同余定理 - 360文档中心

数论之同余问题

13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以

初等数论第二章同余

10°三1,IO】三一3, IO?三一4, IO?三一1,…(mod13)
和
N = cin_Yan_2…①仇=a2ci[a()-10°+a5a4a3-103H。
注:一般地，在考虑使N = an_{an_2-被加除的余数时,首先是求岀正整数匕使得
10*三一1或1(modm),
再将N=ci叶\5_2…写成
x + y+ 1 = 9或18,
3-y + x = 0或llo
这样得到四个方程组：
j\ + y + l = a
\3- y+x = b
其中。取值9或18, b取值0或11。在0<x,y<9的条件下解这四个方程组，得到x=8, y = 0, z = 6o
习题一
1.证明定理1和定理2。
2.证明定理4。
3.证明定理5中的结论（i ）—（iv）o
(v)由
ac=be(mod m)
得到m |c(a-b),再由(c,加)=1和鉛一章翕三节定理4得到m \a- b,即
a = b(mod m)o
证毕。
例1设N = anall_［- --aQ是整数N的十进制表示，即
N=ani0,?+an-ilO,/_1+ …+ailO+ao ,
则
(i )3|Nq3|£⑷；
x = y(modm),⑷三切(modm),0 < / <n,
则பைடு நூலகம்
工4兀’三工(mod力7)。⑵
i=0i=0
证明留作习题。
定理5下面的结论成立：
(i)a = b(mod m),d \ m, d> 0 a = b(modd)；

余数性质及同余定理(B级)

余数性质及同余定理知识框架一、余除法的定及性1.定：一般地，若是 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r ，也就是 a＝b×q＋ r ,0≤r＜ b；我称上面的除法算式一个余除法算式。

里：(1)当 r 0 ：我称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完好商(2)当 r 0 ：我称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完好商一个圆满的余除法解模型 : 如是一堆，共有 a 本，个 a 就可以理解被除数，在要求依照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，打包后共打包了 c 捆，那么个 c 就是商，最后节余 d 本，个 d 就是余数。

个能学生清楚的理解余除法算式中 4 个量的关系。

并且可以看出余数必然要比除数小。

2.余数的性⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之和，或个和除以 c 的余数。

比方： 23，16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23+16＝ 39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。

比方： 23，19 除以 5 的余数分是 3 和 4，所以 23+19＝ 42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之差。

比方： 23， 16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23－ 16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－ 1＝2.当余数的差不减，上除数再减。

比方： 23，14 除以 5 的余数分是 3 和 4， 23－ 14＝ 9 除以 5 的余数等于4，两个余数差3＋ 5－4＝ 43.余数的乘法定理a 与b 的乘除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数的，也许个除以 c 所得的余数。

同余

a 用a modm表示余数r，则 a [ ]m ( a m odm ) m
定理3 整数a, b模m 同余 a modm=b modm
ab (modm) m|a-b a modm=b modm
a=b+km
性质：
(1) ( 2) ( 3)
[(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm
(r r ) a b (q q)m
m a b的充分必要条件是 m r r. 但因为 0 r r m ，因此，
且 m r r 的充分必要条件是 r r 0 ，所以 m a b 的充分必要条件是 r r 0. 这就是定理的结论.
2
2003
2

22 1 4 4(mod 7).
故第 22003 天是星期二。定理5 若 x y(mod m),
ai bi (mod m),
0 i k, 则 0 i k.
a0 a1 x ak x k b0 b1 y bk yk (mod m).
故 3 n, 9 ｜ n.
k 定理7 设 n ak 1000 a11000 a0 , 0 ai 1000. 则7或11,或
13 n 7或11或 13 a0 a2 - a1 a3 .
例4 设 n 637693.
例5 设n 75312289.
定理10 设a b ( mod m) . 若d | m, 则a b ( mod d) .

