高等数学学习笔记

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高等数学学习笔记《代数学》辅导纲要代数运算与自然数主要内容：1、集合与映射的概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握1、由A→B的单映射σ的定义为：设，就推出，则称为从A到B 的单映射。

2、由A→B的满映射σ的定义为：设，则称为从A到B的满映射。

3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象4、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有种。

5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。

6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：②：.7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为:①：;②：8、自然数a>b的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k，则称a大于b,b小于a,记为a>b或b9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足：(1)如果a属于M,则它后面的数a’也属于M.则集合M 含有一切自然数，即M=N.10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。

11、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为。

12、若A是有限集合，则AA的不同映射个数为。

13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射不存在A到其真子集合的单映射15、若A为无限集合，则真子集合等价有关的映射17、存在从自然数N到整数集合Z的射(,)与代数系统(R,+)是同构的，其中表示正实数集合，R表示实数集合，与+就是通常的实数乘法与加法。

(,)到(R,+)的一一映射，例如lgx就可以证明上述论述。

19、令为正有理数集合，若规定，则：（1）{,}构成代数体系，但不满足结合律。

（2）{,}不构成代数体系，但满足结合律。

根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。

20、若在实数集合中规定=a+b-ab，其中+与是通常的加法与乘法满足结合律。

）c=成立21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。

高等数学a1_学习笔记

第一章：函数与极限1.1函数的定义与性质1.2极限的概念与计算1.3右极限与左极限1.4极限的性质第二章：连续性2.1连续函数的定义2.2连续性的判别2.3连续函数的性质2.4介值定理第三章：导数与微分3.1导数的定义与几何意义3.2导数的计算法则3.3微分的概念与应用3.4逻辑与高阶导数第四章：应用导数4.1函数的单调性与极值4.2曲线的凹凸性与拐点4.3应用导数解决实际问题4.4L'Hôpital法则第五章：定积分5.1定积分的定义与性质5.2定积分的计算方法5.3牛顿莱布尼茨公式5.4定积分的应用第六章：不定积分6.1不定积分的基本概念6.2常见的不定积分公式6.3不定积分的计算技巧6.4分部积分法与换元积分法第1章：函数与极限函数的定义与性质函数的定义：一个函数是一个将每个输入（自变量）与一个唯一的输出（因变量）相对应的关系。

通常用f(x)表示，其中x是自变量。

定义域：函数的定义域是所有可能的自变量x的集合。

值域：函数的值域是所有可能的因变量f(x)的集合。

例子：f(x)=x^2，定义域为所有实数，值域为所有非负实数。

单调性：如果对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则f(x)是单调递增的；反之则是单调递减的。

有界性：如果存在M，使得对所有x，|f(x)|≤M，则f(x)是有界的。

奇偶性：如果f(x)=f(x)，则f(x)是奇函数；如果f(x)=f(x)，则f(x)是偶函数。

周期性：如果存在T，使得f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期函数。

例子：正弦函数sin(x)是周期函数，其周期为2π。

复合函数：如果g(x)是另一个函数，则复合函数f(g(x))是将g(x)的输出作为f(x)的输入。

例子：若f(x)=x^2，g(x)=x+1，则复合函数f(g(x))=(x+1)^2。

反函数：若f(x)是单调函数，则存在反函数f^(1)(x)，使得f(f^(1)(x))=x。

高等数学第一章笔记

高等数学第一章笔记高等数学第一章笔记第一章的主要内容是函数和极限。

函数是数学中非常重要的概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

在高等数学中，我们主要研究实函数和实变量，即定义域和值域都是实数集的函数。

1. 函数的定义和性质函数是一种映射关系，它将定义域上的每个元素映射到值域上的唯一元素。

函数可以用公式、图像或者表格来表示。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。

2. 函数的运算函数之间可以进行加减乘除等基本运算。

例如，两个函数的和、差、积、商仍然是函数。

函数的复合也是一种常见的运算，表示将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

3. 函数的图像和性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示。

通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。

函数的图像可以用手绘或者计算机绘制。

4. 函数的极限极限是函数的重要概念，它描述了函数在某一点的趋势。

函数在某一点的左极限表示函数从左边趋近于这个点的情况，右极限表示函数从右边趋近于这个点的情况。

如果函数在某一点的左右极限相等，则函数在这一点处有极限。

5. 极限的性质和运算函数的极限具有一些重要的性质，如唯一性、保序性、保不等式性等。

在进行函数的极限运算时，我们可以利用极限的性质进行简化，如极限的四则运算、复合函数的极限等。

6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的每一点都有极限，并且函数的极限与函数值相等。

连续函数是一种重要的函数类型，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。

总结起来，高等数学第一章主要介绍了函数和极限的概念、性质和运算。

函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。

极限是函数在某一点的趋势，它描述了函数在这一点的值与函数在这一点的左右极限之间的关系。

理解和掌握函数和极限的概念和性质，对于后续学习高等数学的内容非常重要。

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（注意：符号、定义域、取指范围）函数与极限集合（集）、元素（元）、有限集、无限集、、N、N+、N*、Z、Q、R子集、相等、真子集、空集、Ø、、、A=B、、交集（交）、并集（并）、差集（差）、全集、基本集、补集、余集、、A-B、A\B、、集合的交、并、补运算定律：交换律、结合律、分配律、对偶律推出（蕴含）、、等价、直积、笛卡尔乘积、A×B开区间、(a,b)、闭区间、[a,b]、端点、半开区间、[a,b)、(a,b]、有限区间、无限区间邻域、U(a)、δ邻域、U(a,δ)、去心δ邻域、左δ邻域、右δ邻域内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域（开区域）、闭区域、有界集、无界集映射、、、像、原像、定义域、、值域、、满射、单射、一一映射（双射）、算子、泛函、变换、函数、逆映射、函数、自变量、因变量、定义域、值域、自然定义域、多值函数、上界、下界、有界、无界、单调增加、单调减少、单调函数、偶函数、奇函数、周期函数、周期、最小正周期、反函数、复合函数、中间变量多元函数、、自然定义域、基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）、初等函数反双曲函数双曲正弦双曲余弦双曲正切反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切数列、极限、一般项、收敛、发散、子数列（子列）、、、函数的极限、、无穷大、无穷小、铅直渐近线夹逼定理、单调数列、柯西存在准则（柯西审敛原理）两个重要极限：、（β是关于α的）高阶无穷小：、低阶无穷小：同价无穷小：k阶无穷小：等价无穷小：、α～β函数的连续性、增量、、左连续、右连续、一致连续不连续点（间断点）、无穷间断点、振荡间断点、可去间断点、跳跃间断点、第一类间断点（间断点处的左右极限都存在）、第二类间断点常用等价无穷小导数与微分导数、左导数、右导数、对数求导法、偏导数、、、偏增量、偏微分、全增量、全微分、全导数微分、费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理（微分中值定理）、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式、拉格朗日型余项、皮亚诺（Peano）型余项、麦克劳林公式、利用展开式求极限驻点（稳定点、临界点）、凹、凸、拐点、极大值、极小值、极值点。

