考研数学强化讲义之真题分类解析(吐血力荐)

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x
0

x=0
处连续,则
a=
a, x 0
4
1
例 5 函数 f (x) (e x e) tan x 在 , 上的第一类间断点是 x
1 xex e
(A)0
(B)1
(C) 2
(D) 2
例 6 函数 f (x)
x x 1
的可去间断点的个数为( )
x(x 1) ln x
(A)0
(B)1 (C)2
(D) F(x) 是单调函数 f (x) 是单调函数
例 2 设 f (x) 是周 期为 4 的可导奇 函数,且 f (x) 2(x 1), x [0, 2] ,则 f (7)
__________.
例 3 设 f (x)
x
2 sin t dt ,
x
(Ⅰ)证明 f (x) 是以 为周期的周期函数;(Ⅱ)求 f (x) 的值域.

25
已知实数
a, b
,满足
lim
x
ax
1
bex
x
2, 求a,b。
1.3 连续
题型一 函数连续性
1 cos

1
若函数
f
(x)
ax
x , x 0 在 x=0 连续,则
b, x 0
(A) ab 1 2
(B) ab 1 2
(C) ab 0 (D) ab 2
2 ax, x 1
例 2 设函数
an
n 1 n2
an2
(n 2,3,
) ;(2)求极限 lim an . a n
n1
2
题型二 无穷小、无穷小的比较与无穷小的阶
例 10 设
,当
下列试题中错误的是:( )
时,若
(A)
(B)
(C)
是比 高阶的无穷小,则 (D)
1
例 11 当 x 0 时,若 ln (1 2x) ,(1 cos x) 均是比 x 高阶的无小,则 的取值范是()
e ,则
k=
3
2
例 20 lim(x 2x ) x
.
x0
1

21

lim(
x
2
ex
4
1 ex
sin x ). x
1

22
求极限
lim
x0
ln(1 x
x)
ex
1
1
例 23 求极限 lim(cos 2x 2x sin x) x4 x0
x
求 lim 0
例 24 x 0
x tetdt x3
高等数学
第一讲 函数、极限、连续
1.1 函数
题型一 函数的四种性质 例 1 设 F(x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数,"M N" 表示"M 的充分必要条件是 N ",
则必有
(A) F(x) 是偶函数 f (x) 是奇函数
(B) F(x) 是奇函数 f (x) 是偶函数
(C) F(x) 是周期函数 f (x) 是周期函数

16

lim
x0
sin x ex a
cos
x
b
5
,则
a=
b=
(D) 1 3

17
已知函数
f
(x)
连续,且
lim
x0
1 cos[xf (ex2 1) f
(x)] (x)
1,则
f
(0)
____
.
1

18 lim 2
ln(1
x) x

x0
x
1

19
lim
x0
1 1
tan tan
x x
sin kx
(A) (2, )
(B) (1, 2)
(C) (1 ,1) 2
(D) (0, 1) 2
例 12 试确定 A, B,C 的值,使得 ex (1 Bx Cx2 ) 1 Ax o(x3) ,其中 o(x3) 是当 x 0
时比 x3 高阶的无穷小.
题型三 函数的极限

13
设函数
f
(x)
在ห้องสมุดไป่ตู้
x
0 处可导,且
f
(x)
1, 1, x
x
0
0

g(x)
x,
1
x b, x
x 0
0
,若 f(x)+g(x)在 R 上连续,则
a、b 是多少?

3
设函数
f
(x)
1etan x
arcsin x 2
ae 2 x
x0 x 0 在 x 0 处连续,则 a (
).
1

4
设函数
f
x
x3
x 0
sin
t
2dt
,
(C) f x 在 x 0 处连续但不可导 (D) f x 在 x 0 处可导

9

f
(
x)
lim
n
(n 1)x nx2 1
,

f (x) 的间断点为 x
.

10
求函数
f
(x)
= lim(
sin t
x
)sintsin x
的表达式,并指出函数
(A)当
lim sin
n
xn
0
时,
lim
n
xn
0
(B)当
lim
n
xn
( xn
xn ) 0
时,则
lim
n
xn
0
(C)当
lim(
n
xn
x2 n
)
0
,
lim 0
n
(D)当
lim(
n
xn
sin
xn )
0 时, lim n
xn
0
1
例3
lim
n
n
n
1
1n
______ .
例4
设曲线
y=f(x)与
y
求:(1)证明
lim
x
xn
存在,并求之.
1
(2)计算 lim
x
xn1 xn
xn2
.
例 8 设数列xn满足:x1 0, xnexn1 exn 1(n 1, 2,
),
证明xn
收敛,并求
lim
n
xn
.
例 9 设 an
1 xn
0
1 x2 dx
(n 0,1, 2,
)
(1)证明:数列 {an } 单调减少,且
f
(0)
0 ,则 lim x0
x2
f
(x) 2 x3
f
(x3)


(A) 2 f (0) (B) f (0)
(C) f (0)
(D) 0

14
设函数
f
(x)
arctan x ,若
f
(x)
xf
(
)
,则
lim
x0
2 x2
(A)1
(B) 2
3
(C) 1 2
1
例 15 若 lim ex ax2 bx x2 1,则 a= b= x0
1.2 极限
题型一 数列极限
例 1 函数 f (x) 在 (, ) 内单调有界,xn 为数列,下列命题正确的是
(A)若xn 收敛,则 f (xn ) 收敛
(B)若xn 单调,则 f (xn ) 收敛
(C)若 f (xn ) 收敛,则xn 收敛
(D)若 f (xn ) 单调,则xn 收敛
例 2 数列xn 收敛,则
(D)3

7
函数
f
(x)
lim(1
sin
t
)
x2 t
在 (, ) 内()
t 0
x
(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
x, x 0

8
已知函数
f
x
1 n
,
1 n 1
x
1 n
,n
1, 2,
,则(

[]
(A) x 0 是 f x 的第一类间断点 (B) x 0 是 f x 的第二类间断点
x2
x
在点(1,0)处有公共切线,则
lim
n
nf
n
n
2

5
极限
lim
n
1 n2
(sin
1 n
2 sin
2 n
nsin n) ___________. n
例 6
求 lim n
n k 1
k n2
ln
1
k n
例 7 设数列xn 满足 0 x1 , x 1 sin xn n 1, 2,... .
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