1.1线性规划的数学模型及其标准形
第1章 线性规划-标准型和图解法
Y
x－y≥1
－ x+2y≤0
O A1 X
39
例
max z=x+2y s.t. － x+2y≥1 x+y≤ － 2 x、y ≥0
x+y≤ － 2
Y
－ x+2y≥1
O
X
40
图解法的启示：
1. 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解， 无穷多最优解，无界界，无可行解； 无穷多最优解，无界界，无可行解； 2. 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一个凸 若线性规划问题可行域存在， 集； 3. 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最优解 若线性规划问题最优解存在， 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 之一一定能够在可行域的某个顶点取得； 4. 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其目标 解题思路是，先找凸集的任一顶点， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优， 函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优，则逐 点转移，直到找到最优解。 点转移，直到找到最优解。
C(1,3) 2x+2y=8 B(3,1) 4x+12y=24
x=7
2 4 6 7 (2,0) (4,0) A(6,0)G(7,0)
43
22
例
max = − x − y x + y ≥ 2 s.t.x ≤ 3 x , y无约束
23
解：令
x,当x ≥ 0 x′ = 0,当x < 0
y,当y ≥ 0 y′ = 0, 当y < 0
0, 当x ≥ 0 x ′′ = − x, 当x < 0
0,当y ≥ 0 y′′ = − y, 当y < 0
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
线性规划的标准型
线性规划的标准型线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在管理、经济、工程等领域都有着广泛的应用。
线性规划的标准型是线性规划问题的一种特定形式，通过将问题转化为标准型，可以更方便地进行求解和分析。
本文将对线性规划的标准型进行详细介绍，包括标准型的定义、特点、转化方法以及实际应用等方面的内容。
首先，我们来看一下线性规划的标准型是如何定义的。
线性规划的标准型是指将线性规划问题转化为一种特定形式的数学模型，其数学表达形式为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为各决策变量的系数，a11,a12, ..., amn为约束条件的系数，b1, b2, ..., bm为约束条件的常数项，z为线性规划的目标函数，Max表示最大化目标函数的求解目标。
线性规划的标准型具有一些特点，首先是目标函数和约束条件均为线性关系，其次是决策变量的取值范围为非负实数。
这种形式的线性规划问题可以通过各种线性规划算法进行求解，求得最优解。
接下来，我们来讨论线性规划问题如何转化为标准型。
对于一般的线性规划问题，可以通过添加松弛变量、人工变量等方式，将其转化为标准型。
通过这种转化，可以将原始问题转化为一种更加方便求解的形式，从而简化求解过程。
线性规划的标准型在实际应用中具有广泛的价值。
例如，在生产计划中，可以利用线性规划的标准型来优化生产资源的配置，最大化生产效益；在运输调度中，可以利用标准型来优化运输路线，降低运输成本；在市场营销中，可以利用标准型来制定最优的营销策略，最大化市场份额等。
线性规划ppt课件
a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
(*)
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
或者更简洁的，利用矩阵与向量记为
max z CT x
s.t. Ax b
(**)
x0
其中C和x为n维列向量，b为m维列向量， b≥0,A为m×n矩阵，m<n且rank(A)=m
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1 减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有
⑷变量xj无约束。
令xj= xj - xj，对模型中的进行变量代换。
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法 1.2.1 基本概念
可行解 满足约束条件（包括非负条 件）的一组变量值，称可行解。
所有可行解的集合称为可行域。
最优解 使目标函数达到最大的可行解 称为最优解。
基本解 对于有n个变量、m个约束方程的标准 型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约 束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组 基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称 为非基变量。
x0 必非最优解。
证 （1）显然
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是一种数学优化方法，用于解决一些实际问题，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
