高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)圆的方程教学案
高考数学一轮复习专题圆的方程学案新人教版
圆的方程(1)一、考纲要求圆的标准方程与一般方程C二、复习目标1．掌握圆的标准方程和一般方程及其关系；2．能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；三、重点难点求圆的方程四、要点梳理1．圆的定义：在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆．2．确定一个圆最基本的要素是 和 ．3．圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>, 其中 为圆心, 为半径． 4．圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是 ，其中圆心为 ,半径________________________．(1) 当2240D E F +->时，方程表示以__________为圆心___________为半径的圆；(2) 当2240D E F +-=时，该方程表示________________；(3) 当2240D E F +-<时，该方程_________________．5．点与圆的位置关系：点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>,点()00,M x y （1）点M 在圆上： （2）点M 在圆外:（3）点M 在圆内: ．五、基础训练1．以)3,1(N 为圆心，且与x 轴相切的圆的圆方程为________________．2．已知点()(4,5),6,1A B ---，则以AB 为直径的圆的方程是 ．3．经过点()()()5,3,4,2,7,0A B C -的圆方程是_______________________．4．方程224250x y ax y a ++-+=表示圆的充要条件是_____ ______．5．已知原点(0,0)O 在圆：222210x y ax ay a a +++++-=外，则实数a 的取值范围是__________________．6．已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，则点M 的坐标满足的关系式__________________________________．六、典型例题例1、求满足下列条件的圆的方程： (1) 经过坐标原点和点(1,1)P ，并且圆心在直线2310x y ++=上；（2）圆的半径为10，圆心在直线2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为24；（3）经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切；（4）经过点(3,2),(2,1)A B -，在两坐标轴上的四个截距之和为2．例2．已知t ∈R ，圆C :22222440x y tx t y t +--+-=．（1）若圆C 的圆心在直线20x y -+=上，求圆C 的方程；（2）圆C 是否过定点（其坐标与t 的无关）？若过定点，求出定点坐标，若不过定点，说明理由．七．课后练习1．经过点(6,3)P ，圆心为(2,2)C -的圆的方程是________________．2．以点(1,8)A 为圆心，与直线0743=--y x 相切的圆的方程为 ．3．点,P Q 在圆22240x y kx y +++-=上，且,P Q 关于直线10x y -+=称，则该圆的圆心坐标为 ．4．圆心在直线270x y --=上的圆C 与x 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --，则圆C 的方程是 ．5．已知一个圆经过直线l ：240x y ++=与圆C ：222410x y x y ++-+=的两个交点，且圆面积最小，则圆方程为 ．6．已知一圆过(4,2),(1,3P Q --两点，且在y 轴上截得线段的长为，则圆的方程为 ．7．已知动直线20kx y k -+-=，点(1,0)P 在动直线上的射影为M ，点(3,2)N -,则线段MN 长的最大值与最小值的和为 ．8．圆1O 与圆2O 的半径都是1，1(2,0)O -，2(2,0)O ，过动点P 分别作圆1O 、2O 圆的切线PM 、PN （M 、N分别为切点），使得PN =，则动点P 的轨迹方程是__________．9．在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ．（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．。
高三数学高考一本通解析几何第一轮复习第四课时 圆的方程教案人教版
第四课时 圆的方程【考点诠释】：本讲主要涉及圆的标准方程和一般方程，圆的标准方程和一般方程的互化，用待定 系数法和轨迹法求出圆的方程，用圆的方程和性质解决有关题。
圆的内容高考每年都有考查，在本节主要考查：二元二次方程表示圆的充分必要条件；根据已知条件求圆的方程等，多数为中等难度选择题和填空题，也有难度较大的综合题。
【知识整合】：1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的 （轨迹）叫做圆，定点就 ，定长就是 。
2．圆的标准方程：圆心为(a,b),半径为r 的圆的方程为 。
3.圆的一般方程：二元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(*)（1）当 时, (*)表示圆的方程，圆心为 ，半径为 。
（2）当 时，(*)表示点 。
（3）当D 2+E 2-4F 2<0时，(*)不表示任何图形。
（4）圆的标准方程的优点在于它明确地指出了 和 ，而一般方程突出了方程形式的特点：①x 2和y 2的系数 。
②没有 这样的二次项。
（5）A=C ≠0且B=0是二元二次方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的 条件。
4.圆的参数方程：圆x 2+y 2=R 2(R>0)的参数方程为 ；圆(x-a)2+(y-b)2= R 2(R>0)的参数方程为 。
5．一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数， 即 x=f(t)y=g(t) 并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M （x ，y ）都在 上， 那么这个方程组就叫做 的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数叫做参变数，简 称参数。
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线 的 。
【基础再现】：1．圆x 2+y 2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，若D>E ，则D 等于（）A.2B.0或2C.0D. 22．对于圆C ：x 2+y 2+2Dx+2Ey+D 2=0，其中位于圆C 外的一定是（）A.(0,0)B.(1,0)C.(D,-E)D.(D,E)3．圆x 2+y 2+4x-4y+7=0和x 2+y 2+4x-10y+13=0的公切线条数为（）A.1B.2C.3D.44.直线L 截圆x 2+y 2-2y=0所得弦AB 的中点是(-23,21)，则直线L 的方程为 ；|AB|＝ 。
高考一轮复习教案九(1)圆的方程(学生)理科用
