沪科版九年级下册数学：圆的定义
沪科版九年级数学圆知识点
沪科版九年级数学圆知识点数学是一门以逻辑和推理为基础的学科，而几何是数学中的一支重要学科，其中涉及到许多形状和几何论证。
在九年级的数学课程中，圆是一个重要的概念。
圆是一种特殊的平面图形，具有许多独特的性质和特征。
首先，让我们来了解一些圆的基本概念。
一个圆是由一组与中心点等距离的点组成的，这个距离被称为圆的半径。
圆的直径是通过圆心的任意两点之间的线段。
我们还可以绘制与圆直接相接的线段，这些线段称为切线。
当切线与半径相交于半径的端点时，我们得到一个重要的性质：切线的长度等于其到圆心的距离。
圆也可以通过一种数学表达式来描述。
圆的数学表达式是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
通过这个数学表达式，我们可以计算和确定圆上任意一点的坐标。
圆的周长和面积也是我们需要了解的重要概念。
一个圆的周长是由其半径确定的，公式是C = 2πr，其中π是一个数学常数，约等于3.14159。
而圆的面积是由其半径确定的，公式是A = πr^2。
这意味着圆的面积和周长取决于其半径的长度，因此我们可以通过这些公式计算和比较不同圆的大小。
在几何学中，我们还学习到了一些与圆相关的定理和性质。
一个重要的定理是圆心角定理。
根据这个定理，圆心角的度数恰好是所对弧的度数的两倍。
这也是为什么我们通常用度数来表示角度的原因。
除了圆心角定理，我们还了解到两个有趣的性质。
首先是弧长和弧度的关系。
弧长是圆的一部分，而弧度则是表达弧长的单位。
当我们用弧长等于半径的长度时，我们得到一个度量为1的弧度。
这样，我们可以通过使用弧长来比较不同圆上的弧度。
另一个性质是扇形的面积和圆心角的关系。
扇形是由两个半径和围绕圆心的弧组成的。
扇形的面积等于其对应圆心角的比例乘以圆的面积。
这个公式可以帮助我们计算扇形的面积，并与其他几何图形进行比较。
在学习圆时，我们还会接触到一些解决与圆相关的问题的方法。
例如，我们可以使用勾股定理来解决与直角三角形和圆有关的问题。
2020-2021沪科版九年级数学24.2圆的基本性质-知识点+习题同步练习提升 (1)
圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
（3）固定的端点O 叫做圆心。
（4）线段OA 的长为r 叫做半径。
2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）经过圆心的弦叫做直径。
4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。
考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。
考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
④平行弦夹的弧相等。
沪教版九年级圆的知识点
沪教版九年级圆的知识点圆是几何学中重要的概念之一，也是我们在生活中常见到的形状之一。
无论是纸上的图形，还是日常用品中的物体，圆都能给人一种和谐、完美的感觉。
而在九年级的数学学习中，我们学习了沪教版的九年级教材中关于圆的知识点，下面就让我们来一起回顾和探索这些知识。
首先，我们需要了解圆的定义和性质。
圆是由平面上距离一个定点固定距离不变的所有点构成的图形。
这个定点被称为圆心，而这个距离被称为半径。
圆的性质有很多，比如，圆上任意两点与圆心的连线都相等，圆心到圆上任意一点的连线都垂直于圆的半径等等。
这些性质构成了圆的基本概念和特点。
接下来，我们来探讨圆的面积和周长的计算。
圆的周长和面积是我们在几何学中经常需要计算的数值，对于九年级的学生来说，掌握计算圆的周长和面积的方法是很重要的。
计算圆的周长可以使用公式C=2πr，其中r表示圆的半径，π是一个常数，约等于3.14。
计算圆的面积可以使用公式A=πr²，其中A表示圆的面积。
通过这两个公式，我们可以灵活地计算出不同圆的周长和面积。
在学习圆的知识中，我们也需要理解和应用圆的切线和切点的概念。
当一条直线和圆相切时，我们称这条直线为圆的切线，这个相切的点则被称为切点。
切线和切点在几何学中有很多重要的性质和定理，比如切线与半径的关系、圆的内切、外切等。
理解和应用这些性质和定理可以帮助我们解决更复杂的几何问题。
此外，圆的应用也是我们在数学学习中需要了解的内容。
圆在日常生活中有很多应用，比如时钟的表盘、轮胎的形状等。
在工程领域中，圆也经常被应用于建筑和设计中，比如建筑物的圆形柱子、广场的喷泉等。
通过了解圆的应用，我们可以更好地理解数学在现实生活中的重要性和实用性。
总结起来，九年级数学教材中关于圆的知识点包括了圆的定义和性质、圆的周长和面积的计算方法、圆的切线和切点的概念以及圆的应用等内容。
通过学习这些知识，我们可以更深入地理解和应用圆的概念。
同时，圆的知识也为我们以后学习更高级的几何知识打下了基础。
上海沪科版初中数学九年级下册第21讲 圆的基本性质
上海沪科版初中数学
重点知识精选
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第六单元圆
第21讲圆的基本性质
一、知识清单梳理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
图a 图b 图c
ADC=180°. ⊙O上两点，
∠BAC=40°，则∠D的度
数为130°．
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维可以让他们更理性
地看待人生。
2024-2025学年沪科版初中数学九年级(下)教案第24章圆24.2圆的基本性质(第1课时)
第24章圆24.2 圆的基本性质第1课时圆的定义及与圆有关的概念教学目标教学反思1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题.教学重难点重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学过程导入新课问题情境：观察下列图片，从图片中找出共同的图形.教师追问：你还能举出生活中的圆形吗？师生活动：学生列举生活中的圆形，教师适当引导.思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？师生活动：如果把车轮做成圆形，车轴安装在圆心上，当车轮在地面滚动的时候，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径长.因此车厢里坐的人都将平稳地被车子拉着走.假设车轮是个破的，已经不成圆形了，轮缘上高一块低一块的，也就是说从轮缘到轮子圆心的距离不相等，那么这种车子行驶起来一定很颠簸.同样道理，如果车轮设计成三角形或是正方形，因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以行驶起来也一定会很颠簸！探究新知1.圆的定义教师提问：同学们，你们知道怎样画一个圆吗？