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第1章函数§1 函数的概念一、区间、邻域自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R建立数轴后：建立某一实数集A与数轴上某一区间对应区间：设有数a,b,a<b,则称实数集{x|a<x<b}为一个开区间,记为<a,b>即<a,b>={x|a<x<b}a称为<a,b>的左端点,b称为<a,b>的右端点.a∉<a,b>,b∉<a,b>闭区间：[a,b]={x|a≤x≤b}a∈[a,b],b∈[a,b]半开区间：[a,b>={x|a≤x≤b},a∈[a,b>,b∉[a,b><a,b]={x|a<x≤b},a∈<a,b],b∉<a,b]a,b都是确定的实数,称<a,b>,[a,b>,<a,b],[a,b]为有限区间,"b−a〞称为区间长度.记号：+∞——正无穷大−∞——负无穷大区间：[a,+∞>={x|a≤x}<a,+∞>={x|a<x}<−∞,b]={x|x≤b}<−∞,b>={x|x<b}称为无穷区间〔或无限区间〕邻域：设有两个实数a,δ<δ>0>,则称实数集{x|a−δ<x<a+δ}为点a的δ邻域,记为N<a,δ>a称为N<a,δ>的中心,δ>0称为邻域N<a,δ>的半径.去心邻域：把N<a,δ>的中心点a去掉,称为点a的去心邻域,记为N<a^,δ>={x|0<|x−a|<δ}=N<a,δ>∖{a}注：其中,∖{a}表示去掉由a这一个数组成的数集.二、函数概念例1. 设圆的半径为x<x>0>,它的面积A=πx2,当x在<0,+∞>内任取一个数值〔记为∀x∈<0,+∞>〕时,由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值.例2. 设有半径为r的圆,作圆的内接正n边形,每一边对应的圆心角α=2πn,周长S n=n⋅2r sinπn,当边数n在自然数集N<n≥3>任取一个数,通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值.函数定义：设有数集X,Y,f是一个确定的对应法则,对∀x∈X,通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应,记为x→f y,或f<x>=y,则称f为定义在X上的函数.其中X称为f的定义域,常记为D f.X——自变量,Y——因变量.当X遍取X中的一切数时,那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f<x>,x∈X},称V f为函数f的值域.注意：〔1〕一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值X 围X所确定的.把"对应法则f〞、"定义域〞称为函数定义的两个要素.例如,y=arcsin<x2+2>这个式子,由于x2+2>2,而只有当|x2+2|≤1时,arcsin才有意义,因此这个式子不构成函数关系.又例如,y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数,因为定义域不同.而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数,因为定义域相同.〔2〕函数的值域是定义域和对应法则共同确定的.〔3〕确定函数定义域时,注意：若函数有实际意义,需依据实际问题是否有意义来确定.若函数不表示某实际问题,则定义域为自变量所能取得的使函数y=f<x>成立的一切实数所组成的数值.函数的几何意义：设函数y=f<x>定义域为D f,∀x∈D f,对应函数值y=f<x>在XOY平面上得到点<x,y>,当x遍取D f中一切实数时,就得到点集P={<x,y>|y=f<x>,x∈D f}.点集P称为函数y=f<x>的图形.三、函数的几个简单性质1. 函数的有界性若∃M>0,s.t.|f<x>|≤M,x∈I,则称y=f<x>在区间I上有界.否则称f<x>在I上无界.注：s.t.是"使得,满足于〞的意思,I表示某个区间.例如,y=sin x在I=<−∞,+∞>>上是有界的〔∵|sin x|≤1,x∈<−∞,+∞>〕.又如,y=1x2+1在<−∞,+∞>上有界.对任何正数M>0〔无论多么大〕,总∃x1∈I,s.t.|f<x1>|>M,则称f<x>在I上无界.例如,y=1x在<0,1>内无界.证明：对给定的M>0〔不妨设M>1〕,无论M多么大,必存在x1=12M∈<0,1>,使f<x1>=112M=2M>M函数的上界、下界：若∃M〔不局限于正数〕,s.t.f<x>≤M,∀x∈I,则称f<x>在区间I上有界.任何一个数N>M,N也是f<x>的一个上界.若∃P,s.t.f<x>≥P,∀x∈I,则称f<x>在区间I上有下界.若Q<P,则Q也是一个下界.f<x>在区间I上有界⇔f<x>在I上既有下界又有上界〔"⇔〞表示充分必要条件〕.证明：设f<x>在I上有界,根据定义,∃M>0,s.t.|f<x>|≤M,∀x∈I.|f<x>|≤M⇔−M≤f<x>≤M因此f<x>有下界−M,也有上界M〔对∀x∈I〕反之,设f<x>在I上既有下界m,又有上界N,即m≤f<x>≤N如果m=N=0,则f<x>≡0,∀x∈I∴f<x>在I上有界.如果m,N不同时为零,取M=max{|m|,|N|}>0,则−M≤−|m|≤m≤f<x>≤N≤|N|≤M即−M≤f<x>≤M⇒|f<x>|≤M,∀x∈I∴f<x>在I上有界.2. 函数的单调性若函数f<x>在区间I上,对任何x1,x2∈I,且x1<x2,恒有f<x1><f<x2>,则称f<x>在I上是严格单调增的.若x1<x2,恒有f<x1>≤f<x2>,则称f<x>在区间I上广义单调增〔或直接称为单调增,或称非减的〕.若x1<x2,恒有f<x1>>f<x2>,则称f<x>在I上严格单调减.类似地,也有广义单调减〔单调减,非增的〕的概念.例如,y=x2,D f=<−∞,+∞>在<0,+∞>上,y=x2严格单增.在<−∞,0>上,y=x2严格单减.又如,取整函数〔取一个数的整数部分〕：y=[x]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−1,−1≤x<00,0≤x<11,1≤x<22,2≤x<3......其函数图形如下：取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数.3. 函数的奇偶性若f<x>在关于原点对称的区间I上满足f<−x>=f<x>,则称f<x>为偶函数.若满足f<−x>=−f<x>,则称f<x>为奇函数.偶函数图形关于y轴对称〔例如：cos x,x2〕奇函数图形关于原点对称〔例如：sin x,x3〕4. 函数的周期性设f<x>的定义域为D f,如果存在非零的常数T,s.t.对任意的x∈D f,有<x±T>∈D f,且f<x+T>=f<x>,则称f<x>为周期函数,T称为f<x>的周期〔通常周期是指最小正周期〕.四、复合函数,反函数1. 复合函数设y=u√,u=1−x2,把u=1−x2代入y=u√中,得到y=1−x2−−−−−√,称为由y=u√与u=1−x2复合而成的复合函数.一般定义：设y=f是数集Y上的函数〔Y是f的定义域〕,u=φ<x>的定义域为X,值域为Yφ,且Yφ≠Φ〔Φ表示空集〕,Yφ⊆Y〔表示Yφ是Y的子集〕,这时,对∀x∈X,通过u都有唯一的y值与之对应,从而在X上产生一个新函数,用f⋅φ〔中间是一个实心的点〕表示,称f∘φ〔中间是一个空心的圈〕为X上的复合函数：f→f⋅φy,或y=f[φ<x>]y=f[φ<x>]的定义域：由u=φ<x>的定义域中使函数u=φ<x>的值域Yφ满足Yφ⊆Y的那一部分实数组成.1. 复合函数y=f,u=φ<x>⇒y=f[φ<x>]注意：f[φ<x>]与φ<x>定义域不一定相同.例1. 设f<x>=x2+1x2−1,φ<x>=11+x,求f[φ<x>]并确定定义域.解：f[φ<x>]=[φ<x>]2+1[φ<x>]2−1=[11+x]2+1[11+x]2−1=−x2+2x+2x<x+2>当x≠−1〔由11+x可知〕且x≠0,x≠−2时f[φ<x>]有定义.即f[φ<x>]定义域为：<−∞,−2>∪<−2,−1>∪<−1,0>∪<0,+∞>2. 反函数设有函数y=f<x>,定义域D f,值域V f.∀y∈V f,至少可以确定一个x∈D f,s.t.f<x>=y,如果把y看作自变量,把x看作因变量,由函数概念,可以看到一个新函数,记为x=f−1<y>,称为y=f<x>的反函数.反函数的定义域为V f,值域为D f,把y=f<x>称为直接函数,x=f−1<y>称为反函数.注意：1.