}22．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．函数sin 3xy x =+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．4．某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组，整理得到如下频率分布直方图，则成绩在[120,130)内的学生人数为（ ）A ．200B ．240C ．360D ．2805．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛6．已知函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线221x y a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是 A ．19 B ．125 C ．15 D ．138．已知函数()πππcos 22sin cos 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，R x ∈，给出下列四个命题：①函数()f x 的最大值为1； ①函数()f x 的最小正周期为π； ①函数()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；①将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的函数解析式为()sin 2g x x =． 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．已知函数()()20,01ln ,|4,1x f x x g x x x <≤⎧==⎨-⎩，若关于x 的方程()()f x m g x += 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．(-ln2，0 ]B ．[0，ln2]C ．(-2-ln2，0 ]D ．[0，2+ln2)二、填空题10．i 是虚数单位，则复数312ii-=+___________. 11．在81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 项的系数为__________．12．已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a ________．13．2021年是中国共产党成立100周年.现有A ，B 两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A 队中每人答对的概率均为13，B 队中3人答对的概率分别为23，23，13，且各答题人答题正确与否互不影响，若事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，则()P MN =___________.14．已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为__________． 15．在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为_____________________. 三、解答题16．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin B b A = （1）求角B 的大小；（2）若cos A =sin(2)A B -的值； （3）若2b =，2c a =，求边a 的值.17．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，CF =EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值.18．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -(I )求椭圆E 的方程；(II )经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ）， 问：直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．19．已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：2(1),1n n n S a n =+-． (1)求数列{n a }的前3项123,,a a a ； (2)求证：数列2(1)3n n a ⎧+⋅-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；(3)求数列(){}63n n a -⋅的前n 项和n T ． 20．已知函数()(ln 1)f x x x m =--，m R ∈.（1）若2m =，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程； （2）当1x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（3）若对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，求实数m 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】 先求出A R，再求交集即可.【详解】据题意(],0R A =-∞，所以()R A B ={}2,1,0-- 故选：C 2．B 【解析】 【详解】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的必要不充分条件考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件 3．C 【解析】 【详解】 函数y ＝3x＋sinx 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)＝3x ，f(x)＝－sinx 的图象，由图象可知函数y ＝3x＋sinx 只有一个零点0且当x>0时f(x)>0，①选C.4．B 【解析】 【分析】先求出成绩在[120，130）内的频率，由此能求出从成绩在[120，130）内的学生中抽取的人数. 【详解】从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取800名同学的试卷进行分析, 则从成绩在 [120,130) 内的学生中抽取的人数为：800[1⨯(0.0050.0100.0100.0150.025-++++0.005)10]240+⨯= 故选： B 5．B 【解析】 【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 6．B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间(0,)+∞上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，①函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，在该函数在区间(0,)+∞上为减函数， 1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在(0,)+∞上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2x y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7．A 【解析】 【分析】先根据抛物线定义求p ，再代人求m ，最后根据条件列方程，解得结果. 【详解】因为抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，所以15,82pp +==，即228104m m m =⨯⨯>∴=，因为(A 19a ==，选A. 【点睛】凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．即若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，则由定义易得0||2pPF x =+. 8．C 【解析】 【分析】先化简f (x )解析式.①求出函数最大值判断；①求出函数最小正周期判断；①根据正弦函数和复合函数单调性判断；①求出平移后的函数表达式． 【详解】()11cos 22sin 2cos 22cos 2222f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭1cos2sin 226x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 对于①，()f x 的最大值为1，所以①对； 对于①，()f x 的最小正周期为22ππ=，所以①对；对于①，[4x π∈-，2]2[463t x πππ⇒=-∈-，]3π，sin t 在2[3π-，]3π上不是单调函数， 所以()f x 在[4π-，]4π上不是单调函数，所以①错；对于①，将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到()sin(2())sin 212126y f x x x πππ=+=+-=，所以①对． 故选：C ． 9．A 【解析】 【分析】由()()f x m g x +=得到()()m f g x x =-，构造函数()()()F x g x f x =-，画出()f x 的图象，由此求得m 的取值范围. 【详解】由()()f x m g x +=得到()()m f g x x =-， 构造函数()()()F x g x f x =-，则()22ln ,014ln ,124ln ,2x x F x x x x x x x <≤⎧⎪=-+-<<⎨⎪--≥⎩，令()()2ln 1h x x x x x =-+-≥，()'120h x x x=--<，()h x 在[)1,+∞上递减， ()()13,2ln 2h h ==-.令()()24ln 2m x x x x =--≥，()()2'12120,x m x x m x x x-=-=>在[)2,+∞上递增， ()()2ln 2,1096ln103m m =-=->，由此画出()F x 的图象如下图所示，关于x 的方程()()f x m g x += 恰有三个不相等的实数解， 则(),y F x y m ==有三个交点，由图可知ln 20m -<≤. 故选：A10．1755i - 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化即可化简. 【详解】()()()()3123171212125i i i i i i i ----==++-1755i =- 11．56- 【解析】 【分析】写出81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式，计算含2x 项中r 的值，代入计算可得系数.【详解】解：81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为：()88218811rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当822r -=时，3r =，此时()338156C -=-. 故答案为：56-12．4【解析】【详解】试题分析：由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，根据直线与圆相交，所得弦长公式为AB =d =221,13d r ==-=，即3=，解得4a =考点：直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式AB =.由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式d .在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.13．227【解析】 【分析】事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式求出()P M ，利用相互独立事件概率乘法公式求出()P N ，由此相互独立事件概率乘法公式能求出()P MN ． 【详解】每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分， A 队中每人答对的概率均为13，B 队中3人答对的概率分别为23，23，13，且各答题人答题正确与否之间互不影响，事件M 表示“A 队得2分”，事件N 表示“B 队得1分”，2231()()()33922P M C ==，2121221111()3333333333P N =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，212()()()9327P MN P M P N ∴==⨯=．故答案为：22714．2【解析】 【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值. 【详解】22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 结合1x y +=可知原式311x y =++， 且()()13131311411221x y y x xy x y x y +++⎡⎤⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦1422⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当32x y ==-+.即2231x y x y +++最小值为2+ 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 15．2918【解析】 【详解】 因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.考点：向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.16．（1）3B π=；（2（3 【解析】（1sin B B =，结合三角形内角性质即可求角B . （2）由两角差、倍角公式展开sin(2)A B -，根据已知条件及（1）的结论即可求值. （3）根据余弦定理列方程即可求a 的值. 【详解】（1cos sin sin A B B A =，而A 为ABC 的内角，sin B B =，即tan B 0B π<<，可得3B π=，（2）2sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos cos (2cos 1)sin A B A B A B A A B A B -=-=--，①cos A 0A π<<，可得sin A =1cos ,sin 2B B ==①sin(2)A B -==（3）由余弦定理知：2222cos a c ac B b +-=，又2b =，2c a =，1cos 2B =，①234a =，可得a =17．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）取BC 中点G ，连接DG ，先证明ED ⊥平面ABCD ，然后以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DG 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，证明DF 垂直平面ABE 的一个法向量即可；（2）找出两个面的法向量，利用夹角公式计算即可. 【详解】（1）取BC 中点G ，连接DG .112BG BC ∴== //AD BC ，1AD =AD BG ∴∥，①四边形ABGD 为平行四边形//DG AB ∴ AD AB ⊥AD DG ∴⊥①平面EDCF ⊥平面ABCD四边形EDCF 为矩形ED DC ⊥，平面EDCF ⋂平面ABCD DC =ED ∴⊥平面ABCD如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DG 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(E ，(F -， (1,BE =--，(0,2,0)AB =设平面ABE 的一个法向量为(),,n x y z =，2020x y y ⎧--=⎪∴⎨=⎪⎩不妨设x =0y =，则1z =， ()3,0,1n =∴又(DF =-30DF n ∴⋅=-=DF n ∴⊥ 又DF ⊂/平面ABE//DF ∴平面ABE（2）(1,BE =--，(BF =- 设平面BEF 的一个法向量为()111,,m x y z =， 111112020x y x ⎧--=⎪∴⎨-=⎪⎩.不妨设1x =1y =14z =， ()23,4m =.设向量m 与n 的夹角为θ， 则cos m n m n θ⋅=⋅⋅cosθ===∴①平面ABE 与平面EFB 【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18．(1) 2212x y += (2)2【解析】 【详解】 （①）由题意知1c b a ==，综合222a b c =+，解得a =2212x y +=. （①）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得 22(12)4(1)2(2)0+--+-=k x k k x k k ，由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠ 则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和 121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+ 121212112(2)2(2)x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题. 19．(1)1231,0,2a a a ===； (2)证明见解析；(3)()()3232,22323,n n nn n n T n n n ⎧+-⋅-⎪=⎨+-⋅+⎪⎩为偶数为奇数. 【解析】 【分析】(1)根据2(1),1n n n S a n =+-，令n ＝1，2，3即可求出前三项； (2)利用n a 与n S 的关系得到{n a }的递推公式，从而可以证明1122(1)[(1)]33n n n n a k a --+-=+-，其中k 为常数；(3)根据(2)求出n a ，从而求出()63n n a -⋅，根据通项公式的特征，分n 为奇数和偶数两种情况进行求和，求和时采用分组求和法与错误相减法. (1)当1n =时，有：()1111211S a a a ==+-=⇒；当2n =时，有：2212222(1)0S a a a a =+=+-⇒=；当3n =时，有：33123332(1)2S a a a a a =++=+-⇒=；综上可知1231,0,2a a a ===； (2)由已知得：2n ≥时，1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----，化简得：1122(1)n n n a a --=+-上式可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+-故数列{2(1)3n n a +-}是以1121(1)33a +-=为首项，公比为2的等比数列.(3)由（2）知121(1)233n n n a -+-=⨯，①1122(1)33n nn a -=⨯-⨯-，①()()()()()()116321221=2122121n nn n n n a n n n --⎡⎤-⋅=--⋅--⋅-⋅-⋅-⎣⎦当n 为偶数时，n T =()()()011123221221352321n n n n -⎡⎤⎡⎤⨯+⨯++-⨯--+-+--+-⎣⎦⎣⎦令()0111232212n n A n -=⨯+⨯++-⨯，()()21352321n B n n ⎡⎤=-+-+--+-⎣⎦()()01221123252232212n n n A n n --=⨯+⨯+⨯+-⨯++-⨯①()()12121232232212n n n A n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯①则①-①得()01212222222212n n n A n --=+⨯+⨯+⨯--⨯()()12112222212n n n -=+++--⨯()()12121221212n n n --=+⨯--⨯-()3322n n =-+-⨯，①()3232nn A n =+-⨯，()()21352321n B n n ⎡⎤=-+-+--+-⎣⎦=22nn ⨯=， 所以()3232nn n n T A B n n =-=+-⨯-. 当n 为奇数时，()3232nn A n =+-⨯，()()()121352523212212n n B n n n n -⎡⎤⎡⎤=-+-+--+---=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦31n =-+， 所以()22323nn n n T A B n n =-=+-⨯+. 综上，()()3232,22323,nn nn n n T n n n ⎧+-⋅-⎪=⎨+-⋅+⎪⎩为偶数为奇数.20．（1）0x y e ++=；（2）单调减区间是()1,m e ，单调增区间是(),me +∞，极小值为m e -，无极大值；（3）281,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）求导，代值，算出斜率即可求出切线方程；（2）分0m ≤和0m >讨论导函数的符号，研究单调性，从而得到极值；（3）问题转化为(4)ln (1)0x x m x --+<对于2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，再分离变量研究函数的最值即可. 【详解】（1）()(ln 3)f x x x =-，()2f e e =-1()ln 3ln 2f x x x x x'=⋅+-=-，则()1k f e '==-所以()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为()2y e x e +=-- 即0x y e ++=（2）因为()()()ln 1f x x m x m =--∈R ，所以0x >，()1ln 1ln f x x x m x m x'=⋅+--=-①当0m ≤时，因为1x >，所以()ln 0f x x m '=->， 函数()f x 的单调增区间是(1,)+∞，无单调减区间，无极值 ①当0m >时，令ln 0x m -=，解得m x e =， 当1m x e <<时，()0f x '<；当m x e >，()0f x '>，所以函数()f x 的单调减区间是()1,m e ，单调增区间是(),me +∞， 在区间(1,)+∞上的极小值为()(1)m m mf e m m e e =--=-，无极大值.综上，当0m ≤时，函数()f x 的单调增区间是(1,)+∞，无单调减区间，无极值当0m >时，函数()f x 的单调减区间是()1,m e ，单调增区间是(),me +∞，极小值为m e -，无极大值.（3）因为对于任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，都有()4ln f x x <成立，所以()4ln 0f x x -<， 即问题转化为(4)ln (1)0x x m x --+<对于2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即(4)ln 1x xm x-+>对于2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立， 令(4)ln ()x xg x x-=，则24ln 4()x x g x x +-'=，令()4ln 4t x x x =+-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则4()10t x x'=+>， 所以()t x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，故min ()()440t x t e e e ==-+=>，进而()0g x '>，所以()g x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，函数()2max 2)8(2e g x g e ==-， 要使(4)ln 1x xm x-+>对于2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，只要max 1()m g x +>， 所以2812e m +>-，即实数m 的取值范围是281,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题，常用的方法是通过分离变量转化为函数的最值问题.。
天津市部分区2020～2021 学年度第一学期期末练习 高三数学参考答案与评分标准
=
4 5
2
2
5 5
……………………………………14
分
设平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角为 ，因为 0＜＜
所以 sin=
1 cos2
n, AB
5
5
故所求平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角的正弦值为 5 . 5
18.解：（1）由题意，知 3Sn an 1， n N* ， ①
…………15 分
所以 Tn
1 2
1 1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
3 4
1 2
1 n 1
n
1
2
.
………………………………………………13 分
因为 n N* ，
所以
1 2
n
1 1
n
1
2
0
，
所以 Tn
3 4
.
……………………………………………………………………15 分
，又
BAC
90
，
以点 A 为坐标原点，分别以 AC, AB, AD 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立
空间直角坐标系 A xyz .
……………………………………………………6 分
则 A0,0,0 ， B0, 2,0 ， C 1,0,0 ， D0,0, 2 .
