考研数学强化讲义之真题分类解析(吐血力荐)

求:(1)证明
lim
x
xn
存在,并求之.
1
(2)计算 lim
x
xn1 xn
xn2
.
例 8 设数列xn满足：x1 0, xnexn1 exn 1(n 1, 2,
),
证明xn
收敛，并求
lim
n
xn
.
例 9 设 an
1 xn
0
1 x2 dx
(n 0,1, 2,
)
（1）证明：数列 {an } 单调减少，且
（C） f x 在 x 0 处连续但不可导 （D） f x 在 x 0 处可导
例
9
设
f
(
x)
lim
n
(n 1)x nx2 1
,
则
f (x) 的间断点为 x
.
例
10
求函数
f
(x)
= lim(
sin t
x
)sintsin x
的表达式，并指出函数
(D) F(x) 是单调函数 f (x) 是单调函数
例 2 设 f (x) 是周 期为 4 的可导奇 函数，且 f (x) 2(x 1), x [0, 2] ，则 f (7)
__________.
例 3 设 f (x)
x
2 sin t dt ,
x
(Ⅰ)证明 f (x) 是以 为周期的周期函数;(Ⅱ)求 f (x) 的值域.
（D）3
例
7
函数
f
(x)
lim(1
sin
t
)
x2 t
在 (, ) 内（）
t 0
x
（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
x, x 0
例
8
已知函数
f
x
1 n
,
1 n 1
x
1 n
,n
1, 2,
，则（
）
[]
（A） x 0 是 f x 的第一类间断点 （B） x 0 是 f x 的第二类间断点
f
(x)
1, 1, x
x
0
0
，
g(x)
x,
1
x b, x
x 0
0
，若 f(x)+g(x)在 R 上连续，则
a、b 是多少？
例
3
设函数
f
(x)
1etan x
arcsin x 2
ae 2 x
x0 x 0 在 x 0 处连续，则 a （
）．
1
例
4
设函数
f
x
x3
x 0
sin
t
2dt
,
例
16
若
lim
x0
sin x ex a
cos
x
b
5
，则
a=
b=
(D) 1 3
例
17
已知函数
f
(x)
连续，且
lim
x0
1 cos[xf (ex2 1) f
(x)] (x)
1，则
f
(0)
____
.
1
例
18 lim 2
ln(1
x) x
．
x0
x
1
例
19
lim
x0
1 1
tan tan
x x
sin kx
f
(0)
0 ，则 lim x0
x2
f
(x) 2 x3
f
(x3)
（
）
（A） 2 f (0) （B） f (0)
（C） f (0)
（D） 0
例
14
设函数
f
(x)
arctan x ，若
f
(x)
xf
(
)
，则
lim
x0
2 x2
(A)1
(B) 2
3
(C) 1 2
1
例 15 若 lim ex ax2 bx x2 1，则 a= b= x0
x
0
在
x=0
处连续，则
a=
a, x 0
4
1
例 5 函数 f (x) (e x e) tan x 在 , 上的第一类间断点是 x
1 xex e
（A）0
（B）1
（C） 2
（D） 2
例 6 函数 f (x)
x x 1
的可去间断点的个数为（ ）
x(x 1) ln x
（A）0
（B）1 （C）2
(A) (2, )
(B) (1, 2)
(C) (1 ,1) 2
(D) (0, 1) 2
例 12 试确定 A, B,C 的值，使得 ex (1 Bx Cx2 ) 1 Ax o(x3) ，其中 o(x3) 是当 x 0
时比 x3 高阶的无穷小.
题型三 函数的极限
例
13
设函数
f
(x)
在
x
0 处可导，且
e ，则
k=
3
2
例 20 lim(x 2x ) x
.
x0
1
例
21
求
lim(
x
2
ex
4
1 ex
sin x ). x
1
例
22
求极限
lim
x0
ln(1 x
x)
ex
1
1
例 23 求极限 lim(cos 2x 2x sin x) x4 x0
x
求 lim 0
例 24 x 0
x tetdt x3
an
n 1 n2
an2
(n 2,3,
) ；（2）求极限 lim an ． a n
n1
2
题型二 无穷小、无穷小的比较与无穷小的阶
例 10 设
,当
下列试题中错误的是：（ ）
时,若
(A)
(B)
(C)
是比 高阶的无穷小,则 (D)
1
例 11 当 x 0 时，若 ln (1 2x) ，(1 cos x) 均是比 x 高阶的无小，则 的取值范是（）
例
25
已知实数
a, b
,满足
limxBiblioteka x1bexx
2, 求a,b。
1.3 连续
题型一 函数连续性
1 cos
例
1
若函数
f
(x)
ax
x , x 0 在 x=0 连续，则
b, x 0
(A) ab 1 2
(B) ab 1 2
(C) ab 0 (D) ab 2
2 ax, x 1
例 2 设函数
高等数学
第一讲 函数、极限、连续
1.1 函数
题型一 函数的四种性质 例 1 设 F(x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数,"M N" 表示"M 的充分必要条件是 N ",
则必有
(A) F(x) 是偶函数 f (x) 是奇函数
(B) F(x) 是奇函数 f (x) 是偶函数
(C) F(x) 是周期函数 f (x) 是周期函数
1.2 极限
题型一 数列极限
例 1 函数 f (x) 在 (, ) 内单调有界,xn 为数列,下列命题正确的是
(A)若xn 收敛,则 f (xn ) 收敛
(B)若xn 单调,则 f (xn ) 收敛
(C)若 f (xn ) 收敛,则xn 收敛
(D)若 f (xn ) 单调,则xn 收敛
例 2 数列xn 收敛，则
(A)当
lim sin
n
xn
0
时，
lim
n
xn
0
(B)当
lim
n
xn
( xn
xn ) 0
时，则
lim
n
xn
0
(C)当
lim(
n
xn
x2 n
)
0
,
lim 0
n
(D)当
lim(
n
xn
sin
xn )
0 时， lim n
xn
0
1
例3
lim
n
n
n
1
1n
______ .
例4
设曲线
y=f(x)与
y
x2
x
在点(1,0)处有公共切线，则
lim
n
nf
n
n
2
例
5
极限
lim
n
1 n2
(sin
1 n
2 sin
2 n
nsin n) ___________. n
例 6
求 lim n
n k 1
k n2
ln
1
k n
例 7 设数列xn 满足 0 x1 , x 1 sin xn n 1, 2,... .