虽然直接函数y=f<x>是单值的,但反函数x=f−1<y>不一定是单值的.例如,函数y=x2,D f:<−∞,+∞>,V f:[0,+∞]反函数x=f−1<y>不是单值的〔因为对∀y∈[0,+∞],得到x=±y√,有两个值−y√,+y√,为双值函数〕.x=y√是一个单值支.2.如果直接函数y=f<x>严格单调,则其反函数x=f−1<y>也是单值单调的.3.直接函数y=f<x>与反函数x=f−1<y>图形相同,习惯上以x表示自变量,y表示因变量,反函数记为y=f−1<x>.这时,y=f<x>与y=f−1<x>的图形关于直线y=x对称,如下图所示：例1. 设y=f<x>={x2,−2<x<1x2,1≤x≤2,求反函数y=f−1<x>解：当−2<x<1时,y=x2,−1<y<12⇒x=2y,定义域−1<y<12当1≤x≤2时,y=x2,−1≤y≤4⇒x=+y√〔因为x是正数〕,定义域−1≤y≤4综上所述,反函数为：x=f−1<y>={2y,−1<y<12y√,−1≤y≤4或：y=f−1<x>={2x,−1<x<12x√,−1≤x≤4ξ2初等函数一、基本初等函数6类函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常量函数〔例如y=C〕称为基本初等函数.二、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的、能够用一个数学式子表达的函数称为初等函数.例如：y=arcsin1−x2−−−−−√,y=ln<x+e x>初等函数结构分析例如：分析y=ln<1+x√>的结构解：y=ln u,u=1+x√=1+x12令u=1+x12,v=1,w=x12∴y=ln u,u=v+w,v=1,w=x12三、双曲函数双曲正弦函数shx=ex−e−x2双曲余弦函数chx=ex+e−x2双曲正切函数thx=shxchx=ex−e−xex+e−x以上函数与三角函数有类似性质：ch2x−sh2x=1sh2x=2shxchx类似于sin2x=2sin x cos xch2x=ch2x+sh2x三角函数有周期性,双曲函数没有周期性,这是最大的区别.反双曲正弦函数：arshx注意：不是arc反双曲余弦函数：archx反双曲正切函数：arthx求双曲函数的反函数的表达式：令y=arshx⇒x=shy=ey−e−y2令u=e y⇒2x=u−1u⇒u2−2xu−1=0由二次方程的求根公式,得：u=2x±4x2+4√2=x±x2+1−−−−−√即e y=x±x2+1−−−−−√∵e y>0∴e y=x+x2+1−−−−−√∴y=ln<x+x2+1−−−−−√>即arshx=ln<x+x2+1−−−−−√>用类似方法可推出：arshx=ln<x+x2+1−−−−−√>archx=ln<x+x2−1−−−−−√>arthx=12ln<1+x1−x>第2章极限主要内容：一、极限概念：数列概念、函数概念二、极限性质和运算,无穷小概念和比较三、函数的连续性ξ1数列的极限一、数列极限定义数列：设有定义在自然数集N上的函数u n=f<n>,称为整标函数〔标是指下标n〕.把函数值u n按照自然数n的顺序排列出来的无穷数串：u1,u2,u3,⋯,u n,⋯叫作数列〔序列〕,第n项u n称为一般项.数列简记为{u n},即{u n}表示u1,u2,⋯,u n,⋯例如：{nn+1}:12,23,34,⋯,nn+1,⋯{12n}:12,122,123,⋯,12n,⋯{1+<−1>n2}:0,1,0,1,⋯,1+<−1>n2,⋯{2n+<−1>n−1n}:3,32,73,74,115,116,⋯, 2n+<−1>n−1n,⋯要研究的问题：当n无限增大时〔记为n→∞〕,数列{u n}能否与某一常数A无限接近？如果{u n}能与A无限接近,在数学上如何描述？例如,设u n=2n+<−1>n−1n,当n→∞时{u n}的变化趋势如何？〔一般地说,两个常数a,b,用|a−b|来描述两数接近的程度〕u n=2n+<−1>n−1n=2+<−1>n−1n⇒u n−2=<−1>n−1n⇒|u n−2|=|<−1>n−1n|=1n∴当n越大,1n越小,u n与2越接近.给定一个很小的正数1100,则由|u n−2|=1n<1100⇒n>100,只要n>100,就有|u n−2|<1100|u n−2|<1100⇔2−1100=N<2,1100>〔此邻域以2为中心,以1100为半径〕当n>100时,|u n−2|<1100,说明u101,u102,⋯都落在N<2,1100>邻域内.同理给定正数11000,同理可推出：当n>1000时,|u n−2|<11000,u1001,u1002,⋯都落在N<2,1100>邻域内.无论给定多么小的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时的一切u n满足|u n−2|<ε从几何上看,给定邻域N<2,ε>,无论〔半径〕多么,总存在N,使得当n>N时,u n+1,u n+2,⋯都落在N<2,ε>内.数列极限定义：已知数列{u n}和常数A,如果对于任意给定的正数ε,都存在正整数N,使得对于n>N的一切u n,不等式|u n−A|<ε恒成立,则称当n→∞时,{u n}以A为极限,或{u n}收敛于A.记为：lim n→∞u n=A,或u n→A<n→∞>如果u n无极限,就说{u n}发散〔n→∞〕说明：1. 定义中的ε是任意给定的,只有任意给定ε>0,不等式|u n−A|<ε才能表达u n与A无限接近.2. 定义中的N与ε有关,记为N<ε>.随着ε的给定选定N,且N不唯一.3. 定义只描述了n→∞时u n→A,但未提供求A的方法.4. 定义的几何意义：任意给定邻域N<A,ε>,则必存在N,使u N+1,u N+2,⋯落在N<A,ε>内.例1. 证明lim n→∞2n+<−1>n−1n=2证：一般项u n=2n+<−1>n−1n=2+<−1>n−1n|u n−2|=|<−1>n−1n|对于任意给定的ε>0,为了使|u n−2|<ε,只需1n<ε即可〔这是由于|<−1>n−1|=1,而n>0,故1|n|=1n,即|<−1>n−1n|=1n〕或者说,n>1ε即可.所以,对于任意给定的ε>0,取正整数N=[1ε]〔注：[]表示取整符号〕当n>N时,,恒有不等式|u n−2|=|2n+<−1>n−1n−2|=1n<ε按数列极限定义,可知lim n→∞2n+<−1>n−1n=2注：有人可能不解——为什么N取[1ε]时,当n>N时有1n<ε？这里举一个实际的例子：假设ε=0.003,则N=[1ε]=[333.333333⋯]=333,当n>N时,n≥334,即1n=0.002994⋯<ε例2. 证明当n→∞时,<n−1><2n−1>6n2→13证：u n=<n−1><2n−1>6n2=13−12n+16n2⇒u n−13=−12n+16n2⇒|u n−13|=|12n−16n2|=12n|1−13n|<12n〔这是13n>0且13n<1⇒1−13n∈<0,1>对于任意给定的ε>0,只要12n<ε恒成立,即可证明成功.即,n>12ε时,便可得|u n−13|<12n<ε所以,对任意给定的ε>0,取正整数N=[12ε],则当n>N时,恒有|u n−13|<12n<ε按数列极限定义,有lim n→∞<n−1><2n−1>6n2=13注意：利用数列极限定义来验证lim n→∞u n=A时,关键步骤是指明定义中的N确实存在.由于N不是唯一的,所以不一定要找最小的N,只要找到一个N就可以了.例如,知道|u n−A|=φ<n>〔整标函数〕,那么由φ<n><ε,求出N,这时,n>N时φ<n><ε,从而知道|u n−A|<ε例3. 证明lim n→∞<−1>n<n+1>2=0证：|u n−0|=|<−1>n<n+1>2−0|=1<n+1>2<1n2<1n<φ<n>=1n>对任意给定的ε>0,只要φ<n>=1n<ε,即n>1ε时,恒有不等式|<−1>n<n+1>2−0|<ε所以,按照极限定义,lim n→∞<−1>n<n+1>2=0收敛数列的两个性质：1.定理1若{u n}的极限存在,则极限值是唯一的.证：〔用反证法来证明〕若{u n}收敛,且极限不唯一,即：同时有lim n→∞u n=a,lim n→∞u n=b,且a<b〔注：这是假设的〕由于lim n→∞u n存在,所以对于给定的ε=b−a4>0,有：必存在正整数N1,使得当n>N1时,恒有|u n−a|<b−a4；同理,必存在正整数N2,使得当n>N2时,恒有|u n−b|<b−a4.取N=max{N1,N2},则当n>N时,上面两个不等式同时成立.∴b−a=b−u n+u n−a≤|b−u n|+|u n−a|<b−a4+b−a4=b−a2而上式b−a<b−a2是不成立的∴lim n→∞u n是唯一的.例：证明数列{u n}={<−1>nnn+1}是发散的.