因为
E
,
F
分别为
AB,
CB
线方程为 x 3 ，
则 P
3,0 , E
3, 3 , F
3,
3
，所以
PE
2021-2022学年天津市南开中学高三(上)第一次月考数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．13205．（5分）函数222()cos x x f x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = ． 11．（5分）62)x展开式中，常数项是 ．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 ．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 ．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =若12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 ． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F ，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-．2021-2022学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==-， 所以{1AB =-，0，1}，故选：A ．2．（5分）“22m n <”是“lnm lnn <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：lnm lnn <，则0m n <<，故22m n <， 反之，22m n <，得||||m n <，推不出lnm lnn <， 故“22m n <”是“lnm lnn <”的必要不充分条件． 故选：B ．3．（5分）下列函数中，在定义域上单调递增且为奇函数的是( ) A ．1()f x x=B ．()sin f x x =C ．()cos f x x x =D ．()sin f x x x =+【解答】解，根据题意，依次分析选项： 对于A ，1()f x x=，是反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意， 对于C ，()cos f x x x =，有(0)()02f f π==，在其定义域上不是增函数，不符合题意，对于D ，()sin f x x x =+，其定义域为R ，有()sin ()f x x x f x -=--=-，()f x 为奇函数，且()1cos 0f x x '=+，在R 上为增函数，符合题意， 故选：D ．4．（5分）某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，并绘制了频率分布直方图（如图），那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A ．360B ．600C ．840D ．1320【解答】解：由直方图可知，高度小于100cm 的树苗所占的频率为(0.0020.0060.012)100.2++⨯=所以在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是30000.2600⨯=， 故选：B ．5．（5分）函数222()cos x xf x x x --=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：222()cos x x f x x x --=+，222()0cos f πππππ--∴=>+，222()0cos()()f πππππ---=<-+-， ∴选项B 符合，其它选项不符合．故选：B ．6．（5分）已知121()3a =，121log 3b =，31log 2c =，则( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【解答】解：12132111(),log ,log 332a b c ===，102110()()133a ∴<=<=，112211132b log log =>=，331102c c log log ==<=， b a c ∴>>．故选：C ．7．（5分）设函数()1||xf x x =+，则下列结论中错误的是( ) A ．()y f x =的图象关于点(1,1)-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点【解答】解：根据题意，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，依次分析选项： 对于A ，()1||x f x x =+，(0)0f =，2(2)3f -=-，(0，(0))f 与(2-，(2))f -不关于(1,1)-对称，A 错误；对于B ，,01()1||,01xx x xf x xx x x⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，在R 上为增函数，B 正确； 对于C ，,01()1||,01xx x xf x xx x x ⎧⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩，当0x 时，0()1f x <，同理0x <时，有1()0f x -<<， 综合可得：1()1f x -<<，即函数的值域为(1,1)-，C 正确； 对于D ，()0f x x -=即1||xx x =+，只有一解，即0x =，即函数()()g x f x x =-有且只有一个零点，D 正确； 故选：A ．8．（5分）以下区间为函数()||2||f x ln x =-的一个单调递增区间的是( ) A ．(3,2)--B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，可得函数的一个单增区间为(1,2)， 故选：B ．9．（5分）已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围( ) A ．(4,2)--B ．(4,22)--C ．(3,2)--D ．(3,22)--【解答】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x -⎧>=⎨--+⎩，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t且1t ，2(1,2)t ∈．可得2228011203222220122b b b b b ⎧=->⎪+⋅+>⎪⎪⇒-<<-⎨+⋅+>⎪⎪<-<⎪⎩． 故选：D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．（5分）若复数z 满足(1)12(i z i i -=+虚数单位），则||z = 10． 【解答】解：由(1)12i z i -=+， 得12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， 所以22(1)310||z -+== 10． 11．（5分）62()x x展开式中，常数项是 60 ．【解答】解：62()x x-展开式的通项为33621662()()(2)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-令3302r-=得2r =故展开式的常数项为2236(2)60T C =-= 故答案为60．12．（5分）若函数13(1)2,1(),1a x a x f x log x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域是R ，则实数a 的取值范围是 [1-，1) ．【解答】解：当1x >时，13()f x log x =，此时值域为(,0)-∞，依题意，当1x 时，[0，)()f x +∞⊆，显然10a -≠，即1a ≠，①若10a ->，即1a >时，()(1)2f x a x a =--单调递增，此时值域为(-∞，1]a --，不可能满足[0，)()f x +∞⊆，舍去；②若10a -<，即1a <时，()(1)2f x a x a =--单调递减，此时值域为[1a --，)+∞，则需10a --，1a -，故此时11a -<．综上，实数a 的取值范围为[1-，1)． 故答案为：[1-，1)．13．（5分）已知a ，b 是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 9 ． 【解答】解：a ，b 是正数，且323ab a b ab =+++，31)0ab ∴--=，∴3ab ，9ab ∴，故ab 的最小值为9，故答案为：9．14．（5分）已知()x f x e =，()g x =12()()f x g x =，21||d x x =-，则d 的最小值为 122ln - ． 【解答】解：设12()()(0)f x gx t t ==>，则1,x e t t ==，∴212,4t x lnt x ==，∴2||4t d lnt =-，设2()4t ht lnt =-，则1(()22t t t h t t t +'=-=，易知函数()h t在单调递减，在)+∞单调递增，且0t →时，()h t →+∞，t →+∞时，()h t →+∞，122ln h -=， ∴12|()|2min ln h t -=，即d 的最小值为122ln -．故答案为：122ln -． 15．（5分）设函数1|2|||,02()1|(2)()|,02x x x f x x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，则函数1()2y f x x =-+的零点个数为 1个 ；若1()2g x kx =-，且函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则实数k 的取值范围是 ．【解答】解：函数1()2y f x x =-+的零点个数等价于1()2f x x =-的解的个数， 又方程1()2f x x =-的解的个数等价于函数()y f x =与12y x =-的交点个数， 又52,2231,22251()2,0221(2)(),02x x x f x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪<⎪⎪=⎨-<⎪⎪⎪++⎪<⎪⎩，作出函数的图象如图所示，函数12y x =-与函数()y f x =只有一个交点， 故第一个空应填1个，函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点，则()()f x g x =有偶数个解， 即()y f x =与()y g x =有偶数个交点，根据图象知12k <<时有2个交点， 当122x --时，设1(2)()2y x x =-++在0x x =处的切线过点1(0,)2-， 由1(2)()2y x x =-++，可得522y x '=--，所以切线斜率为005|22x x y x ='=-，所以函数在0x x =处的切线方程为000015(2)()(2)()22y x x x x x +++=--，又切线过点1(0,)2-，所以0000115(2)()(2)(0)222x x x x -+++=--，解得0x =，此时52k ，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数， ()g x 过点1(2-，0)时，512k =->，()y f x =与()y g x =有3个交点，不是偶数，()g x 过点(2,0)-时，14k =-，()y f x =与()y g x =有1个交点，不是偶数，所以函数()()()F x f x g x =-有偶数个零点时k 的取值范围为(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．故答案为：1；(-∞，552)(222--⋃，1)(1--⋃，1)4-．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（14分）求下列关于x 的不等式的解集： （Ⅰ）211xx --； （Ⅱ）2(21)20()ax a x a R +--<∈． 【解答】解：（Ⅰ）不等式211x x --，即2301x x --，即(23)(1)0x x --，且10x -≠， 求得1x <，或32x，故不等式的解集为3(,1)[2-∞，)+∞． （Ⅱ）对于不等式2(21)20()ax a x a R +--<∈，当0a =时，不等式即20x --<， 故它的解集为(2,)-+∞．由于当0a ≠时，2(21)20ax a x +--=的根为2-和1a， 当0a >时，12a >-，求得不等式2(21)20ax a x +--<的解集为1(2,)a-， 当0a <时，若12a =-，不等式即2(2)0x +<，它的解集为∅；若102a -<<，12a <-，不等式的解集1(a ，2)-；若12a <-，12a >-，不等式的解集1(2,)a-．综上，当0a =时，它的解集为(2,)-+∞；当12a =-时，它的解集为∅；当0a >，或12a <-时，它的解集为1(2,)a -，当102a -<< 时，它的解集1(a，2)-．17．（15分）设函数2(1)()(0,1)x xa t f x a a a --=>≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点3(1,)2．（Ⅰ）求t 和a 的值；（Ⅱ）若x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m ，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）因为()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以(0)0f =，即1(1)01t --=，解得2t =， 经检验，当2t =时符合题意， 所以()x x f x a a -=-， 又()y f x =的图象过点3(1,)2，则132a a --=，解得2a =或12a =-， 又0a >且1a ≠， 所以2a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，()22x x f x -=-， 因为x R ∀∈，2()(1)0f kx x f x -+-<， 即2()(1)f kx x f x -<--对x R ∀∈恒成立， 因为()f x 为奇函数，则2()(1)f kx x f x -<-对x R ∀∈恒成立， 又()22x x f x -=-为R 上的单调递增函数， 所以21kx x x -<-对x R ∀∈恒成立，即2(1)10x k x -++>对x R ∀∈恒成立， 则△2(1)40k =+-<，解得31k -<<， 所以实数k 的取值范围为(3,1)-；（Ⅲ）由题意2222()22()22(22)x x x x x x g x mf x m ---=+-=+--， 令22x x t -=-，则222(22)222x x x x ---=+-， 所以22222(22)2x x x x m t mt --+--=-+， 因为[1x ∈，2log 3]， 所以38[,]23t ∈，记函数2()2h t t mt =-+，则函数()h t 在38[,]23上有最大值1，①若对称轴25212m t =>， 则3173()()1242max h t h m ==-=，解得136m =（舍)；②当对称轴25212m t =， 则252128()()3maxm h t h ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2567324m m ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以7324m =． 综上所述，存在实数7324，使函数22()22()x x g x mf x -=+-在区间[1，2log 3]上的最大值为1． 18．（15分）如图，P ABCD -是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AB CD ，1PD AD AB ===，2CD =，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，12PF FB =． （Ⅰ）证明：直线//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接AG ，GE ， 因为G ，E 分别为PD ，PC 的中点， 则//GE DC ，12GE DC =， 又//AB DC ，12AB DC =， 所以//GE AB 且GE AB =， 故四边形AGEB 为平行四边形， 所以//BE AG ，又BE ⊂/平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以//BE 平面PAD ；（Ⅱ）解：因为PD ⊥平面ABCD ，且AD ，DC ⊂平面ABCD ， 则PD AD ⊥，PD DC ⊥，又AD CD ⊥，故以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 所以1(1,1,0),(0,1,),(0,0,0),(0,0,1)2B E D P ，则1(1,0,),(0,0,1),(1,1,0)2BE DP DB =-==，1(0,1,)2DE =，设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =， 则0m DP z m DB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1x =，则1y =-， 故(1,1,0)m =-， 所以||10|cos ,|||||1101104BE m BE m BE m ⋅<>===++⨯++ 所以直线BE 与平面PBD 10； （Ⅲ）解：因为12PF FB =，则12PF FB =，所以1()2DF DP DB DF -=-，故2121112(0,0,1)(1,1,0)(,,)3333333DF DP DB =+=+=，设平面DEF 的法向量为(,,)n a b c =， 则1120333102n DF a b c n DE b c ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令2c =，则1b =-，3a =-， 故(3,1,2)n =--，又平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)s =， 所以||214|cos ,|||||7914001n s n s n s ⋅<>===++⨯++， 故平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为147．19．（15分）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为F，3，过点F 且与x 轴43． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆E 交于点C ，D 两点，且527AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．【解答】解：（1）设(,0)F c -，由c a =，知a =． 过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得y ==，解得b ，又222a c b -=，从而a =1c =，所以椭圆的方程为22132x y +=．（2）设点1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+， 联立直线方程和椭圆方程，消去y ，整理得2222(23)636k x k x k +++-．求解可得2122623k x x k +=-+，21223623k x x k -=+．因为(A 0)，B ，0)，所以11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ⋅+⋅=+⋅-+⋅- 212121212622622(1)(1)x x y y x x k x x =--=--++2222121222126(22)2()2623k k x x k x x k k +=-+-+-=++， 由已知得22212526237k k ++=+，解得2k =±． 20．（16分）已知函数21()(1)2x f x x ax x a e -=-+-+，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若(0,1)a ∈，设()()(0)g x f x f =-，（ⅰ）证明：函数()g x 在区间(0,)+∞内有唯一的一个零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为0x ，证明：当0(0,)x x ∈时，11x xe a<+-． 【解答】（Ⅰ）解：2?1()?(?1)()2x f x x ax x a e a R =++∈， 则1()??(?)(x x x x a e f x x a x a e e--'==)，若0a =，则当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a >，则当0x <时，()0f x '>，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 所以()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增；若0a <，则当x a <时，()0f x '>，当0a x <<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增． 综上所述，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增； 当0a <时，()f x 在(,)a -∞单调递增，在(,0)a 单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）()i 证明：由（1）可知，当01a <<时，()g x 在(0，}a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，所以g （a ）(0)0g <=， 又21(22)(22)?(22)(3)?(22)?(1?)31(3)?(22)3102g a a a a a c a a a a c a a +=+++++=+++++>，所以()g x 存在唯一正零点0(,22)x a a ∈+， 故()g x 有唯一正零点； （ⅱ）证明：设()??11x xh x e a=-， 则1()?1x h x e a'=-， 当0(1)x ln a <<--时，()0h x '<， 当(1)x ln a >--时，()0h x '>，所以()h x 在(0，(1))ln a --上单调递减，在((1)ln a --，)+∞上单调递增， 又因为(0)0h =，所以要证明0(0,)x x ∀∈，11x xe a<+-， 只需要证明0()0h x ， 即证_0011x x e a +-，即证0011?x x aa e+-， 因为0()(0)f x f =，即020001?1?2x x x aax a e +-+=，所以只需证02000011?2x x x x ax aax ee +-+-+，即证02x a ， 因为()f x 在(,)a +∞单调递增， 所以只需证明0()(2)f x f a ， 因为0()(0)f x f =， 所以只需证明(2)(0)f a f ，因为21(2)?(0)?(1?)a a f a f a e+=， 设r （a ）21?1(1)aa a e +=-，则r '（a ）22220(1)aa a e =>-，所以r （a ）在(0,1)上单调递增， 所以r （a ）(0)0r >=， 所以(2)(0)f a f >， 所以原不等式得证．。