你有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，教师圆规演示画圆的过程，总结圆的定义.1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；教学反思3.旋转一圈（使铅笔在纸上画出封闭曲线）；4.用字母表示圆心、半径、直径.【归纳总结】圆的旋转定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.问题情境：1.以1 cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？师生活动：学生独立思考并回答，教师引导.教师追问：从画圆的过程可以看出什么呢？【归纳总结】①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于半径.②平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上.【归纳总结】圆的集合定义：平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.探究：确定一个圆的要素.教师提问：当圆的圆心确定时，这个圆唯一确定吗？当圆的半径确定时，这个圆唯一确定吗？师生活动：学生小组讨论，举出反例，思考确定圆的要素，教师引导.①②【解】如图①，圆心相同，半径不同，能画出无数个同心圆；如图②，半径相同，圆心不同，能画出无数个等圆.【归纳总结】确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.圆的基本性质：同圆的半径相等.【新知应用】例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.师生活动：（学生思考，教师引导）要使A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，点A ，B ，C ，D 与点O 的距离有什么关系？【证明】∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴ OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴ A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上.【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）. 2.点与圆的位置关系圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是到圆心的距离小于圆的半径r 的所有点的集合； （2）圆的外部是到圆心的距离大于圆的半径r 的所有点的集合. 【新知讲解】点与圆的位置关系： 1.点P 在圆上⇔OP ＝r （如图①）. 2.点P 在圆内⇔OP <r （如图②）. 3.点③练一练：1.正方形ABCD 的边长为3 cm ，以A 为圆心，３cm 长为半径作⊙A ，则点A 在⊙A ，点B 在⊙A ，点C 在⊙A ，点D 在⊙A .2.一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远距离为10 cm ，则这个圆的半径是 cm.3.与圆有关的概念 （1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB ）叫做弦.图中的弦还有 .经过圆心的弦（如图中的AC ）叫做直径.注意：①弦和直径都是线段.②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A ，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. （3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.教学反思（4）劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC .大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC .（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆. （6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.概念辨析（1）长度相等的弧是等弧吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.（2）直径是弦吗？弦是直径吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才叫直径，因此直径是圆中最长的弦.（3）半圆是弧吗？弧是半圆吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧才是半圆.【新知应用】例2 下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦.其中正确的是________.（填序号）师生活动：（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关概念可知，连接圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧.例3 如图.（1）请写出以点B 为端点的劣弧及优弧； （2）请写出以点B 为端点的弦及直径； （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.师生活动：发对优弧、劣弧概念的思考.【解】（1）劣弧：BD ，BF ，BC ，BE .优弧：BFE ，BFC ，BCD ，BCF .（2）弦BD ， AB ， BE .其中弦AB 又是直径.（3）答案不唯一.如：弦DF ，它所对的弧是DF 和DEF . 【归纳总结】大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.要按照一定的顺序书写，不要遗漏.【拓展延伸】 例4 下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm ，且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个.其中错误的有（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个师生活动：（引发学生思考）结合圆的定义分析怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A教学反思【归纳总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小.两者缺一不可.