同余定理-

同余定理同余定理是关于模运算的一个重要理论，它能解决很多与模运算相关的问题。

在数学和计算机科学中，同余定理经常被用于计算和密码学中。

同余定义和符号同余是一个抽象的数学概念，用来描述两个整数之间的关系。

当两个整数除以另一个整数得到的余数相同时，它们被称为同余的。

在数学符号上，同余用符号≡表示，如下所示：a ≡b (mod m)其中a、b、m是整数，称为同余方程，其中mod表示“模”。

实际上，同余定理是一个等式，它表示：对于给定的模数m，如果两个整数a和b满足模数m时的余数相同（即a mod m = b mod m），那么这两个整数就是同余的。

例如，我们可以把它简写成a = b (mod m)，这意味着a和b在模m下有相同的余数。

同余定理的三种形式同余定理有三种形式：基本形式、加法形式和乘法形式。

每种形式都有其独特的特点和用途。

1. 基本形式最常见的同余定理形式是基本形式，也被称为恒等式。

它表示：如果a和b在模m下有相同的余数，那么它们是同余的。

a≡b(mod m) ⇔ a mod m = b mod m2. 加法形式加法形式表示：如果a、b、c在模m下同余，那么a+b、b+c、a+c在模m下也同余。

如果 a ≡ b (mod m) 且 c ≡ d (mod m)，则a + c ≡b + d (mod m)证明：根据同余定义，我们有：a ≡b (mod m)那么，我们可以将a和b分别表示出来：a =b + km其中k是一个整数。

同样地，我们也有：c ≡d (mod m)c =d + lm将它们相加，得到：a + c =b + km + d + lm = b + d + (k + l)m 将其转化为同余符号，得到：a + c ≡b + d (mod m)这证明了加法形式的同余定理。

3. 乘法形式乘法形式表示：如果a、b、c在模m下同余，那么ab和bc在模m下也同余。

如果 a ≡ b (mod m) 且 c ≡ d (mod m)，则ac ≡ bd (mod m)证明：根据同余定义，我们有：a ≡b (mod m)那么，我们可以将a和b分别表示出来：a =b + km其中k是一个整数。

同余分解定理

同余分解定理同余分解定理是数论中一个非常重要的定理，它描述了整数的同余关系与整数的运算之间的联系。

同余分解定理是由欧拉在18世纪提出的，是数论中的基本方法之一。

本文将对同余分解定理进行详细的介绍和证明。

首先，我们来了解一下同余关系。

对于任意两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相同，我们就说a和b在模m下同余，记作a≡b(mod m)。

其中，≡表示同余关系，mod表示模。

同余关系具有以下性质：1.自反性：对任意整数a和正整数m，有a≡a(mod m)。

2.对称性：对任意整数a、b和正整数m，若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。

3.传递性：对任意整数a、b、c和正整数m，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

接下来，我们来介绍同余分解定理。

同余分解定理的表述如下：对于任意整数a和正整数m，存在唯一的整数q和r（其中0≤r<m），使得a=qm+r。

下面，我们来证明同余分解定理。

证明过程如下：已知整数a和正整数m，我们需要找到整数q和r，使得a=qm+r，并证明该表示是唯一的。

首先，我们将a除以m，得到商q和余数r。

即a=qm+r。

其中，q是整数商，r是余数。

接下来，我们来证明这种表示是唯一的。

假设另外存在整数q'和r'，使得a=q'm+r'。

我们需要证明q=q'，r=r'。

根据q和r的定义，我们有以下关系：a=qm+ra=q'm+r'将上述两个等式相减，得到：a-a=qm+r-(q'm+r')0=qm+r-q'm-r'0=qm-q'm+r-r'由于qm和q'm都可以写成m(q-q')，上述等式可以进一步简化为：r-r'=0根据同余关系的性质，r和r'在模m下同余，即r≡r'(mod m)。

初中数学重点梳理：同余式

同余式知识定位数论是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常发比例，其中同余理论是初等数论中的重要内容之一，其同余式概念及应用，剩余系概念要熟练掌握。

