2013-数一真题大全及答案

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2013考研数一真题及解析

【答案】1 − 1 e
【解析】
f
(y)
=
e− y， y > 0， 0， y ≤ 0，
{ { { ∫∫ P
Y
≤ a +1Y
> a} =
P
Y
> P
a,Y Y>
≤a
a}
+
1}
=
a +1
a +∞
f ( y)dy f ( y)dy
=
e−a
− e−(a+1) e−a
=1− 1 e
a
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证
1
f (x)d
0x
0
x = 2 f (x)
x
1 0
−2
1 0
x f ′(x)dx
= 2 f (1) − 2∫1 ln(x +1) xdx = −2∫1 ln(x +1) dx = −4∫1ln(x +1)d x
0x
0x
0
∫ ∫
= −4 ln(x +1)
x
1 0
−
1
x
dx = −4 ln 2 + 4
【答案】A
【解析】曲面在点 (0,1,-1) 处的法向量为
→
n =(Fx′,Fy′,Fz′) (0,1,-1) =(2x-y sin (xy)+1,-x sin (xy)+z,y) (0,1,-1) =(1,-1,1) 故曲面在点 (0,1,-1) 处的切面方程为 1⋅ (x-0)-(y-1)+(z+1)=0, 即 x − y + z = −2 ，选 A

2013考研数学一数学二数学三(真题及答案)完美打印word版

2013考研数学（一、二、三）真题及答案解析第一部分：数一真题及答案解析1.已知极限arctan limkx x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案:D解析：用洛必达法则221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x cx kx kx x k x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案:A 解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（）A .34 B. 14 C. 14- D. 34-答案:C解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。

91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。

2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC AB OC OB OA -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516题图第13第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)第14题图三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ；（Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥；（III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．AB CDEF已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③三．解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分（Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分 21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BGABCDEF G∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立． …………………………………………8分设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222mn n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)- 11 - / 11 由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ，化简得22221=-x x …………………………………………8分联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12，得0821682=-+-k kx x ∴k x 8221=+① …………………………………………10分联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y 得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k ∴22241821622kk k x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kk k k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k k k ∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。

2013年考研数学一真题及参考答案整理

2013硕士研究生入学考试数学一一、选择题:1—8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题．．纸．指定位置上. 1.已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==- B.12,2k c == C.13,3k c ==- D.13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（） A.2x y z -+=- B.0x y z ++= C.23x y z -+=- D.0x y z --=3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （）A.34B.14C.14-D.34- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234m a x ,,,I I I I =A.1IB.2IC.3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（）A.0,2a b ==B.0,a b =为任意常数C.2,0a b ==D.2,a b =为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（） A.123P P P >> B.213P P P >> C.322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量~()X t n ，~(1,)Y F n ，给定α,(00.5)α<<,常数C 满足{}2P X c >=，则{}2P Y c >=(A) α (B) 1-α (C) 2α (D)1-2α二、填空题：9—14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y)确定，则01lim [()1]n n f n→-＝。