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（ ） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，， 【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解 【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð， 故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--， 若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>， 因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解 【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数， 所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-， 得2m =-， 故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（ ） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>， 则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立． 令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-， 令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0， 故0a ≤，即实数a 的最大值为0． 故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增， 所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <， 要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12． 如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-， 则()2122f x x x =-+． 如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <， 所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1． 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令99090x -=，则20x =（立方米）， 故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______． 【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-， 则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数， 则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-， 又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ， 所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>， 则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+， 当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得； （2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==， 因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②， 由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ， 所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =， 经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根， 即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增， 且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤， 解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可； （2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=． 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=， 所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意． 当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立． 综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数． 【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x． 设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增； 所以，当1x >时，min [()]==g x g a ， 因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ， 故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ， 所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ， 则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数． 又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号． 因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ， 结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x， 所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ． 由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ． 因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
天津市红桥区2021届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
天津市红桥区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8题，共40分）1．设复数z1=l+2i，z2=l﹣ai，若z1•z2为实数，则实数a=( )A．0 B．1 C．2 D．32．已知变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值( )A．﹣2 B．2 C．4 D．83．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是( )A ．B．2 C ．﹣D．﹣24．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为( )A ．B ．C ．D ．5．设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象的一条对称轴是直线x=，则f（x）的单调递增区间是( )A．（﹣）k∈Z B．（﹣）k∈Z C．（）k∈Z D．（﹣）k∈Z6．下列四个命题中正确的命题是( )A．“x＞2”是“x＞1”的必要不充分条件B．“log2a＞log2b”是“a＞b”必要不充分条件C．“a≥0”是“a2≤a”的必要不充分条件D．“log2x＜0”是“（）x﹣1＞1”的必要不充分条件7．已知直线C1：（t为参数）与圆C2：ρ=2交于A、B两点，当|AB|最小时，a的取值为( ) A．4 B．2 C．1 D．﹣18．如图，在平行四边形ABCD中，已知||=4，||=2，=，∠DAB=60°，则•=( )A．11 B．5 C．﹣1 D．﹣3二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．某高中校共有同学1000名，各班级男女同学人数如下表，已知在全校同学中随机抽取1名，抽到2022-2021学年高二男生的概率是0.16．2022-2021学年高一班级2022-2021学年高二班级2021届高三班级女生162 140 Y男生163 X 184现用分层抽样的方法，在全校抽取40名同学，则应在2021届高三班级抽取的同学人数为__________．10．不等式|x﹣1|+|x+1|≤3的解集为__________．11．开放式中的常数项为__________．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．13．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB=BC=3．AC的长为__________．14．定义某种运算⊗，a⊗b=，设f（x）=（0⊗x）x﹣（3⊗x），则f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，△ABC的面积为．（Ⅰ）cosA和边a；（Ⅱ）sin（A+B）．16．甲、乙两队参与奥运学问竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一大事，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一大事，求P（AB）．17．在等比数列{a n}中，n∈N*，公比0＜q＜1，且a1+a4=9，又a1与a4的等比中项为2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=4﹣log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式（Ⅲ）设T n=++…+，求T n．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB的夹角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC与面BMC夹角的余弦值．19．已知椭圆C：已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点A（a，0）和B（0，b）的直线为l，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作斜率为k的直线方程与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，假如g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．天津市红桥区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8题，共40分）1．设复数z1=l+2i，z2=l﹣ai，若z1•z2为实数，则实数a=( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则化简，通过复数的虚部为0，即可得到a的值．解答：解：复数z1=l+2i，z2=l﹣ai，若z1•z2=（1+2i）（1﹣ai）=1+2a+（2﹣a）i，由于复数是实数，所以2﹣a=0，可得a=2．故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念．2．已知变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值( )A．﹣2 B．2 C．4 D．8考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移即可得到结论．解答：解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由平移可知当直线y=x﹣z，经过点A时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即A（5，﹣3）代入z=x﹣y得z=5﹣（﹣3）=8，即z=x﹣y的最大值是8，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是( )A ．B．2 C ．﹣D．﹣2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，观看规律可知S的取值以4为周期，当i=2022，不满足条件i≤2021，退出循环，输出S 的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=2，i=1，满足条件i≤2021，S=﹣3，i=2，满足条件i≤2021，S=﹣，i=3，满足条件i≤2021，S=，i=4，满足条件i≤2021，S=2，i=5，满足条件i≤2021，S=﹣3，…观看规律可知，S的取值以4为周期，由于：2021=4×503+3，i=2021，满足条件i≤2021，S=，i=2022，不满足条件i≤2021，退出循环，输出S 的值为．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，观看规律得S的取值以4为周期是解题的关键，属于基本学问的考查．4．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为( )A ．B ．C ．D ．考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中查找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b依据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；∴e====．故选：D．点评：本题主要考查三角与双曲线的相关学问点，突出了对计算力量和综合运用学问力量的考查，属中档题．5．设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）的图象的一条对称轴是直线x=，则f（x）的单调递增区间是( )A．（﹣）k∈Z B．（﹣）k∈ZC．（）k∈Z D．（﹣）k∈Z考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由对称性可得φ=，进而可得f（x）=sin（2x+），解不等式2kπ﹣＜2x+＜2kπ+可得答案．解答：解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）的图象的一条对称轴是直线x=，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2kπ﹣＜2x+＜2kπ+可得kπ﹣＜x＜kπ+∴f（x）的单调递增区间为：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）故选：A点评：本题考查三角函数的单调性，涉及对称性和不等式的解法，属基础题．6．下列四个命题中正确的命题是( )A．“x＞2”是“x＞1”的必要不充分条件B．“log2a＞log2b”是“a＞b”必要不充分条件C．“a≥0”是“a2≤a”的必要不充分条件D．“log2x＜0”是“（）x﹣1＞1”的必要不充分条件考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：A．“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件，即可推断出正误；B．“log2a＞log2b”⇒“a＞b”，反之不成立，即可推断出正误；C．由a2≤a，解得0≤a≤1，即可推断出正误；D．由“log2x＜0”解得0＜x＜1，可得（）x﹣1＞1，反之不成立，即可推断出正误．解答：解：A．“x＞2”是“x＞1”的充分不必要条件，因此不正确B．“log2a＞log2b”⇒“a＞b”，反之不成立，因此“log2a＞log2b”是“a＞b”充分不必要条件，故不正确；C．由a2≤a，解得0≤a≤1，∴“a≥0”是“a2≤a”的必要不充分条件，正确；D．由“log2x＜0”解得0＜x＜1，∴﹣1＜x﹣1＜0，∴（）x﹣1＞1，反之不成立，因此“log2x＜0”是“（）x﹣1＞1”的充分不必要条件，因此不正确．故选：C．点评：本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理力量，属于基础题．7．已知直线C1：（t为参数）与圆C2：ρ=2交于A、B两点，当|AB|最小时，a的取值为( ) A．4 B．2 C．1 D．﹣1考点：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：圆C2：ρ=2化为直角坐标方程为：x2+y2=4．把直线C1：，化为一般方程为：y+1=a（x+1），由于直线C1过定点P（﹣1，﹣1）在圆的内部，因此当OP⊥AB时，|AB|取得最小值．利用k AB•k OP=﹣1，即可得出．解答：解：圆C2：ρ=2化为直角坐标方程为：x2+y2=4．把直线C1：，化为一般方程为：y+1=a（x+1），由于直线C1过定点P（﹣1，﹣1）在圆的内部，因此当OP⊥AB时，|AB|取得最小值．∴k AB•k OP=﹣1，∴a•1=﹣1，解得a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了直线与圆的相交弦长问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理力量与计算力量，属于基础题．8．如图，在平行四边形ABCD中，已知||=4，||=2，=，∠DAB=60°，则•=( )A．11 B．5 C．﹣1 D．﹣3考点：平面对量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：平面对量及应用．分析：利用三角形法则将•=（）（），然后开放利用平行四边形的边对应的向量矩形运算．解答：解：由于四边形为平行四边形，所以，，•=（）（）==++﹣=4++=4﹣3+1﹣3=﹣1，故选：C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及向量的数量积运算；关键是将所求利用三角形法则转化为平行四边形的边对应的向量的运算；留意向量的夹角．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．某高中校共有同学1000名，各班级男女同学人数如下表，已知在全校同学中随机抽取1名，抽到2022-2021学年高二男生的概率是0.16．2022-2021学年高一班级2022-2021学年高二班级2021届高三班级女生162 140 Y男生163 X 184现用分层抽样的方法，在全校抽取40名同学，则应在2021届高三班级抽取的同学人数为15．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：依据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：∵在全校同学中随机抽取1名，抽到2022-2021学年高二男生的概率是0.16，∴2022-2021学年高二男生的人数为1000×0.16=160人，即X=160，则2021届高三人数为1000﹣162﹣163﹣140﹣160=375，则在全校抽取40名同学，则应在2021届高三班级抽取的同学人数为，故答案为：15．点评：本题主要考查分层抽样的应用，依据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．10．不等式|x﹣1|+|x+1|≤3的解集为[﹣，]．考点：确定值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件依据确定值的意义求得不等式的解集．解答：解：由确定值的意义可得|x﹣1+|x+|表示数轴上的x对应点到﹣1距离和到1对应点的距离之和，而﹣1，1对应点的距离为2，故不等式|x﹣1|+|x+1|≤3的解集为[﹣，]，故答案为：[﹣，]．点评：本题主要考查确定值的意义，确定值不等式的解法，属于基础题．11．开放式中的常数项为﹣220．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：在二项开放式的通项公式中令x的次数为0，即可求得开放式中的常数项．解答：解：=，由得r=9，∴T10=﹣C123=﹣220．故答案为：﹣220．点评：本题考查二项开放式的通项公式的应用，重点考查同学理解转化及应用公式的力量，属于中档题．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：依据三视图知几何体是正方体削去一个角，画出其直观图，把数据代入正方体与棱锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是正方体削去一个角，如图：∴几何体的体积V=23﹣××1×2×2=8﹣=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题关键是推断几何体的外形及数据所对应的几何量．13．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB=BC=3．AC的长为．考点：弦切角．专题：计算题；压轴题．分析：由切线CD的长，及AB的长，故可用切割线定理，求出DB的长，分析图中各线段之间的关系，易得△DBC∽△DCA，然后依据三角形相像的性质，不难得到线段对应成比例，由此不难得到线段AC的长．解答：解：由切割线定理得：DB•DA=DC2，即DB（DB+BA）=DC2，DB2+3DB﹣28=0，得DB=4．∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA，∴，AC==则答案为：点评：本题是考查同学们推理力量、规律思维力量的好资料，题目以证明题为主，特殊是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们留意娴熟把握：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．14．定义某种运算⊗，a⊗b=，设f（x）=（0⊗x）x﹣（3⊗x），则f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值﹣12．考点：函数的最值及其几何意义．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由定义可知0⊗x=，3⊗x=；从而化简f（x）=，从而争辩求最小值．解答：解：∵a⊗b=，∴0⊗x=，3⊗x=；故f（x）=（0⊗x）x﹣（3⊗x）=，故当x∈[﹣3，0]时，f min（x）=f（﹣3）=﹣12；当x∈（0，3]时，f min（x）=f（3）=﹣3；故f（x）在区间|﹣3，3|上的最小值为﹣12；故答案为：﹣12．点评：本题考查了同学对新定义的接受与转化力量，同时考查了分段函数的最值问题，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，△ABC 的面积为．（Ⅰ）cosA和边a；（Ⅱ）sin（A+B）．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由已知及三角形面积公式可得=bcsinA=××sinA，可解得sinA，由同角三角函数关系式即可求cosA，由余弦定理可解得a的值．（Ⅱ）由正弦定理可得sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=，从而得解．解答：解：（Ⅰ）∵c=，b=，△ABC 的面积=bcsinA=××sinA，可解得：sinA=，∴cosA=±=±，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=8±4=4，从而解得：a=2或2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC==或．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，余弦定理，同角三角函数关系式的综合应用，属于基本学问的考查．16．甲、乙两队参与奥运学问竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一大事，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一大事，求P（AB）．