例5A，B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10师生活动：（引发学生思考）连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.【答案】D【归纳总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长.课堂练习1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍.（2）如图所示，图中有条直径，条非直径的弦.2.一点和⊙O上的点最近距离为6 cm，最远距离为12 cm，则这个圆的半径是 .3.判断下列说法的正误.（1）弦是直径. （）（2）过圆心的线段是直径. （）（3）半圆是弧. （）（4）过圆心的直线是直径. （）（5）直径是最长的弦. （）（6）半圆是最长的弧. （）（7）长度相等的弧是等弧. （）（8）同心圆也是等圆. （）4.给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是.（填序号）5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？第5题图6.如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.参考答案1.（1）直径半径（2）两三2.9 cm或3 cm3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√（6）×（7）×（8）×4.①5.解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.6.证明：如图，连接ON，OA.∵点A，N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 教学反思第6题答图课堂小结学生独立思考，进行总结，教师补充概括. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的旋转定义圆的定义圆的集合定义弦—直径劣弧圆弧半圆圆的有关概念优弧等圆等弧 布置作业教材第14页练习板书设计24.2 圆的基本性质第1课时 圆的定义及与圆有关的概念1.圆的定义（1）圆的旋转定义 （2）圆的集合定义2.与圆有关的概念：弦；直径；弧；半圆；等圆；等弧.3.点与圆的位置关系： 点P 在圆上⇔OP ＝r ； 点P 在圆内⇔OP <r ； 点P 在圆外⇔OP >r. 教学反思。
沪教版九年级下册圆知识点
沪教版九年级下册圆知识点《沪教版九年级下册圆知识点》圆是几何中的重要概念之一，在我们的日常生活和学习中随处可见。
它不仅具有美学价值，还有着深厚的数学含义和实际应用。
在九年级下册的数学课程中，圆的相关知识点被娓娓道来，让我们一起来探索吧！一、圆的定义圆是平面上所有到圆心的距离都相等的点的集合。
换句话说，圆是由一条定长线段的两端点构成的所有点构成的集合。
圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
二、圆的性质1. 圆的直径是圆上两点之间的最长线段，它等于圆的半径的两倍。
直径还有一个重要性质是：通过圆心引一条直径，它一定是圆的对称轴。
2. 弧是圆上的一段弯曲部分，由两个端点和弦组成。
圆上的任何一条弧都可以由两个不同的点联结而成，它的长度可以用角度来度量。
弧可以细分为弦长相等的弧、弦长不相等的弧等等。
3. 切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
切线与半径垂直，并且切点处的切线和半径连线构成直角。
4. 弦是圆上两个点之间的线段，它可以通过任何圆的两个不同点来确定。
相等的弦所对应的弧长是相等的。
三、圆的计算1. 圆的面积：圆的面积可以通过公式A = πr²来计算，其中π是一个无理数，近似值为3.14，r是圆的半径。
只要知道半径的值，就可以轻松地计算出圆的面积。
2. 圆的周长：圆的周长也称为圆的周长或圆周长。
它可以通过公式C = 2πr计算得出，其中C代表圆的周长，r表示圆的半径。
四、圆与日常生活圆在我们的日常生活中无处不在。
从家庭中的饭桌上的圆盘到学校操场上的跑道，都有圆的身影。
此外，轮胎、飞盘、钟表等物品也是圆的典型代表。
除了物品之外，圆还与各种自然现象和科学原理相关。
例如，太阳、月亮等天体都是近似于圆形的，它们的运行轨道也是圆形或近似于圆形的。
在科学研究中，力的方向和大小经常通过圆形图表来表示。
五、圆的应用1. 圆在建筑和设计中起到重要的作用。
例如，在建筑设计中，建筑师经常使用圆形柱子、圆形窗户等来增加建筑物的美观度和结构强度。
上海九年级圆知识点
上海九年级圆知识点圆是几何学中的重要概念之一，它具有独特的性质和特点。
在上海九年级数学课程中，圆的知识点是必学内容。
本文将从圆的定义、圆的性质、圆的相关定理和应用等方面进行论述。
1. 圆的定义圆是由平面上任意一点到另一点距离都相等的点的集合。
其中，距离相等的那个固定点称为圆心，距离称为半径。
2. 圆的性质（1）圆上任意两点之间的距离等于圆的半径。
（2）圆的直径是任意两点的最远距离，且为两倍的半径。
（3）圆上的任意一条弦的长度不大于圆的直径。
（4）圆上的任意一条切线与半径垂直。
（5）圆的内接三角形的三个角是直角。
（6）相交于同一圆的两条弦互相垂直，且弦的垂直平分线通过圆心。
3. 圆的相关定理（1）相交弦的性质：两条相交弦的乘积等于它们所夹的角的正弦的2倍。
（2）弧与夹角的关系：两条弦所夹的圆心角等于它们所对应的弧所对的圆心角。
（3）切线与半径的关系：切线与半径的垂线平分切线所对应的弧。
4. 圆的应用（1）圆的测量：通过圆的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。
（2）圆的集合：通过圆的交集、并集和补集等操作，可以构成复杂的几何图形。
（3）圆在日常生活中的应用：如轮胎、钟表、圆桌等，都涉及到圆的概念和性质的应用。
总结：圆是几何学中的重要概念，具有独特的性质和特点。
掌握圆的定义、性质、相关定理和应用，对于理解和解决与圆相关的几何问题非常重要。
通过学习圆的知识，不仅可以提高数学能力，还可以培养逻辑思维和问题解决能力。
因此，上海九年级的学生应该认真学习圆的知识，并灵活应用于实际生活和数学解题中。
沪科版九年级数学下册圆的有关概念以及点与圆的位置关系
·
⊙O，读作“圆O”．
O
思考
A ·r O
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离 有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什 么特点？
A ·r O
因此，圆可以看成：平面内到定点（圆心O） 的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.
观察图中点A，B，C与圆的位置关系.设 ⊙O半径为 r , 说出A，B，C到圆心O的距离与 半径的关系：
证明 连接AC，DB. ∵AB，CD为⊙O的直径.
