研究生数理统计之回归分析
概率论与数理统计-回归分析
第11章 回归分析设x 为普通变量，Y 为随机变量。
如果当x 变化时，Y 随着x 的变化大体上按某种趋势变化，则称x 与Y 之间存在相关关系，即),0(~,)(2σεεN x f Y +=例如，某地人均收入x 与某种商品的消费量Y 之间的关系；森林中树木的断面直径x 与高度Y 之间的关系；某种商品的价格x 与销售量Y 之间的关系；施用氮肥、磷肥、钾肥数量1x ，2x ，3x 与某种农作物产量Y 之间的关系。
在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的近似函数关系或得到样点之外的数据。
我们确定的函数要求在某种距离意义下的误差达到最小（通常用最小二乘法，即考虑使各数据点误差平方和最小）。
由一个（或几个）普通变量来估计或预测某个随机变量的取值时，所建立的数学模型及所进行的统计分析称为回归分析。
§11.1 一元线性回归假设有一批关于x 与Y 的离散样点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x集中在一条直线附近，说明x 与Y 之间呈线性相关关系，即),0(~,2σεεN bx a Y ++=称为一元线性回归模型。
一、模型中的参数估计 1、b a ,的估计 首先引进记号∑∑∑∑∑=====-=-=-===ni i i xy ni i yy ni i xx ni ini iyx n y x S y n y S x n x S y n y x n x 11221221111按最小二乘法可得到xxxyS S b =ˆ x b y a ˆˆ-= 称x b a yˆˆˆ+=为Y 关于x 的一元线性回归方程。
2、2σ的估计)ˆ(21ˆ22xx yy S b S n --=σ求出关于的一元线性回归方程。
解：先画出散点图如下计算出 3985193282503.6714510======xy yy xx S S S y x n483.0ˆ==xxxyS S b 735.2ˆˆ-=-=x b y a所求的回归方程是x y483.0735.2ˆ+-=。
概率论与数理统计(回归分析)
调整R方值 考虑到自变量数量的R方值，用 于比较不同模型之间的拟合优度。 调整R方值越接近于1，说明模型 拟合优度越好。
残差图 通过观察残差与实际观测值之间 的关系，判断模型是否符合线性 关系、是否存在异方差性等。
05
逻辑回归分析
逻辑回归模型
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逻辑回归模型是一种用于解决 二分类问题的统计方法，基于 逻辑函数将线性回归的预测值 转换为概率形式。
多元非线性回归模型
在多个自变量X1, X2, ..., Xp的条件下，预测因变量Y的非线性数 学模型。模型形式为Y = f(β0, β1*X1, β2*X2, ... , βp*Xp)，其
中f表示非线性函数。
多元逻辑回归模型
用于预测分类结果的多元回归模型，适用于因变量Y为二分 类或多分类的情况。
多重共线性问题
非线性回归模型是指因变量和自 变量之间的关系不是线性的，需 要通过变换或参数调整来拟合数 据。
形式
非线性回归模型通常采用指数函 数对数函数、多项式函数等形 式来表达。
适用范围
非线性回归模型适用于因变量和 自变量之间存在非线性关系的情 况，例如生物医学、经济学、社 会学等领域。
常用非线性回归模型
指数回归模型
线性回归模型假设因变量和自变 量之间存在一种线性关系，即当 一个自变量增加或减少时，因变 量也会以一种恒定的方式增加或 减少。
最小二乘法
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最小二乘法是一种数学 优化技术，用于估计线
性回归模型的参数。
最小二乘法的目标是找 到一组参数，使得因变 量的观测值与预测值之
间的平方和最小。
最小二乘法的数学公式为： β=(XTX)^(-1)XTY，其中 X是自变量的数据矩阵，Y 是因变量的数据向量，β
《数理统计》教案——回归分析
(
)
(
)
(
)
《数理统计》 数理统计》授课教案——李正耀
ˆ分别是a, b的无偏估计，从而E (Y ˆ ) = a + bx。 ˆ, b 性质3：a
−1 ˆ 证明：因为b = lxy /lxx = lxx ∑ ( xi − x )Yi , i
ˆ) = l −1 ( x − x )E (Y ) = l −1 ( x − x )(a + bx ) E (b xx ∑ i i xx ∑ i i
(6) Y的观察值的点预测和区间预测。
（1）回归系数a,b的最小二乘估计(LSE)
Q ( a , b ) = ∑ ( yi − a − bxi )
ˆ， ˆ, b 求估计a
i =1 n 2
ˆ ˆ + bx y=a
ˆ = min Q ( a , b )。 ˆ, b 使Q a
a ,b
n ∂Q = − 2 ∑ ( yi − a − bxi ) = 0, ∂a i =1
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点 （称为散点图），可以粗略看出µ ( x)的形式。
假设µ ( x)为线性函数：µ ( x) = a + bx, 此时估计µ ( x)的 问题称为求一元线性回归问题。
Y = a + bx + ε ε 是随机误差，不可控制， 基本假设： 2 E ( ) = 0, D ( ) = , ε ε σ 2 σ a , b ( 回归系数） , 未知.
《数理统计》 数理统计》授课教案——李正耀
正规方程系数行列式
n
∑x
i =1 n i =1
n
i
∑ xi
i =1
概率论与数理统计第十章回归分析
第十章回归分析回归分析方法是数理统计中的常用方法之一，是处理多个变量之间相关关系的一种数学方法.第一节回归分析的概述在客观世界中变量之间的关系有两类，一类是确定性关系，例如欧姆定律中电压U 与电阻R、电流I之间的关系为U=IR，如果已知这三个变量中的任意两个，则另一个就可精确地求出.另一类是非确定性关系即所谓相关关系.例如，正常人的血压与年龄有一定的关系，一般来讲年龄大的人血压相对地高一些，但是年龄大小与血压高低之间的关系不能用一个确定的函数关系表达出来.又如施肥量与农作物产量之间的关系，树的高度与径粗之间的关系也是这样.另一方面，即便是具有确定关系的变量，由于试验误差的影响，其表现形式也具有某种程度的不确定性.具有相关关系的变量之间虽然具有某种不确定性，但通过对它们的不断观察，可以探索出它们之间的统计规律，回归分析就是研究这种统计规律的一种数学方法.它主要解决以下几方面问题.（1）从一组观察数据出发，确定这些变量之间的回归方程.（2）对回归方程进行假设检验.(3) 利用回归方程进行预测和控制.实用文档回归方程最简单的也是最完善的一种情况，就是线性回归方程.许多实际问题，当自变量局限于一定范围时，可以满意地取这种模型作为真实模型的近似，其误差从实用的观点看无关紧要.因此，本章重点讨论有关线性回归的问题.现在有许多数学软件如Matlab,SAS等都有非常有效的线性回归方面的计算程序，使用者只要把数据按程序要求输入到计算机，就可很快得到所要的各种计算结果和相应的图形，用起来十分方便.我们先考虑两个变量的情形.设随机变量y与x之间存在着某种相关关系.这里x是可以控制或可精确观察的变量，如在施肥量与产量的关系中，施肥量是能控制的，可以随意指定几个值x1,x2,…,x n,故可将它看成普通变量，称为自变量，而产量y是随机变量，无法预先作出产量是多少的准确判断，称为因变量.本章只讨论这种情况.由x可以在一定程度上决定y，但由x的值不能准确地确定y的值.为了研究它们的这种关系，我们对(x,y)进行一系列观测，得到一个容量为n的样本(x取一组不完全相同的值)：(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中y i是x=x i处对随机变量y观察的结果.每对(x i,y i)在直角坐标系中对应一个点，把它们都标在平面直角坐标系中，称所得到的图为散点图.如图10-1.图10-1由图10-1a可看出散点大致地围绕一条直线散布，而图10-1b中的散点大致围绕实用文档一条抛物线散布，这就是变量间统计规律性的一种表现.如果图中的点像图10-1a中那样呈直线状，则表明y与x之间有线性相关关系，我们可建立数学模型y=a+bx+ε(10.1)来描述它们之间的关系.因为x不能严格地确定y，故带有一误差项ε，假设ε~N(0,σ2),相当于对y作这样的正态假设，对于x的每一个值有y~N(a+bx,σ2),其中未知数a,b,σ2不依赖于x,(10.1)式称为一元线性回归模型(Univariable linear regression model).在(10.1)式中，a,b,σ2是待估计参数.估计它们的最基本方法是最小二乘法，这将在下节讨论.记和是用最小二乘法获得的估计，则对于给定的x，方程ˆˆˆ=+(10.2)y a bx称为y关于x的线性回归方程或回归方程，其图形称为回归直线.(10.2)式是否真正描述了变量y与x客观存在的关系，还需进一步检验.