考点：离散型随机变量及其分布列；互斥大事的概率加法公式．专题：计算题．分析：（1）由题意甲队中每人答对的概率均为，故可看作独立重复试验，故，（2）AB为“甲、乙两个队总得分之和等于3”和“甲队总得分大于乙队总得分”同时满足，有两种状况：“甲得乙得”和“甲得乙得0分”这两个大事互斥，分别求概率，再取和即可．解答：解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以ξ的分布列为ξ的数学期望为．解法二：依据题设可知，，因此ξ的分布列为，k=0，1，2，3．由于，所以．（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得乙得”这一大事，用D表示“甲得乙得0分”这一大事，所以AB=C∪D，且C，D 互斥，又=，，由互斥大事的概率公式得．解法二：用A k表示“甲队得k分”这一大事，用B k表示“乙队得k分”这一大事，k=0，1，2，3．由于大事A3B0，A2B1为互斥大事，故有P（AB）=P（A3B0∪A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）．由题设可知，大事A3与B0独立，大事A2与B1独立，因此P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）=．点评：本题考查独立重复试验、二项分布、期望、及互斥大事、独立大事的概率问题，同时考查利用概率学问分析问题解决问题的力量．在求解过程中，留意P（AB）=P（A）P（B）只有在A和B独立时才成立．17．在等比数列{a n}中，n∈N*，公比0＜q＜1，且a1+a4=9，又a1与a4的等比中项为2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=4﹣log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式（Ⅲ）设T n =++…+，求T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）l利用等比数列的通项公式即可解出q，a1，可得a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而b n=4﹣log2a n=n，利用等差数列的前n项和公式即得S n；（Ⅲ）由（II ）知，=，利用“裂项求和”即可得出T n．解答：解：（Ⅰ）∵a1+a4=9，a1与a4的等比中项为2，∴，又公比0＜q＜1，解得，∴8q3=1，解得q=．∴a n ==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而b n=4﹣log2a n=4﹣=n，∴S n =；（Ⅲ）由（II ）知，=，则T n =++…+==．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB的夹角的余弦值；（Ⅲ）求面AMC与面BMC夹角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：建立空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、M，的坐标（Ⅰ）通过证明AP⊥DC．利用AD⊥DC，证明DC⊥面PAD．然后证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求出与公式yg6d向量，即可利用cos =，求AC与PB的夹角的余弦值；（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，求出．说明∠ANM为所求二面角的平面角．利用cos ==，即可求面AMC与面BMC夹角的余弦值．解答：解：以A为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为．（Ⅰ）证明：因，，所以，所以AP⊥DC．由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：因，故，，，所以cos ==．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，=（1﹣x，1﹣y，y﹣z），=（1，0，﹣），∴x=1﹣λ，y=1，z=，要使AN⊥MC ，只需，即x ﹣z=0，解得．可知当时，N 点的坐标（），能使，此时，有．由，得AN⊥MC，BN⊥MC，所以∠ANM为所求二面角的平面角．∵，，∴cos ==所以所求面AMC与面BMC 夹角的余弦值为．点评：本题考查平面与平面垂直，直线与直线所成的角，平面与平面的二面角的求法，考查空间想象力量，计算力量．19．已知椭圆C：已知椭圆C ：（a＞b＞0）的离心率为，过点A（a，0）和B（0，b）的直线为l，坐标原点到直线l 的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2作斜率为k的直线方程与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过两点式方程可得直线l的方程，再利用点到直线的距离公式及a2﹣b2=c2，即得椭圆C的方程；（II）设直线l 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，即，从而用k表示出m，由此即可确定m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依据题意，得直线l 的方程为：，即bx+ay﹣ab=0，∴==，又∵，a2﹣b2=c2，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C 的方程为：；（Ⅱ）结论：存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m ＜；理由如下：由（Ⅰ）知F2（1，0），故可设l：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆方程，得，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理，可得x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=k，∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2），由于菱形对角线相互垂直，则，而=（x2﹣x1，y2﹣y1），∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0，即k（y2+y1）+x1+x2﹣2m=0，∴k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m=0，所以k 2+﹣2m=0，由已知条件可知，k≠0且k∈R，∴m=7•=7•，所以0＜m ＜，故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m ＜．点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量学问的运用，考查韦达定理的运用，考查同学的计算力量，属于中档题．20．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；（3）令g（x）=f（x）﹣nx，假如g（x）图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，AB中点为C（x0，0），求证：g′（x0）≠0．考点：函数与方程的综合运用；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为﹣3，即f′（2）=﹣3，由函数f（x）=alnx﹣bx2得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=﹣3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得其次个关于a、b的方程，求解方程组，得a，b的值；（2）设h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m的取值范围；（3）由点A（x1，0），B（x2，0）在g（x）图象上，把点的坐标代入g（x）的解析式得方程组，两式相减得关于x1、x2、n的方程，假设g′（x）=0成立，求导，得关于x0、n的方程，由中点坐标公式转化关于x1、x2、n的方程，两方程消去n，得关于x1、x2的方程，整理此方程，分子分母同除以x2，整理方程，右边为0，设t=，左边得关于t的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于0，所以方程不成立，所以假设不成立，所以g′（x0）≠0．解答：解：（1），所以，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2，解得a=2，b=1．（2）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，则=，令h'（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m ≤．（3）．假设结论不成立，则有，（1）﹣（2），得．所以．由（4）得，所以，即，即=，令．则，所以u（t）在0＜t＜1上是增函数，u（t）＜u（1）=0，所以（5）式不成立，与假设冲突，所以g'（x0）≠0．点评：此题考查函数与方程的综合运用，求未知数的值，几个未知数需几个方程构成方程组求解；留意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题，可使问题直观易懂；也可把函数图象的交点个数问题转化为方程组得各量之间的关系，把未知量转化为一种形式，令一边为0，另一边再转化为函数，利用函数单调性解题；用反证法证明问题时，先假设结论不正确，得出与假设相反的结论，从而结论是正确的．。
天津市红桥区2021届新高考数学一月模拟试卷含解析
天津市红桥区2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,0- C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()4,5【答案】A【解析】【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x f x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9x xx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以令()()0f f x =，得()32log 93x f x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭， 所以函数()()y ff x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B．4 C．5 D ．15连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出3cos 5EG BEG BE ∠==，在利用二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案.【详解】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则5BE DE ==，22BD =，在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ，则523EG =-=，3cos 5EG BEG BE ∠==， 所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-，即：31cos 2155BED ∠=⨯-=， 所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15. 故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.3．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n n n a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数；②数列{}n a 存在某一项是5的倍数.A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确【分析】利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n n n a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根,所以1αβ+=,1αβ=-,因为n n n a αβ=+,所以111n n n a αβ+++=+()()n n n n n n αβααβββααβ=+++--()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和,又11a αβ=+=,()222223a αβαβαβ=+=+-=,所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=,以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确;若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由11a =,23a =,依次计算可知,数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.4．已知函数()ln a f x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D ．[)1,e - 【答案】C【解析】【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵()21a f x x x +'== 2x a x+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意.当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．5．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+B ．8163π+ C ．32833π+ D ．321633π+【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为111V 44244223π=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯， 8163π=+. 故选B点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 6．若复数1a i z i -=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+ 【答案】B【解析】【分析】 复数11122a i a a z i i --+==-+，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a 的不等式组，解得a 的范围. 【详解】11122a i a a z i i --+==-+， 由其在复平面对应的点在第二象限，得1010a a -<⎧⎨+<⎩，则1a <-. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．设i 是虚数单位，若复数103m i ++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m 的值.【详解】由复数的除法运算化简可得 103m m i +=+-，∴3m =-，故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.8．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a -=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．2B ．3C ．32D ．23 【答案】B【解析】【分析】首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,22r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 9．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．8【答案】B【解析】【分析】 列举出循环的每一步，可得出输出结果.【详解】4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=；22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=；22S a b >成立，输出i 的值为7.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 10．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C【解析】【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.11．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ） A ．1i - B ．1i + C ．2222i - D ．2222i + 【答案】C【解析】【分析】 利用复数模与除法运算即可得到结果.【详解】解: ()()()()121212221112ii i z i i i i ---=====-++-， 故选：C【点睛】本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.12．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项.函数()3sin 3x f x x π=+ 易知()f x 为奇函数，故排除D.又()2cos x f x x π'=+，易知当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>； 又当,2x π⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥， 故()f x '在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f x f ππ⎛⎫''>= ⎪⎝⎭， 综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增.又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C.故选：B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市红桥区2021届高三上学期第一次模拟数学(文)试卷 Word版含解析
天津市红桥区2021届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．i 是虚数单位，复数=( )A．﹣1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．1﹣2i2．命题“对任意实数m，关于x的方程x2﹣2mx+m=0有实根”的否定是( ) A．“对任意实数m，关于x的方程x2﹣2xm+m=0没有实根”B．“存在实数m，关于x的方程”x2﹣2xm+m=0没有实根C．“对任意实数m，关于x的方程x2﹣2xm+m=0有实根”D．“存在实数m，关于x的方程”x2﹣2xm+m=0有实根3．设a=2，b=（）0.3，c=log23则( )A．a＞b＞c B．b＞ac C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4．已知某四棱锥的三视图，如图所示，则此四棱锥的体积为( )A．6 B．5 C．4 D．35．函数f（x）=x2+ln|x|的零点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4 6．某程序框如所示，该程序运行后输出的S的值是( ) A ．B．2 C ．﹣D．﹣27．已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为4π，则函数f（x）的单调递减区间( ) A．[+2kπ，+2kπ]k∈Z*B．[﹣+2kπ，+2kπ]k∈Z*C．[+4kπ，+4kπ]k∈Z*D．[﹣+4kπ，+4kπ]k∈Z*8．已知函数f（x）=，g（x）=，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．某班50名同学在一次百米测试中，成果全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；其次组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成果大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成果良好的人数是__________．10．已知A、B均为集合U={2，4，6，8}的子集，且A∩B={4}，（∁u B）∩A={8}，则集合A=__________．11．已知抛物线y2=2px（p＞0），其焦点到准线的距离与双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离相等，则该抛物线方程为__________．12．已知A、B分别为锐角三角形两个内角，满足tanA=4tanB，则tan（A﹣B）取最大值时tanB=__________．13．已知两点A（1，0，B（1，），O为坐标原点，点C在其次象限，且∠AOC=120°，设=﹣2+λ（λ∈R）则λ=__________．14．如图，AB为⊙O的直径，过B作⊙O的切线，C为切线上的一点，连结OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．若AB=BC=2，则CD的长为__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．在△ABC中，角A，B ，C所对的边长分别为a，b，c ．若cos2A=，（Ⅰ）求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC面积S=，a=2，求b，c（其中b＜c）．16．在一个盒子中装有标号为1、3、5、7、9的五个球，现从中一次性取出两个球，每个小球被取出的可能性相等．（Ⅰ）写出从中一次性取出两个小球全部可能的全部结果；（Ⅱ求取出两个球上标号之和能被4整除的概率；（Ⅲ）将取出两个球按较小标号为横坐标，较大标号为纵坐标，确定点，求这些点落在直线y=x+2上的概率．17．如图，四边形DCBE为直角梯形，∠DCB=90°，DE∥CB，BC=2，又AC=CD=DE=1，ACB=120°，CD⊥AB．（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC；（Ⅱ）若F是AB的点，求证：EF∥平面ACD ；（Ⅲ）求直线AE与平面BCD所成角的正弦值．18．已知椭圆C：+（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右顶点B作两条相互垂直的直线l1，l 2，且分别交椭圆C于M，N两点，探究直线MN是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由．19．各项均为整数的等比数列{a n}，a1=1，a2a4=16，单调增数列{b n}的前n项和为S n，a4=b3，且6S n=b n2+3b n+2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=（n∈N*），（1）求数列{c n}的前n项和T n ；（2）求使得c n ＞1的全部n的值，并说明理由．20．设函数f（x）=px﹣﹣2lnx，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）当p=时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．