证：{u n}:−12,23,−34,45,⋯当n取奇数2m−1<m<N>时,得到数列〔注：对应到原来的u1,u3,u5,⋯〕：−12,−34,−56,⋯,−2m−12m,⋯数列{u2m−1}从−12开始单调减.当n取偶数2m<m∈N>时,得到数列〔注：对应到原来的的u2,u4,u6,⋯〕：23,45,67,⋯,2m2m+1,⋯数列{u2m}从23开始单调增.如下图所示：下面,用反证法来证明.在这之前,要做一个准备工作〔进行一个"无厘头〞的推导〕,因为后后面的反证法会用到这个结论：u2−u1=23−<−12>=76>1这说明,距离最短的两个点u1,u2之间的距离大于1.这个无厘头的结论在后面会用到.假设u n→A<n→∞>〔A是唯一的〕由极限定义,给定正数ε=12>0,必存在一个正整数N,使得当n>N时,恒有不等式|u n−A|<12∴A−12,<n>N>∴u N+1,u N+2,u N+3,⋯∈<A−12,A+12>区间<A−12,A+12>长度为1而u N+1,u N+2落在长度为1的区间<A−12,A+12>内是不可能的〔由前面推导的"无厘头〞结论可知,距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内〕∴{<−1>nnn+1}是发散的.证毕.有界数列：对于数列{u n},如果存在一个正数M>0,使得一切u n都有|u n|≤M,则称{u n}有界.2.定理2如果{u n}收敛,则{u n}一定是有界的.证：∵{u n}收敛,可设lim n→∞u n=A由极限定义,对给定正数ε=1,必存在正整数N,使得n>N时,恒有|u n−A|<1⇔A−1N>〔有限个数,最大值一定存在〕于是|u n|≤M<n=1,2,⋯>∴{u n}是有界的.ξ2函数的极限讨论x为连续自变量时,函数y=f<x>的极限.1. 自变量x任意地接近于定值x0,或x趋向于x0〔记为x→x0〕,对应的函数值f<x>的变化趋势.2. 自变量x的绝对值|x|无限增大〔记为x→∞〕,对应的函数值f<x>的变化趋势.一、自变量x趋向于定值x0时,f<x>的极限假设函数f<x>在x0点的某邻域内有定义〔在x0点f<x>可以无定义,这并不影响我们讨论问题〕,问题：当x任意地趋近于x0时,即x→x0时,对应函数值f<x>是否无限接近于常数A？分析：当x→x0的过程中,对应函数值f<x>无限接近于常数A⇔当x→x0的过程中,|f<x>−A|能任意地小⇔当x→x0的过程中,对任意给定的整数ε>0,|f<x>−A|<ε当x→x0的过程中,只有充分接近x0的那些x,才能使|f<x>−A|<ε."充分接近x0的那些x〞这句话这样来定义：存在一个很小的正数δ>0,0<|x−x0|这样一个不等式就描述了x充分接近x0.定义：设有函数f<x>在x0点的某一去心邻域内有定义,A为一常数.如果对于任意给定的正数ε>0,都存在一个正数δ>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的函数值f<x>都满足：|f<x>−A|<ε则称x→x0时,f<x>以A为极限.记为：lim x→x0f<x>=A,或f<x>→A<x→x0>lim x→x0f<x>=A的几何意义〔如下图所示〕：对常数A,ε>0,在xOy平面上作直线y=A+ε,y=A−ε,对δ>0,得邻域N<x^0,δ>,当x∈N<x^0,δ><x≠x0>时,由定义可知,点M<x,f<x>>一定在y=A−ε与y=A+ε的区域内.下面用lim x→x0f<x>=A定义来证明一些函数极限等式.例1. lim x→x0C=C证：f<x>≡C,x0为一定值,A=Cf<x>−A=C−C≡0因此,对任意给定的δ>0,凡是适合0<|x−x0|<δ的一切x,都使|f<x>−A|=0<ε所以,按极限定义得lim x→x0C=C例2. 证明lim x→x0x=x0证：f<x>=x,A=x0,|f<x>−A|=|x−x0|因此,对任意给定的ε>0,取δ=ε,则当0<|x−x0|<δ=ε时,都能使|f<x>−A|=|x−x0|<ε按极限定义,有lim x→x0x=x0例3. 证明lim x→1<3x−5>=−2证：f<x>=3x−5,x0=1,A=−2|f<x>−A|=|<3x−5>−<−2>|=|3x−3|=3|x−1|对任意给定的ε>0,为了使3|x−1|<ε〔即|x−1|<ε3〕,可以取δ=ε3,则适合不等式0<|x−1|<δ的一切x都能使|f<x>−A|=3|x−1|=3⋅ε3=ε按照极限的定义,有lim x→1<3x−5>=−2例4. 证明lim x→111+x√=12证：f<x>=11+x√,x0=1,A=12|f<x>−A|=∣∣11+x√−12∣∣=∣∣1−x√2<1+x√>∣∣=∣∣∣<1−x√><1+x√>2<1+x√>2∣∣∣=∣∣x−1∣∣2<1+x√>2<∣∣x−1∣∣2<ε则当|x−1|<2ε时,就有|f<x>−A|<ε因此,对任意给定的ε>0,取δ=2ε,则适合0<|x−1|<δ的一切x,都使得|f<x>−A|=∣∣11+x√−12∣∣<ε按照极限的定义,有lim x→111+x√=12lim x→x0f<x>=Ax可以从x0的左侧趋于x0,也可以从右侧趋于x0.当从x0的左侧趋于x0<x<x0>时,记为x→x0−,或x→x0−0左极限：对于任意ε>0,都存在δ>0,凡适合x0−δ<x<x0的一切x,对应的函数值f<x>都满足|f<x>−A|<ε,则称A为f<x>的左极限.记为：lim x→x0−f<x>=A 或lim x→x0−0f<x>=A可统一表示为f<x0−0>=A右极限：把定义中0<|x−x0|<δ改为x0<x<x0+δ,其他不变,则得到右极限的定义.记为：lim x→x0+f<x>=A或lim x→x0+0f<x>=A可统一表示为f<x0+0>=Alim x→x0f<x>=A⇔f<x0−0>,f<x0+0>都存在且极限值都等于A〔注：⇔表示充分必要条件〕二、自变量x趋向于无穷大〔记为x→∞〕时函数f<x>的极限数列u n=f<n>,当n→∞时的极限,可以看作是f<x>当x→∞时的极限的特殊情形.依照数列极限定义,给出f<x>当x→∞时的极限定义：设函数f<x>在|x|充分大时有定义,A为常数,如果对于任意给定的ε>0,都存在正数N,使得凡是适合|x|>N的一切x,对应的函数值f<x>都满足|f<x>−A|<ε,则称当x→∞时,f<x>以A为极限.记为：lim x→∞f<x>=A或f<x>→A<x→∞>如果只考虑x>0,且|x|无限增大〔记为x→+∞〕,上面定义中把|x|>N改为x>N,就得到lim x→+∞f<x>=A的定义.如果只考虑x<0,且|x|无限增大〔记为x→−∞〕,上面定义中把|x|>N改为x<−N,就得到lim x→−∞f<x>=A的定义.lim x→∞f<x>=A⇔lim x→−∞f<x>和lim x→+∞f<x>都存在且等于A〔注：⇔表示充分必要条件〕例：证明lim x→∞11+x2=0证：f<x>=11+x2,A=0|f<x>−A|=∣∣11+x2−0∣∣=11+x2<1x2<ε对任意给定的ε>0,为了使|f<x>−A|<ε,只需1x2<ε,即x2>1ε⇒|x|>1ε√因此,对任意给定的ε>0,取N=1ε√,凡是适合不等式|x|>N的一切x,对应的函数值f<x>都满足：|f<x>−A|=∣∣11+x2−0∣∣<ε按定义,有lim x→∞11+x2=0三、无穷小量与无穷大量1.无穷小〔量〕如果lim x→x0f<x>=0〔或lim x→∞f<x>=0〕,则称当x→x0〔或x→∞〕时,f<x>是无穷小〔量〕.注意：①不能把一个很小的数看作无穷小.②常数0可以看作是无穷小的唯一一个常数.2.无穷大〔量〕如果当x→x0〔或x→∞〕时,对应的函数值f<x>的绝对值无限增大,则称当x→x0〔或x→∞〕时,f<x>是无穷大〔量〕.或者这样表述：若对于任意给定的正数M>0〔无论M多么大〕,总存在δ>0,凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x,对应的函数值f<x>都满足|f<x>|>M,则称当x→x0时,f<x>是无穷大,记为lim x→x0f<x>=∞注意：上式并不说明极限存在,只是说明其极限为无穷大量,无穷大不是一个常数.把上面定义中的"总存在δ>0,凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x〞改为"总存在正数N,凡是适合不等式|x|>N的一切x〞,其余表述不变,则得到lim x→∞f<x>=∞注意：1.不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈；2.无穷大一定是无界函数,但无界函数不一定是无穷大.我们来证明一下结论2.