实际问题中，随机变量y有时与多个普通变量x1,x2,…,x p(p>1)有关，可类似地建立数学模型y=b0+b1x1+…+b p x p+ε, ε~N(0,σ2)，(10.3)其中b0,b1,…,b p,σ2都是与x1,x2,…,x p无关的未知参数.(10.3)式称为多元线性回归模型，和前面一个自变量的情形一样，进行n次独立观测，得样本：（x11,x12,…,x1p,y1）,…,(x n1,x n2,…,x np,y n )实用文档实用文档有了这些数据之后，我们可用最小二乘法获得未知参数的最小二乘估计，记为0,1,…,p ,得多元线性回归方程ˆy =011ˆˆˆp pb b x b x +++ (10.4)同理，(10.4)式是否真正描述了变量y 与x 1,x 2,…,x p 客观存在的关系，还需进一步检验.第二节 参数估计1.一元线性回归最小二乘法是估计未知参数的一种重要方法，现用它来求一元线性回归模型(10.1)式中a 和b 的估计.最小二乘法的基本思想是：对一组观察值(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),使误差εi =y i -(a +bx i )的平方和Q (a , b ) =()2211n ni i i i i y a bx ε===-+⎡⎤⎣⎦∑∑ (10.5)达到最小的a 和b 作为a 和b 的估计，称其为最小二乘估计(Least squares estimates).直观地说，平面上直线很多，选取哪一条最佳呢？很自然的一个想法是，当点(x i ,y i )，i =1,2,…,n ,与某条直线的偏差平方和比它们与任何其他直线的偏差平方和都要小时，这条直线便能最佳地反映这些点的分布状况，并且可以证明，在某些假设下，和实用文档是所有线性无偏估计中最好的.根据微分学的极值原理，可将Q (a ,b )分别对a ,b 求偏导数，并令它们等于零，得到方程组：()()1120,20.ni i i ni i ii Qy a bx a Q y a bx x b==∂⎧=---=⎪∂⎪⎨∂⎪=---=⎪∂⎩∑∑ (10.6) 即112111,.n n i i i i nn ni i i i i i i na x b y x a x b x y =====⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩∑∑∑∑∑ (10.7) (10.7)式称为正规方程组.由于x i 不全相同，正规方程组的参数行列式2122111211()ninn ni i i i nni i i ii i i nxn x x n x x xx ======⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑≠0. 故(10.7)式有惟一解11()()ˆ,()2ˆˆˆ.ni i i nii x x y y b x x ay bx ==⎧--⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ (10.8) 于是，所求的线性回归方程为ˆˆˆ.ya bx =+ (10.9)实用文档若将ˆˆˆay bx =-代入上式，则线性回归方程亦可表为 ˆˆ().yy b x x =+- (10.10) (10.10)式表明，对于样本观察值(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),回归直线通过散点图的几何中心(,x y ).回归直线是一条过点(,x y ),斜率为ˆb的直线. 上述确定回归直线所依据的原则是使所有观测数据的偏差平方和达到最小值.按照这个原理确定回归直线的方法称为最小二乘法.“二乘”是指Q 是二乘方（平方）的和.如果y 是正态变量，也可用极大似然估计法得出相同的结果.为了计算上的方便，引入下述记号：22211122211111111(),1(),1()().n n n xx i i i i i i n n nyy i i i i i i n n n n xy i i i i i i i i i i S x x x x n S y y y y n S x x y y x y x y n ==========⎧⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪=-=-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪=--=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (10.11) 这样，a ,b 的估计可写成：11ˆ,11ˆˆ.xyxx n n i ii i S b S a y x b n n ==⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩∑∑ (10.12)例10.1 某企业生产一种毛毯，1~10月份的产量x 与生产费用支出y 的统计资料如表10-1.求y 关于x 的线性回归方程.表10-1实用文档解 为求线性回归方程，将有关计算结果列表如表10-2所示表10-2S xx =1421.89-110(117.3)2=45.961,S xy =1352.15-110×117.3×112.6=31.352, ˆb = xy xxS S =0.6821, ˆa = 112.610-0.6821×117.310=3.2585,故回归方程：ˆy=3.2585+0.6821x . 2.多元线性回归多元线性回归(Multiple linear regression)分析原理与一元线性回归分析相同，但在计算上要复杂些.若(x 11,x 12,…,x 1p ,y 1),…,(x n 1,x n 2,…,x np ,y n )为一样本，根据最小二乘法原理，多元线性实用文档回归中未知参数b 0,b 1,…,b p 应满足Q =20111()ni i p ip i y b b x b x =----∑达到最小.对Q 分别关于b 0,b 1,…,b p 求偏导数，并令它们等于零，得0111001112()0,2()0,1,2,,.ni i p ip i ni i p ip ij i jQy b b x b x b Q y b b x b x x j p b ==∂⎧=-----=⎪∂⎪⎨∂⎪=-----==⎪∂⎩∑∑即01122111120111212111111120112211111,,.n n n ni i p ip i i i i i n n n n ni i i i p i ip i i i i i i i n n n n nip i ip i ip p ip ip i i i i i i b n b x b x b x y b x b x b x x b x x x y b x b x x b x x b x x y ==============⎧++++=⎪⎪⎪++++=⎪⎨⎪⎪⎪++++=⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ (10.13) (10.13)式称为正规方程组，引入矩阵X =11121212221211,1p p n n np x x x x x x xx x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Y =12,n y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B =01,p b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 于是(10.13)式可写成X ′XB =X ′Y . (10.13)′（10.13）′式为正规方程组的矩阵形式.若(X ′X )-1存在,则实用文档011ˆˆˆ()ˆp b b b -⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B=X X XY. (10.14) 方程011ˆˆˆˆp py b b x b x =+++为p 元线性回归方程. 例10.2 见表10-3，某一种特定的合金铸品，x 和z 表示合金中所含的A 及B 两种元素的百分数，现x 及z 各选4种，共有4×4=16种不同组合，y 表示各种不同成分的铸品数，根据表中资料求二元线性回归方程.表10-3解 由(10.13)式，根据表中数据，得正规方程组0120120121620040560,20030005006110,405001201580.b b b b b b b b b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解 之得：b 0=34.75, b 1=-1.78,b 2=9. 于是所求回归方程为：y =34.75-1.78x +9z .实用文档第三节 假设检验用最小二乘法求出的回归直线并不需要y 与x 一定具有线性相关关系.从上述求回归直线的过程看，对任何一组试验数据(x i ,y i )(i =1,2,…,n )都可用最小二乘法形式地求出一条y 关于x 的回归直线.