2020年辽宁省沈阳市高中三年级教学质量监测(三)理数试题含答案

2020年辽宁省沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。

3.考试结束后，考生将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N =∅ID ．M N =R U2．复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．已知抛物线22x py =上一点(,1)A m 到其焦点的距离为3，则p =A ．2B ．2-C ．4D ．4±4．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入15a =，12b =，0i =，则输出的结果为A ．4a =，4i =B ．4a =，5i =C ．3a =，4i =D ．3a =，5i =5．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比512m -=的近似值，黄金分割比还可以表示为2sin18︒，则24m m -= A ．4 B ．2C ．51+D ．51-6．已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的侧面积为 A ．344π+B ．722π+ C ．7524π+D ．7528π+ 7．设函数2()cos sin f x x b x =+，则“0b =”是“()f x 的最小正周期为π”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A =“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B =“小组甲独自去一个国家”，则()P A B = A ．29B ．13C ．49D ．599．已知O 为ABC ∆的外接圆的圆心，且345OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r，则C ∠的值为A ．4πB ．2πC ．6πD ．12π10．我们打印用的4A 纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD 为一张4A 纸，若点E 为上底面圆上弧AB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成的角约为 A ．6πB ．4π C ．3π D ．32π CE11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：上表数据中y 的平均值为2.5，若某同学对m 赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为11y b x a =+，22y b x a =+，33y b x a =+，对应的相关系数分别为1r ，2r ，3r ，下列结论中错误的是 A ．三条回归直线有共同交点 B ．相关系数中，2r 最大 C ．12b b >D ．12a a >参考公式：线性回归方程yb x a ∧∧=+中，其中121()()()niii nii x x y y b x x --∧=-=--=-∑∑，a y b x ∧-∧-=-．相关系数()()niix x y y r----=∑．12．已知函数3()4f x x x =-，过点(2,0)A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为 A ．(1,8)-B ．(1,8)(8,)-+∞UC ．(2,8)(8,)-+∞UD ．(1,)-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知m 是常数，()543252054311 a x a x a x a x a x a mx +++++-=，且1234533a a a a a ++++=，则m =＿＿＿＿＿＿＿＿．14．已知1()f x x x =+，若25(log )2f b =，则1(log )2b f =＿＿＿＿＿＿＿＿．15．在平面直角坐标系xOy 中，F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线2y b=与双曲线交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为＿＿＿＿＿＿＿＿． 16．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设△ABC 的面积为S ，若2224sin sin s 3n +2i A B C =，则SAB AC⋅u u u r u u u r 的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，且4712,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若14nn n n S b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台．已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率． （1）若某送餐员一天送餐的总距离为100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数,且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份7元，超过4千米为远距离，每份12元．记X 为送餐员送一份外卖收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，AD PD ⊥，点F 为棱PD 的中点．（1）在棱BC 上是否存在一点E ，使得CF P 平面PAE ，并说明理由； （2）若AC PB ⊥，二面角D FC B --的余弦值为6AF 与平面BCF 所成的角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b ，四点1P，2P，3(2,3-P，4P 中恰有三个点在椭圆C 上，左、右焦点分别为1F 、2F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过左焦点1F 且不平行坐标轴的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，若PQ 的中点为N ，O 为原点，直线ON 交直线3x =-于点M ，求1||||PQ MF 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()bx e f x ax =在2x =处取到极值为2e．