2013-15年考研数学一、二、三答案

2013年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．已知c xxx k x =-→arctan lim0，则下列正确的是（A ）21,2-==c k （B ）21,2==c k（C ）31,3-==c k （D ）31,3==c k【分析】这是0型未定式，使用洛必达则即可．或者熟记常见无穷小的马克劳林公式则可快速解答．【详解1】c kx x kx x x x x x k x k x kx ==+=--→-→→12012200lim 1lim arctan lim ，所以k ，c k 121==-，即31,3==c k ．【详解2】因为)(31arctan 33x o x x x +-=，显然331arctan x x x =-，当然有31,3==c k ．应该选（Ｄ） 2．曲面0)cos(2=+++x yz xy x 在点)1,1,0(-的切平面方程为（A ）2-=+-z y x （B ）0=++z y x （C ）32-=+-z y x （D ）0=--z y x【分析】此题考查的是空间曲面在点),,(000z y x M 处的法向量及切平面的方程．其中法向量为()),,(000|,,z y x z y x F F F =．【详解】设x yz xy x z y x F +++=)cos(),,(2，则在点点)1,1,0(-处())1,1,1(|,,000,,(-==z y x z y x F F F ，从而切平面方程为0)1()1()0(=++---z y x ，即2-=+-z y x ．应该选（Ａ）３．设21)(-=x x f ，),2,1(d sin )(210 ==⎰n x x n x f b n π，令∑∞==1sin )(n n x n b x S π，则=⎪⎭⎫⎝⎛-49S（Ａ）43 （Ｂ）41 （Ｃ）41- （Ｄ）43【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性．【详解】由条件可知，∑∞=1sin n n x n b π为21)(-=x x f 的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知∑∞==1sin )(n nx n b x S π也是周期为２的奇函数，故41414141)49(-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-f S S S ，应选（Ｃ）．４．设1:221=+y x L ，2:222=+y x L ，22:223=+y x L ，22:224=+y x L 为四条逆时针方向的平面曲线，记)4,3,2,1(32633=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰i dy x x dx y y I i L i ，则{}=4321,,,max I I I I （Ａ）1I （Ｂ）2I （Ｃ）3I （Ｄ）4I 【分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算．【详解】由格林公式，⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=i i i D i D L i dxdy y x D S dxdy y x dy x x dx y y I 2)(21326222233． .8343)(43)2(403202222222222R dr r d dxdy y x dxdy y x R R y x R y x πθπ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+ 所以πππ85831=-=I ，248322πππ=⋅-=I ；在椭圆D ：12222≤+by a x 上，二重积分最好使用广义极坐标计算：πθθθθθθθπππ4)2(cos 4)2(sin 2cos 4sin 21cos )2(222022220222210222222201222222b a ab d ba ab b a ab abrdrr b r a d dxdy y x b y ax +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+故ππ82523-=I ，πππ222224=-=I ．显然π224=I 最大．故应选（Ｄ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设函数)(x f y =由方程)1(y x e x y -=-确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→11lim n f n n ．【详解】当0=x 时，1)0(==f y ，利用隐函数求导法则知1)0('=f ．1)0('1)0(1lim 11lim ==-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ． 10．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．11．设⎩⎨⎧+==t t t y t x cos sin sin t 为参数，则==422|πt dx y d ．【详解】t dx dy tdt t dy tdt dx ===,cos ,cos ，t t dxy d sec cos 122==，所以2|422==πt dx yd ．12．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 三、解答题15．（本题满分10分）计算⎰10)(dx xx f ，其中⎰+=x dt t t x f 1)1ln()(．【分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法．【详解】π282ln 414|)1ln(4)1ln(4)1ln(2|)(2)(2)(1010110101010-+-=+++-=+-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx xxx x x d x dx x x x x f x x d x f dx xx f16．（本题满分10分）设数列{}n a 满足条件：)2(0)1(,1,3110≥=--==-n a n n a a a n n ，)(x S 是幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数．（1）证明：0)()(=-''x S x S ；（2）求)(x S 的表达式．【详解】（1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，;)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a x a x S∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=-∞=∞=++=+==+==1110111100)1()1()'()'()('n n n n nn n n n n nn n nn x a n a x a n xna x a a x a x S ；∑∑∑∞=+∞=-+∞=+++=+=++=''02111111)2)(1()1()')1(()('n n n n n n n nn x a n n xa n n x a n a x S ，由条件可得n n a a n n =+++2)2)(1(，所以)()2)(1()('02x S x a x a n n x S n nn n nn ==++=''∑∑∞=∞=+，也就有0)()(=-''x S x S ．（2）解：由于,)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a xa x S 所以3)0(0==a S∑∞=+++=111)1()('n n n x a n a x S ，所以1)0('1==a S ，解微分方程1)0(',3)0(,0)()(===-''S S x S x S ，可得x x e e x S 2)(+=-． 17．（本题满分10分）求函数yx e x y y x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3),(3的极值．18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ，令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ，由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）设直线L 过,)0,0,1(A )1,1,0(B 两点，过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，曲面∑与平面2,0==z z 所围成的立体为Ω．（1）求曲面∑的方程；（2）求立体Ω的质心坐标．【详解】（1）直线L 的对称式方程为1111zy x ==--，设),,(z y x M 为曲面∑上的任意一点，并且其对应于直线L 上的点为),,(0000z y x M ，由于过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，所以有如下式子成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+=+=11110002202200z y x y x y x z z ，整理可得，122222+-=+z z y x ，这就是曲面∑的方程．（2）设Ω的质心坐标为()z y x ,,，由对称性，显然0,0==y x ，57310314)122()22(2220231222012220222222==+-+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-≤++-≤+ΩΩππππdz z z dz z z z dxdy zdzdxdy dzdvzdv z z z y x z z y x ，所以Ω的质心坐标为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=57,0,0,,z y x ．2013年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小（D ）与x 等价无穷小【详解】显然当0→x 时)(~21~)(sin ,21~)(sin 1cos 2x x x x x x x ααα--=-，故应该选（C ）． 2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n （）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．【详解】将0=x 代入方程得1)0(==f y ，在方程两边求导，得01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ．2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）．３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（）（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点．（Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点．（Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导．（Ｄ）)(x F 在π=x 可导．【详解】只要注意π=x 是函数)(x f 的跳跃间断点，则应该是⎰=x dt t f x F 0)()(连续点，但不可导．应选（Ｃ）．４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α 【详解】⎰⎰⎰∞++-∞++-=e e dx xx x dx dx x f 1111ln 1)1()(αα，其中⎰⎰---=-10111)1(e e t dt x dxαα当且仅当11<-α时才收敛；而第二个反常积分x x dx xx x eαξαααln lim 11|ln 1ln 111+∞→∞+-∞++-=-=⎰，当且仅当0>a 才收敛．从而仅当20<<α时，反常积分()dx x f ⎰∞+才收敛，故应选（Ｄ）．５．设函数()xy f x y z =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂yz x z y x （）（A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 【详解】)('2)(')(1)(')(22xy yf xy yf xy f xxy f x y xy f x y y x y z x z y x =++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂+∂∂．应该选（A ）． 6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． =⎪⎭⎫⎝⎛+-→xx x x 10)1ln(2lim ．【详解】21)(21(lim)1ln(lim 101022202)1ln(1lim )1ln(2lim e eex x x x x x x o x x x xx x xx xx x x ===⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+-→→→→．10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx．【详解】由反函数的求导法则可知11011|1|--==-==e dxdy dy dx x y ．11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为．【详解】12cos 313cos 2121202662662πθθθπππππ====⎰⎰⎰--dt t d d r A所以．答案为12π．12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为．【详解】当1=t 时，2ln 21,4==y x π，1|111|'1221=++===t t t t ty ，所以法线方程为 )4(12ln 21π--=-x y ，也就是042ln 21=--+πx y ．13．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．把初始条件代入可得1,121-==C C ，所以答案为x x x xe e e y 23--= 三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ．17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ，令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ，由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法．【详解】构造函数)1(),(3322-+-++=y xy x y x y x L λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-+=∂∂=-+=∂∂10)3(20)3(23322y xy x x y y y Ly x x x L λλ，得唯一驻点1,1==y x ，即)1,1(1M ．