本文归纳总结了同余的若干性质，将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、同余概念定义1：给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m 同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m。

（1）若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b。

反之，（2）若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2。

于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2：若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．2、同余定理定理1：（1）a≡a(modm)．（2）若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．（3）若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．定理2：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证：由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a n≡b n(modm)．定理3：若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．定理4：若n ≥2，a ≡b(modm 1)，a ≡b(modm 2)，…………a ≡b(modm n )，且M=[m 1，m 2，…，m n ]表示m 1，m 2，…，m n 的最小公倍数，则a ≡b(modM)3、剩余类和完全剩余系全体整数集合可按模m 来划分：当且仅当()mod a b m ≡时，a 和b 属于同一类。

同余定理的趣味历史与演变

同余定理的趣味历史与演变数学作为一门古老而又饱含智慧的学科，其中有一条被誉为“同余定理”的重要规则。

同余定理是数论中的基础概念，它的历史起源可以追溯到古代。

本文将带领读者领略同余定理的趣味历史与其在数学发展过程中的演变。

一、同余定理的历史起源同余定理的理论基础最早可以追溯到公元前二世纪的中国汉朝。

在《九章算术》中，它首次得到了系统的阐述和运用。

当时，人们发现了一种数与另一个数之间能够保持某种特定关系的模型。

这种数学模型被称为“同余”。

尽管当时的表述方式与现代的数学语言不同，但同余定理的思想内容已经初步形成。

同余定理的发展并不止步于汉朝，随着时间的推移，它逐渐传入了其他的数学文明。

在印度、阿拉伯和欧洲等地，同余定理得到了更深入的研究和推广。

二、同余定理的基本概念同余定理是关于整数运算的一种特定规则，它描述了两个整数在模一个给定的非零整数下的关系。

若两个整数除以一个固定的整数所得的余数相等，我们就说这两个整数对于这个给定的整数是同余的。

以更具体的例子来说明，假设我们有两个整数a和b，它们对于一个非零整数m来说，如果a除以m的余数与b除以m的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，那么我们可以说a和b在模m下是同余的。

三、同余定理的运用与特性同余定理不仅在数学理论中具有重要的地位，而且在实际问题中也有广泛的应用。

在离散数学、密码学、计算机科学等领域，同余定理都发挥着重要的作用。

同余定理具有一些有趣的特性。

首先，同余关系可以构成一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。

这一点在同余定理的证明中显得尤为重要。

其次，同余关系还可以运用于简化运算。

例如，在进行大数阶乘的计算中，可以使用同余定理来减少计算量。

这是因为同余关系可以保持模运算的性质。

四、同余定理的演变与现代数学随着数学的不断发展，同余定理也在不断演变和推广。

在现代数论中，同余定理已经成为一门独立的数学学科，并发展出了更深奥的理论和更广阔的应用。

线性同余式定理

线性同余式定理
线性同余式定理，也称为康拉德·诺曼·图灵·傅立叶定理（Kronecker-Norman-Turing-Fourier Theorem），是数学界被广泛应用的定理。

它在不同的领域被广泛使用，其中尤其在政务民生领域的应用最为广泛，如经济统计预测、农业与水利灌溉、社会保障、工业领域中的经济分析等。

线性同余式定理主要探讨了一组数值变化之间的规律。

它可以用于研究一系列相互关联的数学结构，建立数学模型并通过数据分析来预测未来的变化趋势。

高级说法，它可以采用一种相对比较可靠的方法来推断出一系列数据或函数之间的相关关系，从而确定他们的未来变化趋势。

事实上，由于其精确度以及对准确的预测的能力，线性同余式定理在经济统计分析中得到了广泛的应用。

在政务民生方面，线性同余式定理的用途更加实用。

它可以将复杂的数据归纳为一种简单的统计模型，根据统计分布的技术，应用线性同余式定理来预测受试群体的某种行为特征，可以通过统计报表为政府提供有关民生资源配置安排的重要数据支持。