若y 与x 间不存在某种线性相关关系，那么这种直线是没有意义的，这就需要对y 与x 的线性回归方程进行假设检验，即检验x 的变化对变量y 的影响是否显著.这个问题可利用线性相关的显著性检验来解决.因为当且仅当b ≠0时，变量y 与x 之间存在线性相关关系.因此我们需要检验假设：H 0:b =0;H 1:b ≠0 (10.15)若拒绝H 0，则认为y 与x 之间存在线性关系，所求得的线性回归方程有意义；若接受H 0,则认为y 与x 的关系不能用一元线性回归模型来表示，所求得的线性回归方程无意义.关于上述假设的检验，我们介绍3种常用的检验法.1.方差分析法（F 检验法）当x 取值x 1,x 2,…,x n 时，得y 的一组观测值y 1,y 2,…,y n ,Q 总=S yy =21()ni i y y =-∑称为y 1,y 2,…,y n 的总偏差平方和(Total sum of squares)，它的大小反映了观测值实用文档y 1,y 2,…,y n 的分散程度.对Q 总进行分析：Q 总=[]2211ˆˆ()()()n ni i i i i i y y y yy y ==-=-+-∑∑ =2211ˆ()()n niiii i y yy y ==-+-∑∑=Q 剩+Q 回, （10.16）其中Q 剩=21ˆ()ni i i y y=-∑, Q 回=2222111ˆˆˆˆˆˆ()()()().n nni i ii i i y y a bx a bx bx x ===⎡⎤-=+-+=-⎣⎦∑∑∑Q 剩称为剩余平方和(Residual sum of squares)，它反映了观测值y i 偏离回归直线的程度，这种偏离是由试验误差及其他未加控制的因素引起的.可证明2ˆ2Q n σ=-剩是σ2的无偏估计.Q 回为回归平方和(Regression sum of squares)，它反映了回归值ˆi y(i =1,2,…,n )的分散程度，它的分散性是因x 的变化而引起的.并通过x 对y 的线性影响反映出来.因此1,2,…,n 的分散性来源于x 1,x 2,…,x n 的分散性.通过对Q 剩、Q 回的分析，y 1,y 2,…,y n 的分散程度Q 总的两种影响可以从数量上区分开来.因而Q 回与Q 剩的比值反映了这种线性相关关系与随机因素对y 的影响的大小；比值越大，线性相关性越强.可证明统计量实用文档F =012~H Q Q n -真剩回F (1,n -2) (10.17)给定显著性水平α,若F ≥F α,则拒绝假设H 0，即认为在显著性水平α下，y 对x 的线性相关关系是显著的.反之，则认为y 对x 没有线性相关关系，即所求线性回归方程无实际意义.检验时，可使用方差分析表10-4.表10-4方差来源 平方和 自由度 均方 F 比回归 剩余 Q 回 Q 剩 1n -2 Q 回/1Q 剩/(n -2)F=(2)Q Q n -回剩总计 Q 总n -1其中：⎪⎩⎪⎨⎧-=-===-=∑=.,ˆ)ˆ(212222xx xy yy ni xx xy xx i S S S Q Q Q S S S b y y Q 回总剩 (10.18)例10.3 在显著性水平α=0.05,检验例10.1中的回归效果是否显著？ 解 由例10.1知S xx =45.961, S xy =31.352, S yy =22.124, Q 回=S xy 2/S xx =21.3866, Q 剩=Q 总-Q 回=22.124-21.3866=0.7374,实用文档F =2Q Q n -剩回=232.0102>F 0.05(1,8)=5.32. 故拒绝H 0，即两变量的线性相关关系是显著的.2.相关系数法（t 检验法）为了检验线性回归直线是否显著，还可用x 与y 之间的相关系数来检验.相关系数的定义是：r =xy xx yyS S S ⋅. (10.19)由于Q 回/Q 总=2xy xx yyS S S =r 2(｜r ｜≤1), ˆxy xxS b S =,则r =ˆxx xx yyS S .显然r 和ˆb的符号是一致的，它的值反映了x 和y 的内在联系. 提出检验假设： H 0: r =0; H 1: r ≠0. (10.20) 可以证明，当H 0为真时，t =221r n r-- ~t (n -2). (10.21)故H 0的拒绝域为t ≥t α/2(n -2) (10.22)由上例的数据可算出实用文档r =xx yyS S S =0.9832,t =221r n r-- =15.2319>t 0.025(8)=2.3060.故拒绝H 0，即两变量的线性相关性显著.在一元线性回归预测中，相关系数检验，F 检验法等价，在实际中只需作其中一种检验即可.与一元线性回归显著性检验原理相同，为考察多元线性回归这一假定是否符合实际观察结果，还需进行以下假设检验：H 0: b 1=b 2=…=b p =0; H 1: b i 不全为零.可以证明统计量F =01~H UQp n p --真F (p ,n -p -1).其中 U =Y ′X (X ′X )-1X ′Y -n 2ˆy, Q =Y ′Y -Y ′X (X ′X )-1X ′Y . 给定水平α，若F ≥F α，则拒绝H 0.即认为回归效果是显著的.第四节 预测与控制1.预测由于x 与y 并非确定性关系，因此对于任意给定的x =x 0，无法精确知道相应的y 0实用文档值，但可由回归方程计算出一个回归值0ˆy=ˆb +x 0,可以以一定的置信度预测对应的y 的观察值的取值范围，也即对y 0作区间估计，即对于给定的置信度1-α,求出y 0的置信区间（称为预测区间(Prediction interval)），这就是所谓的预测问题.对于给定的置信度1-α,可证明y 0的1-α预测区间为2200()1ˆˆ(2)1.xx x x y t n n S ασ⎛⎫-±-++ ⎪ ⎪⎝⎭(10.24)给定样本观察值，作出曲线22201202()1ˆˆ()()(2)1,()1ˆˆ()()(2)1.xxxxx x y x yx t n n S x x y x y x t n n S αασσ⎧-=--++⎪⎪⎨-⎪=+-++⎪⎩(10.25)这两条曲线形成包含回归直线=+x 的带形域，如图10-2所示，这一带形域在x =x 处最窄，说明越靠近，预测就越精确.而当x 0远离时，置信区域逐渐加宽，此时精度逐渐下降.在实际的回归问题中，若样本容量n 很大，在附近的x 可得到较短的预测区间，又可简化计算20()11xxx x n S -++≈1，2(2)t n α-≈2z α，图10-2故y 0的置信度为1-α的预测区间近似地等于实用文档()22ˆˆˆˆ,.y z y z αασσ-+(10.26)特别地，取1-α=0.95,y 0的置信度为0.95的预测区间为()00ˆˆˆˆ1.96, 1.96yy σσ-+ 取1-α=0.997,y 0的置信度为0.997的预测区间为()00ˆˆˆˆ2.97, 2.97yy σσ-+图10-3可以预料，在全部可能出现的y 值中，大约有99.7%的观测点落在直线L 1:y =ˆa-2.97ˆσ+ˆb x 与直线L 2:y =ˆa +2.97ˆσ+ˆb x 所夹的带形区域内.如图10-3所示. 可见，预测区间意义与置信区间的意义相似，只是后者对未知参数而言，前者是对随机变量而言.例10.4 给定α=0.05,x 0=13.5,问例10.1中生产费用将会在什么范围. 解 当x 0=13.5,y 0的预测值为：0ˆy=3.2585+0.6821×13.5=12.4674给定α=0.05,t 0.025(8)=2.306，21ˆ()0.7374ˆ28niii y yn σ=-==-∑=0.3036， 220()11(13.511.73)111045.961xx x x n S --++=++=1.0808,故实用文档220()1ˆ(2)1xxx x t n n S ασ--++=2.306×0.3036×1.0808=0.7567.即y 0将以95%的概率落在(12.4674±0.7567)区间，即预报生产费用在(11.7107,13.2241)万元之间.2.控制控制实际上是预测的反问题，即要求观察值y 在一定范围内y1<y <y 2内取值，应考虑把自变量x 控制在什么范围，即对于给定的置信度1-α,求出相应的x 1,x 2,使x 1<x <x 2时，x 所对应的观察值y 落在(y 1′,y 2′)之内的概率不小于1-α.当n 很大时，从方程222212ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ.y y z a bx z y y z a bx z αααασσσσ⎧=-=+-⎪⎨=+=++⎪⎩ (10.27) 分别解出x 来作为控制x 的上、下限：221122ˆˆˆ(),ˆˆˆ().x y a z b x y a z bαασσ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩ (10.28)当ˆb>0时，控制区间为(x 1,x 2)；当ˆb <0时，控制区间为（x 2,x 1）.