模块： 九、二次曲线 课题： 1、圆的方程 教学目标： 掌握圆的定义，掌握圆在直角坐标系中的标准方程的推导过程，理解圆的有关概念及简单的几何特性，掌握求圆的方法，并能够根据曲线与方程的关系解决简单的直线与圆有两个交点情况下的有关问题；能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用解析法解决相应的几何问题．重难点： 圆的轨迹定义、标准方程、一般方程；用代数方法研究几何问题的方法． 一、 知识要点1、圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．2、圆的标准方程：圆心为(),a b ，半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-方程中有三个参量a b r 、、，因此三个独立条件可以确定一个圆． 3、圆的一般方程：二次方程220x y Dx Ey F ++++=（*）配方得：22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2240D E F +->，其中，半径是2422F E D r -+=，圆心坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D，叫做圆的一般方程． （1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：22x y 、项系数相等且不为零，没有xy 项 （2）当2240D E F +-=时，方程（*）表示点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当2240D E F +-<时，方程（*）不表示任何图形．（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程． 4、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件若二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆，则有0A C =≠，0B =，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分．在0A C =≠，0B =时，二元二次方程化为220D E Fx y x y A A A++++=， 仅当2240D E AF +->时表示圆．故220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是： ①0A C =≠，②0B =，③2240D E AF +->．5、经过两个圆交点的圆系方程经过011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ()1λ≠-．若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程． 6、经过直线与圆交点的圆系方程0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ7、确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： 222)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(． （2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，（)0422>-+F E D ，,)2,2(圆心----ED 2422FE D r -+=——半径．二、例题精讲例1、（1）求过点()2,3A -、()2,5B --，且圆心在直线230x y --=上的圆的方程． （2）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()2,1A ，()1,2B ，()2,3C ，求ABC ∆外接圆的方程．例2、设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程．例3、已知方程()()2224232141690x y t x ty t+-++-++=()t R ∈的图形是圆．（1） 求t 的取值范围；（2） 求其中面积最大的圆的方程；（3） 若点()23,4P t 恒在所给圆内，求t 的取值范围．例4、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()()22f x x x b x R =++∈与两坐标轴有三个交点，记过三个交点的圆为圆C ． （1） 求实数b 的取值范围； （2） 求圆C 的方程；（3） 圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论．例5、已知()()22:234C x y -+-=，直线()():22178l m x m y m +++=+．（1） 证明：直线l 与C 恒相交；（2） 求直线l 被C 截得的线段长的最小值及此时l 的方程．例6、求过直线240x y -+=和圆222410x y x y ++-+=的交点．（1） 且经过原点的圆的方程； （2） 且有最小面积的圆的方程．例7、已知2221:2450C x y mx y m +-++-=，222:22C x y x my ++-2m +30-=，m 为何值时，（1）1C 与2C 相外切；（2）1C 与2C 内含．例8、已知圆C ()22:21x y ++=，(),P x y 为圆上任一点．（1） 求21y x --的最大、最小值； （2） 求2x y -的最大、最小值． 三、课堂练习1、在ABC ∆中，点()6,0A ，()6,0B -，顶点C 在圆2236x y +=上移动，则ABC∆的重心的轨迹方程为 ．2、已知圆2282120x y x y +--+=内部一点()3,0A ，经过点A 的弦中，最长的弦和最短的弦所在直线的方程分别为 ．3、已知点P为曲线,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩()0απ≤≤上的点，则点P 与点()0,1Q -的距离的最大值为 ．4、点P 在圆2284110x y x y +--+=上，点Q 在圆224210x y x y ++++=上，则PQ 的最小值为 ．5、若直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为 ．6、过点()2,4M -作圆()()22:2125C x y -+-=的切线l ，直线1:320l ax y a ++=与l 平行，则1l 与l 之间的距离是 ．四、 课后作业 一、填空题1、圆()()221316x y -++=关于直线10x y ++=对称的圆的方程是 ． 2、与直线3410x y +-=垂直，且与圆()()22121x y +++=相切的直线方程是 ．3、为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为，则此圆方程为 ．4、点()3,0P 是圆2282120x y x y +---=内一点，在过点P 的弦中，最短的弦所在的直线方程是 ．5、已知P 是直线3480x y ++=上动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．6、圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若90APB ︒∠=，则c 的值为 ．二、选择题7、设集合(){}(){},|0,,|M x y y y N x y y x b ==≠==+，若M N ≠∅，则b 满足（ ）A 、b ≤B 、3b -<≤C 、0b <≤D 、3b ≤≤8、将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆2224x y x y++-0=相切，则实数λ的值为（ ） A 、3-或7 B 、2-或8C 、0或10D 、1或119、圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）A 、36B 、18C 、D 、三、解答题10、根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在原点，且圆周被直线34150x y ++=分成1：2两部分；（2）与两平行直线1:210l x y --=、2:290l x y -+=均相切，且圆心在直线3210x y ++=上；（3）过点()4,1A -，且与已知圆222650x y x y ++-+=相切与点()1,2B 的圆的方程．11、已知点()4,2P 和圆方程2210x y +=，过P 点作圆的两条切线，切点为A 、B ．（1）求切点弦AB 所在的直线方程；（2）过点P 作圆的任意割线，交圆于点C 、D ，求CD 中点E 的轨迹方程．12、设实数x y 、满足方程：2286210x y x y +--+=． （1）当3x ≠时，求13y P x +=-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．。