先证明无穷大一定是无界函数.证：设lim x→x0f<x>=∞〔或lim x→∞f<x>=∞〕,即f<x>是无穷大对任意给定的正数M>0〔无论多么大〕,一定存在δ>0〔存在N>0〕,使得：|f<x>|>M〔对∀x∈N<x^0,δ>,或|x|>N〕所以,在N<x^0,δ>内〔或|x|>N〕,f<x>无界.证毕.再证明无界函数不一定是无穷大.证：此处举一个实例即可证明这一点.证明f<x>=x sin x在<0,+∞>内是无界函数；但是当x→+∞时,f<x>不是无穷大.先证f<x>=x sin x在<0,+∞>内是无界函数.对任何M>0〔无论多么大〕,现取足够大的正整数n,使x n=2nπ+π2>M,则：f<x n>=x n sin x n=<2nπ+π2>sin<2nπ+π2>=<2nπ+π2>⋅1>M可见,f<x>在<0,+∞>内是无界的.再证x→+∞时,f<x>=x sin x不是无穷大.给定M=1,则无论多么大的正整数N,当n>N时,x n=nπ>Nf<x n>=x n sin x n=nπsin nπ=0<1=M所以f<x>不是无穷大.即,当x→+∞时,f<x>不是无穷大.证毕.3. 无穷小与无穷大的关系定理：如果当x→x0〔或x→∞〕时f<x>是无穷大,则1f<x>是无穷小,如果当x→x0〔或x→∞〕时f<x>是无穷小,且f<x>≠0,则1f<x>是无穷大.证：下面只证x→x0的情形,x→∞的情形可类推.①设x→x0时,f<x>是无穷大,即lim x→x0f<x>=∞任意给定ε>0,因lim x→x0f<x>=∞,对于正数M=1ε,一定存在δ>0,使适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>满足|f<x>|>M=1ε∴∣∣1f<x>∣∣<ε,即lim x→x01f<x>=0即当x→x0时,1f<x>是无穷小.②设当x→x0时,f<x>是无穷小,且f<x>≠0任意给定正数M>0〔无论多么大〕,因lim x→x0f<x>=0对ε=1M,一定存在δ>0,使适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>满足|f<x>|<ε=1M⇒∣∣1f<x>∣∣>M即当x→x0时,1f<x>是无穷小.证毕.四、海涅定理/Heine定理连续自变量x的函数f<x>的极限lim x→x0f<x>〔或lim x→∞f<x>〕存在的充分必要条件：对任选的数列{x n|x n→x0,x n≠x0}〔或x n→∞〕,其所对应的数列{f<x n>}有同一极限.例. 〔用海涅定理〕证明当x→0时,f<x>=sin1x的极限不存在.证：取x n=1nπ,lim n→∞x n=lim n→∞1nπ=0f<x n>=sin1xn=sin nπ=0,{f<x n>}={0}〔即数列的每一项都为0〕∴lim n→∞f<x n>=0取x n′=12nπ+π2→0f<x n′>=sin<2nπ+π2>=1,{f<x n′>}={1}〔即数列的每一项都为1〕∴lim n→∞f<x n′>=1∵lim n→∞f<x n>≠lim n→∞f<x n′>∴lim x→0f<x>不存在〔由海涅定理可知〕ξ3函数极限的性质和极限的运算一、极限值与函数值的关系1. 〔极限值的唯一性〕如果lim x→x0f<x>存在,则其极限值是唯一的下面证明这个结论.证：用反证法来证明.设lim x→x0f<x>存在且不唯一：lim x→x0f<x>=A,lim x→x0f<x>=B,且A<B即B−A>0,这个假设后面要用到.对给定正数ε=B−A4>0,由于lim x→x0f<x>=A,故由极限定义,对正数ε=B−A4,一定存在δ1>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ1的一切x,所对应的函数值f<x>恒有|f<x>−A|<B−A4.同理,对给定正数ε=B−A4>0,由于lim x→x0f<x>=B,故由极限定义,对正数ε=B−A4,一定存在δ2>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ2的一切x,所对应的函数值f<x>恒有|f<x>−B|<B−A4.取δ=min{δ1,δ2},则凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x,可以使以下两个不等式同时成立：|f<x>−A|<B−A4,|f<x>−B|<B−A4从而有：B−A=|B−f<x>+f<x>−A|≤|B−f<x>|+|f<x>−A|<B−A4+B−A4=B−A2即B−A<B−A2,而在B−A>0的情况下,这是不可能成立的.∴lim x→x0f<x>=A是唯一的.2. 极限值与函数值的同号性<1>设lim x→x0f<x>=A,且A>0〔或A<0〕,则必存在N<x^0>,s.t.∀x∈N<x^0>,都有f<x>>0〔或f<x><0〕.证：设A>0,由lim x→x0f<x>=A和极限定义,可知：对正数0<ε≤A,一定存在δ>0,s.t.适合不等式0<|x−x0|<δ〔即x ∈N<x^0,δ>〕的一切x,恒有|f<x>−A|<ε,即A−ε<f<x><A+ε∵0<ε≤A∴A−ε≥0即0≤A−ε<f<x>,其中x∈N<x^0,δ>证毕.<2>设lim x→x0f<x>=A,且在N<x^0>内f<x>≥0,则A≥0.证：用反证法来证明.假如A<0,又lim x→x0f<x>=A由已证的<1>,可知存在N<x^0>,使f<x><0,x∈N<x^0>这与f<x>≥0的假设矛盾,所以<2>成立.例1. 设f<x>在x0点的某邻域N<x0>内有定义,且lim x→x0f<x>−f<x0><x−x0>2=−1,则必存在某邻域N<x0,δ>,使：<A>f<x>>f<x0>f<x><f<x0>〔此项为正确答案〕<C>f<x>=f<x0><D>不能判断f<x>与f<x0>的大小关系解：令F<x>=f<x>−f<x0><x−x0>2,则lim x→x0F<x>=−1<0由前面所证的结论<1>可知：一定存在N<x0,δ>,使F<x><0,x∈N<x0,δ>由F<x>=f<x>−f<x0><x−x0>2<0⇒f<x>−f<x0><0⇒f<x><f<x0>〔分母为正数〕3.〔有界性〕如果当x→x0〔或x→∞〕时f<x>→A〔常数〕,则一定存在x0的某个邻域N<x^0>〔或存在N>0,|x|>N〕,使得f<x>是有界的.证：已知lim x→x0f<x>=A,由极限定义,对给定正数ε=1>0,必定存在δ>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ〔即x∈N<x^0,δ>〕的一切x所对应的f<x>,恒有：|f<x>−A|<1⇔A−1<f<x><A+1即f<x>在N<x^0,δ>内既有上界,又有下界⇒f<x>在N<x^0,δ>内有界.证毕.二、函数极限与无穷小的关系设lim x→x0f<x>=A〔或lim x→∞f<x>=A〕,讨论f<x>,A之间有何关系？<定理> lim x→x0f<x>=A〔或lim x→∞f<x>=A〕,A为常数⇔f<x>=A+α<x>,且lim x→x0α<x>=0〔或lim x→∞α<x>=0〕证：左推右：设lim x→x0f<x>=A〔或lim x→∞f<x>=A,下面只证前一种情况〕,根据函数极限定义,对任意给定的ε>0,一定存在δ>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>,恒有|f<x>−A|<ε.令α<x>=f<x>−A,就有|α<x>|<ε从而有f<x>=A+α<x>,lim x→x0α<x>=0右推左：设f<x>=A+α<x>,lim x→x0α<x>=0根据极限定义,对任意给定的ε>0,一定存在δ>0,使得凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>,恒有|α<x>|<ε由f<x>=A+α<x>⇒α<x>=f<x>−A由|α<x>|<ε⇒|f<x>−A|<ε,即lim x→x0f<x>=A证毕.三、无穷小的性质1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小证：只证两个无穷小的情形〔更多个的情形,用数学归纳法便可得结果〕.设有lim x→x0α<x>=0,lim x→x0β<x>=0,需要证明：lim x→x0[α<x>+β<x>]=0由极限定义可知：任意给定正数ε>0,对正数ε2>0,一定存在δ1>0,使得凡是适合不等式0<|x−x0|<δ1的一切x所对应的α<x>,恒有|α<x>|<ε2同理,对正数ε2>0,一定存在δ2>0,使得凡是适合不等式0<|x−x0|<δ2的一切x所对应的β<x>,恒有|β<x>|<ε2取δ=min{δ1,δ2}>0,当0<|x−x0|<δ时,这些x所对应的α<x>,β<x>同时满足：|α<x>|<ε2,|β<x>|<ε2从而有：|α<x>+β<x>|≤|α<x>|+|β<x>|<ε2+ε2=ε∴lim x→x0[α<x>+β<x>]=0,即当x→x0时,α<x>+β<x>是无穷小.