如图10-4,图10-4注意，为了实现控制，我们必须使区间(y 1,y 2)的长度不小于22z ασ,即：实用文档y 2-y 1>2σ2z α.第五节 非线性回归的线性化处理前面讨论了线性回归问题，对线性情形我们有了一整套的理论与方法.在实际中常会遇见更为复杂的非线性回归问题，此时一般是采用变量代换法将非线性模型线性化，再按照线性回归方法进行处理.举例如下：模型 y =a +b sin t +ε, ε~N (0,σ2), (10.29) 其中a ,b ,σ2为与t 无关的未知参数，只要令x =sin t ,即可将(10.29)化为(10.1).模型 y =a +bt +ct 2+ε, ε~N (0,σ2)， (10.30) 其中a ,b ,c ,σ2为与t 无关的未知参数.令x 1=t ,x 2=t 2,得y =a +bx 1+cx 2+ε, ε~N (0,σ2)， (10.31)它为多元线性回归的情形.模型1y=a +b /x +ε， ε~N (0,σ2), 令y ′=1y , x ′=1x,则有 y ′=a +bx ′+ε,ε~N (0,σ2), 化为(10.1)式.模型 y =a +b ln x +ε, ε~N (0,σ2),令x ′=ln x ,则有 y =a +bx ′+ε,ε~N (0,σ2), 又可化为(10.1)式.另外，还有下述模型Q(y)=a+bx+ε, ε~N(0,σ2),其中Q为已知函数，且设Q(y)存在单值的反函数，a,b,σ2为与x无关的未知参数.这时，令z=Q（y）,得z=a+bx+ε, ε~N(0,σ2).在求得z的回归方程和预测区间后，再按z=Q(y)的逆变换，变回原变量y.我们就分别称它们为关于y的回归方程和预测区间.此时y的回归方程的图形是曲线，故又称为曲线回归方程.例10.5某钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断扩大.通过试验，得到了使用次数x和钢包增大的容积y之间的17组数据如表10-5，求使用次数x与增大容积y的回归方程.表10-5实用文档解散点图如图10-5.看起来y与x呈倒指数关系ln y=a+b1x +ε，记y′=ln y,1xx'=,求出x′,y′的值（表10-6）.表10-6作(x′,y′)的散点图，如图10-6.实用文档实用文档图10-5 图10-6可见各点基本上在一直线上，故可设y ′=a +bx ′+ε,ε~(0,σ2)，经计算，得x '=0.1464, y '=2.2963，21()nii x ='∑=0.5902,21()nii y ='∑=89.9311,1niii x y =''∑=5.4627.ˆb=-1.1183, ˆa =2.4600. 于是x ′对于y ′的线性回归方程为y ′=-1.1183x ′+2.4600，换回原变量得1.1183ˆ11.7046xy-=e .现对x ′与y ′的线性相关关系的显著性用F 检验法进行检验，得F (1，15)=379.3115>F 0.01(1，15)=8.68.实用文档检验结论表明，此线性回归方程的效果是显著的.小 结本章介绍了在实际中应用非常广泛的数理统计方法之一——回归分析，并对线性回归作了参数估计、相关性检验、预测与控制及非线性回归的线性化处理.1. 一元线性回归模型y =a +bx +ε的最小二乘估计为ˆˆˆ,xy xxS ba y xb S ==-. 其中 11n i i x x n ==∑, 11ni i y y n ==∑, S xx =221ni i y ny =-∑,S xy =1ni i i x y nxy =-∑, S yy =221ni i y ny =-∑.2. 变量y 与x 的线性相关性假设检验有： (1) 方差分析法（F 检验法）H 0: b =0; H 1: b ≠0. F =02~H Q Q n -真剩回F α(1,n -2).其中Q 回=S xy 2/S xx , Q 剩=Q 总-Q 回=S yy -S xy 2/S xx .给定显著性水平α，若F ≥F α，则拒绝H 0,即认为y 对x 具有线性相关关系.(2) 相关系数法（t 检验法）实用文档H 0: r =0; H 1: r ≠0.其中r =xx yyS S S , t =0222(2)1~H r n tn rα---真.若t ≥2(2)t n α-则拒绝H 0.即认为两变量的线性相关性显著.3. 给定x =x 0时，y 的置信水平为1-α的预测区间2200()1ˆˆˆ(2)1xxx x abx t n n S ασ⎛⎫-+±-++ ⎪ ⎪⎝⎭. 重要术语及主题线性回归，最小二乘估计，预测与控制，非线性回归.习 题 十1.在硝酸钠(NaNO 3)的溶解度试验中，测得在不同温度x (℃)下，溶解于100份水中的硝酸钠份数y 的数据如下，试求y 关于x 的线性回归方程.x i 0 4 10 15 21 29 36 51 68 y i66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.12.测量了9对父子的身高，所得数据如下（单位：英寸）. 父亲身高x i 60 62 64 66 67 68 70 72 74 儿子身高y i63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70求（1） 儿子身高y 关于父亲身高x 的回归方程.（2）取α=0.05，检验儿子的身高y与父亲身高x之间的线性相关关系是否显著.（3）若父亲身高70英寸，求其儿子的身高的置信度为95%的预测区间.3.随机抽取了10个家庭，调查了他们的家庭月收入x（单位：百元）和月支出y(单位：百元)，记录于下表：求：（1）在直角坐标系下作x与y的散点图，判断y与x是否存在线性关系.（2）求y与x的一元线性回归方程.（3）对所得的回归方程作显著性检验.（α=0.025）4.设y为树干的体积，x1为离地面一定高度的树干直径，x2为树干高度，一共测量了31棵树，数据列于下表，作出y对x1,x2的二元线性回归方程，以便能用简单分法从x1和x2估计一棵树的体积，进而估计一片森林的木材储量.实用文档5.一家从事市场研究的公司，希望能预测每日出版的报纸在各种不同居民区内的周末发行量，两个独立变量，即总零售额和人口密度被选作自变量.由n=25个居民区组成的随机样本所给出的结果列表如下，求日报周末发行量y关于总零售额x1和人口密度x2的线性回归方程.实用文档实用文档实用文档6.一种合金在某种添加剂的不同浓度之下，各做3次试验，得数据如下：(1) 作散点图.(2) 以模型y =b 0+b 1x 1+b 2x 2+ε,ε~N (0,σ2)拟合数据，其中b 0,b 1,b 2,σ2与x 无关，求回归方程ˆy =0ˆb +1ˆb x +2ˆb x 2.。
数理统计中的回归分析与方差分析
数理统计中的回归分析与方差分析回归分析是数理统计中常用的一种分析方法，旨在研究两个或多个变量之间的关系，并通过建立回归模型来预测或解释因变量的值。
方差分析则是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计方法。
本文将详细介绍回归分析和方差分析的原理和应用。
一、回归分析回归分析是研究自变量与因变量之间的关系的统计方法。
在回归分析中，我们通常通过建立回归模型来描述自变量与因变量之间的线性关系。
回归模型可以用以下一般形式表示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种类型。
简单线性回归是指只有一个自变量的情况，多元线性回归是指有两个或多个自变量的情况。
回归分析的应用十分广泛。
例如，在经济学领域，回归分析可以用来研究GDP与消费水平之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用来预测某种疾病的发生率与患者年龄的相关性。
通过回归分析，我们可以得到回归系数的估计值，并检验各个回归系数是否显著。
二、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计方法。
方差分析的基本思想是将总体方差分解为组间方差和组内方差两部分，通过检验组间方差和组内方差的比值来确定多个样本均值是否有显著差异。
在方差分析中，我们通常将数据分为一个因变量和一个或多个自变量。
其中，因变量是我们希望比较的量，自变量则是影响因变量的因素。
方差分析可以用于不同条件下的均值比较，例如，不同药物对治疗效果的比较、不同肥料对农作物产量的影响等。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析是指只有一个自变量的情况，多因素方差分析是指有两个或多个自变量的情况。
方差分析的结果通常可以通过F检验来判断是否存在显著差异。
如果F值大于临界值，就说明组间存在显著差异。
第四章回归分析-数理统计汇总
而且b偏离0越远,即b的绝对值越大,F也越大. • 相关性检验的一般程序: (1)计算SR,SE,再计算F; (2)对于给定的显著性水平α,查Fα(1,n-2); (3)若F> Fα(1,n-2),则否定H0:b=0,即认为x与Y之间具 有线性相关关系;否则,就认为x与Y之间不具有线性 相关关系.