高考数学一轮复习 7.5 圆的方程教案
高考数学一轮复习 7.5 圆的方程教案●知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422FE D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF=0， 仅当（A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0.●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1 D .1<t <2 （θ为参数）. ① （θ为参数）. ②解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131 C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131. 答案：D3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）. 答案：（－1，2）5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.解析：Rt △OMC 中，|MP |=21|BC |（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0.答案：x 2+y 2－x －2y －2=0 ●典例剖析【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0.当a ≠1时，方程化为（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac|为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC |.∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|，∴922++y x =|y +3|.化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”. ●闯关训练 夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上. 答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2. 答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2. 再由d －r =2－1=1，知最小距离为1. 答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32. 由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0. 解得b =1∈（2－32，2+32）. ∴所求的直线方程为y =－x +1.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.解：原方程为（x+1）2+（y－3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为x=－1+2cosθ，y=3+2sinθ22sin（θ+4π），当θ=4π5，即x=－1－2，y=3－2时，x+y的最小值为3－1－22.培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设xy=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-kk=3，解得k2=3.所以k max=3，k min=－3.（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=3，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之）（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得2|2|b+-=3，即b=－2±6，故（y－x）min=－2－6.（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+3，（x2+y2）min=｜OB｜=2－3.（θ为参数，0≤θ<2π），则x+y=3－1+2（sinθ+cosθ）=3－+18.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1， AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0. 又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20， 所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.（理）已知动圆M ：x 2+y 2－2mx －2ny +m 2－1=0与圆N ：x 2+y 2+2x +2y －2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周.（1）求动圆M 的圆心的轨迹方程； （2）求半径最小时圆M 的方程. 解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N （－1，－1）为弦AB 的中点，在Rt △AMN 中，|AM |2=|AN |2+|MN |2，∴（m +1）2=－2（n +2）（*）故动圆圆心M 的轨迹方程为（x +1）2=－2（y +2）.（2）由（*）式，知（m +1）2=－2（n +2）≥0，于是有n ≤－2. 而圆M 半径r =12+n ≥5，∴当r =5时，n =－2，m =－1，所求圆的方程为（x +1）2+（y +2）2=5.探究创新9.（2005年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP =x e 1+y e 2（其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为（x ，y ）.的解，即圆心坐标为（－1，0）.（1）若P 点斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离|PO |； （2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 解：（1）∵P 点斜坐标为（2，－2），∴OP =2e 1－2e 2.∴|OP |2=（2e 1－2e 2）2=8－8e 1·e 2=8－8×cos60°=4. ∴|OP |=2，即|OP |=2.（2）设圆上动点M 的斜坐标为（x ，y ），则OM =x e 1+y e 2.∴（x e 1+y e 2）2=1.∴x 2+y 2+2xy e 1·e 2=1.∴x 2+y 2+xy =1.故所求方程为x 2+y 2+xy =1. ●思悟小结1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.●教师下载中心 教学点睛1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握.拓展题例【例1】 圆x 2+y 2=1内有一定点A （21，0），圆上有两点P 、Q ，若∠PAQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.分析：先求出PQ 中点E 的轨迹方程为x 2+y 2－21x －83=0.再求切点弦PQ 所在直线的方程.解：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则过P 、Q 的切线方程分别是 x 1x +y 1y =1，x 2x +y 2y =1.又M （m ，n ）在这两条切线上，有mx 1+ny 1=1，mx 2+ny 2=1，∵P 、Q 两点的坐标满足方程mx +ny =1，又两点确定唯一一条直线， ∴PQ 所在直线的方程是mx +ny =1.又∵E 为直线OM 与PQ 之交点，解方程组 mx +ny =1y =mn x ⇒x =22n m m +，y =22n m n+.将（22n m m +，22n m n +）代入中点E 的轨迹方程得x 2+y 2+34x －38=0. 这就是要求的过P 、Q 两点的切线交点M 的轨迹方程.【例2】 如图，过原点的动直线交圆x 2+（y －1）2=1于点Q ，在直线OQ 上取点P ，使P 到直线y =2的距离等于|PQ |，求动直线绕原点转一周时P 点的轨迹方程.解：设P （x ，y ），圆O 1：x 2+（y －1）2=1与直线y =2切于点A ，连结AQ ，易知|AQ |=|AR |=|x |， 又|PQ |=|PR |=2－y ，∴在Rt △OQA 中，|OA |2=|AQ |2+|OQ |2， 即22=|x |2+［22y x +－（2－y ）］2，化简整理得x 2（x 2+y 2－4）=0，∴x =0或x 2+y 2=4为所求的轨迹方程.。