A
C
O
D
B
∴OA=OB，OC=OD.
∴四边形ADBC为平行四边形.
∴AD∥CB.
1.下列说法正确的是( D ) A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆 C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦
2.下列说法中，不正确的是( D ) A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等 C．周长相等的两个圆是等圆 D．长度相等的两条弧是等弧
点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外
OA < r OB = r OC > r
A
O·
C
r
B
反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，
能否判断点和圆的位置关系？
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d， 则有：
d ＜ r 点P在圆内
PP P
d= r
点P在圆上
O·
d ＞ r 点P在圆外
r
A
点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则
符号“ ”读
点在圆内
d﹤r
作“等价于”， 它表示符号
●
点在圆上
d＝r
沪科版九年级数学(下)24.2圆的基本性质课件(共17张PPT)
这两个圆叫做同心圆
（4）若OP≤2cm，A 则点P在 小D圆上或小圆内 ；
（5）若2cm<OP<3cm，则O 点P在小圆和大圆之；间
(4)过圆心的直线是直径；( )
(5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( )
(7)半径相等的两个圆是等圆.( )
14
如 图 , 一 根 5m
长的绳子,一端
栓在柱子上,另
5
一端栓着一只羊,
请画出羊的活动
区域.
15
5m
× 4m o
5m
× 4m o
5m 1m
正确答案
16
小结：
1、圆的相关概念（旋转观点、集合点）； 2、点与圆的位置关系； 3、与圆有关的概念。
12
例1 已知：如图，AB、CD为⊙O的直径， 求证：AD∥CB
C 证明 连接AC、BD
A
O D
B ∵ AB、CD为⊙O的直径 ∴OA=OB OC=OD ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴ AD∥CB
13
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； (
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
P
B
O·
·O
C
D
A
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
4
5
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心 （圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平 面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变， 因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会 感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学 道理．
九年级下册圆知识点简介
九年级下册圆知识点简介圆是几何学中的一个重要概念，是指平面上所有到一个定点距离都相等的点的集合。
在九年级下册数学课程中，涉及了与圆相关的多个知识点，如圆的定义、圆的元素、圆的性质等。
以下是对九年级下册圆相关知识点的简要介绍：1. 圆的定义圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点称为圆心，定点到圆心的距离称为半径。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 圆的元素圆的要素包括圆心、半径、直径和弧长。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任一点的距离，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，弧长是由两个点在圆上划出的弧所对应的圆周的长度。
3. 圆的性质(1) 圆的直径是圆上任意两点间的最长线段，直径的长度等于两倍的半径。
(2) 圆的弧长与弧所对的圆心角成正比。
设圆的半径为r，圆心角为θ（弧度制），则弧长L = rθ。
(3) 圆的圆心角和圆周角的关系，圆心角等于其所对圆弧的角度，而圆周角等于360度或2π弧度。
(4) 切线和半径的关系，切线和半径相交于切点，切线垂直于半径。
4. 圆与其他图形的关系(1) 圆与直线的关系：圆与直线的位置关系有内离、外离、内切和外切四种情况。
内离即直线不与圆相交，外离则是直线所在直线与圆没有公共点，内切是直线与圆相切于圆上一点，外切即直线切于圆上一点且不穿过圆内部。
(2) 圆与多边形的关系：圆可以与多边形（如正多边形、正方形等）内切或外切。
(3) 圆与圆的关系：两个圆可以相交于两个点、外切于一个点、内切于一个点，或者完全重合。
5. 圆的计算在求解与圆相关的问题时，需要运用圆的相关公式和定理进行计算。
例如，根据圆的面积公式S = πr²和周长公式C = 2πr，可以计算出圆的面积和周长。
通过以上对九年级下册圆知识点的简要介绍，我们可以看到圆在几何学中具有重要的地位，与其他几何图形有着密切的关系。
掌握了圆的定义、元素、性质和计算方法，能够更好地理解和应用圆的相关知识，为解决实际问题提供有效的几何工具。
沪科版数学九年级下册《圆的定义》教学设计2
沪科版数学九年级下册《圆的定义》教学设计2一. 教材分析《圆的定义》是沪科版数学九年级下册的教学内容。
本节课主要让学生理解圆的定义，掌握圆的基本性质，并能够应用圆的性质解决一些实际问题。
教材通过引入圆的概念，引导学生探索圆的性质，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段等基本几何概念。
他们对几何图形有一定的认识，但可能对圆的概念和性质还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际情境中发现圆的性质，通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对圆的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握圆的定义，了解圆的基本性质，能够运用圆的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：培养学生观察、思考、交流、合作的能力，提高他们的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：圆的定义，圆的基本性质。