线性规划的标准形式是指将问题转化为一个标准的数学模型，以便于使用线性规划方法进行求解。
在本文中，我们将介绍线性规划的标准形式以及相关的数学概念和方法。
首先，让我们来定义线性规划的标准形式。
一个线性规划问题可以表示为：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad c^Tx \\。
& \text{subject to} \quad Ax \leq b \\。
& \quad x \geq 0。
\end{aligned}。
\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是一个n维向量，表示决策变量；A是一个m×n的矩阵，表示约束条件的系数；b是一个m维向量，表示约束条件的右端项。
在这个标准形式中，我们的目标是最大化目标函数c^Tx，同时满足约束条件Ax≤b和x≥0。
这个问题可以用线性规划方法求解，得到最优的决策变量x和最优解c^Tx。
为了更好地理解线性规划的标准形式，让我们来看一个简单的例子。
假设有一个工厂需要生产两种产品A和B，利润分别为3和5。
同时，工厂有两种资源，分别是材料和人工，资源A和资源B的使用量分别为1和2。
工厂的资源总量分别为4和12。
那么，我们可以将这个问题表示为一个线性规划问题：\[。
\begin{aligned}。
& \text{maximize} \quad 3x_1 + 5x_2 \\。
& \text{subject to} \quad x_1 + 2x_2 \leq 4 \\。
& \quad x_1 + x_2 \leq 12 \\。
& \quad x_1, x_2 \geq 0。
\end{aligned}。
\]在这个例子中，目标函数是3x1+5x2，表示生产产品A和B的总利润；约束条件是资源A和资源B的使用量不超过总量。
线性规划的标准型和基本概念
（2）若线性规划问题的最优解存在，它一定可以在 可行域的某一个顶点上得到；
（3）若在两个顶点上同时得到最优解，则该两点连 线上的所有点都是最优解，即LP有无穷多最优解；
（4）若可行域非空有界，则一定有最优解。
24
线性规划的标准形式
标准线性规划模型
minZ 3x1 2x2
st. -2x1 x 2 2
x1-3x2 3
x1 0,x2 0
x2 -2x1+x2=2
4
3 2
-▽Z=(3,2)
minZ 3x1 2x2
-2x1 x 2 2
x1-3x2 3
x1 0,x2 0
Z=
Z x1
，Z x 2
=（-3,-2）
x1-3x2=3
有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经 营活动，使所消耗的资源数最少。
例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生 素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每 周可提供的资源总量如下表所示：
j=1
j=1
其中 x为n+k非负剩余变量。
(3) 右端项为负
约束两端乘以（－1） (4) 非负变量与符号不受限制的变量
若 xi的符号不受限制，则可引进非负变量xi1,xi2，令 xi = xi1-xi2，这样就可以使线性规划里所有的变量都转化为有非负限 制的变量。
例7，将下述线性规划问题化为标准型
线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下，
第一章 线性规划
线性规划
【开篇案例】
一、人力资源分配的问题
某旅行社为了迎接旅 游黄金周的到来，对一日 游导游人员的需求经过统 计分析如表所示。为了保 证导游充分休息，导游每 周工作 5天，休息两天， 并要求休息的两天是连续 的。问应该如何安排导游 人员的作息，既满足工作 需要，又使配备的导游人
下午5时14分
什么是规划？
• 以上问题无一例外都属于规划问题，涉及到求解最大值 和最小值
• 人们经常谈规划，比如国家有5年规划、10年规划、城市 有城市规划，个人有自己的人生规划.
• 规划是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优 的全面、理性的计划
下午5时14分
线性规划
• 线性规划简介： • 运筹学中最成熟的一个分支 • 静态规划：单周期决策
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
1. 模型隐含假定
作为严密的数学模型，线性规划蕴含着以下假定： （1）线性化假定
函数关系式f(x)= c1x1+c2x2+… +cnxn，称线性函数。 经济学中大多数函数都是非线性，通过偏导求最优。但在企业
运营决策中，经常考虑比较短时间内的计划安排，通过线性化 更便于应用。
乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
线性规划的数学模型和基本性质
1．线性规划介绍
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
s.t.
2．线性规划数学模型
线性规划问题应用 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划) 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
线性规划的标准型
线性规划的标准型线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在资源分配、生产计划、物流运输等领域有着广泛的应用。
线性规划的标准型是线性规划问题最基本的形式，它通常用于描述最大化或最小化一个线性目标函数的问题，并且受到一组线性约束条件的限制。
在这篇文档中，我们将对线性规划的标准型进行详细的介绍和解释。