天津市红桥区2021届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．i是虚数单位，复数=( )A．﹣1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简复数，则答案可求．解答：解：∵=，∴复数=1﹣2i．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．2．命题“对任意实数m，关于x的方程x2﹣2mx+m=0有实根”的否定是( ) A．“对任意实数m，关于x的方程x2﹣2xm+m=0没有实根”B．“存在实数m，关于x的方程”x2﹣2xm+m=0没有实根C．“对任意实数m，关于x的方程x2﹣2xm+m=0有实根”D．“存在实数m，关于x的方程”x2﹣2xm+m=0有实根考点：命题的否定．专题：简易规律．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：由于全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意实数m，关于x的方程x2﹣2mx+m=0有实根”的否定是：“存在实数m，关于x的方程”x2﹣2xm+m=0没有实根．故选：B．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本学问的考查．3．设a=2，b=（）0.3，c=log23则( )A．a＞b＞c B．b＞ac C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得2＜0，0＜＜1，c=log23＞1，从而解得．解答：解：a=2＜1=0，0＜＜=1，即0＜b＜1；c=log23＞log22=1，故c＞b＞a；故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数在比较大小时的应用，属于基础题．4．已知某四棱锥的三视图，如图所示，则此四棱锥的体积为( )A．6 B．5 C．4 D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先八三视图转化成立体图，进一步利用体积公式求出结果．解答：解：依据三视图得知：该几何体是一个以底面为直角梯形，高为2的四棱锥，且直角梯形的上底为2，下底为4，高为2的直角梯形．故V=故选：C点评：本题考查的学问要点：三视图和立体图形的转化，锥体的体积公式的应用，主要考查同学的空间想象力量．5．函数f（x）=x2+ln|x|的零点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数零点的判定定理．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：作函数y=x2与y=﹣ln|x|的图象，由数形结合求解．解答：解：由题意，作函数y=x2与y=﹣ln|x|的图象如下，结合图象知，函数y=x2与y=﹣ln|x|的图象有两个交点，即函数f（x）=x2+ln|x|的零点的个数为2，故选：B．点评：本题考查了函数零点与函数图象的交点的关系与应用，属于基础题．6．某程序框如所示，该程序运行后输出的S的值是( )A ．B．2 C ．﹣D．﹣2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=2022时，不满足条件i≤2021，退出循环，输出S的值．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=2，i=1，满足条件i≤2021，S=﹣3，i=2，满足条件i≤2021，S=﹣，i=3，满足条件i≤2021，S=，i=4，满足条件i≤2021，S=2，…观看规律可知，S的取值以4为周期，由2021=503×4+3可得：i=2021，满足条件i≤2021，S=，i=2022，不满足条件i≤2021，退出循环，输出S 的值为．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，观看规律可知S的取值以4为周期是解题的关键，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为4π，则函数f（x）的单调递减区间( )A．[+2kπ，+2kπ]k∈Z*B．[﹣+2kπ，+2kπ]k∈Z*C．[+4kπ，+4kπ]k∈Z*D．[﹣+4kπ，+4kπ]k∈Z*考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先通过三角恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用周期求出函数的关系式，最终利用整体思想求出函数的单调区间．解答：解：函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx+1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+）由于函数f（x）的最小正周期为4π，所以：解得：ω=，所以函数的解析式为：，令：，解得：（k∈Z），所以函数的单调递减区间为：[]（k∈Z），故选：C．点评：本题考查的学问要点；三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期求函数的解析式，利用整体思想求函数的单调区间．8．已知函数f（x）=，g（x）=，若f（x）＜g（x），则实数x的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）C．（﹣2，）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：化简不等式f（x）＞g（x），得到一个确定值不等式，对x＞0，和x＜0两种状况进行争辩，把求的结果求并集，就是原不等式的解集．解答：解：f（x）＜g（x）∴＜（x≠0），即•|x|＞1，1°当x＞1时，原不等式可化为，即2x2﹣x﹣2＞0，解得x ＞或x ＜（舍）所以不等式的解集为（，+∞）；2°当x＜0时，原不等式可化，即，则x＜﹣2，3°若0＜x≤1，则原不等式可化＞1，即，解得x＞2，此时不等式不成立，综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．故选：B．点评：本题主要考查确定值不等式的求解，依据确定值的几何意义，进行分类争辩是解决本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．某班50名同学在一次百米测试中，成果全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13，14）；其次组[14，15），…，第五组[17，18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成果大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成果良好的人数是27．考点：用样本的频率分布估量总体分布；频率分布直方图．专题：图表型．分析：依据频率分步直方图做出这组数据的成果在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．解答：解：由频率分布直方图知，成果在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38=27（人）∴该班成果良好的人数为27人．故答案为：27．点评：解决此类问题的关键是精确把握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．10．已知A、B均为集合U={2，4，6，8}的子集，且A∩B={4}，（∁u B）∩A={8}，则集合A={4，8}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：依据题意，利用交集，补集的定义确定出A即可．解答：解：∵A、B均为集合U={2，4，6，8}的子集，且A∩B={4}，（∁U B）∩A={8}，∴4∈A，8∈A，则A={4，8}．故答案为：{4，8}．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，娴熟把握各自的定义是解本题的关键．11．已知抛物线y2=2px（p＞0），其焦点到准线的距离与双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离相等，则该抛物线方程为y2=4x．考点：抛物线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线﹣=1的焦点（，0）到渐近线y=x的距离为=2，进而可得p，即可求出抛物线的方程．解答：解：双曲线﹣=1的焦点（，0）到渐近线y=x的距离为=2，∵抛物线焦点到准线的距离与双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离相等，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x，故答案为：y2=4x．点评：本题考查抛物线方程，考查抛物线的定义，考查双曲线的性质，比较基础．12．已知A、B分别为锐角三角形两个内角，满足tanA=4tanB，则tan（A﹣B）取最大值时tanB=．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角差的正切公式求得tan（A﹣B）=，再利用基本不等式求得它的最大值，分析等号成立条件可得此时tanB的值．解答：解：∵A、B分别为锐角三角形两个内角，满足tanA=4tanB，∴tanA＞0，tanB＞0，则tan（A﹣B）==≤，当且仅当1=4tan2B，即tanB=时，取等号，故tan（A﹣B）取得最大值时tanB=，故答案为：．点评：本题主要考查两角差的正切公式、基本不等式的应用，属于基础题．13．已知两点A（1，0，B（1，），O为坐标原点，点C在其次象限，且∠AOC=120°，设=﹣2+λ（λ∈R）则λ=1．考点：平面对量的基本定理及其意义．专题：平面对量及应用．分析：设|OC|=c，依据已知条件即可表示出C点坐标为（），进行向量的坐标运算从而可得到，这便能得到，解方程组即可得到λ的值．解答：解：如图，设|OC|=c，依据∠AOC=120°；∴；∴由及A，B点坐标得：（）=﹣2（1，0）+；∴；解得λ=1．故答案为：1．点评：考查由三角函数的定义表示点的坐标，向量坐标和点的坐标的关系，以及向量的坐标运算，解二元一次方程组．14．如图，AB为⊙O的直径，过B作⊙O的切线，C为切线上的一点，连结OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．若AB=BC=2，则CD的长为3﹣．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：证明△CED∽△CBE ，利用弦切角的学问证明CE2=CD•CB ，在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，利用CE2=CD•CB，代入CE 即可得出CD的长．解答：解：连接BE．∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°，∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠DBE=∠AEO，∵∠AEO=∠CED，∴∠CED=∠CBE，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CBE，∴CE2=CD•CB，∵OB=1，BC=2，∴OC=，∴CE=OC﹣OE=﹣1，（﹣1）2=2CD，∴CD=3﹣．故答案为：3﹣．点评：本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相像三角形的判定和解直角三角形等学问点，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作帮助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若cos2A=，（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC面积S=，a=2，求b，c（其中b＜c）．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理即可求出sinA的值；（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc的值，记作①，利用余弦定理列出关系式，整理求出b2+c2的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（Ⅰ）∵cos2A=，∴1﹣2sin2A=，即sin2A=，∵A为三角形的内角，∴sinA=；（Ⅱ）∵△ABC面积S=，sinA=，∴bcsinA=bc •=，即bc=4①，∵sinA=，∴cosA==（负值舍去），由余弦定理得：a2=4=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣18，即b2+c2=22②，联立①②，结合0＜b＜c，解得：b=，c=4．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟把握定理及公式是解本题的关键．16．在一个盒子中装有标号为1、3、5、7、9的五个球，现从中一次性取出两个球，每个小球被取出的可能性相等．（Ⅰ）写出从中一次性取出两个小球全部可能的全部结果；（Ⅱ求取出两个球上标号之和能被4整除的概率；（Ⅲ）将取出两个球按较小标号为横坐标，较大标号为纵坐标，确定点，求这些点落在直线y=x+2上的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率．专题：概率与统计．分析：（I）运用规律列举．（II）依据题意推断，说明大事，再结合古典概率公式求解．（III）说明落在直线y=x+2上的点并推断个数，再求解概率．解答：解：（I）结果有以下10种：（1，3）（1，5）（1，7）（1，9）（3，5）（3，7）（3，9）（5，7）（5，9）（7，9）（II）取出的两个球上标号之积能被4整除的结果有以下6种（1，3）（1，7）（3，5）（3，9）（5，7）（7，9），故所求的概率为P==，（III）落在直线y=x+2上的点有（1，3）（3，5）（5，7）（7，9）共4种，故所求概率p==点评：本题简洁的考查了运用列举大事的方法求解古典概率，关键是列全基本大事，做到不重复，不遗漏，属于中档题．17．如图，四边形DCBE为直角梯形，∠DCB=90°，DE∥CB，BC=2，又AC=CD=DE=1，ACB=120°，CD⊥AB．（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC；（Ⅱ）若F是AB的点，求证：EF∥平面ACD；（Ⅲ）求直线AE与平面BCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）直接利用线线垂直转化为线面垂直，进一步得到面面垂直．（Ⅱ）首先依据中位线定理得到，直线的平行，进一步得到四边形DGFE是平行四边形，最终求出结论．（Ⅲ）利用几何法首先做出平面BCD的垂线，进一步求出∠AEH是直线AE与平面BCD的夹角，最终通过解直角三角形得出结论．解答：证明：（Ⅰ）四边形DCBE为直角梯形，∠DCB=90°，所以：DC⊥BC，由于：CD⊥AB，所以：CD⊥平面ABC．所以：平面BCD⊥平面ABC．（Ⅱ）取AC的中点G，连接DG和GF，由于DE∥CB，BC=2，又AC=CD=DE=1，F是AB的点，所以：GF=ED，GF∥DE，所以：四边形DGFE为平行四边形．则：EF∥GD，GD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以：EF∥平面ACD．（Ⅲ）在平面ABC内延长BC交过A点作BC的垂线于H，连接HE，过E点作EK⊥BC，交BC于K，所以：CD⊥AH，AH⊥BC，则：AH⊥平面DCBE，所以：∠AEH就是直线AE与平面BCD所成的角，∠ACB=120°，AC=CD=DE=1，解得：AH=，CH=，CK=1，则：HK=，利用勾股定理：EH2=EK2+HK2解得：EH=，所以：在Rt△AHE 中，=，即：sin∠AEH=．点评：本题考查的学问要点：面面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，直线与平面的夹角的应用，及相关的运算问题，主要考查同学的空间想象力量．18．已知椭圆C ：+（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的右顶点B作两条相互垂直的直线l1，l2，且分别交椭圆C于M，N两点，探究直线MN是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I ）由，可得a2=2b2．由于以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，可得=b，可得a2=2．即可得出椭圆C的方程．（II）由题意可知：直线l1，l2的斜率都存在，设直线l1：y=k（x﹣1），直线l2：，设M（x1，y1），N（x2，y2），分别与椭圆的方程联立可得M，N的坐标，可得直线MN的方程，即可得出．解答：解：（I）∵，∴a2=2c2=b2+c2，∴a2=2b2，∵以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴=b，∴b=1．∴a2=2．∴椭圆C 的方程为：．（II）由题意可知：直线l1，l2的斜率都存在，设直线l1：y=k（x﹣1），直线l2：，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为（x﹣1）[（2+k2）x﹣（k2﹣2）]=0，解得x1=，y1=，把k 换成﹣，可得x2=，，∴k MN ==，直线MN 的方程为：，化为，∴直线MN 过定点．当k=±1时，M，N，此时直线MN 也过定点．综上可得：直线MN 必过定点．点评：本题考查了直线与椭圆及圆相交相切问题、直线的斜率与方程，考查了分类争辩思想方法、推理力量与计算力量，属于难题．19．各项均为整数的等比数列{a n}，a1=1，a2a4=16，单调增数列{b n}的前n项和为S n，a4=b3，且6S n=b n2+3b n+2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n =（n∈N*），（1）求数列{c n}的前n项和T n；（2）求使得c n＞1的全部n的值，并说明理由．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a2a4=16，利用等比数列的通项公式解得q，即可得出a n．b3=a4．由6S n=b n2+3b n+2（n∈N*），当n≥2时，6S n﹣1=，利用递推式（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1﹣3）=0，再利用等差数列的通项公式即可得出．（II）c n ==，（1）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出T n =．（2）c1=2＞1，c2=，c3=2＞1，，c5=＜1．下面证明：当n≥5时，c n＜1，当n≥5时，作差c n+1﹣c n =＜0，即可得出．解答：解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1，a2a4=16，∴=q4=16，∵q＞0，解得q=2，∴a n=2n﹣1．∴b3=a4=23=8．∵6S n=b n2+3b n+2（n∈N*），当n≥2时，6S n﹣1=，可得﹣3b n﹣1，化为（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1﹣3）=0，∵b n＞0，∴b n﹣b n﹣1=3，∴数列{b n}是等差数列，公差为3．∴b n=b3+（n﹣3）×3=8+3n﹣9=3n﹣1．（II）c n ==，（1）T n =+++…+，=++…+，∴=﹣=﹣=5﹣，∴T n =．（2）c1=2＞1，c2=，c3=2＞1，，c5=＜1．下面证明：当n≥5时，c n＜1，当n≥5时，c n+1﹣c n ==＜0，即c n+1＜c n，∵c5=＜1．当n≥5时，c n＜1，故满足条件c n＞1的全部值为1，2，3，4．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列通项公式及前n项和公式、“作差法”，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．20．设函数f（x）=px ﹣﹣2lnx，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）当p=时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．考点：利用导数争辩函数的极值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数来推断函数的单调区间，即可求函数f（x）的极值；（Ⅱ）先假设存在，由于g（x）=，若在[1，e]上存在实数x，使得f（x）＞g（x），在区间[1，e]上分别求出f（x）和g（x）的最大值和最小值，然后争辩求解．解答：解：（I）由已知f（x）=px ﹣﹣2lnx，得f′（x）=，p=时，f′（x）=．令f′（x）=0，可得x=或，函数在（0，），（，+∞）上为单调增函数，在（，）上为单调减函数，∴函数的极大值为2ln﹣1，微小值为1﹣2ln；（II））∵g（x）=，在[1，e]上是减函数，∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈[2，2e]①p≤0时，由（2）知f（x）在[1，e]递减⇒f max（x）=f（1）=0＜2，不合题意②0＜p＜1时，由x∈[1，e]⇒x ﹣∈[0，e ﹣]∴f（x）=p（x ﹣）﹣2lnx＜x ﹣﹣2lnx＜e ﹣﹣2lne=e ﹣﹣2＜2不合题意③p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上是增函数，故只需f（x）max＞g（x）min=2，x∈[1，e]，而f（x）max=f（e）=p（e﹣）﹣2lne，g（x）min=2，∴，解得p＞．故p的取值范围为（，+∞）．点评：本题主要考查对数函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础学问，一般出题者宠爱考查同学的运算求解力量、推理论证力量及分析与解决问题的力量，要出同学会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．。
天津市部分区2021届高三数学上学期期末考试试题含解析
（2）代数法，设直线与圆相交于 ， ，联立直线与圆的方程 ，消去 得到一个关于 的一元二次方程，从而可求出 ， ，根据弦长公式 ，即可得出结果.
12. 从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为________．
解答：因为 ，
所以
当且仅当
即 时取“ ”，
故选：B
8. 已知 ， 是双曲线 （ ， ）的左、右焦点， 为双曲线左支上一点，且满足 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
————C
分析：
利用双曲线定义及 可得 三边，再利用余弦定理可知含有 的齐次式，进而求得离心率
解答：由题意 ，
又双曲线的定义为 ，且 为双曲线左支上一点，
对于选项B：由图知 年 月，全国工业机器人本月累计同比增长均在 以下，故选项B正确；
对于选项C： 年 月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是 月份，故选项C不正确；
对于选项D： 年 月，全国工业机器人在12月份同比增长为 ，超过 ，故选项D正确，
故选：C.
6. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
且 ， ，
则 ，
，
所以 ，
，
则 ，即 ，
解得： 或 （舍去），
所以 的长为 .
故答案为： .
点拨：关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，解题的关键在于根据平面向量的线性运算得出分别用 、 表示 和 ，考查转化思想和运算能力.