考虑边界上的点，)0,1(),1,0(32M M ；距离函数22),(y x y x f +=在三点的取值分别为1)0,1(,1)1,0(,2)1,1(===f f f ，所以最长距离为2，最短距离为1．20．（本题满分11）设函数xx x f 1ln )(+=⑴求)(x f 的最小值；⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．【详解】（1）22111)('xx x x x f -=-=，令0)('=x f ，得唯驻点1=x ，当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，函数单调递减；当),1(∞∈x 时，0)('>x f ，函数单调递增．所以函数在1=x 处取得最小值1)1(=f ．（2）证明：由于11ln 1<++n n x x ，但11ln ≥+nn x x ，所以n n x x 111<+，故数列{}n x 单调递增．又由于11ln ln 1<+≤+n n n x x x ，得到e x n <<0，数列{}n x 有界．由单调有界收敛定理可知极限n n x ∞→lim 存在．令a x n n =∞→lim ，则11ln 1ln lim 1≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→a a x x n n n ，由（1）的结论可知1lim ==∞→a x n n ．21．（本题满分11）设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=．（1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标．【详解】（1）曲线的弧微分为dx xx dx x x dx y dx )1(211411'12+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=，所以弧长为41)1(2121+=+==⎰⎰e dx x x ds s e ．（2）设形心坐标为()y x ,，则)7(4)32(31271632324324ln 214101ln 21410122---=---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--e e e e e e dy dx dy xdx dxdy xdxdyx x x x x eD D．2013年考研数学三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）． 2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）．４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（）（A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ．【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz．【详解】设()xy y z z y x F x-+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为．【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式．【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值．【详解】由微元法可知πππ35032253a dx x dx y V a a x ===⎰⎰；πππ370340762)(2a dx x dx x xf V a a y ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰D dxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx x x D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P ．【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ，边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ．【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ，又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理，存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．2014年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的．显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）３．设)(x f 是连续函数，则=⎰⎰---y y dy y x f dy 11102),(（Ａ）⎰⎰⎰⎰---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(（Ｂ）⎰⎰⎰⎰----+010111012x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),((Ｃ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d（Ｄ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图．【详解】积分区域如图所示如果换成直角坐标则应该是⎰⎰⎰⎰---+xx dy y x f dx dy y x f dx 10101012),(),(，（A ），（B ）两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d ．应该选（D ）４．若函数{}⎰⎰-∈---=--ππππdx x b x a x dx x b x a x Rb a 2211)sin cos (min)sin cos (,，则=+x b x a s in c o s 11（Ａ）x sin 2 （Ｂ）x cos 2 （Ｃ）x sin π2 （Ｄ）x cos π2 【详解】注意3232πππ=⎰-dx x ，222πππππ==⎰⎰--dx x dx x sin cos ，0==⎰⎰--dx x x dx x x ππππsin cos cos ， πππ2=⎰-dx x x sin ，所以b b a dx x b x a x πππππ42322232-++=--⎰-)()sin cos ( 所以就相当于求函数b b a 422-+的极小值点，显然可知当20==b a ,时取得最小值，所以应该选（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为．【详解】曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的法向量为()),,(|,,),,(1121101--=-y x z z ，所以切平面方程为0110112=--+--+-))(())(()(z y x ，即012=---z y x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为．【详解】方程的标准形式为x y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设xyu =，得到通解为1+=Cx xe y ，将初始条件31e y =)(代入可得特解为12+=x xey ．12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx ．【详解】由斯托克斯公式⎰⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂=++RQ P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 可知π===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑xyD Ldxdy dxdy dzdx dydz ydz zdx ．其中⎩⎨⎧≤+=+∑1022y x z y :取上侧，{}122≤+=y x y x D xy |),(．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程06223=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值．【详解】解：在方程两边同时对x 求导一次，得到0223222=++++)(')(xy y y x xy y ，（１）即222232xxy y xyy dx dy ++--=, 令0=dx dy 及06223=+++y x xy y ，得到函数唯一驻点21-==y x ,．在（１）式两边同时对x 求导一次，得到（022*******=+++++++y y x xy y y x xy y yy ")(')''(把0121=-==)(',,y y x 代入，得到0941>=)("y ，所以函数)(x f y =在1=x 处取得极小值2-=y ． 17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； xx x e y e f e u f yz x z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知 u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u ue C eC u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C e C u f u u 412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,．所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分）设曲面)(:122≤+=∑z y x z 的上侧，计算曲面积分：dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑【详解】设⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧，记由1∑∑,所围立体为Ω，则高斯公式可得 123322222221120(1)(1)(1)(3(1)3(1)1)(33766)(337)(37)4rx dydz y dzdx z dxdy x y dxdydzx y x y dxdydz x y dxdydzd rdr r dz πθπ∑+∑ΩΩΩ-+-+-=--+-+=-++--=-++=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧上，0111111133=-=-+-+-⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dxdy z dzdx y dydz x )()()()(，所以dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑=π4111133-=-+-+-⎰⎰∑+∑dxdy z dzdx y dydz x )()()( 19．（本题满分10分）设数列{}{}n n b a ,满足2020ππ<<<<n n b a ,，n n n b a a cos cos =-且级数∑∞=1n nb收敛．（1）证明0=∞→n n a lim ；证明级数∑∞=1n nnb a 收敛．【详解】（1）证明：由n n n b a a cos cos =-，及2020ππ<<<<n n b a ,可得20π<-=<n n n b a a cos cos ，所以20π<<<n n b a ，由于级数∑∞=1n nb收敛，所以级数∑∞=1n na也收敛，由收敛的必要条件可得0=∞→n n a lim ．（2）证明：由于2020ππ<<<<n n b a ,，所以2222nn n n n n n n a b a b b a b a -≤-+≤+sin ,sin2sinsin cos cos 22n n n n n n nn nn a b b aa ab b b b +--==222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<=由于级数∑∞=1n n b 收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数∑∞=1n nnb a 收敛． 2014年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 2．下列曲线有渐近线的是（）（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21（Ｄ）316．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂yx u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（2） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的．显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为．【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为．【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S 11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ．【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax ．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022．【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e edy y e dy x ex d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx xy x x y y x y y x三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D Ddr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂由条件x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,．所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分）求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-．令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（3） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；。