证毕.2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小证：设f<x>在N<x^0,δ1>,δ1>0内有界,即存在M>0,δ1>0,使得f<x>≤M,x∈N<x^0,δ1>又设lim x→x0α<x>=0〔即当x→x0时,α<x>是无穷小〕要证明的是：当x→x0时,f<x>α<x>是无穷小.即要证：lim x→x0[f<x>α<x>]=0根据极限,任意给定ε>0,对εM>0,一定存在δ2>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ2的一切x所对应的α<x>恒有|α<x>|<εM现取δ=min{δ1,δ2}>0,则凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x,都会使|f<x>|≤M,且|α<x>|<εM从而有|f<x>α<x>|=|f<x>||α<x>|<M⋅εM=ε即lim x→x0[f<x>α<x>]=0证毕.对一个常数C,f<x>≡C为有界函数；对lim x→x0γ<x>=0,在N<x^0>内γ<x>是有界函数,所以有：1∘常数与无穷小的乘积仍是无穷小2∘两个无穷小的乘积仍是无穷小〔有限个无穷小的乘积仍是无穷小〕3∘设lim x→x0f<x>=A≠0,lim x→x0α<x>=0〔或x→∞〕,则lim x→x0α<x>f<x>=0〔或x→∞〕证：α<x>f<x>=1f<x>⋅α<x>要证lim x→x0α<x>f<x>=0〔即α<x>f<x>是无穷小〕,只需证1f<x>是有界的,再由性质2∘就可得到性质3∘的结论.∵lim x→x0f<x>=A≠0,由极限定义,对给定正数ε=∣∣A∣∣2>0,必定存在δ>0,使得凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>,恒有|f<x>−A|<∣∣A∣∣2又由|A|−|f<x>|≤|f<x>−A|<∣∣A∣∣2⇒|A|−|f<x>|<∣∣A∣∣2⇒|A|−∣∣A∣∣2<|f<x>|〔注：两个数差的绝对值一定≥它们绝对值的差〕∴0<∣∣A∣∣2<|f<x>|∴∣∣1f<x>∣∣<2∣∣A∣∣〔2∣∣A∣∣相当于有界函数定义中的M〕∴1f<x>在N<x^0,δ>内是有界的.所以结论成立.证毕.四、极限的四则运算公式以下公式中,自变量都是x→x0,或者都是x→∞设lim f<x>=A,lim g<x>=B,则有：1. lim[f<x>±g<x>]=A±B=lim f<x>±lim g<x>2. lim[f<x>g<x>]=AB=lim f<x>lim g<x>若C是常数,则lim[Cf<x>]=CA=C lim f<x>若n是正整数,lim[f<x>]n=lim[f<x>⋅f<x>⋯f<x>]=A n=[lim f<x>]n证明：由函数极限与无穷小的关系：lim f<x>=A⇔f<x>=A+α<x>,limα<x>=0lim g<x>=B⇔g<x>=B+β<x>,limβ<x>=0f<x>g<x>=[A+α<x>][B+β<x>]= AB+[Aβ<x>+Bα<x>+α<x>β<x>]=AB+γ<x>其中γ<x>=Aβ<x>+Bα<x>+α<x>β<x>由无穷小的性质,可知γ<x>是无穷小,即f<x>g<x>=AB+γ<x>,limγ<x>=0lim[f<x>g<x>]=AB=lim f<x>⋅lim g<x>证毕.3. 若B≠0,则lim f<x>g<x>=AB=lim f<x>lim g<x>证：f<x>g<x>−AB=A+α<x>B+β<x>−AB=Bα<x>−Aβ<x>B[B+β<x>]f<x>g<x>=AB+γ<x>,γ<x>=Bα<x>−Aβ<x>B[B+β<x>]∵Bα<x>,Aβ<x>都是无穷小∴lim[Bα<x>−Aβ<x>]=0,即分子为无穷小又∵lim B[B+β<x>]=lim[B2+Bβ<x>]=B2≠0由无穷小性质3可知limγ<x>=0证毕.4. 设f<x>≥g<x>,而lim f<x>=A,lim g<x>=B,则必有A≥B证：令F<x>=f<x>−g<x>≥0,则权限的四则运算公式得：lim F<x>=lim[f<x>−g<x>]=lim f<x>−lim g<x>=A−B根据函数值与极限值的同号性定理,可知：lim F<x>=A−B≥0⇒A≥B证毕.例1. 求lim x→−12x2+x−43x2+2解：lim x→−1<3x2+2>=lim x→−1<3x2>+lim x→−12=3lim x→−1x2+2=3<lim x→−1x>2+2=3⋅<−1>2+2=5lim x→−1<2x2+x−4>=lim x→−1<2x2>+lim x→−1x−lim x→−14=2<lim x→−1x>2−1−4=2⋅<−1>2−5=−3∴lim x→−12x2+x−43x2+2=lim x→−1<2x2+x−4>lim x→−1<3x2+2>=−35一般地,有：R<x>=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+anb0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm分母的极限：lim x→x0<b0x m+b1x m−1+⋯+b m−1x+b m>=lim x→x0∑j=0m b j x m−j=∑j=0m<lim x→x0b j x m−j>=∑j=0m b j x0m−j分子的极限：lim x→x0<a0x n+a1x n−1+⋯+a n−1x+a n>=lim x→x0∑i=0m a i x n−i=⋯=∑i=0n a i x0n−i若分母极限∑j=0m b j x0m−j≠0,则：lim x→x0R<x>=∑i=0naix0n−i∑j=0mbjx0m−j=R<x0>例2. 求lim x→2x2−3x+2x2−5x+6解：由于lim x→2<x2−5x+6>=4−10+6=0,所以不能用极限的四则运算公式.原式=lim x→2<x−1><x−2><x−3><x−2>=lim x→2x−1x−3=1−1=−1例3. 求lim x→1x2+1x−1解：lim x→1<x−1>=lim x→1x−1=1−1=0lim x→1<x2+1>=[lim x→1x]2+1=2≠0∵lim x→11x2+1x−1=lim x→1x−1x2+1=lim x→1<x−1>lim x→1<x2+1>=02=0∴当x→1时,1x2+1x−1是无穷小由无穷小与无穷大的关系〔无穷小的倒数是无穷大〕,可知lim x→1x2+1x−1=∞例4. 求lim x→1<1x−1−2x2−1>解：当x→1时,1x−1→∞,2x2−1→∞∴不能直接用极限的四则运算公式来计算.lim x→1<1x−1−2x2−1>=lim x→1x+1−2x2−1=lim x→1x−1x2−1=lim x→1x−1<x−1><x+1>=lim x→11x+1=12例5. 求lim x→∞2x2+5x+1x2−4x−8解：分子、分母同时除以x2〔选分子多项式与分母多项式中最高的次数〕,得：原式=lim x→∞2+5x+1x21−4x−8x2=lim x→∞2+5lim x→∞1x+<lim x→∞1x>2lim x→∞1−4lim x→∞1x−8<lim x→∞1x>2=2+0+01−0−0=2ξ4极限存在准则,两个重要极限一、准则1：夹挤准则若在N<x0,δ0>内〔δ0>0〕,有F<x>≤f<x>≤G<x>成立,而且lim x→x0F<x>=lim x→x0G<x>=A,则lim x→x0f<x>>存在,且极限值为A.以上结论对x→∞也成立.证：∵lim x→x0F<x>=A∴对∀ε>0,必∃δ1>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ1的一切x所对应的F<x>,恒有|F<x>−A|<ε∵lim x→x0G<x>=A∴对∀ε>0,必∃δ2>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ2的一切x所对应的G<x>,恒有|G<x>−A|<ε现取δ=min{δ0,δ1,δ2},则适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的F<x>,f<x>,G<x>都满足F<x>≤f<x>≤G<x>由上面推导出来的：。