一轮复习学案圆的方程复习学案教案.doc
圆的方程 教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。
3.会根据条件准确的求圆的方程 教学重点：利用圆的方程解决一些问题 教学难点：能 准确的利用圆的方程解决问题 知识梳理：1. 关于圆的知识：平面内到 的距离等于 的点的集合．．．．称为圆。
我们把定点称为 ，定长称为 。
确定了圆的位置, 确定了圆的大小。
在平面直角坐标系中，已知：圆心为),(b a A , 半径长为r ，圆上的任意一点),(y x M 应该满足的关系式？ r MA =2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。
题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径： 练习：⑴根据条件写圆的方程：①圆心)1,2(-，半径为2 ②圆心)3,0(，半径为3 ③圆心)0,0(，半径为r （2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。
圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________ 9)2(22=++y x ___________ ___________ 8)3(22=-+y x __________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222)(a y a x =+- ___________ ___________总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________ 题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程：(1)圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________ (2)圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________ (3)圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________(4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。
【高三】高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案
【高三】高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案第八直线和圆的方程高考导航考试要求重难点击命题展望1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何元素2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率判断两条直线是平行的还是垂直的4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.5.掌握求解方程的方法，求两条相交线的交点坐标6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.7.掌握圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.9.能用线性和循环方程组解决简单问题10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.11.了解空间直角坐标系，能用空间直角坐标表示点的位置，能推导出空间关键点两点之间的距离公式：1.倾角和坡度的概念；2.根据坡度确定两条直线是平行还是垂直；3.点斜方程和直线的一般方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线之间距离的计算方法；6.标准圆和一般方程；7.能根据给定直线和圆的方程式判断直线和圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题本难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用. 本内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起考查.直线和圆的考试一般以选择题和填空题的形式出现，属于简单题和中程题；如果与圆锥曲线一起检查，则更难同时检查空间直角坐标系，这一知识点的考试重点在于学生综合分析和解决问题的能力，以及将函数思维与数、形相结合的能力知识网络8.1直线和方程典例精析直线的倾角【例1】直线2xcosα－y－3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是( )a、[π6，π3]b.[π4，π3]c.[π4，π2]d.[π4，2π3][分析]直线2xcosα-Y-3的斜率=0 K=2cosα由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，k＝2cosα∈[1，3].假设直线的倾角为θ，则有tanθ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选b.[拨号]使用坡度计算倾斜角度时，请注意倾斜角度的范围【变式训练1】已知(2m＋3，m)，n(m－2,1)，当m∈时，直线n 的倾斜角为锐角；当m＝时，直线n的倾斜角为直角；当m∈时，直线n 的倾斜角为钝角.【分析】当直线n的倾角为锐角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5>0m<5或m>1；直线n的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2m＝－5；当直线n的倾角为钝角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5＜0-5＜m＜1题型二直线的斜率【例2】给定a（-1，-5），B（3，-2），直线L的倾角是直线ab的两倍。
新课标高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案