试作出期末分数与期中分数的回归方程.并作线 性相关性检验.
• 解:为了简化计算,令
x x 400, y y 480,得
编号 1 2 3 4 5 6 7 合计
x -40 -80 0 -28 -100 115 205 72 y -50 -39 2 -100 -27 33 130 -51 xy 2000 3120 0 2800 2700 3795 26650 41065
7
xt)(
t 1
yt)
41589.571
bˆ Sxy 0.57 Sxx
aˆ y bˆx 13.12
§1.2 经验公式与最小二乘法
• 设给定n个点 (x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn)
那么对于平面上任意一条直线l： y=a+bx
• 我们用数量 [yt-(a+bxt)]2
来刻画点(xt,yt)到直线l的远近程度(利用解析几何知 识不难看出,｜yt-(a+bxt)｜的几何意义是点(xt,yt)沿着 平行于y轴的方向到l的最短距离,而不是沿着垂直于l 的方向到l的最短距离).
计算得:
7
(xt)2 74034
t 1
7
( yt)2 32743
t 1
Sxx
S xx
7 t 1
( xt ) 2
数理统计分析知识及回归分析方法
数理统计分析知识及回归分析方法把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个单位称为 个体，通常用N 表示总体所包含的个体数。
总体的一部分称 为样本（或成子样），通常用n 表示样本所含的个体数，称 为样本容量。
从总体中抽区样本称为抽样。
若总体中每个个体被抽取的可能性相同，这样的抽样称为随机抽样，所获得的样本称 为随机样本。
在许多情况下不可能直接试验或研究总体，例如灯泡的 寿命、混凝土强度等，总是采用抽样的方法，通过试验或研 究样品的特性，去估计该批产品的特性或质量状况。
数理统 计就是一种以概率论为理论基础、 通过研究随机样本（样品） 对总体的特性或质量状况作出估计和评价的方法。
对于工程试验中常见的正态分布，主要计算样本的三个 统计量，即平均值、标准差（或极差）和变异系数。
一、样本平均值：以算术平均值 X 表示，可按下式计xi式中：xi ——各个试验数据试验数据个数nxi各个试验数据之和、样本标准差：以标准差s表示，可按下式计算:xi上式又称贝塞尔公式。
标准差表示一组试验数据对于其平均值的离散程度，也就是数据的波动情况，具有与平均值相同的量纲。
在相同平均值条件下，标准差大表示数据离散程度大，即波动大；标准差小表示数据离散程度小，波动小三、样本极差：极差也可以表示数据的离散程度。
极差是数据中最大值与最小值之差：极差也可以表示数据的离散程度。
极差是数据中最大值与最小值之差：当一批数据不多时（n W 10）,可用样本极差估计总体标准差:A式中：：标准差的估计值;R :极差;dn:与n有关的系数，一般，dn可近似地取为:X max x mins1ni 1,2< n W 10四、样本变异系数：变异系数表示数据的相对波动大小，按下式表示：sC v 100%x数据的性Cv可用于不同平均制条件下数据饿波动情况，更能反映质。
回归分析回归分析是一重处理变量与变量之间关系的数学方法。
变量与变量之间存在对应关系的，称为函数关系。
数理统计回归分析
Y XB E ( ) 0 Cov( ) 2 I
(6)
这里 X 为 n ( p 1) 的设计矩阵. Y 为 n 1的观测向 n 1 随机误差向量 量. B 为 p 1 的未知数参数向量， I 是 n 阶单位矩阵。当误差 Cov( ) 为其协方差阵， 服从正态分布 ~ N (0 , 2 I ) .
• 通常假定 ε~N(0, σ2);
根据回归函数的不同形式, 可分为
一元线性回归 线性回归 多元线性回归 非线性回归一元非线性回归 多元非线性回归
数据 ( xi , y i ) 满足
yi a bxi i , i 1, 2 ,, n
其中误差 i 表示 y i 中不能由 a bxi 来表示的部分 我们自然假设其均值为零，即 E ( i ) 0 通常还假设 它满足 ： （1） Var ( i ) 2 , i 1, 2 ,, n ； （2） Cov( i , j ) 0 , i j
b 求偏导数，令他们等于零， 将 Q(a, b) 分别对 a ， 得到方程组：
n Q 2 ( y i a bxi ) 0 a i 1 Q n 2 ( y i a bxi ) xi 0 i 1 b
这些假设被称为Gauss-Markov假设，这里第一条假 设误差 i 是等方差的.第二条则要求不同次的观测 误差是不相关的.
b 是待估计参数，估计他们的 （1）式中未知数 a 、 ˆ 是用最小二乘 ˆ 与b 最基本方法是最小二乘法，设 a 法获得的估计，即所谓的最小二乘估计，将它们代 入一元线性回归模型并略去误差项 ，即对给定的 x ，得到方程：
若进行 n 次独立测量，得到样本：
《数理统计》教案——回归分析
再如：父亲的身高与儿子的身高之间也有一定联系， 通常父亲高，儿子也高。
回归分析——研究相关性关系的最基本，应用最广泛的方法。
自变量： 定量、非随机 回归分析的变量类型 因变量： 定量、随机变量
第二节 一元线性回归
i
∑ ∑ lxy = ( xi − x ) ( yi − y ) = xi yi − n ⋅ x ⋅ y
i
i
将 正 规 方 程 整 理 得 ： aˆ + xbˆ = y , lxxbˆ = lxy .
a,
b的最小二乘估计：
bˆ
=
lxy
lxx
aˆ = y − xbˆ
在误差为正态分布假定下，最小二乘估计等价于极大似 然估计。
对于x取定一组不完全相同的值x1, x2 ,..., xn ,设分别 在xi处对Y作独立观察得到样本(xi ,Yi )，i = 1, 2,..., n, 对应的样本观察值(x1, y1), (x2 , y2 ),..., (xn , yn ).