2.难点：理解圆的性质，并能够运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际情境的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索圆的性质。
2.直观教学法：利用图形、模型等直观教具，帮助学生形象地理解圆的概念和性质。
3.合作学习法：学生进行小组讨论、合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的图形、模型等直观教具。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如车轮、地球等，引导学生思考圆的特点，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示圆的模型和图片，引导学生观察圆的特点，并提出问题：“什么是圆？圆有哪些性质？”3.操练（10分钟）学生分组讨论，通过观察、操作、思考，总结出圆的定义和性质。
教师引导学生用数学语言描述圆的性质，并板书。
4.巩固（10分钟）学生自主完成一些相关的练习题，巩固对圆的定义和性质的理解。
九年级下册沪科版数学圆知识点
九年级下册沪科版数学圆知识点在九年级下册沪科版数学课程中，学生将进一步学习和探索圆的知识。
圆是几何学中的重要概念之一，具有许多独特的性质和特点。
本文将重点介绍九年级下册沪科版数学课程中关于圆的重要知识点。
通过学习这些知识点，学生将能够更好地理解圆的本质和应用。
1. 圆的定义和性质首先，我们来回顾圆的定义和性质。
圆是由平面上到一个固定点的距离始终相等的点的集合。
这个固定点叫做圆心，用字母O表示。
圆心到圆上任意一点的距离叫做圆的半径，用字母r表示。
圆的周长叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的面积叫做圆的面积，用字母A表示。
圆的周长和面积是圆的重要性质，需要学生掌握计算的方法和公式。
2. 圆的周长和面积计算接下来，我们来学习计算圆的周长和面积的方法。
圆的周长可以通过公式C=2πr来计算，其中π取值约为3.14。
圆的面积可以通过公式A=πr^2来计算。
学生需要了解这些公式的推导过程，并能够根据给定的半径计算圆的周长和面积。
3. 直径、弦、切线和弧在圆的研究中，直径、弦、切线和弧是关键概念。
直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径的两倍。
弦是圆上任意两点之间的线段。
切线是与圆仅有一个交点的直线，这个交点叫做切点。
弧是圆上的一段弯曲部分，它的度数用角度或弧度来表示。
学生需要理解这些概念之间的关系，并能够应用它们解决相关的问题。
4. 圆相关定理在圆的研究中，有一些定理是非常重要的。
例如，相交弦的性质定理表明，如果两条弦相交于圆内的一点，那么它们内部的每个锐角和外部的每个钝角都是相等的。
切线和半径的关系定理表明，如果一条切线与半径的末端相交，那么相交点到圆心的线段和切线的交点到圆心的线段垂直。
学生需要学习和理解这些定理，并能够应用它们解决与圆相关的问题。
5. 弧长和扇形面积弧长和扇形面积也是圆的重要性质。
弧长是圆上的一段弧的长度，可以通过弧长公式L=2πr(θ/360)来计算。
其中，θ是弧所对的圆心角的度数。
扇形是由圆心、圆周上的两点和圆弧所围成的图形，它的面积可以通过扇形面积公式A=πr^2(θ/360)来计算。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 圆的认识
知3－练
3．已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为 圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都 至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是( ) A．6＜r＜10B．8＜r＜10 C．6＜r≤8D．8＜r≤10
劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°.
(3)半径不变，圆心变产生等圆；圆心不变，半径变产生同
心圆．
知2－讲
例2〈易错题〉以下命题：(1)半圆是弧，但弧不一定是半
圆；(2)过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是
直径；(3)弦是直径；(4)直径是圆中最长的弦；(5)直
径不是弦；(6)优弧大于劣弧； (7)以O为圆心可以画
无数个圆. 正确的个数为( ) C
A．1
B．2
C．3
D．4
知2－讲
导引：(1)半圆是弧的一种，弧可以分为劣弧、半圆、优 弧三种，故正确；(2)过圆上任意一点可以作无数 条弦，故错误；(3)直径是过圆心的特殊弦，但弦 不一定是直径，故错误；(4)圆有无数条弦，过圆 心的弦最长，即直径是圆中最长的弦，故正确； (5)直径是圆中最长的弦，故错误；(6)在同圆或等 圆中，优弧大于劣弧，故错误；(7)以一个点为圆 心，若不指明半径，可画出无数个大小不等的同心 圆，故正确．
本节应掌握： 1.圆的定义； 2.与圆有关的概念：弦、弧、等圆、等弧； 3.点与圆的三种位置关系：在圆上、在圆内、在 圆外.
1.必做:完成教材P25习题24.2T1-T2. 2.补充:.
知1－练
2．平面内已知点P，以P为圆心，3cm为半径作圆，这 样的圆可以作( ) A．1个B．2个 C．3个D．无数个
圆的基本性质第1课时圆课件沪科版数学九年级下册
针对训练
1. 以点O为圆心，分别以2cm，3cm 为半径画两个圆(这两个圆叫做同心
圆)，说出满足下列条件的点 P 的位置：
(1)OP >3cOP <3cm
(4)OP=0cm
(1)点 P 在大圆的外部 (3)点 P 在大圆和小圆之间
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于__定__长__(半__径__r_)___． (2)平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点都在 __同__一__个__圆__上________．
因此，圆可以看成：平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的 所有点组成的图形.
针对训练
1.下列关于圆的叙述正确的是( B ) A．圆是由圆心唯一确定的 B．圆是一条封闭的曲线 C．到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆 D．圆内任意一点到圆心的距离都相等
24.2圆的基本性质 第1课时 圆
九年级下
沪科版
学习目标
1.理解圆、弧、弦的概念；
重点
2.了解等圆、等弧、弓形的概念；
3.探索并掌握点和圆的位置关系.