高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案知识结构第一节直线的倾斜角和斜率学习目标1．了解直线的方程、方程的直线的定义；2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围；3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角．重点难点本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键．本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查．典型例题【分析】【解】【点评】【分析】【解】【点评】【解法一】代数方法：套两点斜率公式．【解法二】【点评】“解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4．【分析】证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考．【证法一】【证法二】【证法三】第二节直线的方程学习目标掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式．重点难点本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题．在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多．典型例题【分析】关键是确定直线方程中的待定系数．【解】【点评】学习直线的方程常犯的错误是忽略方程各种形式的应用条件，因此造成丢解．本例中各个小题均为两解，你做对了吗？第（4）小题的解法一要用到下节学到的公式，解法二用到课外知识，供有兴趣的同学欣赏．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合．本题还有别的解法，不再一一列举．【解法一】【解法二】【解法三】【证明】【点评】【分析】【解法一】【解法二】【解法三】【点评】第三节两条直线的位置关系学习目标1．掌握两条直线平行与垂直的条件，以及两条直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．重点难点本节重点：两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．本节难点：了解解析几何的基本思想，并用解析几何方法研究角．在高考中，两条直线的位置关系几乎年年必考，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中．典型例题学习了本节以后，应该对两条直线平行与垂直的充要条件，怎样求直线的斜率、距离与角有哪些公式等问题进行归纳小结，以便提纲挈领地掌握有关知识，并灵活运用这些知识解决问题．1．两条直线平行、垂直的充要条件是什么？答：2．怎样求直线的斜率？答：3．距离和角有哪些公式？能灵活运用吗？答：【解】用下面的例题检验是否理解和掌握了以上这些内容．1．两条直线的位置关系【解】2．两条直线所成的角【解】【解法一】【解法二】3．有关交点的问题（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解法一】【解】【解法二】4．点到直线的距离【错误的解】【正确的解】【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】第四节简单的线性规划学习目标1．了解用二元一次不等式表示平面区域．2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．重点难点典型例题学习了简单的线性规划以后，常见的题型是用二元一次不等式表示平面区域，以及用线性规划的知识来解决一些简单的问题．下面的例题可检验是否掌握了这些内容．1．二元一次不等式表示的区域【分析】【解】【点评】例2 试讨论点线距离公式中，去掉绝对值符号的规律？【分析】【解】【点评】2．线性规划初步例3钢管长11.1米，需要截下1.5米和2.5米两种不同长度的小钢管，问如何截取可使残料最少？【分析】关键是利用约束条件，列出线性目标函数．【解】【评析】例4 用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）．（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种【解法一】【解法二】【解法三】列表数点．故选（C）．【点评】本题为1999年全国高考试题第14题，难度系数0.47．如果有利用二元一次不等式表示平面区域的知识，此题将不再困难．【分析】甲的解法错误，错在（1）、（2）（3）、（4），反之不行，用必要不充分条件代替原条件，使解的范围扩大，[6，10]是[5，11]的子集．乙的解法正确．本题数形结合，利用本节的知识还可以有以下的解法．【解】【点评】第六节曲线和方程学习目标1．掌握曲线的方程、方程的曲线等概念．2．了解解析几何的基本思想和解析法，学习运动变化、对立统一等辩证唯物主义思想．重点难点本节重点：了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，从而掌握曲线的方程和方程的曲线这两个重要概念，并掌握由曲线的已知条件求方程的方法和步骤，熟悉解析法．本节难点：理解曲线和方程的概念，以及求曲线的方程的方法．在高考中，曲线和方程常是重点考查的内容，出现在解答题中．典型例题学习了本节后主要要掌握求曲线的方程的步骤，以及用解析法解题的步骤，以下归纳供参考．求曲线的方程的步骤是：一建--选取适当的点和直线，建立坐标系；二设--设曲线上点，以及利用已知条件设出其他有关点的坐标等；三列式--根据动点符合的条件，列出含、的方程0；四化简--化方程0为最简形式；五证明--证曲线上点的坐标都是方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（这一步不要求写出）．解析法的主要步骤是：一建--建立适当的坐标系．建系原则是使已知条件好用，使表达式简明，运算简便．因此，尽量利用已知点和已知直线；二设--选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；三算--通过运算，得到所要的结果．用以下例题检验是否理解和掌握了这些内容．1．怎样求轨迹方程【解法一】【解法二】【点评】【错误解法】【正确解法】【点评】【解法一】【解法二】【点评】2．解析法与综合法【证法一】【证法二】【证法三】【证法四】【点评】不同证法，以解析法较简便，复数将在高三年级学习，这里的证法实质和解析法一样，不过是换个说法．【分析】【解】【点评】解析法与综合法的特点，从中你体会到了吗？解析法的优点是程序固定（一建二设三算），操作简便，但一般运算量较大；综合法的优点是思路灵活，但如何添加辅助线不易掌握．【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】【点评】“是否可以用代数中的计算过程代替几何中的证明？”“让代数和几何中一切最好的东西互相取长补短”等是笛卡儿创立解析几何的初衷．解析几何既然是用代数方法来研究几何对象的特征和性质，当然对运算能力要求较高．运算能力是一种计算化了的推理能力，是逻辑思维能力与计算知识、方法、技能和技巧的结合．在解析几何中，如果不注意运算方法上的特点和技能，就可能陷入有思路但算不出或很难算出正确结果的窘境，如本题的思路一、二．解析几何中常用的运算方法和技能是：①注意利用平面几何知识，如思路四；②不忘利用定义，尤其是圆锥曲线的定义解题；③充分利用一元二次方程根与系数的关系，并不忘对判别式的要求，如思路三；④合理利用曲线系；⑤数形结合，依形判数，就数论形；⑥灵活运用字母的可轮换性，减少同类量的重复运算．以上方法和技能，要在实际解题中逐步掌握．第七节圆的方程学习目标1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．2．初步了解直线和圆中反映出的运动变化、对立统一等辩证思想和观点．重点难点本节重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程及其相互转化．本节难点：直线和圆的综合运用．在高考中，圆的方程在选择题、填空题、解答题等各类题型中出现．本节要掌握三种类型的问题，之一是求圆的方程，之二是直线和圆的综合题，之三是应用直线和圆的知识解决一些问题．1．圆的方程有哪些形式？典型例题用下面的例题检验是否理解和掌握了圆的方程的三种形式：【解法一】【解法二】【解法三】【点评】怎样求圆的方程？这三条思路具有典型意义．【解法一】【解法二】【点评】【解法一】【解法二】【点评】【分析】关键确定圆心坐标和半径．【解】【点评】本题为1997年全国高考理科第25题，难度系数0.20．难在什么地方呢？第一文字叙述较长，有同学读不懂题；第二涉及众多知识，有同学不会运用；第三丢解，忽略了不同的位置关系．会不会用知识和怎样用知识，是一个人有没有能力和能力高低的重要标志，努力吧！2．直线和圆综合题【分析】【解】【点评】【解法一】【解法二】【分析】【点评】【解】【点评】【解法一】【解法二】【点评】分类是自然科学的基本方法，数学中的分类讨论的思想方法，就是依据数学对象的共同点和差异点，将其区分为不同种类，分类讨论并归纳结论，这一思想方法，在近代数学和现代数学中占有重要地位，是应该学习和掌握的重要思想方法．3．怎样利用直线和圆的知识解题？【分析】数形结合，将代数式或方程赋予几何意义．【解】【点评】从“数”中认识“形”，从“形”中认识“数”，数形结合相互转化，是数学思维的基本方法之一．“数学是一个有机的统一体，它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合．”（希尔伯特）数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一，而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力．本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】。