将每对观察值(xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点
确定性关系 变量与变量之间的关系 相关性关系
一、确定性关系： 当自变量给定一个值时，就确定应变量的值
与之对应。 如：在自由落体中，物体下落的高度h与下
落时间t之间有函数关系：
h = 1 gt2 2
《数理统计》授课教案——李正耀
二、相关性关系：
变量之间的关系并不确定，而是表现为具有随机性的一 种“趋势”。即对自变量x的同一值，在不同的观测中，因变 量Y可以取不同的值，而且取值是随机的，但对应x在一定 范围的不同值，对Y进行观测时，可以观察到Y随x的变化 而呈现有一定趋势的变化。
数理统计09 回归分析(续)
令
~ y1 y ( x ) u
1
2
Q Q ˆ ˆ bx u a 1 n2 n2 2 Q Q ˆ ˆ bx u a 1 n2 n2 2
~ y2 y ( x ) u
1
2
求解方程组可得
( X X ) X (I X( X X ) X ) 0
2 T 1 T T 1 T
性质6 的无偏估计为 T Q e e 2 . ˆ n p 1 n p 1
2
证明 由于 E (Q ) E ( e T e )
性质3 分解式 Lyy U Q 成立，
Lyy 总误差平方和，
U 回归平方和， Q 残差平方和。
平方和分解：
总离差平方和 SST, 自由度n-1,
残差平方和SSE ，自由度n-p-1 回归平方和 SSR，自由度 p
ˆ 是 的最好(协方差阵最小)线性无偏 性质4 估计。
―BLUE‖ 设 Ay 是 的任一线性无偏估计，即 E ( Ay ) p 1 R 这样对任一 有 AX , 所以AX I p1 . 2 T ˆ 同时亦有 Var ( Ay ) AA . 最小二乘估计 证明
其中 y 是可观测的随机变量，0 , 1 ,, p 是未参
数，称为回归系数， 是不可观测的随机误差，
x1 ,, x p 称为回归因子或设计因子，简称因子。 i (i 1,, p) 实际上反映了因子 xi 对观测值 y 的
贡献大小，因此也称 i 为因子 x i 的效应。 设有 n 组观测值
称 X 为设计矩阵，且一般假设 rank ( X ) p 1。 显然有 E (Y ) X , Var(Y ) 2 I .
研究生应用数理统计回归分析(一元)
1 0
^x中 1
0
2
成立：则
2 n 1 , ~ 1 , ~ 2 2 n 2 2 SS R 从而统计量 F ~ F 1, n 2 SS E n 2
SST
~
SS R
2
SS E
对给定的检验水平 ，
H0 的拒绝域为：F
（一元线性回归方程、经验公式） 回归分析的任务是，找出回归方程式，检验方程有效与否， 当方程有效时对Y 的值作预测与控制。
二、未知参数的估计及统计性质
1.最小二乘法 (Least squares estimate)
1, 2,, n) ， 我们可以得到一个回归函数 y 0 1 x ，其中 0 , 1 待定。
Regression Models 回归模型的分类
回归模型
1个自变量
简单回归
2个以上自变量
多元回归
线性回归
非线性回归
二、回归分析的应用 (1)根据观测值，在误差尽可能小的情况下，建立因变 量和自变量x1 , ,xn的回归方程，并利用此方程对变量y 进行预测和控制； (2)判断自变量x1 , ,xn中，哪些变量对y的影响是显著 的，哪些是不显著的。
的总的偏差的平方和为
Q( 0 , 1 ) i 2 [ yi ( 0 1 xi )]2
i 1 i 1
n
n
ˆ , ˆ 称为最小二乘估计，这种方法成为最小二乘法 此得到的估计 0 1
我们希望选取适当的 0 , 1 , 使得 Q( 0 , 1 ) 的值最小，由
当x1，x2， ，xn互不相同时，方程组有解 0 y 1x Lxy 1 Lxx
1 n 1 n x xi , y yi n i 1 n i 1 Lxy ( xi x )( yi y ) x与y的离差平方和 Lxx ( xi x ) x, y的离差平方和
数理统计中的回归分析与ANOVA
数理统计中的回归分析与ANOVA 在数理统计学中，回归分析与ANOVA（Analysis of Variance，方差分析）是两个重要的统计方法。
回归分析用于研究自变量与因变量之间的关系，ANOVA则用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
本文将分别介绍这两个方法及其在数理统计学中的应用。
回归分析是一种用于探究自变量与因变量之间关系的统计方法。
它试图通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的函数关系。
可根据自变量的数量和类型的不同，分为简单回归和多元回归。
简单回归分析只包含一个自变量，多元回归则包含两个或两个以上的自变量。
简单回归分析的数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y为因变量，X为自变量，β0和β1为回归系数，ε为误差。
通过最小二乘法估计回归系数，可以得到拟合的直线方程。
此外，还可以计算回归系数的显著性，利用相关系数判断回归模型的拟合程度。
多元回归分析的模型为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk+ ε。
与简单回归相比，多元回归包含了多个自变量，可以更全面地考虑自变量对因变量的影响。
同样，可以通过最小二乘法估计回归系数，并进行显著性检验和模型拟合度评估。
回归分析在实际应用中有很多用途。
例如，可以利用回归分析预测未来销售额、研究疾病发病率与环境因素的关系、评估股市指数与经济数据的相关性等。
回归分析提供了一种量化的方法，可以揭示自变量与因变量之间的关系，从而进行决策和预测。
ANOVA是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的方法。
它将总体方差分解为组内方差和组间方差，并通过比较组间方差与组内方差的大小来判断样本均值是否存在显著差异。
在ANOVA中，组间方差与组内方差的比值称为F值，可以进行假设检验。
在单因素ANOVA中，只有一个自变量（因素），例如，考察不同教育水平对收入的影响。
多因素或双因素ANOVA则考虑两个或多个自变量对因变量的影响，例如，同时考察教育水平和工作经验对收入的影响。
研究生回归分析讲稿
回归分析模型一、什么是回归分析自然界中许多变量间都存在着某种相互联系和相互制约的关系，这种关系一般有两类，一类是确定性关系，也称之为函数关系。
如21y x =+中变量x 与y 的关系就是确定性关系。
另一类是不确定性关系，也称之为相关关系或统计关系。
这种变量间的关系尚无法表示成精确的函数关系，如人的身高与体重间的关系；商品的销售量与价格间的关系；树高与生长时间的关系等等均属于这类关系。
所谓回归分析是指通过试验和观测，去寻找隐藏在变量间的统计关系的一种数学方法。
设我们要研究变量y 与x 之间的统计关系，希望找出y 的值是如何随x 的变化而变化的规律，这时称y 为因变量，x 为自变量。
通常x 被认为是非随机变量，它是可以精确测量或严格控制的；y 是一个随机变量，它是可观测的，但存在测量误差。
于是y 与x 的关系可表示为()y f x ε=+. （１）其中ε是一切随机因素影响的总和，有时也简称为随机误差。
通常假设ε满足 2()0,()E D εεσ==. 由（１）式得到()()E y f x =， （２） （２）式称为理论回归方程。
由于()f x 的函数形式未知，或者()f x 的函数形式已知，但其中含有未知参数，即01(;,,,)l f x βββ ，其中01,,,l βββ 为未知参数。
故理论回归方程一般无法直接写出。
为了得到理论回归方程的近似表达式，通常先对()f x 的函数形式作出假定，然后通过观测得到关于(,)x y 的n 组独立观测数据(,)(1,2,,)i i x y i n = 。
利用这些观测数据来估计出01( ;,,,)l f x βββ 中的未知参数，得到经验回归方程01ˆˆˆˆ( ;,,,)ly f x βββ= （３） （３）式又称为回归方程，()f x 称为y 对x 的回归函数。
当()f x 是线性函数时，（３）式称为线性回归方程，而获得线性回归方程的方法称为线性回归分析。
若所进行的线性回归分析中自变量是一元的，则称之为一元线性回归分析；若自变量是多元的，则称之为多元线性回归分析。
数理统计-线性回归.