重点
新课引入
观察下列生活中的图片，说说你还见过哪些这样的图形.
本节课我们将对圆进行初步的学习！
新知学习 一、圆的定义
如图，在平面内，线段OP绕着它固定的一个端点 О旋转一周，则另一个端点Р所形成的封闭曲线叫做 圆.固定的端点О叫做圆心 ，线段OP的长为 r 叫做半
半径是弦吗？
半圆、优弧及劣弧 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 大于半圆的弧(图中的 ACB，一般用三个字母表示)叫做优弧； 小于半圆的弧(图中的 BD，AB 或 AC )叫做劣弧.
沪科版九年级数学圆知识点
沪科版九年级数学圆知识点沪科版九年级数学圆知识点1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧11、推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半17、推论：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等18、推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径19、推论：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角21、①直线L和⊙O相交dr22、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径24、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点25、推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35、①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-rr)⑤两圆内含dr)36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形41、正n边形的面积Sn=pr/2p表示正n边形的周长，r 为边心距42、正三角形面积√3a2/4a表示边长43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=444、弧长计算公式：L=n兀R/18045、扇形面积公式：S扇形=n兀R2/360=LR/2外公切线长=d-(R+r)初中数学实数的倒数、相反数和绝对值知识点1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
九年级数学下册 第二十六章《圆》课件 沪科
度是半径的（ ）%，半径的长度是
直径的（ ）%。
12．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫 做圆的周长。
13．圆的周长总是直径的3倍多一些， 这个比值是一个固定的数。我们把圆 的周长和直径的比值叫做圆周率，用 字母表示。圆周率是一个无限不循环 小数。在计算时，取3.14。世界上第一 个把圆周率的值计算精确到7位小数的 人是我国的数学家祖冲之。
C r S=C ²/4π
圆环：S=πR²－πｒ² 或 S=π（R²－ｒ²）
1、常见的π值：（π取3.14） π=3.14 2π＝6.28 3π＝9.42 4π＝12.56 5π＝15.7 6π＝18.84 7π＝21.98 8π＝25.12 9π＝28.26 12π＝37.68 15π＝47.1 16π＝50.24 18π＝56.52 24π＝75.36 36π=113.04 72π＝226.08
11．在同一个圆或等圆内，表示为：d＝２r r ＝d/2
（1） 、圆的大小由（ ）决定，圆
的位置由（
）确定。
（2）、一个圆至少对折（ ）次，可
以确定圆的圆心。这说明圆是（ ）
图形。
（3）、在同一个圆中，可以画（
）
条半径，（
）条直径。直径的长
24．有1条对称轴的图形有：角、等腰 三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形 有3条对称轴的图形是：等边三角形 有4条对称轴的图形是：正方形 有无数条对称轴的图形是：圆、圆环
圆的认识
圆心O 确定圆的位置 半径r 确定圆的大小 直径d 轴对称图形 无数条对称轴
圆的周长
概念：围成圆的曲线的长度 叫做圆的周长。
公式：C=2πr=πd
在同圆或等圆中
所有的直径都相等 所有的半径都相等
沪科版数学九年级下册《圆的定义》教学设计1
沪科版数学九年级下册《圆的定义》教学设计1一. 教材分析《圆的定义》是沪科版数学九年级下册第五章第一节的内容。
本节课主要让学生通过观察和操作活动，认识圆的概念，掌握圆的特征，理解圆的画法，并能够应用圆的知识解决实际问题。
教材通过生活中的实例引入圆的概念，接着介绍圆的半径、直径等基本术语，最后讲解圆的画法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于圆的概念和特征的理解还需要通过观察和操作来加深。
此外，学生对于圆的画法可能比较陌生，需要通过实践来掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆的概念，掌握圆的基本术语，学会用圆规和直尺画圆。
2.过程与方法：通过观察、操作、讨论等方法，培养学生的空间想象能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.圆的概念和特征。
2.圆的画法。
五. 教学方法1.观察法：让学生通过观察生活中的实例，发现圆的特征。
2.操作法：让学生动手画圆，实践掌握圆的画法。
3.讨论法：让学生分组讨论，培养团队合作意识。
六. 教学准备1.圆规、直尺、铅笔等画图工具。
2.生活中的圆形物品，如硬币、碗等。
3.课件或黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的圆形物品，如硬币、碗等，让学生观察并说出它们的特点，引导学生发现这些物品都有一个共同的特点——圆形。
进而引入本节课的主题——圆的定义。
2.呈现（10分钟）讲解圆的概念，通过课件或黑板展示圆的特征，如半径、直径等。
让学生理解圆的基本术语，并能够正确地描述圆。
3.操练（10分钟）让学生分组，每组用圆规和直尺画一个圆。