另外，由于其计算机性能强大，在计算机辅助设计和模拟中也有着更广泛的应用。

例如，在城市建设和社会规划中，现代计算机技术可以借助线性同余式定理，避开繁杂的人口数据和经济成本计算，迅速给出良好的结果以支持政务民生的有效调整。

综上所述，线性同余式定理已经发挥出巨大的政务民生价值，成为企业经济统计分析、农业与水利灌溉、社会保障、工业领域中的经济分析的有力工具，同时更为有效的支持了城市建设和社会规划的结果。

可以说，线性同余式定理在现代社会发展中正发挥着重要作用，为政务民生的改革带来了巨大的便利与布局。

数学mod的定理

数学mod的定理
在数学中，模运算（mod）是指取余数的操作。

例如，10 mod 3 等于1，因为10除以3余1。

模运算有许多应用，因为它们可以用来解决很多数学问题，包括密码学和计算机科学中的一些问题。

模运算有许多有用的定理和性质。

其中一些是：
1. 同余定理：如果a和b除以m的余数相同，那么a和b就是模m同余的，记作a≡b(mod m)。

2. 模加法性质：如果a≡b(mod m)并且c≡d(mod m)，那么a+c ≡b+d(mod m)。

3. 模乘法性质：如果a≡b(mod m)并且c≡d(mod m)，那么ac ≡bd(mod m)。

4. 模逆元：如果a和m互质，那么a在模m意义下有一个逆元b，满足ab≡1(mod m)。

这些定理和性质可以用来简化模运算的计算和分析，并用于设计密码和保护计算机系统的安全性。

因此，了解模运算的定理和性质对于理解现代数学和计算机科学领域中的许多问题非常重要。

- 1 -。

同余的基本概念和性质

4 16，28 256，216 154，232 1 (mod 641)。
例3 说明是否被641整除。
因此 0 (mod 641)，
即641 。
第一节同余的基本性质
第一节同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2，其中qZ，所以
=(1 q2k + 2)2=1 q 2k + 31(mod 2k + 3)，其中q 是某个整数。这说明式(4)当n = k 1也成立。由归纳法知式(4)对所有正整数n成立。
第一节同余的基本性质
a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
证明由
pa 1或pa 1，
所以必是
a 1或a 1 (mod p)。
例8 设p是素数，a是整数，则由a2 1(mod p)可以推出
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
解因为792 = 8911，故 792n 8n，9n及11n。我们有 8n 8 z = 6，
证明留作习题。
定理5 下面的结论成立： (ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d); (ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN ak bk (mod mk)； (ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])； (ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a b (mod m)，此时也称b是a对模m的同余

(2021年整理)同余定理

同余定理
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同余法解题
同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。

同余的定义是这样的：
两个整数，a，b，如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。

记作a≡b(mod.m）。

读作:a同余于b模m.
同余的性质也比较多，主要有以下一些：
1.对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差)同余.
2.对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

3.对于同一个除数，如果有两个整数同余,那么它们的差就一定能被这个除数整除。

4.对于同一个除数，如果两个数同余,那么他们的乘方仍然同余.。

同余定理教学案

同余定理教学案同余定理是数论中一种重要的概念和工具，广泛应用于密码学、模拟算法、离散数学等领域。

本文将为您提供一份针对同余定理的教学案，旨在帮助学生深入理解和掌握该概念，并能够熟练运用于解决实际问题。

一、教学目标通过本次教学，学生应能够：1. 了解同余定理的基本概念和性质；2. 掌握同余关系的运算法则；3. 学会使用同余定理解决实际问题；4. 发展数学思维、逻辑思维和问题解决能力。