用最大似然估计知估参计数 a,未 b.
对于任意 y1,一 y2, ,组 yn,样 观本 察的 值
函数 L 为 ( 1 2 π )n e x 2 1 p 2i n 1 (y i a bi)2 x
L取最大值等价于
n
意义：实际测得的
取最小值.
Q (a,b) (yi abix )2点点与之直间线的上误的差理的论平
第4章 回归分析
4.1 一元线性回归分析 4.2 多元线性回归分析
回归分析的基本思想
变量之间的关系
确定性关系 相关关系
Sπr2 身高和体重
确定性关系 相关关系
相关关系的特征是:变量之间的关系很难用一 种精确的方法表示出来.
变量之间的关系
确 定 性 — 关— 系 函 数 关 系 统 计 相 关 关 系
T1)～t(n
2)
其 中s1(x0)
1 (x0 x)2
n
lxx
y0的置信1水 的 平置 为信区间为
y ˆ0a ˆb ˆx0
y ˆ0t12(n2)ˆs1(x0),其ˆ中 SE 2 (n2)
(2). Y 的观察值 Y 0 的估计
设 Y 0是x在 x0处Y 对 的观.察结
有 显 著 的， 线 于性 是关 H 拒 0系 绝 H0的 拒 绝 S S域 E R 22 k为
FSE 2 S (n R 22)~F(1,n2)
p(Fk) p(Fk)1 得临：界 kF 1 值 (1,n 为 2)
H 0 的 拒 : F 绝 S E 2S (n R 2 域 2 ) F 1 为 (1 ,n 2 )
并
且SE 2
2
~2(n2)
n
ST2lyy (yi y)2 离差平方和－－反应整批
统计分析：回归分析的基本原理与应用
统计分析: 回归分析的基本原理与应用1. 引言回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它主要用于研究因变量与自变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析被广泛运用于预测、建模和探索数据等领域。
本文将介绍回归分析的基本原理和应用。
2. 回归分析的基本原理2.1 线性回归模型线性回归模型是最常见且简单的回归模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。
该模型通过拟合一条直线或超平面来描述因变量对自变量的依赖关系。
2.2 最小二乘法最小二乘法是求解线性回归模型参数的常用方法。
它通过最小化观测值与模型预测值之间的平方差来估计模型参数。
2.3 多元回归分析多元回归分析考虑多个自变量对因变量的影响，并拟合一个包含多个特征的线性模型。
它可以更准确地描述复杂系统中各个自变量对因变量的影响程度。
3. 回归分析的应用3.1 预测与预测建模回归分析可以用于预测未来的值。
通过基于已知数据建立一个回归模型，我们可以对新的自变量进行预测，从而得出因变量的估计值。
3.2 影响因素分析通过回归分析，我们可以确定哪些自变量对因变量具有显著影响。
这种分析可以帮助我们理解系统中各个因素之间的关系，并作出相应的决策。
3.3 异常检测回归分析还可以用于检测异常值。
异常值可能会对模型参数产生不良影响，通过识别和处理异常值，我们可以提高模型的准确性。
4. 总结回归分析是一种重要且常用的统计方法，在许多领域都有广泛应用。
它可以帮助我们理解数据之间的关系、预测未来值、发现影响因素以及检测异常情况等。
了解和掌握回归分析的基本原理及其应用，将使我们在实践中更加灵活地运用该方法，并能够做出准确和有效的数据分析和决策。
数学统计中的回归分析方法
数学统计中的回归分析方法回归分析是一种在数学统计学中常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量的关系。
它可以帮助我们预测和解释变量之间的相互作用，从而更好地理解数据背后的规律和趋势。
在本文中，我们将探讨回归分析的基本概念、常见的回归模型以及回归分析的应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
它通过建立数学模型来描述自变量（特征）与因变量（响应）之间的关系。
其中，自变量通常是独立变量，而因变量则是依赖于自变量的变量。
回归分析的目标是通过统计模型找到最佳的拟合曲线来描述自变量与因变量之间的关系。
这个拟合曲线可以用来预测未知的因变量值，或者通过对自变量进行调整来解释因变量的变化。
二、常见的回归模型在回归分析中，常见的回归模型包括线性回归、多项式回归以及逻辑回归等。
下面我们将逐一介绍这些回归模型的特点和应用。
1. 线性回归线性回归是最简单和最常用的回归模型。
它假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以由自变量的线性组合来表示。
线性回归可以用于预测和解释连续型的因变量。
2. 多项式回归多项式回归相对于线性回归而言，可以更好地拟合非线性关系。
它通过添加自变量的高次项来建立非线性的关系模型。
多项式回归可以用于探索自变量和因变量之间的复杂关系。
3. 逻辑回归逻辑回归是一种用于建立二分类模型的回归方法。
它可以将自变量与概率相连，用来预测某个事件发生的概率。
逻辑回归常用于医学、社会科学等领域的研究中。
三、回归分析的应用回归分析在实际应用中具有广泛的用途。
下面是一些常见的应用领域：1. 经济学在经济学中，回归分析可以用来研究经济指标之间的关系，例如利率与通货膨胀率之间的关系。
通过回归分析可以预测经济变量的发展趋势，并作出相应的决策和政策调整。
2. 市场营销在市场营销领域，回归分析可以用来研究市场营销活动对销售额的影响。
例如，可以通过回归分析来确定广告投入与销售额之间的关系，从而优化广告投放策略。
重庆交通大学研究生数理统计期末考试答案第四章 回归分析_PPT幻灯片
10
lxx xi2nx2 95771029.32 i1
992.1,
1 0
ly y y i 2 n y 2 7 0 1 1 0 8 .1 2 4 4 .9 , i 1
ˆ 1 l x y / l x x 0 . 2 0 2 3 ,ˆ 0 y ˆ 1 x 2 . 1 7 2 6 ,
其中 1,2, ,n相互独立，是来自总体ε的随机误差
有 y i~ N (0 1 x i,2 )i 1 ,2 ,,n
y1,y2,…,yn相互独立， 此即为一元线性回归的数学模型
系数的估计(LS估计）
问题:已知(xi,yi),i=1,2,….,n,求常数 0 , 1 的估计 0 , 1
n
使得当
• 回归的来源见书p104
一元线性回归的数学模型
设自变量x与因变量Y之间，有下列关系：
Y 0 1 x ~ N ( 0 ,2 )
对x,y进行n次观测，得到一组观测值：
(xi,yi), i=1,2,….,n
即 y i 0 1 x i i , i~ N ( 0 ,2 ) , i 1 , 2 ,, n
回归分析的基本概念
• 问题的提出
– 确定性关系—一个变量由另一个或一组变量完全确定
• 如 h 1 gt2 2
– 非确定关系—一个变量同另一个或一组变量存在密切 关系，但不存在确定关系（称为相关关系）
• 如人的身高和体重 • 施肥量与粮食产量
回归分析的定义
• 回归分析(Regression Analysis)，就是研 究变量之间的统计相关关系的一种方法， 它从自变量和因变量的一组观测数据出发， 寻找一个函数式，将变量之间的统计相关 关系近似地表达出来。这个能够近似表达 自变量与因变量之间关系的函数式，称为 回归方程或回归函数
概率论与数理统计的回归分析
概率论与数理统计的回归分析引言回归分析是概率论与数理统计中的重要内容之一。
它旨在研究自变量与因变量之间的关系，并通过建立数学模型来预测或解释因变量的变化。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理以及应用。
回归分析的基本概念回归分析的基本概念包括以下几个方面：1. 自变量和因变量：自变量是研究对象中的一个或多个变量，其取值是研究者可以操纵和观察的；而因变量是自变量的取值所导致的响应或结果。
2. 线性回归和非线性回归：回归分析可以根据自变量与因变量之间的关系，分为线性回归和非线性回归两种类型。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系的情况，而非线性回归则是指自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。
3. 最小二乘法：最小二乘法是进行回归分析时常用的一种方法。
它通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和，来求解回归系数的估计值。
回归模型的建立和应用回归模型是回归分析的核心内容，它描述了自变量和因变量之间的数学关系。
常见的回归模型包括简单线性回归模型、多元线性回归模型和逻辑回归模型等。
回归分析在实际应用中有广泛的用途。
例如，在经济学中，可以使用回归分析来探索经济变量之间的关系；在医学研究中，可以使用回归分析来评估治疗方法对患者病情的影响。
结论回归分析是概率论与数理统计中的重要工具，它可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，并预测或解释因变量的变化。
通过建立回归模型，可以进行深入的研究和分析。
回归分析的应用范围广泛，对于各个学科领域的研究具有重要意义。
总之，概率论与数理统计的回归分析对于揭示事物之间的关系和预测未来变化具有重要作用，可以为我们的研究和决策提供有力支持。
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1.2 未知参数 a, b 的估计 （利用最小二乘法求出 a,b 的
最小二乘估计 aˆ,bˆ ）
设 aˆ,bˆ 为参数 a,b 的估计.