在画圆的过程中，引导学生注意圆规的距离、角度等参数，确保画出的圆准确无误。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生用自己的话复述圆的定义和基本术语，加深对圆的理解。
然后，让学生用圆的知识解决一些实际问题，如计算圆的面积、周长等。
沪科版九年级数学下册《圆的定义》评课稿
沪科版九年级数学下册《圆的定义》评课稿一、引言《圆的定义》是沪科版九年级数学下册的一节课，主要介绍了圆的概念与相关性质。
本文将对此节课进行评课，评估其教学设计、教学过程和教学效果，以及提出改进建议。
二、教学设计评价1. 教学目标本节课的教学目标清晰明确，主要包括： - 掌握圆的定义和基本性质； - 能够利用圆的性质解决简单的几何问题。
这些目标与九年级数学课程标准相符合，能够帮助学生建立正确的圆的概念，并运用所学知识解决实际问题。
2. 教学内容本节课的主要教学内容为： - 圆的定义； - 圆的半径、直径和周长的性质。
这些内容层次分明，符合学生认知规律，易于理解和掌握。
3. 教学重点和难点教学重点和难点都集中在圆的定义和性质上。
特别是对于圆的定义的理解和几何问题的解决能力是本节课的难点所在。
4. 教具和资源教学所需的教具和资源简单，包括黑板、彩色粉笔、教科书中相关的教材、课件以及一些生动形象的图形。
1. 教学准备教师在准备过程中，对教材进行了深入理解，并根据学生的认知规律设计了合适的教学流程，并准备了适当的教具和资源。
2. 教学步骤教学采用了传统的直接教导法，主要由教师引导学生逐步认识圆的定义和性质。
具体的教学步骤如下： - 介绍圆的概念和基本性质； -引导学生观察和讨论圆的特点，并在黑板上画出几个圆形图形；- 解释圆的直径、半径和周长的定义和计算方法； - 通过一些实例引导学生运用所学知识解决简单的几何问题； - 综合复习和总结本节课的内容。
这样的教学步骤有利于学生逐步理解和掌握圆的相关概念和性质，培养了学生的观察能力和问题解决能力。
3. 教学方式教学方式主要采用了教师讲解和学生讨论相结合的方式。
教师以简洁明了的语言讲解圆的定义和性质，同时引导学生观察和讨论相关问题。
这种交互式的教学方式能够激发学生的思维，提高学习效果。
4. 学生参与度在教学过程中，学生积极参与课堂讨论，回答问题，解决问题。
教学内容和形式能够很好地激发学生的学习兴趣，提高学生的学习态度。
上海科学技术出版社初中数学九年级下册 圆的定义(区一等奖)
24．2圆的基本性质（第一课时）教学目标：1了解圆以及它的相关概念，能运用概念解决实际问题。
2通过综合运用圆的概念，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。
学前温故教学重点：圆的概念教学难点：灵活运用概念，分析并解决实际问题。
教学过程：复习旧知：1．圆的半径为r，直径为R，则半径与直径的关系为R＝2r2．圆的半径为r，直径为R，则圆的周长为2πr＝πR，面积为πr2＝错误!πR2讲授新课：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”。
这是古希腊的数学家毕达哥拉斯一句话。
圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。
：圆有哪些性质为什么车轮做成圆形怎样设计一个运动场的跑道怎样计算蒙古包的用料在这一章，我们将进一步认识圆，用图形变换等方法研究它，并用圆的知识解决一些实际问题。
1．在平面内，线段OA绕它固定的一个端，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A的距离都等于2cm的点组成的图形（2 到点B的距离都等于2cm的点组成的图形（３）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形（4）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形（5）到点A的距离小于2cm，且到点Ｂ的距离大于２cm的所有点组成的图形3（1）是圆中最长的弦，它是的2倍。
（2）如图，图中有条直径，条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有条，劣弧有条。
4、判断（1）半圆是弧，但弧不是半圆。
（）（2）过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径。
（）（3）弦是直径，但直径不是弦。
（）（4）直径是圆中最长的弦。
（）5、选择（1）下列说法中，正确的是（）。
①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心的弦是直径；④经过圆上一点有无数条直径。
A、①②B、②③C、②④D、③④（2）如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数为（）。
A、2B、3C、4D、56如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧议一议：1小明和小强为了探究中有没有最长的弦，经过了大量的测量，最后得出一致结论，直径是圆中最长的弦，你认为他们的结论对吗试说说你的理由投圈游戏2 一些学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗你认为他们应当排成什么样的队形课堂小结：１、从运动和集合的观点理解圆的定义：定义一：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。
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(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定
原命题的结论正确
第26讲┃ 皖考探究
年份
2016 安徽
2016 芜湖
2017 芜湖
考情分析
考点内容
分值 呈现形式
垂径定理，勾股定理 4
选择
圆周角定理
5
填空
等边三角形，垂径定
理
4
选择
圆周角定理，三角函
数
4
选择
2017 安徽
垂径定理，勾股定理
5
2018 圆周角定理，平行四
图 26－2
第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据垂直于弦的直径的性质和同圆或等圆中等 弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形 的判定证明DB＝DE＝DC.