首先，我们来定义线性规划的标准型。
对于一个线性规划问题，我们通常有如下的数学表达式：\[ \begin{array}{ll}。
\text{maximize} & c^T x \\。
\text{subject to} & Ax \leq b \\。
& x \geq 0。
\end{array} \]其中，\( x \) 是一个包含 \( n \) 个变量的向量，\( c \) 是一个包含 \( n \) 个系数的向量，\( A \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵，\( b \) 是一个包含 \( m \) 个常数的向量。
这里的目标是最大化目标函数 \( c^T x \)，同时满足线性约束条件\( Ax \leq b \) 和变量的非负约束 \( x \geq 0 \)。
接下来，我们将详细介绍线性规划标准型中的各个部分。
首先是目标函数 \( c^T x \)，它通常表示了我们希望最大化或最小化的某种目标，比如利润最大化、成本最小化等。
目标函数中的 \( c \) 是一个系数向量，它代表了各个变量对目标的贡献程度，而\( x \) 则是变量向量，代表了我们需要决策的变量。
通过调整变量向量 \( x \) 的取值，我们可以达到最大化或最小化目标函数的目的。
其次，线性规划标准型中的约束条件 \( Ax \leq b \) 也是非常重要的。
约束条件通常反映了问题的现实限制，比如资源的有限性、生产能力的限制等。
矩阵 \( A \) 中的每一行代表了一个约束条件，而向量 \( b \) 则是约束条件的右侧常数。
第1章 线性规划问题
7连续加工问题
一工厂在第一车间用一单位M可加工成3单位产品 A，2单位产品B,A可以按每单位售价8元出售， 也可以在第二车间继续加工，每单位生产费用增 加6元，加工后每单位售价为16元；B可以按每 单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工， 每单位生产费用增加4元，加工后每单位售价为 12元.原料M的单位购入价为2元。上述生产费用 不包括工资在内.三个车间每月最多有20万工时， 每工时工资0.5元.每加工一单位M需1.5工时，如 A继续加工，每单位需3工时；如B继续加工，每 单位需1工时。每月最多能得到的原料M为10万 单位。问如何安排生产，使工厂获利最大？
23
管
理
运
筹
学
三、线性规划标准型及解的概念
• 线性规划的一般形式 max (min) z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
xj 0
x j ; j 1,2,...,n
c (c1 , c 2 , , c n )
( j 1,2, , n)
为待定的决策变量，
为价值向量， c j ; j 1, 2,...,n 为价值系数，
b ( b1 , b 2 ,...,b m ) 为右端向量，
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a mn a1n a 2n
线性规划理论与模型应用
授课人 葛金辉
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
运筹学教学日历
三、最大流问题
18
第页
教学日历
序次
日期
周次
节次
教学内容摘要
累计学时
作业或课后学习安排
10
10．6
6
5．6
3.3工程计划网络问题（关键路径法）
一、问题的提出
二、解法――关键路径法（CPM）
三、计划评审技术PERT四、网络优化
20
11
10．8
6
1、2
2.1动态规划的基本概念与方法
一、多阶段决策问题
二、在制品批量存贮模型
三、允许缺货生产时间极短的存贮模型
四、允许缺货生产需要一定时间的存贮模型
38
20
11．10
11
5、6
6.1排队论的基本概念
一、排队系统的组成二、排队模型的表示三、排队问题的求解
四、到达的规律五、服务规律
6.2 M/M/1排队模型
一、标准模型
二、系统容量有限的模型
三、顾客源有限的模型
1.5运输问题
一、一般提法二、运输问题的模型
三、运输问题的解法
12
7
9．22
4
5、6
1.6 ILP
一、ILP的求解
二、0－1规划模型与解法
14
8
9．24
4
1．2
3.1图的基本概念
一、图与子图二、关联与相邻
三、链与圈四、有向图与无向图
五、回路六、树
16
9
9．29
5
5、6
3.2网络分析
一、最小部分（支撑树）问题
5、6
7.2矩阵对策的混合策略和混合扩充
一、基本概念
二、性质
三、基本定理与LP解法
第一章 线性规划
常数项bi全为非负。变量xj值非负。
m axz c j x j
j 1
n
s.t.
aij x j bi i 1, , m j 1 x 0 j 1, , n j
n
一般形变成标准形的方法
1、目标函数：求极大值
两边乘以-1，最大变最小。
例
max z x1 2 x2 3x3 3x3 0 x4 0 x5
2 x x x x x 9 1 2 3 3 4 3x x 2 x 2 x x5 4 1 2 3 3 s.t. 3x1 2 x 2 3x3 3x3 6 x1 , x 2 , x3 , x3 , x 4 , x5 0
b
min z 3x1 5 x 2 x3 x1 2 x 2 x3 6 2 x x 3x 16 1 2 3 s.t. x1 x 2 5 x3 10 x1 , x 2 0, x3无约束
1-4线性规划问题的解
1、可行解 2、最优解
一般线性规划的数学模型 线性规划的标准形式 图解法 单纯形法
§ 1、一般线性规划问题的数学模型
1-1 数学模型
例1 用一块边长为a的正 方形铁皮做一个容器， 应如何裁剪，使做成 的容器的容积最大
x
a
v a 2x x，x 0, a 0
2