高考数学一轮复习 圆的方程教案
江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习圆的方程教案教学目标：掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a、b、r．重点难点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a、b、r．引入新课问题 1. 圆是最完美的曲线.它是平面内___________________________________________的点的集合？问题2．在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？问题3．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？建构教学1．圆的标准方程的推导过程：2． 圆的标准方程：_________________________________________________________．3． 点P 圆O 的位置关系的判断：例题剖析例1 求圆心是)32(- ，C ，且经过原点的圆的标准方程．例2 已知隧道的截面是半径为m 4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为m 7.2，高为m 3的货车能不能驶入这个隧道？思考：假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 （1）已知圆的直径的两个端点是)21( -，A ，)87( ，B ．求该圆的标准方程．（2）已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，．求该圆的标准方程．例4 （1）求过点)11(- ，A ，)11( -，B ，且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程．（2）求上述圆C 关于直线210x y -+=的对称的圆1C课堂小结圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程．数学（理）即时反馈作业编号：010 圆的标准方程1、点(2,3)-关于直线1y x =+的对称点为______________2、直线l ：2y ax =+和(1,3),(3,1)A B 两点，当直线l 与线段AB相交时，实数a 的取值范围是 ___________3、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P点，则光线所经过的路程是____________4、经过点(5,2)且在x 轴的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________5、直线cos 10x y α++=的倾斜角的范围是______________6、写出满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为6： ；（2）经过点)36( ，P ，圆心为)22(- ，C ：； （3）经过点)22(- ，P ，圆心为)03( ，C ：； （4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线0532=+-y x 上： ；（5）经过点)53( ，A 和)73( -，B ，且圆心在x 轴上： ．7、在圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 中，若满足 条件时，圆过原点；满足 条件时，圆心在y 轴；满足 条件时，圆与x 轴相切；满足 条件时，圆与两坐标轴都相切；8、已知点)11( ，P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是_________ 9．求以点)51( -，C 为圆心，并与y 轴相切的圆的标准方程．10．已知点)54( -，A 和)16(- ，B ，求以线段AB 为直径的圆的标准方程． 11．已知半径为5的圆过点)34( -，P ，且圆心在直线012=+-y x 上，求圆的标准方程．12．求过两点)40( ，A 和)64( ，B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程．13．求圆1)1()1(22=-++y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程14、已知动点M 到定点)0,8(的距离等于M 到)0,2(的距离的2倍，求动点）（y x M ,中x,y 之间的等量关系，并说明M 的轨迹是什么图形。
圆的方程教案
圆的方程教案圆的方程教案一、教学目标1. 理解圆的定义和性质。
2. 掌握圆的标准方程和一般方程的求解方法。
3. 运用圆的方程解决相关问题。
二、教学重点1. 圆的标准方程的推导过程。
2. 圆的一般方程和标准方程之间的转化。
三、教学内容1. 圆的定义和性质（1）定义：平面上到定点的距离等于一个定值的点的轨迹叫做圆。
（2）性质：所有到圆心距离相等的点，都在圆上；圆心到圆上任何一点的距离都相等；过圆心的直径为直径的两个端点都在圆上。
2. 圆的方程（1）圆的相关概念：圆心、半径、直径、弧、弦。
（2）圆的标准方程：已知圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
（3）圆的一般方程：圆的一般方程为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
四、教学方法1. 示范教学法：通过示例讲解圆的标准方程和一般方程的推导过程，引导学生理解和掌握。
2. 合作探究法：让学生自主探究圆的性质和方程推导的过程，在小组合作中进行讨论和总结。
3. 实践运用法：通过解决具体问题和应用题，培养学生运用圆的方程解决实际问题的能力。
五、教学步骤1. 引入新知识：介绍圆的定义和性质，激发学生的兴趣。
2. 学习圆的标准方程：通过示例演示，引导学生理解圆的标准方程，并进行练习。
3. 学习圆的一般方程：通过讲解和练习，引导学生掌握圆的一般方程和标准方程之间的转化。
4. 小组探究：让学生自主分组，通过观察和讨论，总结圆的性质和方程的特点。
5. 巩固练习：组织学生进行练习题，巩固所学的知识和技能。
6. 拓展应用：通过一些实际问题和应用题，培养学生的综合应用能力。
7. 总结归纳：对所学的知识进行总结归纳，做重点概括和提醒。
六、教学评价1. 观察学生的学习状态，了解学生对课堂内容的理解和掌握程度。
2. 收集学生的练习和作业，对学生的答题能力和解题思路进行评价。
高考数学第一轮高效复习导学案-圆与方程