第26讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC， ∴BD＝CD.∴BD＝CD. (2)B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD. ∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE， ∠CBE＝∠ABE， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. 由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC. ∴B、E、C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC； (2)当点 P 运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中 画出△PCD，并说明理由； (3)如图③，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠BCD 的度数．
图 26－4
第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直
角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可
优弧 大于半圆的弧叫做优弧 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧
第26讲┃ 考点聚焦 考点2 确定圆的条件及相关概念
确定圆 的条件
不在同一直线的三个点确定一个圆
三角形的 三角形三边_垂__直__平__分__线____的交点，即三角形外
外心 接圆的圆心
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角
防错提醒 形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个
三角形是__直__角____三角形
第26讲┃ 考点聚焦 考点6 圆内接多边形
圆内接 多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多 边形的外接圆
圆内接
四边形 圆内接四边形的对角_互___补__
的性质
第26讲┃ 考点聚焦
考点7 反证法
不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题
定义
的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛 盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成
立，这种方法叫做反证法
(1)假设命题结论的反面是正确的，即提出与
命题结论相反的假设；
步骤
(2)从假设的结论出发，通过逻辑推理、推出 与公理，已知的定理、定义或已知条件相矛盾；
第26讲┃ 归类示例
► 类型之四 圆周角定理及推论
命题角度： 1．利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数； 2．直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．
第26讲┃ 归类示例
例 4 [2018·湘潭] 如图 26－3，在⊙O 中，弦 AB∥CD，若
∠ABC＝40°，则∠BOD＝
(D )
例 2 [2018·台州] 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露 出盒外，其截面如图 26－1 所示，已知 EF＝CD＝16 厘米，
则球的半径为___1_0____厘米．
图 26－1
第26讲┃ 归类示例 [解析] 首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，分别
交圆于G、N两点，取GN的中点O，连结OF，设OF＝x，则 OM＝16－x，MF＝8.
的外心在三角形的外部
第26讲┃ 考点聚焦 考点3 垂径定理及其推论
圆的 基本性质 垂径 定理
推论
总结
圆既是一个轴对称图形又是一个___中__心___对称图形，圆
还具有旋转不变性
垂直于弦的直径平__分__弦__，并且平分弦所对的两条弧
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧 简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分 弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论 成立，那么其他的结论也成立
推论 2
推论 3
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__相__等____， 都等于该弧所对的圆心角的__一__半____ 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_相__等___ 半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角___；90°的圆周角所 对的弦是__直__径__
第26讲┃ 归类示例
► 类型之五 与圆有关的开放性问题
命题角度： 1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由； 2. 给定一个圆，添加条件并说明理由．
第26讲┃ 归类示例
例 5 [2018·湘潭] 如图 26－4，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧 有定点 C 和动点 P，AC＝12AB，点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A、 B 两点重合)，过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．
安徽
边形性质
5
填空 填空
预测热度 ★★★★ ★★★★
★★★
★★★★
★★★★
★★★★
第26讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 确定圆的条件
命题角度： 1. 确定圆的圆心、半径； 2. 三角形的外接圆圆心的性质．
例 1 [2018·资阳] 直角三角形的两边长分别为 16 和 12， 则此三角形的外接圆半径是1_0_或___8___．
在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2， 即(16－x)2＋82＝x2， 解得x＝10.
第26讲┃ 归类示例
垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两 直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常 常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
第26讲┃ 归类示例
► 类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．
第26讲┃ 归类示例 例 3 [2018·济宁] 如图 26－2，AD 为△ABC 外接圆的直径，
AD⊥BC，垂足为点 F，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，连结 BD、CD.
(1)求证：BD＝CD； (2)请判断 B、E、C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半 径的圆上？并说明理由．
图 26－3 A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
第26讲┃ 归类示例
[解析] 先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出 ∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°.
第26讲┃ 归类示例
圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之 间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化．
知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三
角形全等．(3)由∠ACB＝90°，AC＝
1 2
AB，可求得∠ABC的度
数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证 △PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．
第26讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠D＝90°.
第26讲┃ 归类示例
圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特殊的性质，在给 定一个圆之后，可以得到不同类型的结论，与圆有关的开放型 问题是近年中考中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又不 难，广泛而又有科学尺度地考查了数学创新意识和创新能力， 所以此类问题成为中考的热点之一．在解决这些问题的时候， 要把握准圆的性质的应用．
第26讲┃圆的有关性质
第26讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 圆的有关概念
定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个 圆的 端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫 定义 做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径
定义 2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合 弦 连结圆上任意两点的__线__段____叫做弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧 圆上任意两点间的部分叫做弧
又∵∠CAB＝∠DPC， ∴△PCD∽△ABC. (2)如图，当点P运动到PC为直径时， △PCD≌△ABC. 理由如下：∵PC为直径， ∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合， ∴PC＝AB，CD＝BC， 故△PCD≌△ABC.
第26讲┃ 归类示例
(3) ∵AC＝12AB，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°. ∴∠CPB＝∠CAB＝60°. ∵PC⊥AB， ∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°， ∴△PBC为等边三角形． 又CD⊥PB， ∴∠BCD＝30°.
第26讲┃ 归类示例
(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条 线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段 的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
第26讲┃ 归类示例 ► 类型之二 垂径定理及其推论
命题角度： 1．垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
第26讲┃ 归类示例
[解析] 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径 为斜边的一半，分两种情况：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半 径为8；