例2 常山机器厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两 种产品都要分别在A、B、C三种不同设备 上加工.按工艺资料规定，生产每件产品Ⅰ 需占用各设备分别为2h、4h、0h，生产 每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2h、0h、 5h.已知各设备计划期内用于生产这两种 产品的能力分别为12h、16h、15h，又知 每生产一件产品Ⅰ企业能获利2元利润， 每生产一件产品Ⅱ企业能获利3元，问该 企业应安排生产两种产品各多少件，使得 总利润计划期内的产量
线性规划问题的标准型
线性规划问题的标准型线性规划是运筹学中的一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划问题通常可以表示为标准型，即包含一组线性不等式约束条件和一个线性目标函数的数学模型。
首先，我们来定义线性规划问题的标准型。
一个线性规划问题的标准型可以表示为：\[\max_{x} c^Tx\]\[s.t. Ax \leq b\]\[x \geq 0\]其中，\(x\) 是一个 \(n\) 维向量，表示问题的决策变量；\(c\) 是一个 \(n\) 维向量，表示目标函数的系数；\(A\) 是一个 \(m \times n\) 的矩阵，表示约束条件的系数；\(b\) 是一个 \(m\) 维向量，表示约束条件的右端常数。
在这个模型中，我们的目标是找到一个 \(x\) 的取值，使得目标函数 \(c^Tx\) 的值最大，同时满足约束条件 \(Ax \leq b\) 和 \(x \geq 0\)。
接下来，我们来详细讨论线性规划问题的标准型中的各个要素。
首先是目标函数 \(c^Tx\)。
目标函数通常表示了我们希望最大化或最小化的目标。
在线性规划中，目标函数是一个线性函数，由决策变量\(x\) 的线性组合构成。
我们希望通过调整 \(x\) 的取值，使得目标函数的值达到最大或最小。
其次是约束条件 \(Ax \leq b\)。
约束条件表示了问题的限制条件，限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。
在标准型中，约束条件通常表示为一组线性不等式。
这些不等式可以用矩阵 \(A\) 和向量 \(b\) 来表示，它们限制了决策变量 \(x\) 的取值范围。
最后是非负约束 \(x \geq 0\)。
非负约束表示了决策变量 \(x\) 的取值必须大于等于零。
这个约束条件在很多实际问题中是合理的，因为很多决策变量都有非负的物理意义。
总结一下，线性规划问题的标准型包括一个线性目标函数和一组线性不等式约束条件，以及决策变量的非负约束条件。
线性规划标准型以及定义
(1) x0 0(此时b 0)或者
(2) x0 0, 但是x0所有非零变量xi对应的
列向量Pi线性无关.即, 若x10 0,K , xs0 0,
x0 s1
K
xn0
0,则P1,K
, Ps线性无关.
解的定义
证明: 必要性显然.
现证充分性.设x0是线性规划的基可行解,
若 x0 0, 显然.
max Z=34.2是唯一的。
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
min Z=5X1+4X2 x2
图解法
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
2
max Z min Z
x1+x2=4(≥)
2
4
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
6
x1
x2
50 40
30 20
10
例4 max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x1 x2 50 x1 0, x2 0
无可行解(即无最优解)
O
10
0
B6
2
1
B7
2
0 B8 6 1 B9 0 1
解的定义
2x1 x2 x3 x4 3 例： x1 x2 x3 x5 2
xi 0
数学规划及其应用1.1—1.3
单位。
部门1 部门2 部门3
部门1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.0109 0.1518 0.0038
部门2
0.1318 0.1822 0.0845
部门3
0.0550 0.0599 0.0647
资金占用量
2.0
2.5
1.8 700
劳动力消耗量 0.2
0.3
0.2 200
问： 三个部门总产值，最终产品产值各为多少时可 使国民经济的最终产品总值最大？
c1 c2 cn
a12
a22
am1 am2 c1 c2
xn Bn a1n a2n
amn cn
a 21x1 a22 x 2 a2n xn a2
am1 x1 am2 x2 amn xn am
a1 x j 0，j 1,2,, n
a2 am
线性规划1-1
例2：（下料问题）某车间有一批长度为500厘米的条材， 要截成长度分别为85厘米和70厘米的两种毛坯， 其中长85厘米的毛坯需要3000根，长70厘米的毛 坯需要5000根。
二.线性规划的数学模型： 例1：
minS c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a1 a21 x1 a22 x2 a2n xn a2 am1 x1 am2 x2 amn xn am x1 x2 xn 1
x j 0，j 1,2,, n
2A
3A
4A
次年末回收本利115%
B
√x3 B
第5年末回收本利125%，最大投资额不 超过40万元
C
√x2C
第5年末回收本利140%，最大投资额不 超过30万元
D
√x1D √ x2 D √x3 D √ x4D √ x5D 购买国债，当年归还，并加利息6%
第01-03章线性规划(1)
s.t.