高考数学第一轮高效复习导学案第三课时圆的方程【学习目标】1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程2圆是高考重点考查的内容，对圆的定义、性质，圆的标准方程和一般方程以及待定系数法、基本量法、数形结合思想的考查历来都是高考的热点【考纲要求】圆方程为C级要求【自主学习】1．圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_________________．2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是．4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．[典型例析]例1.根据下列条件，求圆的方程．(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．例2已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.变式训练：已知圆C ：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m ∈R ).（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.例3 知点P （x ，y ）是圆(x+2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y 的最大值和最小值；（3）求12--x y 的最大值和最小值.例4设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。
高三数学一轮复习 9-3圆的方程学案
8、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．
四．知识梳理，归纳总结
授课时间
年 月 日
第 周
星期
编号
课题
圆的方程
课型
复习
学习目标
探索并掌握圆的标准方程和一般方程
理解并应用圆的方程求解的方法和点的轨迹方程的求法
学习重点
掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程,
学习难点
围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数： (或 )得到方程组,进而求出圆的方程
导学设计
一.学情调查，情景导入
1、圆的定义是；
2、圆的标准方程是，圆心坐标，半径=__，
3、圆的一般方程是,圆心坐标，半径=，
4、点 在圆 内的条件是，在圆外的条件是，在圆上的条件是。
5、方程 表示的轨迹，①当时，方程表示是圆；②当时，方程表示是点；③当____时，方程不表示任何图形。
二.问题展示，合作探究
1、求圆的方程的方法
2、求点的轨迹方程的方法
五、预习指导，新课链接
掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，及其判定方法。完成下节学案
探究一:圆的方程的求解
例1：已知圆心在直线 上，并且经过点 ，求此圆的方程。
变式训练：已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），
C（－3，0），求△ABC外接圆的方程
探究二：点的轨迹方程求解
例2、已知定点A（4,0），P点是圆 上的一动点，Q点是AP的中点，求点Q的轨迹方程
高中数学圆的方程教案
高中数学圆的方程教案教学目标：1. 理解圆的定义及其性质。
2. 掌握圆的标准方程及一般方程的推导方法。
3. 能够利用圆的方程解决实际问题。
教学重点：1. 圆的方程的推导方法。
2. 圆的标准方程和一般方程的使用。
教学难点：1. 圆的方程的建立。
2. 圆的方程在解决问题中的应用。
教学过程：一、引入：教师出示一个圆形物体，引导学生讨论圆的定义及性质，引出圆的方程这一概念。
二、讲解：1. 圆的方程：a. 圆的标准方程：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
b. 圆的一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
2. 推导：教师引导学生通过几何解题和代数推导，探讨圆的标准方程和一般方程的建立过程。
三、练习：1. 让学生练习根据已知条件写出圆的方程。
2. 给学生几道实际问题，让他们利用圆的方程解题。
四、总结：1. 通过讲解和练习，总结圆的方程的建立方法和应用。
2. 强调圆的方程在解决几何问题中的重要性。
五、拓展：教师可以引导学生研究其他类型的圆的方程，如与坐标轴平行、与坐标轴不平行的圆等。
六、作业：1. 完成练习题目。
2. 思考如何利用圆的方程解决更复杂的几何问题。
教学反思：本节课注重培养学生对圆的方程的理解和应用能力，通过引导学生探讨和推导，使他们更加深入地理解圆的性质和方程的推导方法。
同时，通过实际问题的应用，帮助学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的综合解决问题的能力。
第三高考数学一轮复习 圆的一般方程教案
诚西郊市崇武区沿街学校第三中学2021届高考数学一轮复习圆的一般方程教案教学目的：掌握圆的一般方程，会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程重点难点：会判断二元二次方程022=++++F Ey Dx y x 是否是圆的一般方程，能将圆的一般方程转化为标准方程，从而写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的一般方程.引入新课问题1．一个圆的圆心坐标为)11( ，，半径为2，求圆的标准方程．问题2．在半径与圆心不能确定的情况下仍用圆的标准方程来解行不行？如ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆方程．这道题怎样求？有几种方法？问题3．要求问题2也就意味着圆的方程还有其它形式？建构教学1．圆的一般方程的推导过程．2．假设方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？3、二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件为:例题剖析例1ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．变式训练：ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程． 例2某圆拱梁的示意图如下列图，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3 需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长〔准确到m 01.0〕． 2P PB A O yx 2A稳固练习1．以下方程各表示什么图形？〔1〕0)2()1(22=++-y x ；〔2〕044222=-+-+y x y x ； 〔3〕0422=-+x y x ； 〔4〕02222=-++b ax y x ； 〔5〕052422=+--+y x y x ．2．假设方程Ey Dx y x+++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直 线x y =对称，那么必有〔〕A ．E D =B ．F D =C ．F E =D ．FE D ==3．求经过点)14( ，A ，)36( -，B ，)03( ，C 的圆的方程． 课堂小结圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用代定系数法求圆的一般方程．数学〔理〕即时反响作业编号：011圆的一般方程1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为．2．假设方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，那么m 的取值范围是．3．圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，那么b=4．假设圆Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 的圆心在直线0=+y x 上，那么D 、E 、F 的关系有．5．过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心，且平行于x+2y+11=0的直线方程是.6．