二、教学重点和难点1. 教学重点：a. 同余定理的定义和性质；b. 同余关系的运算法则；c. 实际问题的解决方法。

2. 教学难点：a. 同余定理的推导与证明；b. 实际问题的数学建模。

三、教学内容和安排1. 引入（约5分钟）在引入部分，教师可以通过两个具体的例子，引发学生对同余的思考。

例如：某某学校每10天举行一次早操，今天是星期一，学校何时再次进行早操？再例如：某种植物每30天开花一次，已知某株植物在1月1日开花，问该植物在今年的12月25日是否开花？2. 概念讲解（约10分钟）在此部分，教师应详细介绍同余的定义、同余关系以及同余定理的应用领域。

并帮助学生理解同余关系在数学中的重要性与意义。

3. 性质与运算法则（约15分钟）在此部分，教师可以通过简单的示例帮助学生理解同余定理的基本性质并进行相关计算。

例如：3 ≡ 10 (mod 7)，求解另一个与3同余的整数。

4. 同余定理的推导与证明（约20分钟）在此部分，教师应向学生介绍同余定理的推导与证明过程。

以费马小定理和中国剩余定理为例，帮助学生更深入地理解同余定理的内涵与推论。

5. 实际问题的解决方法（约20分钟）在此部分，教师应为学生提供一些实际问题，并引导学生运用同余定理解决问题。

例如：在某个软件上，密码必须包含至少8个字符，其中必须包含一个大写字母、一个小写字母、一个数字和一个特殊字符（!@#$%^&*），请计算可能的密码组合数目。

6. 练习与实践（约20分钟）在此部分，教师应为学生准备一些同余定理的练习题，让学生巩固对同余定理的理解与应用。

欧拉同余定理

欧拉同余定理欧拉同余定理是数论中非常重要的定理之一，它与模运算有关。

欧拉同余定理在解决一些数论问题时非常有用，下面我们来详细介绍一下。

我们需要了解什么是模运算。

在数学中，模运算是指将一个数除以另一个数后得到的余数。

例如，10除以3，商为3，余数为1，我们可以表示为10 mod 3 = 1。

在模运算中，我们常用符号“≡”来表示同余关系。

如果两个数的模运算结果相同，我们就说它们是同余的。

欧拉同余定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的。

它的表述如下：设a和n是两个正整数，且a与n互质（即最大公约数为1），那么对于任意的正整数m，都有a^m ≡ a^(m mod φ(n)) (mod n)。

其中，φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数，称为欧拉函数。

欧拉同余定理的意义在于，它将指数m的模运算转化为指数m mod φ(n)的模运算，从而简化了计算。

当模数n很大时，计算指数的模运算可能会非常复杂，而欧拉同余定理的应用可以大大简化计算过程。

下面我们通过一个例子来说明欧拉同余定理的应用。

假设我们需要计算2^1000 mod 7，即计算2的1000次方除以7后的余数。

根据欧拉同余定理，我们可以将指数1000转化为1000 mod φ(7) = 1000 mod 6 = 4，然后计算2^4 mod 7即可。

由于2^4 = 16，16除以7的余数为2，因此2^1000 mod 7 = 2。

通过这个例子，我们可以看到欧拉同余定理的应用可以大大简化计算过程。

在实际应用中，它可以用于密码学中的RSA算法、离散对数问题的求解等领域。

除了欧拉同余定理，数论中还有许多重要的定理和问题。

例如费马小定理、中国剩余定理、模反元素的存在性等。

这些定理和问题都在数论研究中扮演着重要的角色，对于加密算法、密码学、计算机科学等领域都有重要的应用。

欧拉同余定理是数论中的一个重要定理，它可以将指数的模运算转化为指数mod φ(n)的模运算，从而简化计算过程。

欧拉同余定理

欧拉同余定理引言欧拉同余定理（Euler’s theorem）是数论中的一个重要定理，它建立了连乘法和取模运算之间的关系。

欧拉同余定理是欧拉函数的一个应用，它在密码学、组合数学等领域都有重要的应用。

本文将详细介绍欧拉同余定理的定义、原理、证明以及应用。

二级标题欧拉函数1.欧拉函数的定义2.欧拉函数的性质欧拉同余定理的定义1.欧拉同余定理的表述2.欧拉同余定理的含义欧拉同余定理的证明1.证明思路2.证明过程三级标题欧拉函数1.欧拉函数的定义欧拉函数φ(n)定义为小于或等于n的正整数中与n互质的个数。