x1+x2+x3≤7
x1-x2+x3≥2
-3x1+x2+2x3＝5
x1，x2≥0
24
(3)
Min z = -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0 解：首先，将目标函数转换成极大化： 令 z’ = -z = 3x1–5x2–8x3+7x4 ； 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变 量x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 ， x2”≥0 ； 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两 端乘以-1 。 25
矩阵，一般有0<m<n
A=[aij]m×n i=1,2,..,m;j=1,2,…,n是约束条件方程的系数
X=(x1,x2,…,xn)T b= (b1,b2,…,bn)T
17
二、标准形式
1.标准型的描写形式
繁写形式
Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ，x2 ，… ，xn
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运 筹 学
–
第一章.线性规划
简写为
max Z c j x j
j 1
n
aij x j bi j 1 x 0 j
n
i 1,2,...m j 1,2,...,n
运 筹 学 – 用向量表示
max Z CX n Pj x j b i 1 x 0 j 1,2,...n j 其中： x1 x 2 X ... xn
I 1 4 0 2
II 2 0 4 3
资源限量 8 台时 16kg 12kg
运 筹 学
第一章.线性规划
如何安排生产 使利润最大
？
产品 2
产品 I
第一章.线性规划 运 筹 学问题中要确定的未知量，表
•基本பைடு நூலகம்念
决策变量（Decision variables） 目标函数（Objective function它是决策变量的函数 ） 约束条件（Constraint conditions） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 最优解（Optimal solution) ，通常表达为含决策变
运 筹 学
第一章.线性规划
§1.1 线性规划的数学模型 及其标准形式
Linear Programming
线性规划问题的实例 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
运 筹 学
第一章.线性规划
•问题的提出
• 例1: 生产计划问题
设备 原材料 A 原材料 B 利润
运 筹 学
第一章.线性规划
第2步 --定义目标函数
Max Z =
x1 +
x2
运 筹 学
第一章.线性规划
第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
运 筹 学
第一章.线性规划
第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1、 x2 0
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
运 筹 学 • 第1步 -确定决策变量
•设 X1——I的产量 X2——II的产量 Z——利润
第一章.线性规划
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
3x1 x2 2( x4 x5 ) x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0
3 x1 x2 2 x3 7
x3 x1 , x2 0, x3无约束 x4 x5
运 筹 学
解 ：标准形为
第一章.线性规划
max x1 x1
z x1 2 x2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7 x2 ( x4 x5 ) x6 x2 ( x4 x5 ) 7 x7 2 7
线性规划模型的一般形式
目标函数最大 线性规划问题的标准形式 • 标准形式为: 约束条件等式 决策变量非负
运 筹 学
第一章.线性规划
Max Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......... .......... .......... .. .......... a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x2 ,..., xn 0 b1 , b2 ,... m 0 b
一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量 例： max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5
8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
第一章.线性规划
C (c1 , c 2 , ) a1 j a2 j Pj ... amj b1 b 2 b ... bm
运 筹 学
– 用矩阵表示 Z CX max
第一章.线性规划 C—价值向量向量 X—决策变量向量 b—资源
x2
运 筹 学
车)
第一章.线性规划
•例2. 生产策略问题,(I为大轿车,II为载重汽
劳动力 材料 A 原材料 B 利润
I 5 2 1 4
II 2.5 2 0 3
资源限量 2500 1600 400
•问:如何安排生产才能获得最大?
运 筹 学
第一章.线性规划
该计划的数学模型
目标函数 Max Z = 4x1 + 3x2
运 筹 学
第一章.线性规划
一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量
例： 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
运 筹 学
第一章.线性规划
约束条件 5x1 + 2.5x2 2500 2x1 + 2x2 1600 x1 400 x1、 x2 0
运 筹 学
第一章.线性规划
线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案. • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的.求目标函数最大化 或最小化
运 筹 学
第一章.线性规划
运 筹 学
第一章.线性规划
• “” 约束： 减去非负剩余变量； • xk 可正可负（即无约束）； ' " ' " 令 xk xk Maxxk , xk 0 x6 xk
例 ： m in z x 2 x 3 x 1 2 3
x1 x1
x2 x3 7 x 7 x2 x3 2
max Z CX AX b AX b X X 0 0
0 0 aa a11 ..... 1n11 .....a1n 0 0 .... ( P , P ,...,P .......... .......... ( P , P2 ,...,P ) ) 0 3 A .... 1 0 ... 1 2 n a ...... mn ... a m1 0 a ......a mn m1 0 资源向量 C - 价值向量 - 决策变量向量 X
设备 原材料 A 原材料 B 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
运 筹 学
第一章.线性规划
该计划的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1