天津市红桥区2021届高三数学第一次模拟考试试题
天津市红桥区2021届高三数学第一次模拟考试试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！ 参考公式：柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式 Sh V 31=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．球的体积公式 334R V π=球 ，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷 注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 (A) MN (B) N M C U )((C) )(N C M U (D) )()(N C M C U U （2）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是(A) 12+-=x y (B) 1y x=(C) 2xy -= (D) ln y x = （3）方程2log 2=+x x 的解所在的区间为(A) ()0.5,1 (B) ()1,1.5 (C) ()1.5,2 (D) ()2,2.5（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A) π (B)4π(C)2π (D) 43π （5）已知函数()ϕω+=x y sin 的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()ϕω+=x y sin 的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为 (A)3π4 (B) π4(C) 0 (D) π4-（6）在ABC △中，“π3A >”是“1cos 2A <”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（7）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为(A)59 (B) 518(C) 56 (D) 524（8）已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为(A) 20x y ±= (B) 20x y ±=0y ±=(D) 0x ±=（9）如图所示，在菱形ABCD 中，1=AB ，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是(A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2-（11）函数xe x xf ⋅=2)(单调减区间是______.（12）过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______. （13）6)12(xx -的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答） （14）若441x y+=，则x y +的取值范围是______.（15）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[]a b ，上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21()22g x x x =+在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分15分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4=c ，B C 2=. （Ⅰ）求B cos 的值； （Ⅱ）求)42sin(π-B 的值．（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AD PD 2=,CD PD ⊥,AD PD ⊥,底面ABCD 为正方形，N M ,分别为PD AD ,的中点.（Ⅰ）证明：PA //平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D NC M --的余弦值.CD MP已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ,且右焦点到直线02=+-y x 的距离为22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线BD AC ,过原点O ,若22ab k k BD AC -=⋅，证明：四边形ABCD 的面积为定值.（19）（本小题满分51分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且2211=-=a b ，123-=+b a ，7233=+b S ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数，为奇数n b a n c nn n 2,2，求数列的{}n c 前项n 和n T ．（20）（本小题满分51分）已知函数x a x x x f ln 2)(2++=.（Ⅰ）若函数)(x f 在区间(]10，为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1≥m 时，不等式3)(2)12(-≥-m f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学 参考答案一、选择题 每题5分二、填空题 每题5分10. i -1 11. ()0,2-或[](][)0,2,0,2,0,2--- 12. 13. 160- 14. (],1-∞- 15. 31023⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 三、解答题16.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）因为B C 2=，所以B C 2sin sin =，..........1分B BC cos sin 2sin =，..................3分 B b c cos 2=，................................5分且3b =，4=c ，所以32cos =B . ..........................7分因为954cos sin 22sin ==B B B ..................................9分 91sin cos 2cos 22-=-=B B B .......................................11分故4sin2cos 4cos2sin )42sin(πππB B B -=-...............13分182104+=。
二倍角公式及其应用
2021年1月17日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·浙江高一期末）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（ ）A ．12B C ．1225D ．2425【答案】D 【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为a ，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出sin θ，代入二倍角公式即可得出答案． 【详解】由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25， 边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长， 设直角三角形的直角边分别为a ，b 且a b <，则1b a =+，所以()2222125a b a a +=++=，得2120a a +-=，所以3a =或4a =-舍去， 所以4b =，∴3sin 5θ=，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算2．（2020·山东济南市·高三开学考试）若直线3y x =的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．35【答案】C 【分析】由斜率与倾斜角的关系得tan α，再由二倍角公式、同角间的三角函数关系求解． 【详解】由题意tan 3α=，∴22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++．故选：C ．3．（2020·河南高三月考（文））已知()4cos 20215πα-=-，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．2425B ．2425-C ．1225D ．1225-【答案】A 【分析】先由诱导公式对已知条件进行化简，再用同角三角函数关系求出正弦值，再用二倍角公式即可. 【详解】∵4cos(2021)cos 5παα-=-=-，∴4cos 5α=.又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3sin 5α===，∴24sin 22sin cos 25ααα=⋅=. 故选：A.4．（2020·四川省成都市第十七中学高一期中）已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α的值是（ ）.A ．89B ．89-C D ． 【答案】B已知条件平方后，利用sin 22sin cos ααα=，直接计算结果. 【详解】∵1sin cos 3αα+=，平方得，)(21sin cos 9αα+=， ∴)()(221sin 2sin cos cos 9αααα++=，∴82sin cos 9αα=-，∴8sin29α=-.故选:B5．（2020·全国高三专题练习（文））对于任意角θ，化简cos 4θ－sin 4θ＝（ ） A ．2sin θ B ．2cos θ C ．sin 2θ D ．cos 2θ【答案】D 【分析】利用平方差公式及倍角公式计算即可． 【详解】解：cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ 故选：D ．二、解答题6．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC 中，设,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，求证：ABC 是直角三角形． 【答案】证明见解析. 【分析】根据题意得到cos cos 0b B a A -=，结合正弦定理和正倍角公式，得到sin 2sin 20B A -=，求得A B =或2A B π+=，代入验证，即可求解.【详解】由题意，两直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行， 可得cos cos 0b B a A -=，又由正弦定理可知sin cos sin cos 0B B A A -=，即sin 2sin 20B A -=， 因为,(0,)A B π∈，所以22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，若A B =，则a b =，可得cos cos A B =，此时两直线重合，不符合题意； 所以2A B π+=，此时ABC 是直角三角形.7．（2020·上海闵行区·高三一模）已知函数2()cos 222x x xf x =+. （1）求函数()f x 在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.【答案】（1）⎡⎤⎣⎦；（2）5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）利用及二倍角公式和辅助角公式将函数化简整理为()2sin()4f x x π=+，再根据正弦函数的图像与性质求出函数的值域；（2）由已知得()2sin(4f x x πωω=+由[]0,x π∈，得444x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,，且=2()43x k k ππωπ++∈Z 或2=2()43x k k ππωπ++∈Z ，结合方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，可得243ππωπ+≥，解不等式可得解. 【详解】（1）2()cos 2222sin()4x x x f x x x x π===++， 令4U x π=+，[]0,x π∈，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦由sin y U =的图像知，sin 2U ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即sin 42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦.（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>(f x ω2sin()4x πω∴+=sin(4x πω+[]0,x π∈，444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦,，且=2()43x k k ππωπ++∈Z 或2=2()43x k k ππωπ++∈Z由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解， 所以243ππωπ+≥，解得512ω≥， 所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.三、填空题8．（2021·天津红桥区·高三期末）已知4sin 5A =，且322A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则sin 23A π⎛⎫+=⎪⎝⎭________.【答案】2450+- 【分析】根据二倍角公式，先求出sin 2A 和cos2A ，再由两角和的正弦公式，即可求出结果. 【详解】因为4sin 5A =，且322A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos 5A ==-， 则4324sin 22sin cos 25525A A A ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2327cos 212sin 12525A A =-=-=-， 因此241724sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225250A A A πππ+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭.故答案为：2450+-.9．（2020·江苏高一课时练习）函数()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为___. 【答案】π 【分析】利用二倍角公式化简()f x ，根据余弦型函数的最小正周期的结论可得结果. 【详解】()221cos 21213cos 2223s 2co 3f x x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+，()f x ∴的最小正周期22T ππ==. 故答案为：π.四、双空题10．（2020·浙江金华市·高三月考）已知动点()2,2sin 151P m ︒-，则动点P 的轨迹方程是___________；若角α的终边经过点P，且cos α=，则m 的值是___________.【答案】2y =- -1 【分析】由二倍角公式可得点P 的纵坐标为定值，即可得出轨迹方程，再由余弦函数的定义即可建立关系求出m . 【详解】()2,2sin 151P m ∴︒-，22sin 151cos302︒-=-=-，故点P的纵坐标为定值，则动点P 的轨迹方程是y =， 角α的终边经过点P，cos α∴==，解得1m =-.故答案为：2y =-；1-.11．（2020·浙江高三月考）已知7sin cos (0)13θθθπ+=-<<，则tan θ=___________，sin 2()4πθ-=___________.【答案】512- 119169- 【分析】先由条件求出60sin cos 169θθ=-，再求出sin cos θθ-，即可求出sin ,cos θθ，进而求出tan θ，再由二倍角公式可求出sin 2()4πθ-.【详解】7sin cos 13θθ+=-，4912sin cos 169θθ∴+=， 60sin cos 0169θθ∴=-<，结合0θπ<<，可知θ为钝角，sin 0,cos 0θθ∴><，17sin cos 13θθ∴-==， 联立7sin cos 1317sin cos 13θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得512sin ,cos 1313θθ， 5tan 12θ∴=-， 2119sin 2()sin 2cos 22sin 142169ππθθθθ⎛⎫∴-=-=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：512-；119169-. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查二倍角公式，属于基础题. 12．（2020·河北高三月考）已知π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=______，22cos 2sin 2cos ααα=-______．【答案】3; 87- 【分析】根据两角差的正切公式可求得第一空，再根据二倍角公式弦化切可求得第二空． 【详解】解：∵π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴tan 111tan 2αα-=+，解得tan 3α=，∴22222222cos 2cos sin 1tan 8sin 2cos sin 2cos tan 27a a ααααααα--===----， 故答案为：3；87-． 【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，考查同角三角函数的基本关系，考查齐次式的求值，属于基础题．13．（2020·全国高三专题练习）已知1sin cos 5αα=+，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=________；cos2sin 4απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭________.【答案】45【分析】根据所给等式，结合同角三角函数关系式可求得sin cos αα；由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及sin cos αα+=sin cos αα+，即可解方程组求得sin α；根据余弦二倍角公式及正弦差角公式，化简cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合sin cos αα+的值即可求解. 【详解】 由1sin cos 5αα=+，可知1sin cos 5αα-=，等式两边同时平方，结合22sin cos 1αα+=，可得112sin cos 25αα-=， 即12sin cos 25αα=，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα+=，75==，则1sin cos 57sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由余弦二倍角公式及正弦差角公式展开化简可得22cos 2sin 42απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos )5αα=+=-. 故答案为：45；. 【点睛】本题考查同角三角函数关系式的应用，余弦二倍角公式及正弦差角公式的应用，属于中档题.14．（2020·浙江高一单元测试）已知α，β为锐角，且3tan 4α=，()sin 5αβ-=，则cos2=α______，()tan αβ+=______． 【答案】725 4138【分析】① 本小题直接运用同角三角函数的基本关系和二倍角公式直接计算即可； ② 本小题先判断三角函数值的符号，再运用两角差的正切公式直接计算即可 【详解】解：∵α是锐角，3tan 4α=， ∴ 3sin 5α=，4cos 5α=， ∴ 2247cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，3424sin 22sin cos 25525ααα=⋅=⨯⨯=，∴ 24tan 27α=， ∵ α、β是锐角，∴ 22ππαβ-<-<，∵ sin()αβ-=∴cos()αβ-=1tan()2αβ-=，[]241tan 2tan()4172tan()tan 2()2411tan 2tan()38172ααβαβααβααβ---+=--===+⋅-+⨯.综上：7cos 225α=，41tan()38αβ+=. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角差的正切公式，是中档题. 15．（2020·全国高三专题练习）已知α为锐角，且sin cos22αα+=sin α=________，tan2α=________. 【答案】35247【分析】对sincos22αα+=sin α值，再利用同角三角函数的关系求出cos α，从而可得tan α的值，再利用正切的二倍角公式可求出tan2α的值 【详解】解：因为sincos22αα+=所以2228sin 2sin cos cos 222255αααα⎛++== ⎝⎭， 所以3sin 5α=， 因为α为锐角，所以4cos 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==， 所以2232tan 2tan 2441tan 73142ααα⨯==-⎛⎫⎪=- ⎝⎭， 故答案为：35；247 【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查同角三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题 16．（2020·全国高三专题练习）若02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，3sin α=，则cosα＝_____，tan 2α＝_____．﹣【分析】根据cosα=可得解cosα，由tanαsin cos αα=，再利用二倍角公式解得tan 2α. 【详解】 ∵02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，sin α=， ∴cosα==，tanαsin cos αα==， ∴tan 2α221tan tan αα===--． 【点睛】本题考查了同角三角函数变换，二倍角公式，考查了学生概念理解，转化化归，数学运算的能力，属于基础题.17．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知()113cos ,cos 714ααβ=-=，且02πβα<<<，则tan2α=_______________，角β=_______________.【答案】 3π 【分析】 由cos α求得sin α，从而得tan α，再由正切的二倍角公式可得tan 2α，由已知求出sin()αβ-，利用两角差的余弦公式求得cos β，从而可β角．【详解】∵02πα<<，1cos 7α=，∴sin α==，∴sin tan cos ααα==，所以22tan tan 21tan 47ααα===--．又02πβα<<<，所以02παβ<-<，∴sin()14αβ-==， ∴113cos cos[()]cos cos()sin sin()714714βααβααβααβ=--=-+-=⨯+⨯12=， 所以3πβ=．故答案为：；3π． 【点睛】 本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的余弦公式、正切的二倍角公式．三角函数中求角，一般先确定这个角的范围，然后在这个范围内选取函数值唯一的函数，求出此函数值，有时可能需要根据过程中的函数值进一步缩小角的范围，以便唯一地确定所求角．18．（2019·北京市第二十二中学高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，将点)A 绕原点O 逆时针旋转90到点B ，那么点B 的坐标为______，若直线OB 的倾斜角为α，则tan2α=______.【答案】(-【分析】点A 的坐标表示为(2cos30,2sin30)，根据题意点B 的坐标为(2cos120,2sin120)，由倾斜角的定义可求出tan α，再利用二倍角公式即可得求得tan 2α.【详解】)A 的坐标可表示为(2cos30,2sin30)，直线OA 的倾斜角为30， 逆时针旋转90到点B ，则点B 的坐标为(2cos120,2sin120)(1,3)=-，若直线OB 的倾斜角为α，则tan α=，所以22tan 2(tan 21tan 13ααα⨯==--【点睛】本题考查直线的倾斜角定义，二倍角公式，属于基础题.。
2021年1月天津市滨海新区七所重点学校2021届高三毕业班上学期期末联考数学试题及答案
绝密★启用前天津市滨海新区七所重点学校2021届高三毕业班上学期期末教学质量联考检测数学试题2021年1月本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.第I 卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}35A =，，{}1,2,5B =，则()U B A =（ ）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,4D ．{}1,2,42.设R ∈x ，则“21>-x ”是“12>x ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”函数()()2cos x x x e e f x x-+=+的部分图象大致为( )A ． B. C. D.4.中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神．看过电影“夺冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分成六组[)40,50，[)50,60．．．[]90,100，则成绩落在[)70,80上的人数为（ ）A ．12B ．120C ．24D ．2405.在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为则正方体外接球的体积为( )A ．BC ． 3D ．6.已知函数x e x f -=)(，)31(log e f a =，)1(log 3e f b =，)91(log 1ef c =，则下述关系式正确的是（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ． a b c >>7.已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1 )M m ，到其焦点的距离为5，双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左顶点为A 且离心率为25，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则双曲线的方程为 （ ）A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．1222=-y x D ．1422=-y x8.设函数()2sin cos f x x x x =+，给出下列结论：①()f x 的最小正周期为π②()y f x =的图像关于直线π12x =对称 ③()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 ④把函数2cos 2y x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数()y f x =的图象。