例如，φ(8) = 4，因为1、3、5、7这4个数都与8互质。

欧拉函数的计算方法是将n素因子分解，然后根据欧拉函数的性质进行计算。

欧拉函数可以用来求解模运算下的幂运算，例如a^b mod n。

2.欧拉函数的性质–若n为质数，则φ(n) = n-1，因为质数与小于n的所有数互质。

–若n为两个素数p、q的乘积，即n = p q，则φ(n) = (p-1)(q-1)。

这是因为p和q互质，所以与p互质的数和与q互质的数是分开计数的。

–若n为多个不同素数的乘积，即n = p1* p2 * … * pk，则φ(n) = n * (1-1/p1) * (1-1/p2) * … *欧拉同余定理的定义1.欧拉同余定理的表述欧拉同余定理指出，若a与n互质，即gcd(a,n) = 1，那么a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。

其中，φ(n)为欧拉函数。

2.欧拉同余定理的含义欧拉同余定理的含义是，在模n的意义下，对于与n互质的整数a，a的欧拉指数为φ(n)的整数次幂与1同余。

换句话说，当a与n互质时，对于任意整数b，若a^b mod n = m，则有b ≡ c (modφ(n))，其中c为满足a^c mod n = m的整数。

欧拉同余定理的证明1.证明思路欧拉同余定理的证明基于费马小定理和欧拉函数的性质。

首先，根据费马小定理可得：若p为质数，a为与p不可约的整数，则a^(p-1) ≡1 (mod p)。

线性同余式定理

线性同余式定理一切代数式皆可以用它们的代数余子式表示出来，而这种代数余子式正是我们所要证明的。

线性同余式定理[13x^3-6x+9=0]，其中x为根式，于是将其化简得到：[13x^3-6x+9=0]。

因为所有的系数都含有2的幂次，即x^3-6x+9=0。

故x^3-6x+9=0。

线性同余式定理2[14x^2+9x-4=0]，因为只有1项，即x^2+9x-4=0，所以这个积就应该是原系数乘以10。

由于已知x^3-6x+9=0，则x^3-6x+9=0；又因为x^2+9x-4=0，所以x^2+9x-4=0。

这样一来， x^2+9x-4=0的系数就只剩下1个了，那就是2。

将其化简，即得到： x^2+9x-4=0。

线性同余式定理3[15x^5-25x+90=0]，其中x为整式，将其化简得到：[15x^5-25x+90=0]。

[分解因式]，得到x=(1/5)^5=1/30，所以线性同余式定理3。

线性同余式定理4[18x^8-10x+80=0]，因为除去了两个二次项，从而得到：[18x^8-10x+80=0]。

将上述化简式和分解因式相比较，很容易看出所有的系数都不超过3次，且分别在1、 3、 6、 9、 12………………的单项式中。

线性同余式定理5[20x^3-6x+3=0]，因为此项含有3个系数，即x^3-6x+3=0。

线性同余式定理6[22x^4+36x-216=0]，因为将两个因式同时除以5，得到：[22x^4+36x-216=0]。

从而找出了它们的系数。

[分解因式]，得到x=(1/8)^4=(3/8)^4，所以线性同余式定理6。

总结如下：所有的根式系数都不大于3次；每个根式系数的系数最多只能含有3次；除去两个二次项之后，系数不超过3次的多项式中的根式系数只能是1， 3， 6， 9， 12……………等。

线性同余式定理7[23x^4-56x-24=0]，因为这个代数式已经是两个多项式，所以要化简，故化简之后得到：[23x^4-56x-24=0]。

小学奥数同余定理与剩余定理B提高版

同余定理与剩余定理B知识点拨一、同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711（）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；⑴ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；⑴ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；⑴ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑴ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑴ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．二、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。