2013年考研数学一真题及答案解析

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1. 已知极限0arctan lim kx x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A. 12,2k c ==-B. 12,2k c == C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则222112111arctan 1111limlimlimlim(1)kk k k x x x x x xx x x cxkxkxx kx---→→→→--+-+====+因此112,k ck-==，即13,3kc ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1()2f x x =-，12()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n nn S x b n x π∞==∑，则（）A .34B.14C. 14-D. 34-答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。

91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。

4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L yxI y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234ma x ,,,I I I I =A. 1IB. 2IC. 3I D 4I 答案（D ）解析：由格林公式，22(1)2iiD yI xdxdy=--⎰⎰ 14D D ⊂,在4D 内22102yx -->，因此14I I <24242222222\(1)(1)(1)222D D D D yyyI xdxdy xdxdy x dxdy=--=--+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰在4D 外22102yx--<，所以24I I <32cos 2222223[0,1][0,2]2121/2/22323221(1)(12cos sin )22111122cos sin 224cos sin 24241!!111!!22442!!2422!!2x r y D r yI xdxdy r r rdrd d r dr d r dr d d θθθπππππθθθπθθθπθθθθπππ∈∈=--=--=--=-⋅⋅-⋅=-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11124288ππππ=--=3cos 22sin 222224[0,1][0,2]2121/2/2232322(1)(1cos sin )2112cos sin 24cos sin 441!!11!!1324422!!242!!24442x r y r D r yI xdxdy r r rdrd d r dr d r dr d d θθθπππππθθθπθθθπθθθθπππππππ∈∈=----=--=-⋅-⋅=-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰34I I <5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 6.矩阵1111a ab a a⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（） A. 0,2a b == B. 0,a b = 为任意常数 C. 2,0a b == D. 2,a b = 为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}122(1,2,3)i P P X i =-≤≤=，则（）A. 123P P P >>B. 213P P P >>C. 322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则{}2P Y c>=( )（9）设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定，则01lim [()1]n n f n→-＝。

2013年考研数学一真题及答案全集解析

2013考研数学一真题及答案解析目录第一章总论............................................................. 错误!未定义书签。

1.1项目提要........................................................... 错误!未定义书签。

1.2结论与建议....................................................... 错误!未定义书签。

1.3编制依据 .......................................................... 错误!未定义书签。

第二章项目建设背景与必要性............................. 错误!未定义书签。

2.1项目背景........................................................... 错误!未定义书签。

2.2项目建设必要性 .............................................. 错误!未定义书签。

第三章市场与需求预测......................................... 错误!未定义书签。

3.1优质粮食供求形势分析 .................................. 错误!未定义书签。

3.2本区域市场需求预测 ...................................... 错误!未定义书签。

3.3服务功能 .......................................................... 错误!未定义书签。

3.4市场竞争力和市场风险预测与对策.............. 错误!未定义书签。

2013年考研数学一真题及答案

2013年考研数学一真题及答案2013年的考研数学一科目是众多考生备战考研的重要内容之一。

下面将为大家详细解析该年度的数学一真题，并提供对应的答案，帮助考生更好地复习和备考。

一、选择题1. 设函数f(x)=x^2-3，g(x)=2x+1，若f(g(x))=0，则函数g(f(x))的根是：答案：x=-2，32. 已知整数n，下列命题中正确的是：A. 若n为奇数，则n(n+1)(n+2)为偶数；B. 若n为奇数，则n^2+n为偶数；C. 若n^2+n为偶数，则n为奇数；D. 若n(n+1)(n+2)为偶数，则n为奇数。

答案：B3. 已知复数z满足|z-1+i|=2，则z可能的值为：答案：z=3, -1-i4. 设等差数列{a_n}的公差不为0，若lim(n→∞)(a_n+a_{n+1})=2，则lim(n→∞)a_n的值是：答案：15. 设函数f(x)=x^3-3x+p，若f(x)在区间[-2,2]上有且仅有一个零点，则p的值为：答案：-4二、填空题1. 已知向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，则|a+b|的值为：答案：√992. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)={k(x^2-x+1), 0<a≤x≤b; 0, 其他}，则k的值为：答案：1/(b^2-b-a^2+a)3. 设y=f(x)是定义在R上的奇函数，若f(e^3)=2，则f(ln2)的值为：答案：-24. 设f(x)是定义在[-1,1]上的连续函数，且f(0)=0，当x≠0时，|f(x)|≤x^2，则f(x)的最大值是：答案：15. 设f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n，若f(1)=f'(1)=f''(1)=0，则f(0)的值为：答案：0三、解答题1. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^{n+1}/n，试求其前n项和S_n。

解答：数列{a_n}的前n项和可以表示为S_n=∑_{k=1}^n a_k，代入通项公式，得到S_n=∑_{k=1}^n (-1)^(k+1)/k。

2013年考研数学一真题解答

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1. 已知极限0arctan lim k x x xc x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（）A. 12,2k c ==-B. 12,2k c ==C. 13,3k c ==-D. 13,3k c ==答案（D ）2221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x c k x kx kx x x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ）法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （） A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 答案（C ）01():(cos sin )2n n n a n n l f x a x b x l l ππ=++∑周期为2的函数对应的三角级数将函数在[0,1]展开成傅里叶级数（只含正弦项），做两次延拓函数后：它的傅里叶级数的和函数()s x 以2为周期的奇函数则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。