希望每个观察点 xi , yi 同直线 y a bx 之间的偏差尽可
能的小。(即在 x xi 处， xi , yi 与直线 y a bx之间的偏差是
比较理想，可见 2 的大小反映回归直线拟合程度的好坏。
如何估计 2 ？自然想到利用
1 n
n i 1
( i
E i )2
来估计 2 。
由于 i ,i 1,2,, n 是未知的，而 i yi a bxi ˆi yi aˆ bˆxi
ˆ 2 1 n n 2 i1
yi aˆ bˆxi
§1 一元线性回归的参数估计
只有一个自变量的回归分析称为一元回归分析， 有多于一个自变量的回归分析称为多元回归分析。
1.1 模型
设 X 是可控变量，Y 是依赖于 X 的随机变量，它们的关系
是：
Y a bX
其中 a,b 是常数， 服从于正态分布 N 0, 2 ， X 与 Y 的这种
关系称为一元线性回归（模型）。
点。 记
n
n
n
lxx xi x 2 ,lyy yi y 2,lxy lyx xi x yi y
i 1
i 1
i 1
此时, bˆ
可记为： bˆ
lxy lxx
1.3 未知参数 2 的估计
2 是随机误差 的方差。如果误差大，那么求出来的回归
直线用处就不大；如果误差比较小，那么求出来的回归直线就
在实际试验中，对变量 X 与 Y 作 n 次试验观察，并假定在 X 的各
个值上对 Y 的观察值是相互独立的，得到 n 对试验值 xi , yi i, 1 , 2n 。. . . ,
在平面直角坐标系中，画出 xi , yi ,i 1, 2..., n 共 n 个点，它们所构 成的图形成为点图。如果点图中的 n 个点分布在一条直线附近，直观
n i 1
n
n
na xib yi
i 1
i 1
n
n
xia xi2b xi
i 1
i 1
yi
，
解正规方程组：
n
n
n
n xi yi xi yi
bˆ
i 1
i1 i1
n
n
xi2
n
xi
2
i 1
i1
n i 1
xi yi
1 n
n i 1
xi
n i 1
yi
第四章 回归分析
一切客观事物都是互相联系和具有内部规律的，这些关系表现在 量上，只要有两种类型:
一是变量之间存在着完全确定性的关系，例如函数关系。 S r2 等。
另一类是统计关系，或称相关关系。
(变量之间存在着一定的关系，然而一个变量有一个确定的值后， 不能得出另一个变量相应的确定的值，把这种不确定性关系的 变量间的联系称为相关关系。)
2
Q n
2
，其中
Q
n i 1
yi aˆ bˆxi 2
而ˆ 2 还是 2 的无偏估计（以后再证明）
例 1.1：水稻产量与化肥施用量之间的关系，在土质, 面积， 种子等相同条件下，由试验获得如下数据，试用最小二乘法求
例：家庭的支出与其收入之间的关系； 儿子的身高与他父亲的身高的关系； 某种商品的销售量与其价格的关系等。
回归分析与相关分析均为研究及度量两个或两 个以上变量之间相关关系的一种统计方法。
（在进行分析，建立数学模型时，常需选择其中之一为因变量，而 其余的均为自变量，然后根据样本资料，研究及测定自变量与因变量 之间的关系。）
n i 1
xi2
1 n
n i 1
xi
2
n i 1
xi x yi y
n
xi x 2i 1 Nhomakorabeaaˆ y bˆx
记 x
1 n
n i 1
xi , y
1 n
n i 1
yi
称 aˆ,bˆ 为 参 数 a,b 的 最 小 二 乘 估 计 ， 并 得 回 归 方 程 ，
yˆ aˆ bˆx
改写成： yˆ y bˆ x x 。即回归直线一定通过 x, y 这一
上可以认为 X 与Y 的关系具有一元线性回归模型。
Y 相应于 x1, x2 ,..., xn 的 n 个观察值 y1,..., yn 可看成 Y1,...,Yn 的试验
值。
而 Yi a bxi i ,i 1,2,n, 其 中 i ~ N(0, 2 ) 且 1,, n 相互独立。此式通常称为线性模型。
yi yi a bxi ,i 1, 2..., n 共有 n 个偏差值，应该综合考虑。显然
不能用代数和来表示，因为偏差有正有负，它们的代数和会出现正负
相抵而不能代表真正的总偏差。若取绝对值后再求和可以避免这一缺
点，但却不便于做数学处理。)
n
n
所以利用偏差平方和 Q yi 2 yi a bxi 2
易知，当 x 取固定值时，Y 服从正态分布 N a bx, 2
用样本值 x1, y1 , x2, y2 ,..., xn , yn 来估计 a, b ，得估计 值 aˆ,bˆ 。从而得到 a bx 的一个估计 aˆ bˆx ，记作 yˆ 。
即 yˆ aˆ bˆx 称之为Y 对 X 的回归直线方程。
严格说来，回归与相关的含义是不同的。 如果两个变量中的一个变量是人力加以控制的，非随机的，简称控
制变量，另一个变量是随机的，而且随着控制变量的变化而变化，则 这两个变量之间的关系称为回归关系。
如果两个变量都是随机的，则它们之间的关系称为相关关系。
二者的差别在于把自变量看作是随机变量还是控制变量。
尽管回归和相关的含义不同，不过从计算的角度来看，二者的差别 又不是很大，因此常常忽略其区别而混杂使用。例如，在研究相关关 系时，可以把其中一个变量看作是控制变量而着重考察另一个变量对 它的统计依赖关系，这就是说把两个变量的关系看作是回归关系。
i 1
i 1
来表示总偏差，以使 Q 达到极小的 aˆ,bˆ 作为 a, b 的估计。这就
是著名的最小二乘法。
n
注意， Q
yi aˆ bˆxi 2
使 Q 达到极小的 a, b ,
i 1
应满足下面的方程组：
Q a
2
n i 1
yi
a
bxi
0
Q
b
2
n i 1
yi
a
bxi
xi
0
经整理得如下正规方程：