过点)11( -，M 且与圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心一样的圆的方程是．7．假设圆022222=++++b by x y x关于直线0=+y x 对称，那么=b ． 8、圆C ：04514422=+--+y x y x ，假设M 是圆C 上任意一点，)3,2(-Q ，那么|MQ|的最大值为_____________，最小值为______________；9、圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程为____________．10．求过三点)51( -，A ，)55( ，B ，)26(- ，C 的圆的方程．11．一个圆经过A 〔4,2〕，B 〔-1,3〕两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆的方程12、直线04=-+y x 和02=+-y kx 与x 轴、y 轴所围成的四边形有外接圆，求外接圆的方程13．点)(y x M ，与两个顶点)00( ，O ，)03( ，A 的间隔之比为21，那么点M 的坐标 满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约名录〔放大查看〕名录参见：://zxxk/wxt/list.aspxClassID=3060。
高考数学复习知识点讲解教案第49讲 圆的方程
2
+ +2
方法二：设所求圆的标准方程为 −
2
2
2
2
= 10.
+ −
2
,
2
=
= −1,
2 − + −3 − =
由题意得൞ −2 − 2 + −5 − 2 = 2 ,解得ቐ = −2,
2
= 10,
− 2 − 3 = 0,
1.常见圆的方程的设法：
标准方程的设法
2
圆心在原点
过原点
2
+ =
−
2
+ −
圆心在轴上
−
圆心在轴上
2
2
+
2
2
+ −
2
一般方程的设法
2
2
2
+ − =0
=
2
=
2
2
2
2
=
+
2
2.以 1 , 1 , 2 , 2 为直径的两端点的圆的方程是
− 1 − 2 + − 1 − 2 = 0.
设出圆心的坐标，利用 = 构造关于点坐标的方程求解；
思路二：设出圆的标准方程，将圆心坐标代入 − 2 − 3 = 0，
将点，的坐标分别代入圆的方程，然后组成方程组求解；
思路三：设出圆的一般方程，求出圆心坐标，再代入 − 2 − 3 = 0，
将点，的坐标分别代入圆的方程，然后组成方程组求解.
∴⊙ 的方程为 − 1
2
+ +1
高考数学第一轮复习教学案21
盐城市文峰中学美术生高中数学一轮复习教学案§21圆的方程【考点及要求】1.了解确定圆的几何要素；2.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件选择恰当的圆的方程，理解圆的标准方程与一般方程的关系，会进行相互转化.【基础知识】1.圆的定义：在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆.2.确定一个圆基本的要素是 和 .3.圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0),其中 为圆心， 为半径.4.圆的一般方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为 ，半径r= .5.点与圆的位置关系圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r 2，点M （x 0,y 0), 点在圆上: ;点在圆外: ; 点在圆内: .【基本训练】1.圆076222=++-+y x y x 的标准方程为___________________.2.若O (0，0)，A(6，－8)，则以OA 为直径的圆的方程为___________________.3.过3点()()()2,4,1,1,0,00N M 的圆的方程是___________________.4.方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆,则a 的取值范围是_____________.5.过点()0,12P 且与y 轴切于原点的圆的方程为_____________________.6.已知点A 是圆064222=-+-+y ax y x 上任意一点,点A 关于直线012=++y x的对称点仍然在此圆上,则a 的值为__________.7.过点()2,1总可以向圆0152222=-++++k y kx y x 作两条切线,则k 的取值范围 是_______________.8.圆(x +2)2+y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为_______________.【典型例题】例1.求过点A ()3,2-，()5,2--B ，且圆心在直线032=--y x 上圆的方程.练习.求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线0=-y x 截下的弦长为 72 的圆的方程．例2.已知曲线0202024:22=-++-+m my mx y x C(1)求证不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；(2)若曲线C 与y 轴相切，求m 的值.练习.一圆经过)3,1(),2,4(-B A 两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2,求此圆的 方程.思考.若圆()1122=-+y x 上任意一点()y x ,都使不等式0≥++m y x 恒成立,则实 数m 的取值范围是_______________.【课堂小结】【课堂检测】【课后作业】。
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高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）圆的方程教学案[知识能否忆起]1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)圆心：(a ，b )，半径：r一般 方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)圆心：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径：12D 2＋E 2－4F2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1 C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的方程的求法典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．[自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. (2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△PAB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.与圆有关的最值问题典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋ 5 5－ 5与圆有关的轨迹问题典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2y 0≠0，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16 D ．x 2＋(y －1)2＝16 解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________． 解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34.答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2，。