91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。

13年数学一真题及答案

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析1. 已知极限0arctan lim k x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则2221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x c x kx kx x k x ---→→→→--+-+====+ 因此112,k c k -==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=-切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（） A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。

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2013考研数一真题及解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）已知极限0arctan limkx x xc x→-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（）（A ）12,2k c ==- （B ）12,2k c == C ）13,3k c ==- （D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（）（A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4S -=（）（A ）34 （B ）14 （C ）14- （D ）34-（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++-=⎰Ñ，则= ( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（）（A ）α （B ）1α- （C ）2α （D ）12α-二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim (()1)n n f n→∞-= ． (10)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d ydx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰ ．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。

数1--13真题答案

2013年考研数学(一)试题答案速查一、选择题（1）D （2）A （3）C （4）D （5）B （6）B （7）A （8）C 二、填空题（9）1 （10）3212e e e x x x C C x +− （11）2 （12）2ln （13）1− （14）11e− 三、解答题（15）4ln282π−+−. （16）（Ⅰ）略.（Ⅱ）()e2e xx S x −=+.（17）有极小值134(1,)e 3f −−=−.（18）略.（19）（Ⅰ）2222(1)x y z z +=−+.（Ⅱ）)57,0,0(. （20）当0,1=−=b a 时,121121k k k k k ⎛++−⎫= ⎪⎭⎝C ,其中21,k k 为任意常数.（21）略.（22）（Ⅰ）30,1,18(),12,271,2;Y y y F y y y <⎧⎪+⎪= <⎨⎪⎪⎩（Ⅱ）278. (23) （Ⅰ）11ni i X n θ==∑.（Ⅱ）121ni inX θ==∑.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】D ．【解答】因为31arctan 3x xx −，所以300arctan 3lim lim 0k k x x x x x c xx →→−==≠，则有 31,3==c k ，故选择答案D ．（2）【答案】A ．【解答】令2(,,)cos()F x y z x xy yz x =+++，则2sin 1,sin ,x y z F x y xy F x xy z F y '''=−+=−+=，所以，(0,1,1)1,(0,1,1)1,(0,1,1)1x y z F F F '''−=−=−−=.故，曲面在点(0,1,1)−处的切平面方程为1(0)1(1)1(1)0x y z ⋅−−⋅−+⋅+=，化简可得2−=+−z y x ，故选答案A ．（3）【答案】C ．【解答】由题目条件可知，函数()S x 是周期为2的奇函数，所以911()()()444S S S −=−=−．因此对函数21)(−=x x f 作周期为2的奇延拓，再由狄利克雷收敛定理可知，()(),(01)S x f x x =<≤，则9111()()()4444S S f −=−=−=−，故选择答案C ．（4）【答案】D ．【解答】因为222,12Q P y x x y ∂∂=−=+∂∂,所以2212Q P y x x y ∂∂−=−−∂∂，利用格林公式有, 3322()d (2)d d d 1d d 632i i i i L D D y x Q P y I y x x y x y x x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂=++−=−=−− ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 在各自围成的区域内,利用极坐标把二重积分化为累次积分，得，12222π1222100cos sin 5π1d d d 1cos d 2sin 28D y x r r I x x yr r r y r θθθθθ⎛⎫⎛⎫==−−−−= ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰．22222π22220cos sin 11d d d 1cos d π2sin 22D y x r r I x x yr r r y r θθθθθ⎛⎫⎫==−−−−= ⎪⎪=⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．32222π1222300sin 1d d d 12cos d π228D y r I x x r r θθθ⎛⎫⎛=−−−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎰⎰⎰⎰(422π1222224001d d d 1cos sin d π22D y I x x r r r θθθ⎛⎫=−−−−=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰故应选D ．（5）【答案】B ．【解答】对矩阵A,C 分别按列分块,不妨设12123(,),(,)n ==A αααC γγγ,1111n n nn b b b b ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭B ．可见矩阵C 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表出. 再B 可逆可得1−=CB A ，同理有矩阵A 的列向量组可由矩阵C 的列向量组线性表出,即二者等价,故选答案B ．（6）【答案】B ．【解答】不妨设11200,0011000a a b a b a ⎫⎛⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝A B .因为211[(2)()2]11aa b a b a a λλλλλλλ−−−⎫⎛⎪ −=−−−=−−−⎪ ⎪−−−⎝⎭E A ，所以，当0a =时，矩阵A 的特征值分别为2,,0b ,且b 可为任意常数. 显然可得矩阵B 的特征值分别为2,,0b ,故选答案B . （7）【答案】A .【解答】由题目条件,因为1~(0,1)X N ,所以{}1122(2)(2)2(2)1P P X =−=Φ−Φ−=Φ−. 因为，22~(0,2)X N ,23~(5,3)X N , 所以，{}22202211(1)(1)2(1)12X P P X P −⎫⎧=−=−=Φ−Φ−=Φ−⎨⎬⎩⎭. {}333577221(1)()333X P P X P −⎫⎧=−=−−=Φ−−Φ−⎨⎬⎩⎭.通过数值比较可知321P P P >>,故选答案A . （8）【答案】C ．【解答】因为，~(),~(1,)X t n Y F n ，所以，2Y X =，}{}{222(}{}P Y c P X c P X c P X c >=>=>+<−.又X 的密度函数为偶函数,}{P X c α>=,所以{}P X c α<−=. 所以，}{22P Y cα>=,故答案可选C ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】1.【解答】对于方程(1)ex y y x −−=,利用隐函数求导法则得(1)(1)1(1)e e 1x y x y y y x −−+−'=+. 当0x =,得1y =,进一步得(0)1y '=.所以011()1lim ()1lim (0)1n x x f x n n f f nx→∞→=−⎡⎤'−==⎢⎥⎣⎦. （10）【答案】3212e e e xxxy C C x =+−.【解答】因为3222123e e ,e e ,e xxxxxy x y x y x =−=−=−，所以31323e ,e x xy y y y −=−= 为对应的齐次方程的解.再由解得结构,因为二者线性无关,所以齐次方程的通解312e e x x y C C =+,故可知通解的形式.（11）【解答】利用参数方程求导法则,d d cos d d d cos d yy t t t t x x tt===, π42π24d d d d d d 1d d d d d cos d t t y y x y x t x x x t t==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭====（12）【答案】ln 2.