高等数学大一知识点笔记

高等数学大一知识点笔记1. 导数与函数的连续性
- 导数的定义和性质
- 可导函数与连续函数的关系
- 极限存在的条件
2. 微分学及其应用
- 微分的基本运算法则
- 零点分析与最值问题
- 泰勒公式与近似计算
3. 不定积分与定积分
- 原函数与不定积分的关系
- 基本积分公式与换元法
- 定积分的计算与几何应用
4. 微分方程
- 一阶微分方程的分类与求解
- 高阶线性微分方程
- 常系数线性齐次微分方程的解法
5. 空间解析几何
- 点、直线、平面的方程与性质 - 空间曲线的参数方程与方向向量 - 空间曲面的方程与性质
6. 常微分方程
- 高阶线性常系数微分方程
- 非齐次线性常系数微分方程
- 变量可分离的常微分方程
7. 二重积分与三重积分
- 二重积分的计算与性质
- 三重积分的计算与性质
- 坐标变换与积分变量的替换
8. 无穷级数
- 数项级数的概念与性质
- 幂级数的收敛区间与求和 - 函数展开与收敛性
9. 多元函数微分学
- 偏导数的定义与性质
- 方向导数与梯度
- 极值与条件极值的判定
10. 曲线积分与曲面积分
- 第一类曲线积分的计算
- 第二类曲线积分的计算
- 曲面积分的计算与应用
以上是关于高等数学大一知识点的笔记，涵盖了导数与函数的连续性、微分学及其应用、不定积分与定积分、微分方程、空间解析几何、常微分方程、二重积分与三重积分、无穷级数、多元函数微分学以及曲线积分与曲面积分等内容。

这些知识点是大一学习高等数学的基础，对于理解和掌握进一步的数学课程具有重要意义。

希望这份笔记对你的学习有所帮助。

高等数学笔记(含数一内容)

隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构齐+齐=齐齐 + 非齐 = 非齐非齐 + 非齐 = 齐（拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0）若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1）（二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）；性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。连续函数的运算

高等数学第一章笔记

高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记第一章 1、设 x, y 为两个变量， D为数集，若对 ∀ x ∈ D ，按某一对应关系 f ，总有唯一确定的一个数 y 与 x 相对应，则称对应关系 f 是定义在 D 上的函数，习惯上也称 y 是 x 的函数，记作 y = f ( x ) x ∈ D ) ,其中 x 称为自变量， y 称（为因变量，也称对应于自变量 x 的函数值． 2、函数的三要素:定义域，值域，对应法则 3、对于函数 y=f(x)，当该函数有实际意义时，它的定义域按实际意义确定．当函数没有实际意义时，它的定义域是指使函数有意义的全体实数，这样的定义域称为自然定义域，一般所说的定义域大多指自然定义域． 4、函数的表示法：（1）图形法（2）表格法（3）解析法 5、函数的几种特性：函数的单调性、函数的有界性、函数的奇偶型性、函数的周期性 6、设函数 f ( x ) 的定义域为 D ，区间 I ⊂ D．如果对于 I 上任意两点 x1及x2， x1 < x2 时，当恒有 f ( x1 ) < f ( x 2 ) 成立，则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加；如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 ，当 x1 < x 2 时，恒有f (x1) > f (x2) 成立，则称函数 f ( x) 在区间 I 上单调减少．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．从图象上看, 增函数的图象自左向右逐渐上升; 减函数的图象自左向右逐渐下降． 7、对于给定的数列{ },如果当 n 无限递增大时，数列趋近于某一确定的常数 a ，则称 a 为数列的极限，或称数列收敛于 a，记为 lim xn = a 或 xn → a (n → ∞) n →∞9、如果数列没有极限，就说数列是发散的。

(完整版)高等数学笔记

第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

《高等数学》笔记-知识归纳整理

- 1 -第一章函数与极限第一节函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。

2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域的去心的点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。

（即使实际问题故意义的取值范围）。

如时光、长度、分量必须大等于0 。

❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。

否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。

1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。

高数学习笔记总结,帮你快速复习数学知识

高数学习笔记总结，帮你快速复习数学知识高数学习笔记总结：
一、函数与极限
1. 函数的定义：函数是数学表达关系的符号，它表示两个变量之间的依赖关系。

函数的定义域和值域是函数的两个重要属性。

2. 极限的概念：极限是函数在某个点附近的变化趋势，它可以用来研究函数的特性。

极限的运算法则包括加减乘除和复合函数的极限运算法则。

3. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是指一个函数在某个点的值趋于0，而无穷大是指一个函数在某个点的值趋于无穷大。

无穷小和无穷大是研究函数的重要工具。

二、导数与微分
1. 导数的概念：导数是函数在某一点的切线的斜率，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等特性。

导数的运算法则包括求导法则和复合函数的导数法则。

2. 微分的概念：微分是函数在某一点附近的小增量，它可以用来近似计算函数的值。

微分的运算法则包括微分的基本公式和微分的链式法则。

3. 导数与微分的应用：导数和微分的应用非常广泛，例如求极值、求拐点、近似计算、优化问题等等。

三、积分与级数
1. 积分的概念：积分是定积分和不定积分的总称，它可以用来计算面积和体积等几何量。

定积分和不定积分的计算方法包括基本公式法和凑微分法等等。

2. 级数的概念：级数是无穷多个数的和，它可以用来研究函数的性质和行为。

级数的分类包括几何级数、调和级数、幂级数等等。

3. 积分与级数的应用：积分和级数的应用非常广泛，例如计算面积和体积、近似计算、信号处理等等。

大一高数知识点笔记

大一高数知识点笔记一、函数与极限1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个数集映射到另一个数集。

在数学中，我们用f(x)表示函数，其中x表示自变量，f(x)表示与x对应的函数值。

2. 极限的定义在函数的定义域内，当自变量趋近于某个值时，如果函数的函数值趋近于一个确定的值，那么这个确定的值就是极限。

数学上用lim表示极限。

3. 重要的极限公式- 极限四则运算法则- 基本初等函数的极限- 夹逼定理- 无穷小量与无穷大量的极限二、导数与微分1. 导数的定义导数是描述函数在某一点的变化率。

对于函数f(x)，其导数可以通过极限的方法定义为f'(x) = lim((f(x+h)-f(x))/h)，其中h趋近于0。

2. 常见函数的导数- 幂函数的导数- 指数函数与对数函数的导数- 三角函数的导数3. 导数的基本运算法则- 常数乘法法则- 和差法则- 乘法法则- 除法法则- 复合函数的导数4. 微分的概念微分是导数的一种形式，它是函数在某一点的线性逼近。

微分可以表示为df(x) = f'(x)dx。

三、积分与应用1. 积分的定义积分是导数的逆运算，用来求解曲线下的面积、求解函数的原函数等。

数学上用∫表示积分。

2. 定积分与不定积分- 定积分是求解函数在一定区间上曲线下的面积，可以用定积分符号表示∫[a,b]f(x)dx。

- 不定积分是求解函数的原函数，可以用不定积分符号表示∫f(x)dx。

3. 积分的基本公式- 常数乘法法则- 和差法则- 分部积分法- 替换变量法4. 积分的应用- 面积与曲线长度的计算- 物理学中的应用：质量、能量、功等- 经济学中的应用：消费、生产函数等四、级数与收敛性1. 级数的定义级数是由一列数按照一定规律相加得到的无穷数列。

数学上用∑表示级数。

2. 数项级数与部分和数项级数是级数中的每一项，部分和是前n项的和。

3. 收敛与发散如果数项级数的部分和能够在某个值上趋于有限的数，那么该级数就是收敛的；否则，该级数就是发散的。

高等数学第八章笔记

高等数学第八章笔记一、多元函数的基本概念。

1. 多元函数的定义。

- 设D是n维空间R^n中的一个非空子集，映射f:D→ R称为定义在D 上的n元函数，记为z = f(x_1,x_2,·s,x_n)，(x_1,x_2,·s,x_n)∈ D。

- 当n = 2时，z=f(x,y)，(x,y)∈ D，D是xy-平面上的一个区域。

2. 多元函数的极限。

- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数varepsilon，总存在正数δ，使得当0<√((x - x_0))^2+(y - y_{0)^2}<δ时，都有| f(x,y)-A|成立，则称常数A为函数z = f(x,y)当(x,y)to(x_0,y_0)时的极限，记作lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=A。

- 注意：(x,y)to(x_0,y_0)是指(x,y)以任何方式趋向于(x_0,y_0)。

3. 多元函数的连续性。

- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，如果lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)，则称函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。

- 如果函数z = f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称函数z = f(x,y)在区域D内连续。