2021 2021学年天津市红桥区高三(上)期末数学试卷(文科)(解
2021 2021学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（文科）（解2021-2021学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（文科）（解2022-2022学年天津市虹桥区高三（一）期末数学试卷（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合m={x|x≥0，x∈r}，n={x|x2＜1，x∈r}，则m∩n=（）a．[0，1]b．（0，1）c．（0，1]d．[0，1）2.（5分）在a和B之间的射击比赛中，两人相等的概率为，获胜的概率为，a不输的概率为（）a．b．c．d．3.（5点）如果图中显示了三角棱锥的三个视图，则三角棱锥的体积为（）a．b．c．14．（5分）已知双曲线d。
=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准然后线分别交于o、a、b三点，o为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△aob的面积为p=（）a．1b、 c.2d．35.（5分）如果a>0且a≠ 1，则“a>1”是（）a.充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.必要和充分条件“loga<1”d．既不充分也不必要条件6.（5点）已知α，β∈ （0，π），Tan（αβ）=，Tanβ=，然后2αβ的值是（）ab．c。
d．7.（5点）在等腰直角三角形ABC中，a=90°，ab=AC=2，D是斜边BC上的点，BD=3DC，然后(+）=（）1页a、 2b.3c.4d.58．（5分）设方程（m+1）|ex1|1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），方程|ex1|m=0的两根分别为x3，x4（x3＜x4）．若m∈（0，），则（x4+x1）（x3+x2）的取值范围为（）a．（∞，0）b．（∞，ln）c．（ln，0）d．（∞，1）二、填空（这个大问题有6个小问题，每个小问题5分，总共30分）9。
（5点）I 是一个假想单位，复数=．10.（5点）曲线y=LNX在与X轴相交处的切线方程为11．（5分）以点（2，1）为圆心且与直线3x+4y7=0相切的圆的标准方程是．12．（5分）在△abc中，已知角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且c （acosbbcosa）=b2，则=．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i=．14.（5点）让函数f（x）=如果f（a）=f（b）=C，f'（b）＜0，那么a，b，C大小关系是．三、 15. （13点）设函数f（x）=sinxcosxsin2（x）（I）求函数f（x）的最小正周期；（二）求函数f（x））．)[0，]上的最大值和最小值2页16.（13分）客运公司使用a和B两种车辆承担a和B之间的长途客运业务，每辆车每天往返一次。
2021年高三数学上学期1月调考试卷 理(含解析)
2021年高三数学上学期1月调考试卷理（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数z满足，则 =( )A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣ix（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是2．设集合P={x|∫( )A．2 B．3 C．7 D．83．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1 D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞04．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A．36πB．9πC．πD．π5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( ) A．27 B．81 C．243 D．7296．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )（1）f（x）的图象过点（0，）（2）f（x）的一个对称中心是（）（3）f（x）在[]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A．4 B．3 C．2 D．17．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )A．（﹣4，2）B．（﹣1，2）C．（﹣4，0）D．（﹣2，4）8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )（1）AC⊥BE．（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．A．0 B．1 C．2 D．39．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )A．B．4 C．D．910．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=__________．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为__________．13．设正数a，b，c满足++≤，则=__________．14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为__________．(15，16为选做题，二选一即可)15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为__________．16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O 和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（lnxx≈7.6079，lnxx≈7.6084）xx学年湖北省六校联考高三（上）1月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数z满足，则 =( )A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：先设出复数的代数形式，再由题意求出复数z，根据共轭复数的定义求出即可．解答：解：设z=a+bi（a、b∈R），由题意知，，∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1，∴z=2﹣i，=2+i，故选C．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i 的幂运算性质，共轭复数的概念，难度不大，属于基础题．2．设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是( ) A．2 B．3 C．7 D．8考点：定积分的简单应用；子集与真子集．专题：计算题．分析：先根据定积分求出集合P，根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数，然后除去空集即可得到集合A的非空真子集的个数．解答：解：∵P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，∴P={2，3}因为集合A中有2个元素，所以集合A子集有22=4个，则集合A的非空子集的个数是4﹣1=3．故选B．点评：此题考查学生掌握子集与真子集的定义，会利用2n﹣1求集合的非空子集，是一道基础题．3．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．若，则不存在实数λ使得=2λ；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角；C．利用逆否命题的定义即可判断出；D．利用命题的否定即可判断出．解答：解：A．若向量∥，，则不存在实数λ使得=2λ，不正确；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角，不正确；C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；D．命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，不正确．故选：C．点评：本题考查了向量共线定理及其夹角公式、逆否命题的定义、命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A．36πB．9πC．πD．π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．解答：解：∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=，由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R满足：R==，故该几何体外接球的体积V==π，故选：C点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，进而求出外接球半径，是解答的关键．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( ) A．27 B．81 C．243 D．729考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比 q，代入等比数列的通项公式可求a6解答：解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选C点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前 n项和公式及通项公式，属基础题．6．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )（1）f（x）的图象过点（0，）（2）f（x）的一个对称中心是（）（3）f（x）在[]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A．4 B．3 C．2 D．1考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的周期求出ω，再由图象关于直线x=对称结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求．①求得f（0）=说明命题①错误；②由f（）=0说明命题②正确；③求出原函数的减区间，由[]是一个减区间的子集说明命题③正确；④通y=Asin（ωx+φ）图象的平移说明命题④错误．解答：解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，∴ω=2，又图象关于直线x=对称，则2×φ=kπ+，即φ=，k∈Z．∵﹣＜φ＜，∴取k=1得φ=．∴f（x）=3sin（2x+）．①∵f（0）=3sin=．∴f（x）的图象过点（0，）错误；②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．∴f（x）的一个对称中心是（）正确；③由，得：．取k=0，得．∵[]⊆，∴f（x）在[]上是减函数正确；④∵φ=＞0，∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx向左平移个单位得到，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=3sinωx的图象．∴命题④错误．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．7．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )A．（﹣4，2）B．（﹣1，2）C．（﹣4，0）D．（﹣2，4）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，则由目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值可知，﹣1＜﹣＜2，则﹣4＜a＜2，故选A．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )（1）AC⊥BE．（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，依次分析：如图可知BE⊂平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出（1）正确；根据AA1∥BB1，判断出AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，计算出A1到平面BEF的距离，即可判断出（2）项；设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A﹣BEF的体积可得判断（3）项正确；再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确．解答：解：对于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确．对于（2），∵AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1DD1，BB1⊂平面BB1DD1，∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，又∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离，∴若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为，故（2）正确；对于（3），∵S△BEF==，设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=，∴V A﹣BEF==，故（3）正确；对于（4）在正方体中，AA1∥DD1，AD∥B1C1，则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．故（4）正确；对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条．并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确；故答案为：A．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．9．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )A．B．4 C．D．9考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．10．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．解答：解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B点评：本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=||•||•cos120°的值，再根据|﹣2|=，计算求得结果．解答：解：由题意可得=||•||•cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，∴|﹣2|====2，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解答：解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，∴0＜α+β＜，∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．解题过程中判断出α+β的范围是解题的最重要的一步．13．设正数a，b，c满足++≤，则=．考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质“取等号的条件”即可得出．解答：解：∵a，b，c为正数，∴（a+b+c）=14+++++=36．当且仅当a：b：c=1：2：3．∵++≤，∴++=，∴==．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为21．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析： p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，故可得结论．解答：解：因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1，因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），所以m=8，n=13，所以m+n=21．故答案为：21．点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．(15，16为选做题，二选一即可)15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出△ABE是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是2．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d，求出d，由勾股定理可求切线长的最小值．解答：解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=1，∴圆C是以M（，﹣）为圆心，1为半径的圆…2分化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x﹣y+4=0，…4分∵圆心M（，﹣）到直线l的距离为d==5，…6分要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，﹣）到直线的距离d，由勾股定理求得切线长的最小值为 ==2．故答案为：2．点评：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程、直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；（2）根据CD为AB边上的中线，得到=，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．解答：解：（1）由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，即C=，∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，当cosA=0，即A=，此时S△ABC=；当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S△ABC=；（2）∵=，∴|CD|2==，∵cosC=，c=2，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，∴|CD|2==＞1，且|CD|2=≤3，则|CD|的范围为（1，]．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1=0∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1=a n∴a n=2a n﹣1，从而可得数列{a n}是等比数列∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．分析：（1）利用导数研究函数的单调区间的方法步骤求解f（x）的单调区间和值域．（2）在a≤﹣1，x∈[0，1]的条件下，判断g（x）的单调性，进而求解g（x）的值域，依题意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出关于a的不等式组，解出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）令f'（x）=0解得：（舍去）列表：可知f（x）的单调减区间是，增区间是；因为，所以当x∈[0，1]时，f（x）的值域为（Ⅱ）g′（x）=3（x2﹣a2）因为a≤﹣1，x∈（0，1）所以g′（x）＜0，g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0）所以g（x）∈[1﹣4a﹣3a2，﹣4a]因为当x∈[0，1]时，f（x）的值域为由题意知：所以又a≤﹣1，得．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、值域等函数知识，对于（2）解答的关键是，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，在学习中，同学们应熟练掌握这一方法，本题是一道好题，属于教学中的重点和难点．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．解答：解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O 和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据，|CM|+|CN|为定值，建立条件关系即可求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）根据直线和椭圆的位置关系，转化为一元二次方程问题即可．解答：解：（1）易得B（2，0），M（﹣1，0），N（1，0），设P（x0，y0），C（x，y），则E（x0，），直线PA与BE交于C，故x≠±2，①且，②①②相乘得，又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点，故，即，要使|CM|+|CN|为定值，则4﹣，解得，此时，（x≠±2），即时，点C的轨迹曲线E的方程为，（x≠±2），（2）联立，消x得（3m2+4）y2+24my+36=0，判别式△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4设Q（x1，y1），R（x2，y2，则Q′（x1，﹣y1），由韦达定理有直线RQ的方程为y=，令y=0，得x===将①②代人上式得x=1，又====当时取得．点评：本题主要考查直线和圆以及直线和圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（lnxx≈7.6079，lnxx≈7.6084）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（2）由（1）可知a≥时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx 在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论；（3）运用（2）的结论和S=1+++…+＜1×2++…+×28=9，即可得到整数部分．解答：解：（1）∵函数f（x）=ax++（1﹣2a），f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵g′（x）=a﹣﹣=，而当=1，即a=时，①当≤1即a时，g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min=g（1）=0≥0；②当＞1即0＜a＜时，g′（x）=0时x=；且1≤x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0；则g（x）min=g（）≥0①，又∵g（）≤g（1）=2a﹣1＜0与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（2）证明：由（1）可知a时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，令x依次取，，，…，时，则有×（﹣）≥ln ，×（﹣）≥ln ，…×（﹣）≥ln ，由同向不等式可加性可得[（+++…+）﹣（+++…+）]≥ln（n+1），即 [（1+++…++n）﹣（n﹣﹣﹣﹣…﹣）]≥ln（n+1），也即 [2（1+++…+）+﹣1]≥ln（n+1），也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．（3）由（2）的结论，可得，S=1+++…+≥lnxx+∈（8，9），又S=1+++…+＞dx=lnx|=lnxx≈7.6，则有S的整数部分为9．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．39680 9B00 鬀•31643 7B9B 箛37086 90DE 郞b<29857 74A1 璡21012 5214 刔36108 8D0C 贌0d25839 64EF 擯-32621 7F6D 罭26285 66AD 暭。
2021年高三上学期1月质量监测 数学 含答案