【解答】21111ln 1ln 1d ln d d (1)11(1)x x x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞⎡⎤⎛⎫=−=−−⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 1lnln 21xx +∞==+. （13）【答案】1−.【解答】因为0ij ij a A +=，所以*T=−A A .再由*=AA A E ,得T−=AA A E ，有23−=A A .由于矩阵为三阶非零矩阵,所以ij A 不全为0.不妨设110a ≠,而2221112130a a a =−−−≠A ,所以1=−A .（14）【答案】11e −−. 【解答】}{{1}(1)()1{}1()P a Y a F a F a P Ya Y a P Y a F a <<++−+>==>−. 因为Y 服从参数为1的指数分布,所以()1eyF y −=−,所以}{11e e 11e ea a aP Y a Y a −−−−−−+>==−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：因为1ln(1)()dxt f x t t+=⎰,所以ln(1)(),(1)0x f x f x +'==.从而 1110002()'()d2xx x xx ⎤=−=−⎥⎦⎰⎰⎰110011)d ]4ln 24d 011x x x x x =−+−=−+++⎰⎰ 令u =则112001πd 2d 2(arctan )20112u x u u u u x u =⋅=−=−++⎰⎰,所以14ln 282πx =−+−⎰.（16）（本题满分10分）（Ⅰ）证明：因为0()nn n S x a x∞==∑，所以1212(),()(1)n n nn n n S x na xS x n n a x ∞∞−−=='''==−∑∑.因为2(1)0n n a n n a −−−=，所以22222()(1)()n n n n n n n n n S x n n a xa xa x S x ∞∞∞−−−===''=−===∑∑∑.（Ⅱ）解：齐次微分方程0)()(=−''x S x S 的特征方程为012=−λ,特征根121,1λλ=−=, 所以,通解为12()e e xx S x C C −=+.又0(0)3a S ==,1(0)1a S '==,所以212,1C C ==,所以()e2e xx S x −=+.（17）（本题满分10分）解：因为3(,)()e 3x yx f x y y +=+,所以323()e 03(1)e 03x y x x y y x f x y x f y ++⎧'=++=⎪⎪⎨⎪'=++=⎪⎩，解得)34,1(−,)32,1(−−. 因为，32(22)e 3x y xxx f x x y +''=+++,32(1)e 3x y xy x f x y +''=+++,3(2)e 3x y yy x f y +''=++. 所以，对于点)34,1(−,11123333e 0,e ,e ,0A B C AC B −−−=>==−>,故)34,1(−为极小值点,极小值为134(1,)e 3f −−=−；对于点)32,1(−−,5552333e 0,e ,e ,0A B C AC B −−−=−<==−<,故)32,1(−−不是极值点.（18）（本题满分10分）证：（Ⅰ）因为()f x 在[]1,1−上的奇函数,所以(0)0f =.令()(),F x f x x =− 因为()f x 在[]1,1−上具有2阶导数,所以()F x 可导.因为(0)00,(1)1f f ===, 所以(0)(1)0F F ==.根据罗尔定理存在)1,0(∈ξ,使得0)(='ξF ,即1)(='ξf .（Ⅱ）令)1)(()(−'=x f e x G x.因为)(x f 为奇函数,故)(x f '为偶函数,所以()()1f f ξξ''=−=且'()'()0G G ξξ=−=.由罗尔定理存在)1,1(),(−⊂−∈ξξη,使得,0)(='ηG 即1)()(='+''ηηf f .（19）（本题满分10分）解：（Ⅰ）直线L 过B A ,两点,所以直线方程为100111x y z −−−==−,其对应的参数方程为 1,,,x t y t z t =+⎧⎪=−⎨⎪=−⎩（t 为参数）. 设(,,)x y z 是曲面∑上的任一点,则其绕z 轴旋转一周的曲面∑的方程为,2222(1)x y z z +=−+.（Ⅱ）设Ω的形心坐标为(,,)x y z ,根据对称性得0x y ==. 因为2d d d d d d zD x y z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰,2d d d d d d zD z x y z z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中222{(,)|221}z D x Y x yz z =+−+,所以()2210πd d d π221d 3x y z z z z Ω=−+=⎰⎰⎰⎰,()22014πd d d π221d 3z x y z z z z z Ω=−+=⎰⎰⎰⎰,由形心坐标计算公式得 d d d 75d d d z x y zz x y zΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以形心坐标为)57,0,0(.（20）(本题满分11分) 解：由题意可设1234x x x x ⎛⎫=⎪⎭⎝C ,则−=AC CA B 成立的充要条件是方程组 23124134230,1,1,,x ax ax x ax x x x x ax b −+=⎧⎪−++=⎪⎨−−=⎪⎪−=⎩ ①有解. 对①的增广矩阵利用初等变换得010010111101010010111000010100000a a a a a a bb −−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−− ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪−−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭. 当1a ≠−或0b ≠时,线性方程组①无解. 当0,1=−=b a 时,线性方程组①有解,10111101110100011000000100000000000000a ab −−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪− ⎪⎪→⎪⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，通解为1122131421,,,,x k k x k x k x k =++⎧⎪=−⎪⎨=⎪⎪=⎩（21,k k 为任意常数）.综上,当且仅当0,1=−=b a 时,存在满足条件的矩阵C ,使−=AC CA B ,且121121k k k k k ⎛++−⎫= ⎪⎭⎝C （21,k k 为任意常数）.（21）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）记113x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ,由于()111231232123233(,,)2(,,),,a x f x x x x x x a a a a x a x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()111232123233(,,),,b x x x x b b b b x b x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦TTTTTTT(2)()(2)=+=+X ααX X ββX X ααββX , 又T T 2+ααββ为对称矩阵,所以二次型f 的矩阵为T T2=+A ααββ. （Ⅱ）记TT2=+A ααββ.由于α,β正交且均为单位向量,所以=A α2T T T (2)22+=+=ααββαααββαα,则a 为A 的对应于21=λ的特征向量；=A β2T T T (2)2+=+=ααβββααββββ,则β为A 的对应于21λ=的特征向量.又T T()(2)()()()23r r r r r +=+=<A ααββαβ,所以30λ=也是矩阵A 的一个特征值,故f 在正交变换下的标准型为22122y y +.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）记Y 的分布函数为()()Y F y P Y y =,由Y 的概率分布知, 当1y <时,()0y F y =；当2y >时,()1y F y =；当12y时,{}}{()()11Y F y P Y y P Y P X y ===+<}{{}21P X P Xy =+<322321111d d (18)9927y x x x x y =+=+⎰⎰. 综上Y 的分布函数为30,1,18(),12,27271, 2.Y y y F y y y <⎧⎪⎪=+ <⎨⎪ ⎪⎩ （Ⅱ）利用全概率公式，{}{}{}}{{}1122P X Y P X Y X P X P X Y X P X =⋅+⋅}{{}1212P X Y X P X +<<⋅<<{}}{{},1,2,12P X Y X P X Y X P X Y X =++<<{}{}1012P X P X =++<<22018{2}d 927P X x x =<==⎰.（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ） 2300()d e d e d()x x EX xf x x xx x xθθθθθθ−−+∞+∞+∞−∞===−=⎰⎰⎰,令EX X =, 故θ的估计量X θ=,其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）设12,,,n x x x 为样本观测值,似然函数为212311e ,,,,0,()(;)0,i n xnn i i ii x x x L f x x θθθθ−==⎧ >⎪= =⎨⎪⎩∏∏其他.()112n 12312e ,,,,0,=0,ni i xn n x x x x x x θθ=−⎧∑⎪ >⎪⎨⎪ ⎪⎩其他.当12,,,0n x x x >时,111ln ()2ln 3ln nni i i iL n x x θθθ===−−∑∑. 令 1d ln ()210d n i iL n x θθθ==−=∑,得θ的极大似然估计值为121n i inx θ==∑,所以极大似然估计量为121ni inX θ==∑.。