二、偏导数。

1. 偏导数的定义。

- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，固定y = y_0，函数z = f(x,y_0)在x = x_0处的导数，称为函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)对x的偏导数，记作f_x(x_0,y_0)或(∂ z)/(∂ x)|_(x_{0,y_0)}，即f_x(x_0,y_0)=lim_Δ xto0frac{f(x_0+Δ x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Δ x}。

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⑷若 lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量
2
lim 1
定理：若：1 ~ 1， 2 ~ 2；则：
2
lim
1 2
㈢两面夹定理
1．数列极限存在的判定准则：
设： yn xn zn （n=1、2、3…）
且：
lim
n
yn
lim
n
zn
a
则：
lim
n
xn
a
2．函数极限存在的判定准则：
设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点（点 x0 除外）有：
第一章函数、极限和连续 §1.1 函数
一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
y
f (x) g( x)
x D1 x D2
3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
x x0
㈡无穷大量和无穷小量
1．无穷大量： lim f (x)
称在该变化过程中 f (x) 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
x , x , x , x x0, x x0 , x x0
2．无穷小量： lim f (x) 0 称在该变化过程中 f (x) 为无穷小量。 3．无穷大量与无穷小量的关系：
g(x) f (x) h(x) 且： lim g(x) lim h(x) A 则： lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
㈣极限的运算规则
若： lim u(x) A, lim v(x) B
则：① lim[u(x) v(x)] limu(x) lim v(x) A B

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一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

高等数学复习笔记

高等数学复习笔记
一、导数与微分
1.导数的定义
•定义一元函数在某点处的导数•定义多元函数在某点处的偏导数2.常见函数的导数公式
•幂函数和指数函数的导数
•对数函数和三角函数的导数
3.高阶导数和隐函数求导
4.微分的概念和应用
•极值与最值问题
•物体运动问题中的微分
二、积分与曲线积分
1.不定积分和定积分
2.积分常用公式与换元法
3.微元法与定积分应用
4.曲线积分基本概念与计算方法
三、级数和 Fourier 级数
1.数项级数收敛性判别法
2.正项级数收敛性判别法
3.幂级数收敛域和Taylor公式
4.Fourier级数及其应用
四、常微方程
1.可解析方法：变量可分离、齐次方程等
2.一阶线性微分方程
3.高阶恒等式、高阶齐次线性微分方程
4.变系参数非齐次方程
五、向量与空间解析几何
1.向量的基本性质和运算规则
2.点、直线与平面的方程
3.空间曲线的参数方程和切向量
4.空间曲面的一般方程和法向量
六、多元函数微分学
1.多元函数的极值与条件极值
2.偏导数、全微分及其应用
3.隐函数及其导数计算方法
4.多元重积分及其应用
以上仅为高等数学复习笔记的概要，详细内容请参考相关教材或参考书籍进行深入学习。

高数学公式和知识点笔记

高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含了众多的公式和知识点。

以下是我为大家整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对大家的学习有所帮助。

一、函数与极限（一）函数函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。

函数的性质：1、单调性：若对于定义域内的任意 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），则称函数 f(x)在该区间上单调递增（或单调递减）。

2、奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数。

（二）极限极限的定义：设函数 f(x)在点 x₀的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当 x 满足 0 ＜｜x x₀| ＜δ 时，对应的函数值 f(x)都满足|f(x) A|＜ε，那么常数 A 就叫做函数 f(x)当x→x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A。

极限的运算：1、四则运算：若lim(x→x₀) f(x) ＝ A，lim(x→x₀) g(x) ＝ B，则lim(x→x₀) f(x) ± g(x) ＝ A ± B；lim(x→x₀) f(x) × g(x) ＝ A × B；lim(x→x₀) f(x) ／ g(x) ＝ A ／ B（B ≠ 0）。

2、两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1；lim(x→∞）（1 ＋1 ／ x)ⁿ ＝ e（n 为常数）。

二、导数与微分（一）导数导数的定义：函数 y ＝ f(x)在点 x₀处的导数 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx。

高等数学(一)学习笔记

在，則稱函數 y=f(x)在點 x0 處可導，并稱這個極限为函數 y=f(x)在點 x0 處的導數，記为
y’|x=x0,即：
m
y’|x=x0= lim = lim
n n→0
n→0
f (x0
+ n) − n
f
(x0
)
,或
f’(
x0
),
dy dx
df (x) | x=x0 , dx
| x=x0
f (x + n) − f (x)
A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x → x0 或 x → ∞ )，具有极限
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数即为这函数的极限。
B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小) C、无穷小的比较：
4、切線方程： y − y0 = f ' (x0 )(x − x0 )
1
法線方程：
y
−
y0
=
−
f
(x '(x0 )
−
x0 )
5、可導与連續的關係：可導一定連續，連續不一定可導。
6、反函數的導數：反函數的導數等於直接函數導數的倒數。即 f ' (x) = 1 (無需換元) ϕ ' ( y)
dy dy du 7、複合函數的求導：複合前之各函數在其有效的定義域內可導，則複合函數也可導，且 =
22
反余切函数：y=Arccosx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数，π 为周期。若限制值域为

大学高等数学学习笔记

大学高等数学学习笔记在大学学习过程中，高等数学是一门重要的基础课程。

它是数学领域的重要分支之一，对于培养学生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力都有着重要作用。

下面是我在学习高等数学课程中的一些笔记和心得体会。

一、导数与微分导数是研究函数变化速度的工具，也是微分学的重要内容之一。

其中，重要的概念包括函数的极限、导数定义和基本求导法则等。

在学习导数的过程中，我逐渐掌握了如何利用导数求函数的极值和切线方程等问题。

通过大量的练习，我提高了对导数的理解和应用能力。

二、不定积分与定积分不定积分是求解函数原函数的过程，而定积分则是求解曲线下面的面积。

在学习不定积分和定积分的过程中，掌握了重要的定积分定义、基本的求积法与换元积分法。

通过练习，加深了对不定积分和定积分的理解，并学会了如何灵活运用积分解决实际问题。

三、微分方程微分方程是数学中的重要概念，也是自然科学和工程技术中常见的数学模型。

学习微分方程的过程中，了解了常微分方程的基本概念与分类，并学会了如何利用一阶常微分方程和二阶常微分方程解决实际问题。

通过解题实践，提高了对微分方程的理解和应用能力。

四、级数与收敛性级数是数学中有无穷项的数列所构成的对象，研究级数的收敛性对于理解数列和函数序列的极限有着重要意义。

在学习级数与收敛性时，重点掌握了常见级数的性质与判别法则，并通过许多例题的练习提高了对级数收敛性的判断和应用能力。

五、空间解析几何空间解析几何是研究空间图形的位置、相对关系和性质等问题的数学分支。

学习空间解析几何时，了解了坐标系、点、向量、直线和圆等的性质和关系，学会了如何利用向量和坐标求解空间图形的问题。

通过解题实践，提高了对空间图形分析和计算的能力。

综上所述，高等数学作为一门重要的基础课程，在大学学习过程中扮演着重要的角色。

通过对导数与微分、不定积分与定积分、微分方程、级数与收敛性以及空间解析几何的学习和实践，我逐渐提高了对数学知识的理解和应用能力。

高等数学学习笔记

《代数学》辅导纲要第一章代数运算与自然数主要内容：1、集合与映射de 概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法de 运用重点掌握1、由A →Bde 单映射σde 定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到Bde 单映射。

2、由A →Bde 满映射σde 定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到Bde 满映射。

3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合Nde 双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0de 整数三部分分别给出其象4、若集合|A|=n ，则集合A →Ade 映射共有n n 种。

5、皮阿罗公理中没有前元de 元素为1。

6、自然数a 与b 加法de 定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+.7、自然数a 与b 相乘de 定义中两个条件为: ①：a a =⨯1;②：a b a b a +⨯=⨯'8、自然数a>bde 定义为:如果给定de 两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b<a.9、皮阿罗公理中de 归纳公式为:具有下面性质de 自然数de 任何集合M 若满足：(1))2(;1M ∈如果a 属于M,则它后面de 数a ’也属于M.则集合M 含有一切自然数，即M=N.10、在整数集合中求两个数de 最大公因数是代数运算。

11、若|A|=m ，|B|=n ，则A →Bde 所有不同映射de 个数为m n 。

12、若A 是有限集合，则A →Ade 不同映射个数为：||||A A 。

13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。

14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合de 单映射。

15、若A 为无限集合，则存在Ade 真子集合B 使其与A 等价。