2021年高三上学期1月质量监测 数学 含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合{2,3},{1,},{2},A B a A B A B ====若则 ▲ ． 2. 若复数满足（其中i 为虚单位），则 ▲ ．3．一组数据8,12，x ，11，9的平均数是10，则这样数据的方差是 ▲ ． 4．从内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ▲ ． 5.如图是一个算法的流程图， 则最后输出的 ▲ ．6.在等比数列中，，， 则 ▲ ．7.用半径为cm ，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ▲ cm 3．8．设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则 ③④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； 其中正确命题的序号为 ▲ ．9．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为4，若渐近线恰好是曲线在原点处的切线，则双曲线的标准方程为 ▲ ． 10.已知是定义在R 上的函数，满足，当时，，则的值为 ▲ ．11.在等腰梯形中,,,,,则 的 值为 ▲ ．12.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，的三个顶点都在抛物线上，并且 的重心是抛物线的焦点，边所在的直线方程为，则抛物线的方程APBCDEF为 ▲ ．13. 设函数，若函数恰好有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ▲ ．14. 已知为的三个内角, 向量,.如果当最大时,存在动点, 使得成等差数列, 则的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量()()()sin 2,2cos ,3,cos m x x n x x R ==∈，函数,（1）求函数的最小正周期；（2）在中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若的面积为，求边的长度.16．（本小题满分14分）如图,在三棱锥中,平面，,点,分别为,的中点. (1)求证: 平面平面;(2)若在线段上,且平面,求的值.17．(本小题满分14分)如图所示的一个不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米（顶点至两端点 所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形． （1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值； （2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆的离心率为，点分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为1． (1)求椭圆的方程;(2)设四边形ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆相切，证明：满足条件的所有矩形的顶点都在一个定圆上，并写出该定圆的方程．19．(本小题满分16分)已知函数（为常数），其图象是曲线． （1）当时，求函数的单调递减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围； （3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列满足，，，是数列 的前项和． (1)若数列为等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式；图（6）F 2F 1oyx（ⅱ）设数列满足()2**1112,,,21N N n n n k b b b b n k a +==+∈∈+， 求证：当时都有.(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．高三数学附加题 xx.1(满分40分，考试时间30分钟)21. (选修4－2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b 0满足：Mαi ＝λi αi ，其中λi (i ＝1，2)是互不相等的实常数，a i(i ＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M ．22．(选修4－4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A 、B 两点，求线段AB 中点的极坐标．23. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率；（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X 的分布列及数学期望． 24．已知整数n ≥3，集合M ＝{1，2，3，…，n }的所有含有3个元素的子集记为A 1，A 2，A 3，…，，设A 1，A 2，A 3，…，中所有元素之和为S n ． （1） 求S 3，S 4，S 5，并求出S n ；（2）求和：S 3＋S 4＋S 5＋…＋S n ．（注：可用组合数表示）扬州中学高三数学试卷答案xx.1.31． 2. 3． 4． 5.36 6. 9 7. 8．④ 9． 10. 11. 3 12. 13. 14. 15．又平面平面平面17．解：（1）以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则，从而边界曲线的方程为，．因为抛物线在点处的切线斜率，所以，切线方程为，与轴的交点为．此时梯形的面积平方分米，即为所求．………………6分（2）设梯形腰所在直线与抛物线切于时面积最小．此时，切线方程为，其与直线相交于，与轴相交于．此时，梯形的面积，．……11分（这儿也可以用基本不等式，但是必须交代等号成立的条件）=0，得，当时，单调递减； 当时，单调递增，故，当时，面积有最小值为． ………………14分 18. 解：（1）椭圆的方程为．…………5分(2)由题意知,矩形ABCD 是椭圆的外切矩形,(i) 若矩形ABCD 的边与坐标轴平行,则四个顶点满足. …………6分(ii)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为,则由消去y 得,于是,化简得.所以矩形ABCD 的一组对边所在直线的方程为,即, 则另一组对边所在直线的方程为, 于是矩形顶点坐标(x,y)满足, 即,即.综上得，满足条件的所有矩形的顶点在定圆上. …………16分 注：仅写成结果而没有过错的给1分。
2021-2022学年天津市红桥区高三(上)期末数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷1. 已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|0<x <3}，则A ∪B =( )A. (−1,3)B. (−1,0)C. (0,2)D. (2,3)2. 已知命题p ：∀x >0，总有(x +1)e x >1，则¬p 为( )A. ∃x 0≤0，使得(x 0+1)e x 0≤1B. ∃x 0>0，使得(x 0+1)e x 0≤1C. ∀x >0，总有(x +1)e x ≤1D. ∀x ≤0，总有(x +1)e x ≤13. 设a =ln3，b =log 1e3，c =3−2，则.( )A. a >b >cB. b >a >cC. a >c >bD. c >b >a4. 设双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. √3B. 2C. √5D. √65. 函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A. 3π4B. π4C. 0D. −π46. 某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140],并绘制了频率分布直方图(如图)，那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是( )A. 360B. 600C. 840D. 13207. 函数f(x)=2x −2−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.8. 一名学生申请加入学校的3个社团，假设各个社团通过这名学生的申请是相互独立的，并且概率都是35，设X 是这名学生申请被通过的次数，则随机变量X 的期望为( )A. 65B. 3625C. 1825D. 959. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2116B. 32 C. 2516D. 310. 设复数z 满足(1−i)z =2i ，则z =______. 11. 函数f(x)=e xx 的单调递减区间是______. 12. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为______.13. 若直线3x +y −6=0与圆x ²+y ²−2y −4=0交于A ，B 两点，则弦长|AB|=______.14. 若a >0，b >0，则1a +b +a b2的最小值为______.15. 已知函数f(x)满足，f(x)={kx +k,x ≤0lnx,x >0，其中k ≥0，若函数y =f(f(x))+1有4个零点，则实数k 的取值范围是______.16. △ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，已知a =2，c =√2，cosA =−√24.(Ⅰ)求b 的值； (Ⅰ)求sinC 的值； (Ⅰ)求cos(2A +π3)的值．17. 如图，P −ABCD 是一个四棱锥，已知四边形ABCD 是梯形，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AB//CD ，PD =AD =AB =1，CD =2，点E 是棱PC 的中点，点F 在棱PB 上，PF =12FB. (Ⅰ)证明：直线BE//平面PAD ；(Ⅰ)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； (Ⅰ)求平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值．18. 已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1=1，且a 1，a 2，a 4成等比数列， (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅰ)数列{b n }满足b n =(12)n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(−1)n λ<T n +n2n 对一切n ∈N ∗恒成立，求λ的取值范围． 19. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点(0,√3)，离心率为12，左右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅰ)若直线l ：y =−12x +m 与椭圆交于A 、B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C 、D 两点，且满足|AB||CD|=5√34，求直线l 的方程．20. 设函数f(x)=x 2+aln(x +1)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2. (Ⅰ)求a 的取值范围； (Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅰ)证明：f(x 2)>1−2ln24.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|−1<x<2}，B={x|0<x<3}，∴A∪B={x|−1<x<3}，故选：A.2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了全称量词命题的否定的写法，全称量词命题的否定是存在量词命题，属于基础题. 据全称量词命题的否定为存在量词命题可写出命题p的否定．【解答】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，¬p为∃x0>0，使得(x0+1)e x0≤1.故选B.3.【答案】C【解析】解：∵a=ln3>lne=1，b=log1e 3<log1e1=0，c=3−2=19，∴a>c>b.故选：C.【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】C【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a ，b 的关系，再由双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题． 【解答】解：双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±bax ，代入抛物线方程y =x 2+1， 得x 2±b ax +1=0，由相切的条件可得，判别式b2a 2−4=0，即有b =2a ，则c =√a 2+b 2=√4a 2+a 2=√5a ， 则有e =ca =√5. 故选C.5.【答案】B【解析】解：令y =f(x)=sin(2x +φ)，则f(x +π8)=sin[2(x +π8)+φ]=sin(2x +π4+φ)， ∵f(x +π8)为偶函数， ∴π4+φ=kπ+π2， ∴φ=kπ+π4，k ∈Z ， ∴当k =0时，φ=π4. 故φ的一个可能的值为π4. 故选：B.利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换可得函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由直方图可知，高度小于100cm 的树苗所占的频率为(0.002+0.006+0.012)×10=0.2所以在这3000棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是3000×0.2=600， 故选：B.由频率分布直方图先求出高度小于100cm 的树苗的频率，再用总体乘以频率，可得结果． 本题考查了直方图求频数、频率，考查频率公式，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵f(x)=2x −2−xcosx+x 2，∴f(π)=2π−2−πcosπ+π2>0，f(−π)=2−π−2πcos(−π)+(−π)2<0，∴选项B 符合，其它选项不符合． 故选：B.结合图象把x =π，−π代入函数f(x)，根据其符号判断即可． 本题考查函数图象性质，考查数学运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意可得，X 服从二项分布，X ∼B(3,35)， 故E(X)=3×35=95. 故选：D.由题意可得，X 服从二项分布，结合二项分布的期望公式，即可求解． 本题主要考查二项分布的期望公式，属于基础题．9.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了向量数量积，坐标法解决向量问题，属于中档题．以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出． 【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 作BN ⊥x 轴，过点B 作BM ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1， ∴AN =ABcos60∘=12，BN =ABsin60∘=√32，∴DN =1+12=32， ∴BM =32， ∴CM =MBtan30∘=√32，∴DC =DM +MC =√3， ∴A(1,0)，B(32,√32)，C(0,√3)， 设E(0,m)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,m −√32)，0≤m ≤√3，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+m 2−√32m =(m −√34)2+32−316=(m −√34)2+2116，当m =√34时，取得最小值为2116.故选A.10.【答案】−1+i【解析】解：∵复数z 满足(1−i)z =2i ，则z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i 2=−1+i ，故答案为：−1+i.由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果． 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，属于基础题．11.【答案】(−∞,0)，(0,1)【解析】解：f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，f′(x)=e x⋅x−e xx2=e x(x−1)x2，令f′(x)<0，解得：x<1，故f(x)在(−∞,0)，(0,1)递减，故答案为：(−∞,0)，(0,1).求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．12.【答案】2：3【解析】解：设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，球的体积与圆柱的体积之比是(43πr3)：(πr2⋅2r)=2：3；故答案为：2：3.设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，分别求出球与圆柱的体积，则答案可求．本题考查几何体的体积的求法，考查计算能力，是基础题．13.【答案】√10【解析】解：圆x²+y²−2y−4=0的圆心坐标为C(0,1)，半径为√5，C到直线3x+y−6=0的距离d=√9+1=√102，∴|AB|=2×√5−104=√10.故答案为：√10.求出圆心坐标和半径，由垂径定理得答案．本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，是基础题．14.【答案】2√2【解析】解：∵a>0，b>0，∴1 a +b+ab2=1a+b2+b2+ab2≥4√144=2√44=2√2，当且仅当1a =b2=ab2，即a=b=√2时取等号，∴1 a +b+ab2的最小值为2√2，故答案为：2√2.先变形得到1a +b+ab2=1a+b2+b2+ab2，再利用基本不等式求最值即可．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．15.【答案】[1e ,+∞)【解析】解：当k =0时，函数f(x)={kx +k,x ⩽0lnx,x >0(其中k ⩾0)的图象如下图所示：此时若函数y =f[f(x)]+1=0，则f[f(x)]=−1， 则f(x)=1e，只有一解，不合题意，当0<k <1e 时，函数f(x)={kx +k,x ⩽0lnx,x >0(其中k ⩾0)的图象如下图所示：此时若函数y =f[f(x)]+1=0，则f[f(x)]=−1， 则f(x)=1e ，或kf(x)+k =−1，只有三解，不合题意，当k ≥1e 时，函数f(x)={kx +k,x ⩽0lnx,x >0(其中k ⩾0)的图象如下图所示：此时若函数y =f[f(x)]+1=0，则f[f(x)]=−1， 则f(x)=1e，或kf(x)+k =−1，有四解，满足题意， 故满足条件的实数k 的取值范围是[1e ,+∞), 故答案为：[1e,+∞)函数y =f[f(x)]+1的零点个数，即为方程f[f(x)]=−1的解的个数，结合函数f(x)={kx +k,x ⩽0lnx,x >0(其中k ⩾0)，求解方程可得答案． 本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，是解答的关键．16.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以4=b 2+2−2b ⋅√2⋅(−√24)，即b 2+b −2=0，解得b =1或−2(舍负)， 故b =1. (Ⅰ)因为cosA =−√24，A ∈(0,π)，所以sinA =√1−cos 2A =√144，由正弦定理知，a sinA=c sinC，所以√144=√2sinC，所以sinC =√74.(Ⅰ)因为cosA =−√24，sinA =√144，所以cos2A =2cos 2A −1=−34，sin2A =2sinAcosA =−√74， 所以cos(2A +π3)=cos2Acos π3−sin2Asin π3=(−34)×12−(−√74)×√32=√21−38.【解析】(Ⅰ)利用余弦定理，即可得解； (Ⅰ)先求得sinA 的值，再由正弦定理，得解；(Ⅰ)先根据二倍角公式求得cos2A 和sin2A 的值，再由两角和的余弦公式，得解．本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式，两角和的余弦公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】(Ⅰ)证明：取PD 的中点G ，连接AG ，GE ，因为G ，E 分别为PD ，PC 的中点，则GE//DC ，GE =12DC ， 又AB//DC ，AB =12DC ， 所以GE//AB 且GE =AB ， 故四边形AGEB 为平行四边形，所以BE//AG ，又BE ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，所以BE//平面PAD ；(Ⅰ)解：因为PD ⊥平面ABCD ，且AD ，DC ⊂平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，又AD ⊥CD ，故以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，所以B(1,1,0),E(0,1,12),D(0,0,0),P(0,0,1)，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,12),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12)， 设平面PBD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0， 令x =1，则y =−1，故m ⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，所以|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1√1+0+14×√1+1+0=√105， 所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√105；(Ⅰ)解：因为PF =12FB ，则PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗ −DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 故DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(0,0,1)+13(1,1,0)=(13,13,23)， 设平面DEF 的法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a +13b +23c =0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +12c =0，令c =2，则b =−1，a =−3，故n ⃗ =(−3,−1,2)，又平面ABCD 的一个法向量为s ⃗ =(0,0,1)，所以|cos <n ⃗ ,s ⃗ >|=|n ⃗ ⋅s ⃗ ||n ⃗ ||s ⃗ |=√9+1+4×√0+0+1=√147， 故平面DEF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为√147.【解析】(Ⅰ)取PD 的中点G ，连接AG ，GE ，利用中位线定理证明GE//DC ，GE =12DC ，从而可证明四边形AGEB 为平行四边形，得到BE//AG ，由线面平行的判定定理即可证明结论；(Ⅰ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBD 的法向量，由向量的夹角公式求解即可；(Ⅰ)利用向量线性运算以及向量的坐标运算求出DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用待定系数法求出平面DEF 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理和线面垂直的性质的应用，线面角与二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 22=a 1⋅a 4，且a 1=1，解得d =1，所以a n =n ；(II)因为b n =(12)n a n =n 2n ， 设T n =b 1+b 2+⋯+b n ， T n =121+222+⋯+n 2n ，① 12T n =122+223+⋯+n 2n+1，② ①-②得：12T n =12+122+123+⋯+12n −2n−12n+1， 所以T n =2−n+22n ， 则(−1)n λ<T n +n 2n ， 得(−1)n λ<2−22n， 当n 为偶数时，λ<32，当n 为奇数时，λ>−1，所以λ∈(−1,32).【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，根据条件列出方程，求出d ，进而可得通项公式； (Ⅰ)首先利用错位相减法求得T n ，代入不等式可得关于n 的不等式，分n 为奇数和偶数两种情况可得λ的取值范围．本题考查了等差数列的通项公式以及数列与不等式的综合，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{b =√3c a =12a 2=b 2+c 2， 解得b =√3，c =1，a =2.∴椭圆的方程为x 24+y 23=1；(Ⅰ)由题意可得以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1.∴圆心到直线l 的距离d =√5， 由d <1，可得|m|<√52，∴|CD |=2√1−d 2=2√1−4m 25=√5√5−4m 2， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立{y =−12x +m x 24+y 23=1， 化为x 2−mx +m 2−3=0，Δ=m 2−4(m 2−3)=12−3m 2>0，可得x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−3.∴|AB |=√[1+(−12)2][m 2−4(m 2−3)]=√152⋅√4−m 2， 由|AB ||CD |=5√34，得√4−m 25−4m 2=1，解得m =±√33满足题意．因此直线l 的方程为y =−12x ±√33.【解析】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．(Ⅰ)由题意可得{b =√3c a =12a 2=b 2+c 2，解出即可；(Ⅰ)由题意可得以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1，利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l 的距离d 及d <1，可得m 的取值范围．利用弦长公式可得|CD |=2√1−d 2.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2).把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB |=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2].由|AB ||CD |=5√34，即可解得m ，从而求解．20.【答案】解：(Ⅰ)f ′(x)=2x +a 1+x =2x 2+2x+a 1+x(x >−1)， 令g(x)=2x 2+2x +a ，其对称轴为x =−12，由题意知x 1，x 2是方程g(x)=0的两个均大于−1的不相等实根，所以{Δ=4−8a >0g(−1)=a >0，解得0<a <12， 所以a 的取值范围为(0,12)；(Ⅰ)当x ∈(−1,x 1)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(−1,x 1)上为增函数；当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(x 1,x 2)上为减函数；当x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(x 2,+∞)上为增函数；(Ⅰ)证明：由(Ⅰ)，知g(0)=a >0，∴−12<x 2<0，a =−(2x 22+2x 2)，∴f(x 2)=x 22+aln(1+x 2)=x 22−(2x 22+2x 2)ln(1+x 2) 设ℎ(x)=x 2−(2x 2+2x)ln(1+x)(−12<x <0)，则ℎ′(x)=2x −2(2x +1)ln(1+x)−2x =−2(2x +1)ln(1+x)，当x ∈(−12,0)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(−12,0)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(−12)=1−2ln24，即f(x 2)>1−2ln24. 【解析】(Ⅰ)由f(x)=x 2+aln(x +1)有两个极值点，可得f′(x)=0，即2x 2+2x +a =0在(−1,+∞)上有两个不等实根，然后求出a 的取值范围；(Ⅰ)根据函数单调性与导数的关系即可求解；(Ⅰ)由(1)知g(0)=a >0，可得−12<x 2<0，a =−(2x 22+2x 2)，则f(x 2)=x 22−(2x 22+2x 2)ln(1+x 2)，构造函数ℎ(x)=x 2−(2x 2+2x)ln(1+x)(−12<x <0)，求导判断函数ℎ(x)单调性，从而证明f(x 2)>1−2ln24成立． 本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了转化思想和函数思想，属难题．。