2013年考研数学一真题与解析完整版

2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析来源：文都教育1. 已知极限0arctan lim k x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==答案（D ）解析：用洛必达法则2221121000011arctan 1111limlimlim lim (1)kk k k x x x x x xx x x c x kx kx x k x ---→→→→--+-+====+因此112,k c k-==，即13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ）解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=- 切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。

3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则（）A .34 B. 14 C. 14- D. 34- 答案（C ）解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。

91111()()()()44444s s s f -=-=-=-=-。

2013考研数一真题答案及详细解析

—勹 B = fxy (1,
= e-½'
—勹 C = fyy (1,
= e-½
(1.-f) 因为 A>o,AC — B2 =2e气>O, 所以
是极小值点，极小值为
(-+ !(1, —：片） =
+½)e··½ = -e勹．
(18) 证 CI)设F(x)= f(x)-.1::, xE[—1,l].
·; f(x) 是奇函数，:. f(O)=0.
解记A�[�: �'考察矩阵A的特征值为2,b,O的条件．
首先，显然1At�:, 因L是A的特征值．
其次，矩阵A的迹tr(A) =2 -t-b, 因此如果2是矩阵A的特征值，则b就是矩阵A的另一个特征值于是 “ 充要条件 ” 为2是A的特征值．由
lzE —Al = — a 2-b —a = — 4a 2 =O气=O.
故应选C.
二、填空题
(9) 1
解把 X = O代入方程有八0)=1 . 方程y-X = exO-y)两端同时对x求导有 f'(工)-1= e[l-f(x)] [1-f(x)-xf'(x)J.
把 X =O代入上式得厂(0)=2 - f(O)=l.
f 又 lim 釭）－］-= f'(O)=l,
x-o
厂 +厂 1
O
lnx +x)
2
dx=
_
lnx l+x
+=
1
1
dx
=O+ln
x
+=
1 =O — ln_l= ln2
O+x)x
l+x 1
2
(13) -1