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2()ln 1x f x kx x ≥++在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．ABCDPF（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 2ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足4PO OM ⋅=-u u u r u u u u r，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）曲线2C 上两点1(,)3A ρπ与点2(,)B ρα，求OAB ∆面积的最大值．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数，设函数()f x x b x c a =--++，x ∈R ． （1）若222a b c ===，求不等式()3f x <的解集； （2）若函数()f x 的最大值为1，证明：14936a b c++≥．2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学（理科）【答案与评分标准】第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．314．52-15．516三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）（1）当1n =时，111a S p ==+， 当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+，……2分 当1n =时，11a p =+也满足上式，故21n a n p =-+，……3分 ∵4712,,a a a 成等比数列，∴24127a a a =，……4分∴2(7)(23)(13)p p p ++=+，∴2p = ∴21n a n =+；……6分由（1）可得2221448483111()(21)(23)48322123n n n n S n n n n b a a n n n n n n +++====--++++++，……9分∴231111111322()23557212324623n n nT n n n n n n +=--+-+⋅⋅⋅+-=-+=++++．……12分18．（本小题满分12分）（1）估计每名外卖用户的平均送餐距离为：0.50.15 1.50.25 2.50.25 3.50.2 4.50.15 2.45⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千米． ……3分所以送餐距离为100千米时，送餐份数为：100412.45≈份； ……5分 （2）由题意知X 的可能取值为：3，7，12．……6分 ()40310025P X ===， ……7分 ()710904502P X ===， ……8分 ()1512100230P X ===． ……9分所以X 的分布列为：……10分∴()3712 6.1522930205E X =⨯+⨯+⨯=． ……12分19．（本小题满分12分）（1）在棱BC 上存在点E ，使得CF P 平面PAE ，点E 为棱BC 的中点． 证明：取PA 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，FQ AD P 且12FQ AD =， CE AD P 且12CE AD =，故CE FQ P 且CEFQ =．∴四边形CEQF 为平行四边形． ……2分 ∴CF EQ P ，又CF ⊄平面PAE ， ∴CF P 平面PAE ．……4分（2）菱形ABCD 中，AC BD ⊥，又AC PB ⊥，PB BD B =I ． ∴AC ⊥平面PBD ，又PD ⊂面PBD ，∴AC PD ⊥， ∵AD PD ⊥，AC AD A =I ，∴PD ⊥平面ABCD ． ……6分取AB 中点为M ，则DM AB ⊥．以D 为原点，DM ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，设FD a =， 则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C，)B，)1,0A-．()0,2,FC a =-u u u v，)1,0CB =-u u u v ，……7分设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =v，则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u vv得200y az y -=⎧⎪-=， 令1x =，则y =z =m ⎛= ⎝⎭v ， ……9分显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =v，由题意：cos ,6m n ==v v，所以a =……10分1,FA =-u u u v ，设直线AF 与平面BCF 所成的角为θ，则sin cos ,5m FA θ===u r u u u r ． ……12分20．（本小题满分12分）解：（1）易知3(-P，4P 关于y 轴对称，一定都在椭圆上．所以1P一定不在椭圆上．根据题意2P 也在椭圆上．……2分将2P，4P 带入椭圆方程，解得椭圆方程为22162x y +=．……4分 （2）设直线l 方程为(2)y k x =+（0k ≠），()11,P x y ，()22,Q x y ，联立22162(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()222231121260k x k x k ++-=+． ……5分则224(1)0k ∆=+>，且21221231+=-+k x x k ，212212631-=+k x x k ， ……6分设PQ 的中点00(,)N x y ，则212262310x x k x k +==-+，22262(2)31310k k y k k k =-+=++， ∴N 坐标为22262,3131⎛⎫- ⎪++⎝⎭k k k k ，||=PQ221)31+=+k k ． ……8分因此直线ON 的方程为13y x k =-，从而点M 为1(3,)k-，又1(2,0)F -，1||MF = ……9分2222221(||241)||(31)PQ k k MF k +=+，令2311u =k +≥， 则222(1)(2)1611116119()8()[()]33223416u u h u u u u u -+==---=---，因此当4u =，即1k =±时h(u)最大值为3．所以1||||PQ MF……12分21．（本小题满分12分）（1）由已知定义域为{|0}x R x ∈≠，2()()()bxabx a e f x ax -'=，由22(2)(2)0(2)bab a e f a -'==，又0a ≠，得12b =， 2(2)222b e e ef a a ===，所以1a =，……2分从而22(1)2()xxe f x x-'=又0x ≠。