2013真题数一

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中,k c 为常数，且0c ≠，则（）（A ）12,2k c ==- （B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==- （D ）13,3k c ==2、曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-的切平面方程为（）（A ）2x y z -+=- （B ）0x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=3、设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则（）（A ）34 （B ）14 （C ）14- （D ）34- 4、设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰，则{}1234max ,,,I I I I =（）（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）4I5、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（）（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是（）（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数（C ）2,0a b == （D ）2,a b = 为任意常数7、设123,,x x x 是随机变量，且1x ~(0,1)N ，2x ~2(0,2)N ，3x ~2(5,3)N ，{}22(1,2,3)j j P P x j =-≤≤=，则（）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>8、设随机变量()X t n ~，(1,)Y F n ~，给定(00.5)αα<<，常数c 满足{}2P X c >=，则{}2P Y c >=（）（A ）α （B ）1α- （C ）2α （D ）12α-二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、设函数()y f x =由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim (()1)n n f n→∞-= .10、已知321xx y exe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y = .11、设sin ,sin cos x t y t t t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== .12、21ln (1)xdx x +∞=+⎰. 13、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .14、设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则{}1P Y a Y a ≤+>= .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）计算1⎰，其中1ln(1)()x t f x dt t +=⎰.16、（本题满分10分）设数列{}n a 满足条件03a =，11a =，2(1)0(2)n n a n n a n ---=≥，()S x 是幂级数0nn n a x∞=∑的和函数.（Ⅰ）证明：()()0nS x S x -=；（Ⅱ）求()S x 的表达式. 17、（本题满分10分）求函数3(,)()3x yx f x y y e +=+的极值.18、（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明：（Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=；（Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 19、（本题满分10分）设直线L 过(1,0,0)A ，(0,1,1)B 两点，将L 绕z 轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面0z =，2z =所围成的立体为Ω. （Ⅰ）求曲面∑的方程；（Ⅱ）求Ω的形心坐标. 20、（本题满分11分）设110a A ⎛⎫=⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C.21、（本题满分11分）设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y + 22、（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为21,03,()0,x x f x a ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，令随机变量2,1,,12,1,2x Y x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩（Ⅰ）求Y 的分布函数；（Ⅱ）求概率{}P X Y ≤. 23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为23,0,(;)0,x e x f x xθθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，其中θ为未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（Ⅰ）求θ的矩估计量；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量.。

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2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan limkx x xc x →−=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（）（A ）12,2k c ==−（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==−（D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)−处的切平面方程为（）（A ）2x y z −+=− （B ）2x y z ++= （C ）23x y z −+=− （D ）0x y z −−=（3）设1()2f x x =−，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4S −=（）（A ）34 （B ）14（C ）14−（D ）34−（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++−=⎰，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =−≤≤=则（）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（）（A ）α （B ）1α−（C ）2α （D ）12α−二、填空题：9−14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e−−=确定，则1lim (()1)n n f n→∞−= ．(10)已知321xxy e xe =−，22xxy e xe =−，23xy xe =−是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）计算1,⎰其中1ln(1)()x t f x dt t +=⎰（16）（本题满分10分）设数列{}n a 满足条件：0123,1,(1)0(2),n n a a a n n a n −==−−=≥()S x 是幂级数0nn n a x∞=∑的和函数，（I ）证明：()()0S x S x ''−=, （II ）求()S x 的表达式.（17）（本题满分10分）求函数3(,)()3x yx f x y y e +=+的极值.（18）（本题满分10分）设奇函数()f x 在[-1,1]上具有2阶导数，且(1)1,f =证明：（I ）存在(0,1),'()1f ξξ∈=使得（II ）存在()1,1η∈−，使得''()'()1f f ηη+=（19）（本题满分10分）设直线L 过(1,0,0),(0,1,1)A B 两点，将L 绕Z 轴旋转一周得到曲面,∑∑与平面0,2z z ==所围成的立体为Ω，（I ）求曲面∑的方程（II ）求Ω的形心坐标.（20）（本题满分11分）设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B −=，并求所有矩阵C 。

（21）（本题满分11分）设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2TT ααββ+；（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22122y y +。

（22）（本题满分11分）设随机变量的概率密度为2103()4xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，令随机变量211212x Y x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩,（I ）求Y 的分布函数（II ）求概率{}P X Y ≤ （23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为()23,0,0,.x e x f x x θθ−⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中θ为未知参数且大于零，12,N X X X ，为来自总体X 的简单随机样本.（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan lim kx x xc x →−=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（）（A ）12,2k c ==−（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==−（D ）13,3k c ==【答案】D【解析】33300011(())arctan 133lim lim lim ,3,3k k k x x x x x x o x xx x c k c x x x →→→−−+−===∴== （2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)−处的切平面方程为（）（A ）2x y z −+=− （B ）2x y z ++= （C ）23x y z −+=− （D ）0x y z −−= 【答案】A【解析】设2(,,)cos()F x y z x xy yz x =+++，则(,,)2sin()1(0,1,1)1x x F x y z x y xy F =−+⇒−=；(,,)sin()(0,1,1)1y y F x y z x xy z F =−+⇒−=−；(,,)(0,1,1)1z z F x y z y F =⇒−=，所以该曲面在点(0,1,1)−处的切平面方程为(1)(1)0x y z −−++=，化简得2x y z −+=−，选A（3）设()1(),[0,1]2f x x x =−∈，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4S −=（）（A ）34（B ）14（C ）14−（D ）34−【答案】C【解析】根据题意，将函数在[1,1]−上奇延拓1,012()1,102x x f x x x ⎧−<<⎪⎪=⎨⎪−−−−<<⎪⎩，它的傅里叶级数为()S x 它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈−且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，因此991111()(2)()()()444444S S S S f −=−+=−=−=−=−（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++−=⎰，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I（D ）4I 【答案】D【解析】33()(2)(1,2,3,4)63i i l y x I y dx x dy i =++−=⎰22(1)2iD y x dxdy =−−⎰⎰利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域14,D D 上函数为正值，则区域大，积分大，所以41I I >，在4D 之外函数值为负，因此4243,I I I I >>，故选D 。

（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB C =，且C 可逆，则（）（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价【答案】（B ）【解析】由AB C =可知C 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示，又B 可逆，故有1−=CB A ，从而A 的列向量组也可以由C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B ）。

（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）0,2a b == （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2= 【答案】(B)【解析】由于1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为1111a a b a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为0,,2b 。